LINEBURG


<< Пред. стр.

страница 6
(всего 13)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

В каждой конкретной науке имеется своя система К. В логике к числу наиболее общих и фундаментальных понятий относятся по­нятия логического вывода, суждения, умозаключения, индукции, дедук­ции и др. К. изменяются вместе с развитием нашего познания: обо­гащается их содержание, изменяются взаимосвязи между К., меняется их состав и т. п.
КАУЗАЛЬНАЯ МОДАЛЬНОСТЬ, см.: Онтологическая модальность.
КЛАСС, МНОЖЕСТВО (В ЛОГИКЕ И МАТЕМАТИКЕ)
- конеч­ная или бесконечная совокупность объектов, выделенная по об­щему для них признаку (свойству или отношению), мыслимая как нечто целое. Объекты, составляющие К., называются его элемента­ми. Примером К. (м.) могут быть следующие: «реки России», «чет­ные числа». Первый К. является конечным, второй - бесконечным. Элементами первого К. являются отдельные реки — Волга, Ока, Енисей и др. Элементами второго К. являются числа - 0, 2, 4, 6, 8 и т. д. до бесконечности. Элементами К. могут быть, в свою очередь, К. Так, элементами К. «типы животных» являются К. простейших жи­вотных, губок, кишечнополостных и т. д. К. бывают единичны­ми, общими и нулевыми (пустыми). Единичные К. состоят из одного элемента (напр., «самая большая река в Европе»); общие К. состоят из двух и более элементов (напр., «химический элемент», «машина»); нулевые К. не включают в свой состав ни одного эле­мента (напр., «круглый квадрат», «число меньше двух и больше трех»).
Объект определенной области принадлежит данному К., явля­ется его элементом, если он обладает признаками, по которым образован К. В противном случае он исключается из К. Так, если нам дана область натуральных чисел и мы хотим выделить те из них, которые являются элементами К. простых чисел, то в К.. про­стых чисел войдет, напр., число 7, т. к. оно обладает свойством

[144]
простых чисел («7 — простое число» — истина), а число 8 не войдет (т. к. «8 — простое число» — ложь). Образуя К. к.-л. объектов, мы начинаем их рассматривать лишь под углом зрения некоторых свойств, от иных же свойств абстрагируемся. Так, образуя К. квад­ратов, мы учитываем такие свойства плоских многоугольников, как «быть четырехугольником», «иметь равные углы», «иметь равные стороны». Площадь, длина сторон и т. п. не учитываются. Это озна­чает, что отдельные квадраты, составляющие К.квадратов, отож­дествляются нами, становятся неразличимыми в некоторых свой­ствах (см.: Абстракция).
Общее понятие о К. возникает как результат абстракции не толь­ко от природы его элементов, но и от их порядка.
КЛАССИФИКАЦИЯ
— многоступенчатое, разветвленное деле­ние логического объема понятия. Результатом К. является система соподчиненных понятий: делимое понятие является родом, но­вые понятия — видами, видами видов (подвидами) и т. д. Наибо­лее сложные и совершенные К. дает наука, систематизирующая в них результаты предшествующего развития к.-л. отраслей знания и намечающая одновременно перспективу дальнейших исследо­ваний. Блестящим примером научной К. является периодическая система элементов Д. И. Менделеева, фиксирующая закономер­ные связи между химическими элементами и определяющая мес­то каждого из них в единой таблице. Эта система позволила сде­лать подтвердившиеся вскоре прогнозы относительно неизвестных еще элементов. Большую роль в развитии биологии сыграла К. жи­вотных и растений К. Линнея. Хорошо известна К. элементарных частиц, даваемая современной физикой.
К. подразделяется на е с т е с т в е н н у ю и искусственную. В качестве основания первой берутся существенные признаки, из которых вытекают многие производные свойства упорядочива­емых объектов. Искусственная К. использует для упорядочива­ния объектов несущественные их признаки, вплоть до ссылки на начальные буквы имен этих объектов (алфавитные указатели, имен­ные каталоги в библиотеках и т. п.).
Было время, когда естественная К. объявлялась высшей целью изучения природы и венцом научного ее познания. В XX в. пред­ставление о роли К. в процессе познания заметно изменилось. Про­тивопоставление естественной и искусственной К. во многом утра­тило свою остроту. Далеко не всегда удается существенное четко отделить от несущественного, особенно в обществе и живой приро­де; кроме того, существенное в одном отношении может оказаться гораздо менее важным в другом отношении. Поэтому роль К., в



[145]
том числе естественной, не должна переоцениваться, тем более не должно преувеличиваться ее значение в области сложных и динамичных социальных объектов и явлений. Как стало очевид­ным еще в прошлом веке, абсолютно резкие разграничительные линии несовместимы с теорией развития.
КЛАССИЧЕСКАЯ ЛОГИКА, см.: Логика классическая.
КОНВЕНЦИЯ (от лат. conventio - соглашение)
- договор, согла­шение, условие. Разнообразные К. играют значительную роль в на­уке и в повседневной жизни. Спор, дискуссия, коллективное об­суждение к.-л. проблем всегда опираются на соглашение относительно значений используемых слов, терминов, выражений. При построении аксиоматических систем символической логики аксиомы часто принимаются конвенционально в зависимости от удобства, простоты или конкретных целей построения. Для описа­ния пространственных свойств объективного мира ученые часто по соглашению используют ту или иную систему геометрии.
КОННОТАЦИЯ (от лат. connotatio — добавочное значение)
— до­полнительные черты, оттенки, сопутствующие основному содержа­нию понятия, суждения. В обыденной речи и в художественном твор­честве к основному семантическому значению понятий и суждений часто добавляются дополнительные оттенки, служащие для выра­жений эмоционального или оценочного отношения говорящего к предмету речи. Напр., слова «военные» и «военщина» совпадают по своему семантическому значению, однако во втором слове при­сутствует негативный оттенок, которого нет в первом слове.
КОНСТРУКТИВНАЯ ЛОГИКА
- одно из направлений современ­ной логики, изучающее рассуждения о конструктивных объек­тах и процессах. Конструктивные объекты представляют собой или отдельные, ясно отличаемые друг от друга знаки, или последова­тельности таких знаков, получаемые посредством некоторого кон­структивного процесса, протекающего по четким дискретным пра­вилам. Примером конструктивного объекта могут служить легко отождествляемые и различаемые буквы к.-л. алфавита; конструк­тивный процесс — построение из них слов по однозначно опреде­ленным правилам. В конструктивном процессе используется аб­стракция потенциальной осуществимости, позволяющая отвлекаться от реальных конструктивных возможностей человека, связанных с ограниченностью его деятельности в пространстве и времени. Можно, напр., рассуждать о сколь угодно длинных, но ко­нечных формулах, которые реально никогда не смогут быть запи­саны. Вместе с тем в таком процессе не используется абстрак­ция актуальной бесконечности, когда невозможность



[146]
полного обозрения к.-л. бесконечного образования не учитывает­ся. Бесконечное множество, напр. множество всех натуральных чи­сел, нельзя рассматривать как единый, завершенный объект. Суще­ствование конструктивного объекта считается доказанным лишь в том случае, если указан способ потенциально осуществимого его построения (конструирования).
Ограничение рассуждений конструктивными объектами и про­цессами ведет к отказу от закона исключенного третьего в приме­нении к бесконечным множествам. Отвергаются также закон сня­тия двойного отрицания (см.: Закон двойного отрицания), закон Клавия, некоторые варианты косвенного доказательства и др.
Термином «К. л.» иногда обозначается интуиционистская логи­ка. Чаще под К. л. понимается логическая теория, совпадающая по классу доказуемых формул с интуиционистской логикой, но не обращающаяся к представлению об «изначальной интуиции» и использующая при задании смысла логических операций понятие алгоритма и некоторые особые положения о конструктивных про­цессах (А. А. Марков, Н. А. Шанин и др.).
КОНТЕКСТ (от лат. contextus — сцепление, соединение, связь)
— относительно законченный по смыслу отрывок текста или устной речи, в пределах которого наиболее точно и конкретно выявляется смысл и значение отдельного входящего в него слова, фразы, сово­купности фраз. В логике и методологии научного познания К. по­нимается как отдельное рассуждение, фрагмент научной теории или теория в целом. В дополнение к основному семантическому значению, которым обладает слово или предложение, взятые сами по себе, К. придает им добавочное значение, более того, он может существенно изменить это основное значение слов и предложе­ний. Поэтому в разных К. слова и предложения могут приобретать различные значения. Иногда К. целиком придает значение некото­рому термину. В таких случаях говорят о контекстуальном опреде­лении термина (см.: Определение контекстуальное). Вопрос о кон­текстуальном значении научных терминов привлекает широкое внимание в методологии научного познания в связи с анализом развития научного знания, переходом терминов из старой теории в новую и изменением их значений при таких переходах.
КОНТЕКСТУАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ, см.: Определение контек­стуальное.
КОНТРАДИКТОРНАЯ ПРОТИВОПОЛОЖНОСТЬ (от лат. contradictorius — противоречащий)
— отношение между противо­речащими друг другу суждениями. В традиционной логике про­тиворечащими друг другу считаются общеутвердительные


[147]
и частноотрицательные суждения, имеющие один и тот же субъект и предикат («Все цветы красивы» и «Некоторые цветы не­красивы»), а также общеотрицательные и частноутвердительные суждения («Ни один цветок не красив» и «Некото­рые цветы красивы»).
К. п. характеризуется следующими особенностями: 1) суждения не могут быть одновременно истинными; 2) они не могут быть одновременно ложными; 3) из двух противоречащих друг другу суждений одно непременно истинно, а другое ложно, третьего не дано. Последнее свойство контрадикторных суждений широко ис­пользуется в процессах рассуждения и доказательства. Если нам удалось показать ложность некоторого суждения, то мы можем с уверенностью утверждать, что противоречащее ему суждение ис­тинно, и наоборот.
КОНТРАПОЗИЦИИ ЗАКОН
- общее название для ряда логи­ческих законов, позволяющих с помощью отрицания менять мес­тами основание и следствие (антецедент и консеквент) условного высказывания.
Один из этих законов, называемый иногда законом про­стой контрапозиции, звучит так: если первое влечет вто­рое, то отрицание второго влечет отрицание первого. Напр.: «Если верно, что число, делящееся на шесть, делится на три, то верно, что число, не делящееся на три, не делится также на шесть».
С использованием символики логической (р, q — некоторые высказывания; -> — импликация, «если, то»; ˜ — отрицание «неверно, что») данный закон представляется формулой:
(p->q)->(˜q->˜р),
если дело обстоит так, что если р, то q, то если не-q, то не-р. Другой К. з.:
(˜p->˜q)->(q->p).
если верно, что если не-р, то не-q, то если q, то р. Напр.: «Если верно, что рукопись, не оцененная рецензентом положительно, не публикуется, то верно, что публикуемая рукопись оценивается рецензентом положительно».
Еще два К. з.:
(p->˜q)->(q->˜p),
если дело обстоит так, что если р, то не-q, то если q, то не-р. Напр.: «Если квадрат не является треугольником, то треугольник не квадрат»;
(˜p->q)->(˜q->p), если верно, что если не-р, то q, то если не-q, то р. Напр.: «Если не



[148]
являющееся очевидным сомнительно, то не являющееся сомни­тельным очевидно».
Закон сложной контрапозиции представляется формулой (& —
конъюнкция, «и»):
(p&q->r)->(p&˜r->˜q),
если дело обстоит так, что если р и q, то r, то если р и не-r, то не-q. Напр.: «Если верно, что монотонная и ограниченная последо­вательность сходится, то монотонная и не сходящаяся последова­тельность неограниченна».
КОНТРАРНАЯ ПРОТИВОПОЛОЖНОСТЬ (от лат. contrarius - про­тивоположный)
— отношение между противными, или про­тивоположными, суждениями (см.: Логический квадрат).
КОНЦЕПТ (от лат. conceptus— понятие)
— содержание понятия, то же, что и смысл. В семантической концепции Р. Карнапа между языковыми выражениями и соответствующими им денотатами, т. е. реальными предметами, имеются еще некоторые абстрактные объекты - К.
КОНЪЮНКЦИЯ (от лат. conjunctio - союз, связь)
- логическая операция, с помощью которой два или более высказываний объе­диняются в новое сложное высказывание. Это новое высказыва­ние называется конъюнктивным высказыванием или просто К.
Символически конъюнктивная связка обозначается знаками « • », «&», «U». Если А, В, С... представляют простые высказывания, то конъюнктивное высказывание выглядит следующим образом: А&В или А&В&С и т. п. В обыденной речи К. соответствует союз «и», поэтому К. читается так: А и В. Напр.: «Пассажиры заняли свои места, и поезд тронулся».
Значение истинности сложного конъюнктивного высказыва­ния зависит от истинностных значений входящих в него простых высказываний и определяется на основе следующей таблицы ис­тинности:
АВА&В
иии
илл
лил
ллл

Эта таблица говорит о том, что конъюнктивное высказывание истинно только в одном случае, когда все входящие в него про­стые высказывания истинны. Напр., высказывание «Киев стоит на Днепре, и Киев — столица Украины» истинно, а высказывание


[149]
«Киев стоит на Днепре, и Киев - столица Белоруссии» ложно. Сле­дует иметь в виду, что К. учитывает только истинностные значения простых высказываний и не учитывает смысловые связи между ними. Поэтому К. может соединять высказывания, между которыми нет никакой содержательной связи. Напр., «Дважды два четыре, и снег бел» и т. п. Для К. справедлив закон коммутативности: А&В эквива­лентно В&А, хотя в высказываниях с союзом «и» этот закон дей­ствует далеко не всегда. Напр., если в высказывании «Подул ветер, и деревья закачались» поменять местами члены К., высказывание станет бессмысленным с точки зрения здравого смысла.
КОСВЕННОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
- доказательство, в котором истинность тезиса устанавливается путем показа ошибочности противоположного ему допущения.
При прямом доказательстве задача состоит в том, чтобы найти убедительные аргументы, из которых логически вытекает тезис. В К. д. рассуждение идет как бы окольным путем. Прямые аргументы для выведения из них доказываемого положения не отыскиваются. Вме­сто этого формулируется антитезис, отрицание этого положе­ния, и тем или иным способом показывается его несостоятельность.
Поскольку К. д. использует отрицание доказываемого положе­ния, оно называется также доказательством от противно­го. Напр., врач, убеждая пациента, что тот не болен малярией, мо­жет рассуждать так: «Если бы действительно была малярия, имелся бы ряд характерных для нее симптомов, в частности общая слабость и озноб. Однако таких симптомов нет. Значит, нет и малярии».
К. д. проходит, таким образом, следующие этапы: выдвигается антитезис и из него выводятся следствия с намерением найти сре­ди них ложное; устанавливается, что в числе следствий действи­тельно есть ложное; делается вывод, что антитезис неверен; из лож­ности антитезиса делается заключение, что тезис является истинным.
В зависимости от того, как устанавливается ложность антите­зиса, можно выделить несколько вариантов К. д. Иногда ложность антитезиса удается установить простым сопоставлением вытека­ющих из него следствий с фактами, эмпирическими данными. Так, в приведенном примере рассуждение идет по схеме: если неверно первое, то второе; но второе неверно, значит, верно первое.
Нередко анализ самой логической структуры следствий антите­зиса позволяет сделать вывод, что он ошибочен. Так, если в чис­ле следствий встретились и утверждение, и отрицание одного и того же, можно сразу заключить, что антитезис неверен. Ложным будет он и в том случае, если из него выводится внутренне проти­воречивое высказывание о тождестве утверждения и отрицания.



[150]
Напр., для доказательства тезиса «Квадрат — это ромб с пря­мыми углами» выдвигается антитезис: «Неверно, что квадрат есть ромб с прямыми углами». Из последнего выводится как то, что у квадрата все углы прямые (т. к. быть квадратом значит иметь четы­ре прямых угла), так и то, что у квадрата углы не являются пря­мыми. Раз из антитезиса вытекает и утверждение, и отрицание одного и того же, значит, он неверен, а правильным является противоположное утверждение - тезис.
Рассуждение здесь идет в соответствии с законом косвенного доказательства: если из отрицания высказывания вытекает логи­ческое противоречие, само высказывание истинно.
Существует разновидность К. д., когда прямо не приходится ис­кать ложных следствий антитезиса. Согласно закону Клавия, если из отрицания высказывания вытекает это высказывание, оно являет­ся истинным. Напр., из отрицательного высказывания «Ни одно суждение не является отрицательным» вытекает: «Некоторые суж­дения являются отрицательными»; значит, истинно это утверди­тельное высказывание, а не исходное отрицательное.
К. д. — эффективное средство обоснования выдвигаемых поло­жений. Однако его специфика в определенной мере ограничивает сферу применения. Эта специфика состоит в том, что из антите­зиса, являющегося ложным, выводятся следствия до тех пор, пока не будет получено ложное утверждение или логическое противо­речие. Имея дело с К. д., приходится все время сосредоточиваться не на верном положении, справедливость которого необходимо обосновать, а на ошибочных утверждениях. Более серьезные воз­ражения против К.д. связаны с использованием в нем закона (сня­тия) двойного отрицания. Этот закон не признается универсаль­ным, неограниченно приложимым интуиционистской логикой.
КРУГ В ДОКАЗАТЕЛЬСТВЕ (лат. — circulus in demonstrando)
— ло­гическая ошибка в доказательстве, заключающаяся в том, что ис­тинность доказываемого положения (тезиса) обосновывается с помощью аргумента, истинность которого обосновывается с по­мощью доказываемого тезиса. Данную ошибку называют также «порочным кругом». В качестве примера можно привести доказа­тельство конечности и ограниченности Вселенной, приводивше­еся противниками учения Коперника. Защитники геоцентризма доказывали конечность Вселенной, опираясь на утверждение о том, что Вселенная в течение суток совершает полный оборот вокруг неподвижного центра, совпадающего с центром Земли. В свою очередь, истинность этого аргумента они доказывали, опира­ясь на утверждение о конечности Вселенной, т. к. при условии ее


[151]
бесконечности нельзя понять, каким образом бесконечная Все­ленная могла бы в течение одних суток совершить полный оборот около своего центра. Иными словами, тезис (положение о конеч­ности мира) доказывался посредством аргумента (суточное вра­щение мира вокруг центра), который сам доказывался при помо­щи доказываемого тезиса (положения о конечности мира).
В относительно коротких рассуждениях К. в д. сравнительно нетрудно обнаружить. Однако в доказательствах, включающих в себя длинные цепи умозаключений, круг может остаться незаме­ченным. Доказательство, содержащее в себе круг, не достигает своей основной цели — оно не обосновывает истинности доказыва­емого тезиса.
КРУГ В ОПРЕДЕЛЕНИИ
— логическая ошибка, связанная с на­рушением одного из правил определения и состоящая в том, что при определении некоторого понятия в определяющей части ис­пользуется понятие, которое, в свою очередь, определяется с помо­щью данного определяемого понятия. Напр., в определении «Вра­щение есть движение вокруг своей оси» будет допущена ошибка круга, если понятие «ось» само определяется через понятие «вра­щение»: ось есть прямая, вокруг которой происходит вращение. Частным случаем этой ошибки является тавтология — повторе­ние в определяющей части самого определяемого понятия, хотя, быть может, в несколько ином словесном выражении, напр.: «Фильтрование — процесс разделения с помощью фильтра» (см.: Определение).

[152]


Л
ЛЕММА (от греч. lemma — предположение)
- в математике вспо­могательное предложение, употребляемое при доказательстве од­ной или нескольких теорем. В логике — условно-разделительное, или лемматическое, умозаключение (см.: Дилемма).
«ЛЖЕЦА» ПАРАДОКС
- один из наиболее известных логиче­ских парадоксов. В простейшем его варианте человек произносит одну фразу: «Я лгу». Или говорит: «Высказывание, которое я сей­час произношу, является ложным». Или: «Это высказывание лож­но». Если высказывание ложно, то говорящий сказал правду и, зна­чит, сказанное им не является ложью. Если же высказывание не является ложным, а говорящий утверждает, что оно ложно, то его высказывание ложно. Оказывается, таким образом, что, если гово­рящий лжет, он говорит правду, и наоборот.
Традиционная лаконичная формулировка парадокса гласит: если лгущий говорит, что он лжет, то он одновременно лжет и говорит правду.
В ср. в. была распространенной такая формулировка «Л.» п.: «Ска­занное Платоном - ложно, — говорит Сократ. - То, что сказал Сократ, — истина, - говорит Платон». Возникает вопрос: кто из них высказывает истину, а кто — ложь?
Открытие «Л.» п. приписывается древнегреческому философу Евбулиду (IV в. до н. э.). Оно произвело громадное впечатление. Философ-стоик Хрисипп (ок. 281-208 до н. э.) посвятил ему три книги. Некто Филет Косский, отчаявшись разрешить парадокс, покончил с собой. Предание говорит, что известный древнегре­ческий логик Диодор Кронос (ум. ок. 307 до н. э.) уже на склоне лет дал обет не принимать пищу до тех пор, пока не найдет реше-
[153]


ние «Лжеца», и вскоре умер, ничего не добившись. В древности «Лжец» рассматривался как хороший пример двусмысленного выражения. В ср. в. «Л.» п. был отнесен к т. наз. «неразрешимым предложениям» и сделался объектом систематического анализа.
Особым вниманием «Л.» п. пользуется в современной логике. Нередко он именуется «королем логических парадоксов», ему по­священа обширная научная литература. И тем не менее, как и в случае многих других парадоксов, остается неясным, какие имен­но проблемы скрываются за данным парадоксом и как следует избавляться от него.
Чаще всего «Л.» п. считается характерным примером тех труд­ностей, к которым ведет смещение двух языков: языка предметно­го, на котором говорится о лежащей вне языка действительности, и метаязыка, на котором говорят о самом предметном языке. В повседневности нет различий между этими языками: и о дей­ствительности, и о языке говорится на одном и том же языке. Если язык и метаязык разграничиваются, утверждение «Я лгу» уже не может быть сформулировано.
Проблемы, связывавшиеся на протяжении веков с «Л.» п., ра­дикально менялись в зависимости от того, рассматривался ли он как пример двусмысленности, или же как выражение, внешне пред­ставляющееся осмысленным, но по своей сути бессмысленное, или же как образец смешения языка и метаязыка. И нет уверенности в том, что с этим парадоксом не окажутся связанными в будущем и другие проблемы (см.: Антиномия).
ЛОГИКА (от греч. logos — слово, понятие, рассуждение, разум), или: Формальная логика,
— наука о законах и операциях пра­вильного мышления. Согласно основному принципу Л., пра­вильность рассуждения (вывода) определяется только его логиче­ской формой, или структурой, и не зависит от конкретного содержания входящих в него утверждений. Различие между формой и содержанием может быть сделано явным с помощью особого язы­ка, или символики, оно относительно и зависит от выбора языка.
Отличительная особенность правильного вывода в том, что от истинных посылок он всегда ведет к истинному заключению. Та­кой вывод позволяет из имеющихся истин получать новые исти­ны с помощью чистого рассуждения, без обращения к опыту, интуиции и т. п. Неправильные выводы могут от истинных посы­лок вести как к истинным, так и к ложным заключениям.
Л. занимается не только связями высказываний в правильных выводах, но и многими иными проблемами: смыслом и значением выражений языка, различными отношениями между терминами


[154]
(понятиями), операциями определения и логического деления по­нятий, вероятностными и статистическими рассуждениями, па­радоксами и логическими ошибками и т. д. Но главные темы логи­ческих исследований - анализ правильности рассуждения, формулировка законов и принципов, соблюдение которых являет­ся необходимым условием получения истинных заключений в процессе вывода.
Правильным является, напр., рассуждение, следующее схеме: «Если есть первое, то есть и второе; есть первое, значит, есть и второе» (см.: Модус поненс). По этой схеме из высказываний «Если сейчас день, то светло» и «Сейчас день» вытекает высказывание «Сейчас светло». Какие бы конкретные истинные высказывания ни подставлялись в указанную схему, заключение обязательно бу­дет истинным.
В правильном рассуждении заключение вытекает из посылок с логической необходимостью, общая схема такого рассуждения вы­ражает логический закон. Рассуждать логически правильно — зна­чит рассуждать в соответствии с законами Л.
Л. не просто перечисляет некоторые схемы правильного рас­суждения. Она выявляет различные типы таких схем, устанавлива­ет общие критерии их правильности, выделяет исходные схемы, из которых по определенным правилам могут быть получены другие схемы данного типа, исследует проблему взаимной совместимости схем и т. д.
В современной Л. логические процессы изучаются путем их ото­бражения в языках формализованных, или логических, исчислений. Построение исчисления отличается тщательностью, с которой формулируются его синтаксические и семантические правила, от­сутствием исключений, характерных для естественного языка. Ис­следованием формального строения логических исчислений, пра­вил образования и преобразования входящих в них выражений занимается логический синтаксис. Отношения между исчисления­ми и содержательными областями, служащими их интерпретаци­ями или моделями, исследуются семантикой логической.
Современная Л. слагается из большого числа логических систем, описывающих отдельные фрагменты, или типы, содержательных рассуждений. Эти системы принято делить на Л. классическую, включающую классические Л. высказываний и Л. предикатов, и Л. неклассическую, в которую входят модальная Л., интуиционист­ская Л., многозначная Л., неклассические теории логического следо­вания, паранепротиворечивая Л., Л. квантовой механики и др. Каж­дая из этих Л. также включает, как правило, соответствующие Л.


[155]
высказываний и Л. предикатов. Таким образом, хотя Л. как наука едина, она слагается из множества более или менее частных сис­тем, ни одна из которых не может претендовать на выявление ло­гических характеристик мышления в целом. Единство Л. проявляет­ся прежде всего в том, что входящие в нее «отдельные» Л. пользуются при описании логических процессов одними и теми же методами исследования. Все они отвлекаются от конкретного содержания выс­казываний и умозаключений и оперируют только их формальным, структурным содержанием. В каждой применяется язык символов и формул, строящийся в соответствии с общими для всех систем принципами. И наконец, «сконструированная» Л. вызывает ряд воп­росов, характерных для любой системы: нет ли в ней противоре­чий, охватывает ли она все истины рассматриваемого рода и др. (см.: Непротиворечивость, Полнота, Разрешения проблема). Между разными логическими системами имеются определенные связи. Одни системы могут быть эквивалентны другим, или включаться в них, или быть их обобщением и т. д. Единство Л. проявляется также в том, что разные Л. не противоречат друг другу: законами одной из них не являются отрицания законов, принятых в другой.
История Л. насчитывает около двух с половиной тысячелетий и разделяется на два основных этапа. Первый начался с трудов Ари­стотеля (384-322 до н. э.) и продолжался до второй половины XIX - начала XX в., второй — с этого времени до наших дней. На первом этапе Л. развивалась очень медленно, это дало И. Канту по­вод заявить, что она является с самого начала завершенной наукой, не продвинувшейся после Аристотеля ни на один шаг. Ошибоч­ность такого представления была ясно показана в последние сто с небольшим лет, когда в Л. произошла научная революция и на смену традиционной Л. пришла современная Л., называемая также математической или символической Л. В основе последней — идеи Г. Лейбница (1646-1716) о возможности представить доказатель­ство как математическое вычисление. Д. Буль (1815-1864) истол­ковал умозаключение как результат решения логических равенств, в результате чего теория умозаключения приняла вид своеоб­разной алгебры, отличающейся от обычной алгебры лишь от­сутствием численных коэффициентов и степеней. С работ Г. Фреге (1848-1925) начинается применение Л. для исследования оснований математики. Значительный вклад в развитие Л. в даль­нейшем внесли Б. Рассел (1872-1970), А. Н. Уайтхед (1861-1947), Д. Гильберт (1862-1943) и др. В 30-е годы фундаментальные ре­зультаты получили К. Гёдель (1906-1978), А. Тарский (1901-1983), А.Чёрч(р. 1903).



[156]
На первых порах современная Л. ориентировалась почти всеце­ло на анализ только математических рассуждений. Это поддержи­вало иллюзию, что развитие Л. не зависит от эволюции теорети­ческого мышления и не является в к.-л. смысле отображением последней.
В 20-е годы XX в. предмет логических исследований существенно расширился. Начали складываться многозначная Л., предполага­ющая, что наши утверждения являются не только истинными или ложными, но могут иметь и другие истинные значения; модальная Л., рассматривающая понятия необходимости, возможности, слу­чайности и т. п.; деонтическая Л., изучающая логические связи нормативных высказываний, и др. Все эти новые разделы не были непосредственно связаны с математикой, в сферу логического ис­следования вовлекались уже естественные и гуманитарные науки.
В дальнейшем сложились и нашли интересные применения: Л. времени, описывающая логические связи высказываний о про­шлом и будущем; паранепротиворечивая Л., не позволяющая вы­водить из противоречий все что угодно; эпистемическая Л., изуча­ющая понятия «опровержимо», «неразрешимо», «доказуемо», «убежден», «сомневается» и т. п.; оценок Л., имеющая дело с поня­тиями «хорошо», «плохо», «безразлично», «лучше», «хуже» и т. п.; Л. изменения, говорящая об изменении и становлении нового; причинности Л., изучающая утверждения о детерминизме и при­чинности; парафальсифицирующая Л., не позволяющая отвергать положения, хотя бы одно следствие которых оказалось ложным; релевантная Л. и др. Экстенсивный рост Л. не завершился и сейчас. Основные ее ветви, или разделы, можно сгруппировать так:
о базисная Л., в которую входят классическая Л., модальная Л., многозначная Л., неклассические теории логического следования;
>> металогика, исследующая сами логические теории, их внут­реннюю структуру и связи с описываемой ими реальностью;
о разделы математического направления, включающие теорию доказательства, теорию множеств, теорию функций, Л. вероятно­стей, обоснование математики;
о разделы, ориентированные на приложение в естественных и гуманитарных науках, такие, как индуктивная Л., изучающая про­блематичные выводы, логические теории времени, причиннос­ти, норм, оценок, действия, решения и выбора и др.;
>> разделы, находящие применение при обсуждении опреде­ленных философских проблем: Л. бытия, Л. изменения, Л. части и целого, логические теории вопросов, знания, убеждения, вооб­ражения, стремления и т. п.


[157]
Границы между этими областями не являются четкими, одни и те же ветви Л. могут иметь одновременно отношение к филосо­фии и естествознанию, к математике и металогике и т. д.
Прояснение и углубление оснований современной Л. сопро­вождалось пересмотром и уточнением таких центральных ее по­нятий, как логическая форма, логический закон, доказательство, логическое следование и др.
Законы Л. долгое время представлялись абсолютными истина­ми, никак не связанными с опытом. Однако возникновение кон­курирующих логических теорий, отстаивающих разные множества законов, показало, что Л. складывается в практике мышления и что она меняется с изменением этой практики. Логические зако­ны - такие же продукты человеческого опыта, как и аксиомы евклидовой геометрии, тоже казавшиеся когда-то априорными. Именно постоянно повторяющаяся практика выявляла некото­рые общие и инвариантные отношения между вещами, вовлечен­ными в трудовую деятельность, и закрепляла их в сознании в виде некоторых логических структур, лежащих в основе формулирова­ния правил логики.
Доказательство, и в особенности математическое, принято было считать императивным и универсальным указанием, обязатель­ным для всякого непредубежденного ума. Развитие Л. показало, однако, что доказательства вовсе не обладают абсолютной, вне­временной строгостью и являются только опосредствованными средствами убеждения. Даже способы математической аргумента­ции на деле историчны и социально обусловлены. В разных логи­ческих системах доказательствами считаются разные последова­тельности утверждений, и ни одно доказательство не является окончательным.
Перемены, происшедшие в Л. в XX в., приблизили ее к реально­му мышлению и тем самым к человеческой деятельности, одной из разновидностей которой оно является.
Для правильного понимания предмета и задач формальной Л. важно четко представлять ее соотношение с диалектической Л. Ди­алектика как Л. исследует становление и развитие понятий и пред­ставлений, их отношения, переходы, противоречия. Диалектиче­ские принципы историзма, конкретности истины, единства абстрактного и конкретного, практики как критерия истины и т. д. направлены на познание закономерностей мышления, взятого в его движении и развитии, в последовательном постижении ре­альности. Формальная Л. главное внимание направляет на прояс­нение структуры готового знания, на описание его формальных свя-



[158]
зей и элементов. Диалектическая и формальная Л. - две разные науки, различающиеся как предметами своего исследования, так и методами.
Современная Л. находит применение во многих областях. В час­тности, она оказала влияние на развитие математики, прежде всего теории множеств, формальных систем, алгоритмов, рекурсивных функций; идеи и аппарат Л. используются в кибернетике, вычис­лительной технике, в электротехнике и др.
ЛОГИКА ВРЕМЕНИ, или: Временная логика,
— раздел современной модальной логики, изучающий логические связи вре­менных утверждений, т. е. утверждений, в которых временной па­раметр включается в логическую форму. Л. в. начала складываться в 50-е годы XX в. прежде всего благодаря работам англ. логика А. Н. Прайора, хотя первые попытки учесть роль временного фак­тора в логическом выводе относятся еще к античности (Аристо­тель, Диодор Кронос).
Задачей Л.в. является построение искусственных (формализо­ванных) языков, способных сделать более ясными и точными, а следовательно, и более плодотворными рассуждения о предметах и явлениях, существующих во времени.
Л. в. представляет собой множество логических систем (логик), распадающихся на А-л о г и к у и B-логику времени. Пер­вая ориентирована на временной ряд «прошлое — настоящее — будущее», вторая - на временной ряд «раньше - одновременно -позже».
В А-логике рассматриваются высказывания с «будет», «было», «всегда будет», «всегда было» и т. п. Понятия «будет» («было») и «всегда будет» («всегда было») взаимно определимы: «Будет A» («Было A») означает «Неверно, что всегда будет не-А» («Неверно, что всегда было не-А»). Напр., «Будет ветрено» означает то же, что «Неверно, что всегда будет безветренно».
В числе законов А-логики времени утверждения:
>> то, что всегда будет, будет; то, что всегда было, было (напр.: «Если всегда будет время, то оно будет»);
>> неверно, что наступит противоречивое событие; неверно, что было такое событие («Неверно, что было холодно и не холодно»);
>> если будет, что будет нечто, оно будет;
>> если неверно, что всегда было, что не всегда будет нечто, то оно имеет место сейчас;
>> будет, что нечто было, если и только если оно или есть сей­час, или будет, или уже было («Будет так, что шел снег, только если он или идет, или пойдет, или уже шел»);


[159]
>> всегда было, что всегда будет нечто, только если оно есть, всегда было и всегда будет («Всегда было, что всегда будет хоро­шая погода, в том и только том случае, если она есть, всегда была и всегда будет») и т. п.
Финским философом и логиком Г. X. фон Вригтом А-логика времени формулируется с использованием выражений «...и за­тем...» и «...и в следующей ситуации...». «A и затем В» означает «Сейчас А и будет В», что может пониматься также как «A изменя­ется (переходит) в B». Л.в. может, таким образом, истолковываться и как логика изменения.
В терминах временных понятий могут быть определены модаль­ные понятия «необходимо» и «возможно»:
>> необходимым является то, что всегда было, есть и всегда бу­дет («Пространство необходимо, только если оно всегда было, есть и всегда будет»);
>> возможно то, что или было, или имеет место, или будет («Воз­можно, что птицы улетают на юг, только если они уже улетели, улетают сейчас или улетят в будущем»).
В B-логике времени рассматриваются высказывания с «рань­ше», «позже» и «одновременно». Первые два из этих понятий вза­имно определимы: «A раньше В» означает «В позже A». Одновре­менные события могут быть определены как такие, что ни одно из них не раньше другого.
Среди законов B-логики утверждения:
>> ничто не раньше самого себя;
>> если первое раньше второго, то неверно, что второе раньше первого;
>> если первое раньше второго, а второе одновременно с треть­им, то первое раньше третьего и т. п.
Понятие «раньше» неопределимо через «было», «есть» и «будет»; раньше одно другого могут быть и два прошлых, и два будущих события. В свою очередь, временные оценки, включающие ссылку на «настоящее», несводимы к утверждениям с «раньше». А-логика и B-логика времени являются, таким образом, двумя самостоя­тельными, несводимыми друг к другу ветвями Л. в.
А-логика времени нашла приложения при обсуждении некото­рых философских проблем, в анализе грамматических времен и др. B-логика использовалась при аксиоматизации определенных раз­делов физики, биологии, при обсуждении проблемы непротиво­речивого описания движения и др.
Временные ряды «прошлое - настоящее - будущее» и «рань­ше - одновременно - позже» несводимы друг к другу. Они неза-



[160]
висимы в широких пределах и представляют собой две точки зре­ния на мир, два способа описания одних и тех же вещей и собы­тий, дополняющие друг друга. Первый ряд употребляется по пре­имуществу в гуманитарных науках, второй - в естественных. Можно сказать, что первые понятия служат для описания становле­ния мира, вторые — для описания его бытия. Поскольку времен­ные ряды несводимы друг к другу, возникает вопрос, не является ли один из них более фундаментальным. Согласно распространен­ной точке зрения, в интерсубъективном, безличностном языке науки неправомерно употребление «было - есть - будет», пред­полагающих ссылку на «субъективное», постоянно меняющее свое положение «настоящее». С другой стороны, мир без «стрелы вре­мени» неисторичен, он как бы задан сразу, и все события лежат в одной временной плоскости.
К этому спору о допустимости использования в науке времен­ных оценок с изменяющимся истинностным значением имеет пря­мое отношение и Л. в.
ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ, или: Пропозициональная логика,
— раздел логики, формализующий употребление логичес­ких связок «и», «или», «не», «если, то» и т. п., служащих для образова­ния сложных высказываний из простых. Высказывание называется простым, если оно не включает в себя другие высказывания, в противном случае оно называется с л о ж н ы м. В Л. в. простые выс­казывания рассматриваются в отвлечении от их внутренней (субъектно-предикатной) структуры. Та или иная истинностная оценка высказывания именуется его истинностным значением.
В логике классической предполагается, что простое высказыва­ние является либо истинным, либо ложным (см.: Двузначности принцип) и что истинностное значение сложного высказывания зависит только от истинностных значений входящих в него про­стых высказываний и характера их связи.
Так, соединение двух высказываний с помощью связки «и» дает сложное высказывание (именуемое конъюнкцией), являюще­еся истинным, только когда оба составляющие его высказывания истинны. Сложное высказывание, образованное с помощью связ­ки «или» (дизъюнкция), истинно, если и только если хотя бы одно из двух входящих в него высказываний истинно. Сложное выска­зывание, образованное с помощью «не» (отрицания), истинно, если только исходное высказывание ложно. Сложное высказывание, полученное из двух высказываний с помощью связки «если, то» (импликация), истинно в трех случаях: оба входящие в него выска­зывания истинны, оба они ложны, первое из этих высказываний


[161]
(следующее за словом «если») ложно, а второе (следующее за сло­вом «то») истинно; импликация является ложной только когда первое из составляющих ее высказываний истинно, а второе ложно.
Возможны и другие способы образования сложных высказыва­ний. Всего в классической двузначной логике четыре способа об­разования сложного высказывания из одного высказывания и ше­стнадцать способов образования сложного высказывания из двух высказываний.
Язык Л. в. включает бесконечное множество переменных: р, q, r,..., p1, q1, r1, ..., представляющих высказывания, и особые символы для логических связок : & — конъюнкция («и»), v - дизъюнкция («или»), ˜ - отрицание («не» или «неверно, что»), -> — имплика­ция («если, то»). Роль знаков препинания обычного языка играют скобки. Понятие формулы в Л. в. определяется так: отдельная переменная является формулой; если A и В — формулы, то (А&В), (AvB), ˜A и (A->B) также формулы.
Формулам Л. в., образованным из переменных и связок, в есте­ственном языке соответствуют предложения. Напр., если р есть высказывание «Сейчас ночь», q — высказывание «Сейчас темно» и r — высказывание «Сейчас ветрено», то формула (p->(qvr)) представляет высказывание «Если сейчас ночь, то сейчас темно или ветрено», формула ((q&.r)->p) - высказывание «Если сейчас темно и ветренно, то сейчас ночь», формула (˜q->˜p) — высказы­вание: «Если неверно, что сейчас темно, то сейчас не ночь» и т. п. Подставляя вместо переменных другие высказывания, получим другие переводы указанных формул на обычный язык.
Каждой формуле Л. в. можно поставить в соответствие таблицу истинности, указывающую зависимость истинностного значения формулы от истинностных значений входящих в нее переменных. Напр., формула (˜q->˜p) принимает значение «ложно» только в случае ложности q и истинности р.
Формула Л. в. называется тождественно-истинной, или тавтологией, если и только если она принимает значение «истин­но» при всех распределениях истинностных значений входящих в нее простых высказываний. Формула, принимающая при всех рас­пределениях значение «ложно», называется противоречием. Тавто­логии выражают логические законы. К тавтологиям относятся, в ча­стности, формулы:
(р->р) — закон тождества, ˜(р&˜р) — закон непротиворечия,
(pv˜p) — закон исключенного третьего, (p->q)->(˜q->˜p) - закон контрапозиции.



[162]
Множество тавтологий бесконечно.
Л. в. может быть представлена также в форме логического исчис­ления, в котором задается способ доказательства некоторых выс­казываний (формул), называемых теоремами. Исчисление может быть формализовано с помощью аксиоматического метода. При этом указываются формулы, принимаемые в качестве аксиом, и задаются правила вывода, позволяющие получать из аксиом теоре­мы. Аксиоматическое исчисление высказываний строится таким образом, чтобы класс теорем совпадал с классом тавтологий, т. е. чтобы каждая теорема была тавтологией и каждая тавтология — теоремой (см.: Полнота). По отношению к аксиоматическому по­строению встают также вопросы о его непротиворечивости и неза­висимости принятых аксиом и правил вывода.
Наряду с классической Л. в., предполагающей, что всякое выс­казывание является истинным или ложным, существуют много­образные неклассические Л. в. В числе последних — многозначные Л. в., интуиционистская Л. в. и др.
ЛОГИКА ДЕДУКТИВНАЯ, см.: Дедукция.
ЛОГИКА ИЗМЕНЕНИЯ
- раздел современной логики, занима­ющийся исследованием логических связей высказываний об из­менении и становлении материальных или идеальных объектов. Л.и. относится к логике неклассической; ее задача — построение искусственных (формализованных) языков, способных сделать бо­лее ясными и точными рассуждения об изменении объекта — пе­реходе его от одного состояния к другому, о становлении объекта, его формировании. В Л. и. ничего не говорится о конкретных харак­теристиках изменения и становления. Она только предоставляет совершенный с точки зрения синтаксиса и семантики язык, по­зволяющий дать строгие утверждения об изменении объекта, вскрыть основания и следствия этих утверждений, выявить их воз­можные и невозможные комбинации. Использование искусствен­ного языка при обсуждении проблем изменения объекта не есть подмена этих онтологических проблем логическими, сведение эм­пирических свойств и зависимостей к логическим.
Разработка Л. и. идет по двум направлениям: построение специ­альных Л. и. и истолкование определенных систем логики времени как логических описаний изменений. При первом подходе обычно дается «одномоментная» характеристика изменяющегося объекта, при втором изменение рассматривается как отношение между дву­мя последовательными состояниями объекта.
К первому направлению относится, в частности, логика на­правленности. Язык логики направленности богаче, чем язык


[163]
логики классической; он включает не только термины «существует» и «не существует», но также термины «возникает», «исчезает», «уже есть», «еще есть», «уже нет», «еще нет» и т. п. С помощью этих терминов формулируются законы логики направленности:
>> существовать — это то же, что начинать исчезать, и то же, что переставать возникать;
>> не существовать - то же, что начинать возникать, и то же, что прекращать исчезать;
>> становление — прекращение несуществования, а исчезнове­ние - возникновение несуществования;
>> уже существует — значит существует или возникает и т. п.
Логика направленности допускает четыре типа существования объектов: бытие, небытие, возникновение (становление) и ис­чезновение. Относительно всякого объекта верно, что он или су­ществует, или не существует, или возникает, или исчезает. Вместе с тем объект не может одновременно существовать и не существо­вать, существовать и возникать, не существовать и исчезать, возни­кать и исчезать и т. п. Иными словами, четыре типа существования исчерпывают все возможные способы существования и являются взаимно несовместимыми. Логика направленности позволяет вы­разить в логически непротиворечивой форме гегелевское утвер­ждение о противоречивости всякого движения и изменения. Ут­верждение «Предмет движется в данный момент в данном месте» эквивалентно утверждению «В рассматриваемый момент предмет находится и не находится в данном месте».
Примером второго подхода может служить логика време­ни финского философа и логика Г. X. фон Вригта (р. 1916). Ее исходное выражение «A и в следующей ситуации В» может интер­претироваться как «Состояние А изменяется в состояние В» («А-мир переходит в B-мир»), что дает Л. и. В логике времени доказуе­мы такие теоремы:
>> всякое состояние либо сохраняется, либо возникает, либо ис­чезает;
>> при изменении состояние не может одновременно сохра­няться и исчезать, сохраняться и возникать, возникать и исчезать;
>> изменение не может начинаться с логически противоречи­вых состояний и не может вести к таким состояниям и т. п.
Примеры утверждений, доказуемых в различных системах Л. и., показывают, что она не является самостоятельной теорией из­менения и не может претендовать на то, чтобы быть таковой. Фор­мально-логический анализ изменения объекта преследует узкую цель - отыскание средств, позволяющих отчетливо зафиксиро-



[164]
вать логические связи утверждений об изменении того или иного объекта.
Вместе с тем Л. и. имеет важное философское значение, по­скольку тема изменения (становления) еще с античности стоит в центре острых философских дискуссий. Л. и. позволяет, кроме про­чего, прояснить отношение формальной логики к концепции внут­ренне противоречивой сущности становления.
ЛОГИКА КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
- логическая теория, цель которой — описание логических связей высказываний об объектах, исследуемых квантовой механикой. Переворот, произведенный в физическом мышлении квантовой механикой, был настолько ра­дикальным, что возникла идея особой «логики микромира», от­личной от обычной «логики макромира». В середине 30-х годов была построена первая Л. к. м., положившая начало еще одному направлению логики неклассической. Позднее немецкий философ и логик Г. Рейхенбах (1891-1953) предложил трехзначную логику без закона исключенного третьего, призванную устранять «причин­ные аномалии», возникающие при попытке применять обычное причинное объяснение к квантовым явлениям.
К настоящему времени построены десятки логических систем, стремящихся выявить своеобразие рассуждений в квантовой ме­ханике. Эти «логики микромира» существенно отличаются друг от друга как законами, так и способами обоснования. Чаще всего в этих логических системах отказываются от закона коммутативно­сти для конъюнкции («и») и дизъюнкции («или») (выражение «А и В» не считается равносильным выражению «В и А», а «А или В» — равносильным «В или A»), от закона дистрибутивности конъюнк­ции относительно дизъюнкции и др.
В первый период своего развития Л. к. м. встретила как критику, так и одобрение. Длительная полемика не внесла, однако, яснос­ти в вопрос, действительно ли квантовая механика руководству­ется особой логикой. Если даже это так, надо признать, что ис­следования в данном направлении не оказали воздействия на саму механику. Вместе с тем Л. к. м. нашла интересные приложения в некоторых других областях.
ЛОГИКА КЛАССИЧЕСКАЯ
- раздел современной (математичес­кой, символической) логики, включающий классическую логику высказываний и классическую логику предикатов. Л.к. опирается на двузначности принцип, в соответствии с которым всякое высказы­вание является или истинным, или ложным.
У истоков Л. к. стоят, наряду со многими другими исследователями, Д. Буль (1815-1864), А. де Морган (1806-1871), Ч. Пирс (1839-1914).


[165]
В их работах была постепенно реализована идея перенесения в ло­гику тех методов, которые обычно применяются в математике. Пос­ледний шаг в математизации логики в прошлом веке был сделан Г. Фреге (1848-1925). Уже в этом веке важный вклад в развитие Л. к. внесли Б. Рассел (1872-1970), А. Уайтхед (1861-1947), Г. Гиль­берт (1862-1943) и др.
Л. к. ориентировалась главным образом на анализ математичес­ких рассуждений. С этим связаны многие ее особенности, нередко расценивающиеся теперь как недостатки. В частности, формальным аналогом условного высказывания в Л.к. является импликация мате­риальная, для которой верны положения: истинное высказывание имплицируется любым высказыванием, ложное высказывание им­плицирует каждое высказывание и другие парадоксы импликации.
Критика Л. к. началась в начале XX в. и велась в разных направ­лениях. Результатом ее явилось возникновение новых разделов со­временной логики, составляющих в совокупности логику неклас­сическую. Л. к. остается тем не менее ядром современной логики, сохраняющим свою теоретическую и практическую значимость. Явившись тем образцом, от которого отталкивались разнообраз­ные неклассические системы, Л. к., как правило, оказывается в оп­ределенном смысле предельным и притом наиболее простым слу­чаем последних. Многие из них могут быть представлены как расширения Л.к., обогащающие ее выразительные средства.
ЛОГИКА КЛАССОВ
- раздел математической логики, соответ­ствующий узкому исчислению одноместных предикатов, которые заменяются объемами, классами. Л. к. соответствует и силлогистике Аристотеля. Иногда Л. к. рассматривается как формализованная теория множеств, в других случаях - как расширение логики выс­казываний. Если в логике высказываний отвлекаются от связей меж­ду субъектом и предикатом высказывания, то в Л. к. эти связи учи­тываются. В число классов в Л. к. включается и пустой класс (0), содержащий нулевое множество элементов, и универсальный класс (1), включающий все объекты рассматриваемой области. С класса­ми можно производить операции пересечения, объединения и допол­нения. К алфавиту логики высказываний в Л.к. добавляются пере­менные а, b, с, ... для классов; знаки, обозначающие операции с классами; постоянные термы 0 и 1 и знаки для обозначения от­ношений между классами. Далее дается индуктивное определение терма и класса. Вводятся отношение включения класса в класс (аb) (а включается в класс b), отношение равенства двух клас­сов (а=b). Оба эти отношения могут быть определены через отно­шение принадлежности элемента классу (аIb).


[166]

Элементарные формулы в Л. к. имеют вид: иIv, u=v, где и и v — термы. Если формула Р является истинной, то это означает, что она истинна для любых классов области, являющихся значениями переменных, входящих в формулу Р. Если она истинна в любых областях, то она тождественно-истинна. Так, формула (a C b I a) гласит, что всякий элемент, содержащийся в обоих классах а и b, содержится и в классе а. Эта формула истинна не только для лю­бых классов а и b данной области D, но и для всяких классов любой области D.
Таблицы истинности, соответствующие возможным значени­ям для термов (u C v), (u E v), u', (и E v), (u= v), будут совпадать соответ­ственно с таблицами конъюнкции, дизъюнкции, отрицания, имплика­ции, эквивалентности. Четыре Аристотелевы формы элементарных высказываний — общеутвердительного А, частноутвердительного I, общеотрицательного Е, частноотрицательного О (см.: Сужде­ние) — могут быть соответственно выражены так: и I v («Все и суть v»); ˜(и I v') («Некоторые и суть v», т. е. «Неверно, что все и суть не-v»); (иIv') («Никакое и не есть v», т. е. «Всякое и есть не -v»); ˜(иEv) (Некоторые и не суть v», т. е. «Неверно, что все и суть v»).
ЛОГИКА КОМБИНАТОРНАЯ (от лат. combinare — соединять, соче­тать)
— одно из направлений в математической логике, занимаю­щееся анализом понятий, которые в рамках классической мате­матической логики принимаются без дальнейшего изучения (напр., понятия «переменная», «функция», «правила подстановки» и т. д.). В классической математической логике пользуются правилами двух родов. Первые формулируются просто и используются без всяких ограничений. Таково, напр., правило модус поненс. Оно формули­руется так: если даны предложения «Если A, то B» и «A», то из них может быть выведено предложение «B». Это правило доступно для одноактного автоматического выполнения. Другие правила (напр., правило подстановки) формулируются сложно и пред­полагают ряд ограничений и оговорок. Одной из задач Л. к. явля­ется создание таких формальных систем, где не будет встречаться правил, подобных правилу подстановки.
ЛОГИКА МНОГОЗНАЧНАЯ, см.: Многозначная логика.
ЛОГИКА НАУЧНОГО ПОЗНАНИЯ, или: Логика науки,
-применение идей, методов и аппарата логики в анализе научно­го познания. Развитие логики всегда было тесно связано с прак­тикой теоретического мышления и прежде всего с развитием на­уки. Конкретные рассуждения дают логике материал, из которого она извлекает то, что именуется логической формой, законом и т. д. Теории логической правильности оказываются в конечном
[167]


счете очищением, систематизацией и обобщением практики мыш­ления.
Современная логика с особой наглядностью подтверждает это. Она активно реагирует на изменения в стиле и способе научного мышления, на осмысление его особенностей в методологии на­уки. Сфера приложений логики в изучении систем научного зна­ния непрерывно расширяется. В конце XIX — начале XX в. логика почти всецело ориентировалась на исследование математического рассуждения, и эта связь с математикой была настолько тесной, что до сих пор в имени «математическая логика» прилагательное «математическая» иногда истолковывается как указывающее не только на своеобразие методов новой логики, но и на сам ее пред­мет. В 20-е годы этого века предмет логических исследований на­учного знания существенно расширился. Начали складываться та­кие разделы логики, как многозначная логика, модальная логика, теория логического следования, деонтическая логика и др. Были предприняты попытки систематического построения индуктивной логики. Все эти новые разделы не были непосредственно связаны с математикой, в сферу логического исследования вовлекалось уже естественнонаучное и гуманитарное знание.
В 30—40-е годы Л. н. п. интенсивно разрабатывалась в рамках философии неопозитивизма, сделавшей логический анализ языка науки основным средством борьбы с «дурной метафизикой» и по­рождаемыми ею «псевдопроблемами». Неопозитивизм принял идею о безоговорочной применимости математической (современ­ной) логики не только к дедуктивным наукам, но и к опытному знанию и резко противопоставил свою «логику науки» традици­онному философскому и методологическому анализу познания. Претенциозная неопозитивистская программа сведения филосо­фии науки к логическому анализу ее языка потерпела крах. При­чина его не в принципиальной неприменимости современной логики к опытному знанию, а в порочных философcко-методоло­гических установках, связанных с фетишизацией формальных ас­пектов познания, абсолютизацией языка и формальной логикой. Особенности неопозитивистской методологии — изоляционизм, от­каз от исследования научного знания в динамике, наивный индуктивизм, эмпирический фундаментализм и редукционизм — фаталь­ным образом сказались не только на самой этой методологии, но и на направляемом ею логическом анализе научного знания. Неудач­ными оказались, в частности, попытки чисто формальными сред­ствами охарактеризовать индукцию, определить понятие естествен­нонаучного закона, диспозиционного предиката, объяснения,



[168]
контрфактического высказывания, осуществить сведение теоре­тических терминов к эмпирическим и др. Неопозитивистское рас­ширительное истолкование возможностей Л. н. п. было преодолено только в конце 50-х - начале 60-х годов, когда стало очевидно, что задачи, которые выдвигались перед нею неопозитивизмом, плохо поставлены и не имеют решения. Борьба неопозитивизма против «псевдопроблем» традиционной философии и теории по­знания во многом вылилась в бесплодные дискуссии по поводу псевдопроблем самой неопозитивистской логики науки.
Сейчас логический анализ научного знания активно ведется в целом ряде как давно освоенных, так и новых областей. Самым общим образом их можно обозначить так:
>> методология дедуктивных наук;
>> применение логического анализа к опытному знанию;
>> применение логического анализа к оценочно-нормативному знанию;
>> исследование приемов и операций, постоянно используемых во всех сферах научной деятельности (объяснение, понимание, клас­сификация и т. д.).
Использование логики в анализе научного познания означает ее рост не только вширь, но и вглубь, хотя последний процесс из-за сопровождающих его споров менее заметен. Прояснение и углубление оснований логики сопровождается пересмотром и уточ­нением таких центральных ее понятий, как логическая форма, логи­ческий закон, доказательство, логическое следование и др.
Начиная с 50-х годов этого века к логической форме оказались отнесенными такие непривычные для традиционной логики по­нятия, как «было», «будет», «раньше», «позже» и «одновремен­но», «хорошо», «плохо» и «безразлично», «знает» и «полагает», «возникает» и «исчезает», «уже есть» и «еще есть» и т. д. Сама логическая форма сделалась относительной: она зависит не только от исследуемого языкового выражения, но и от принятой системы анализа, от того формализованного языка, на который оно «переводится».
Возникновение конкурирующих систем логики показало, что законы логики не являются истинами, никак не связанными с практикой мышления, и зависят от области, к которой они прила­гаются. Так, при рассуждении о бесконечных совокупностях объек­тов не всегда применим закон исключенного третьего, принципы косвенного доказательства и др. Рассуждение о недостаточно опре­деленных или изменяющихся во времени объектах также требует особой логики и т. д. Более того, на разных этапах развития науч-



[169]
ной теории находят применение разные множества логических законов. Так, в условиях формирующейся теории ограничена при­менимость закона противоречия, законов, позволяющих выводить любые следствия из противоречий и отвергать положения, хотя бы одно следствие которых оказалось ложным (паранепротиворечивая логика и парафалъсифицирующая логика). Обнаружилась, та­ким образом, «двойная гибкость» человеческой логики. Она мо­жет меняться не только в зависимости от области обсуждаемых объектов, но и в зависимости от уровня теоретического осмысле­ния этой области.
Приложения логики показали, что доказательство не обладает абсолютной, вневременной строгостью и является только куль­турно опосредствованным средством убеждения. Даже математи­ческое доказательство на деле исторично и социально обусловле­но. В разных логических системах доказательствами считаются разные последовательности утверждений и ни одно доказатель­ство не является окончательным.
В стандартном определении доказательства используется поня­тие истины. Доказать некоторое утверждение — значит логически вывести его из других являющихся истинными положений. Но многие утверждения не связаны с истиной: оценки, нормы, со­веты, клятвы, декларации и т. п. Очевидно, что они тоже могут быть элементами логически последовательных рассуждений и до­казательств. Встает, таким образом, вопрос о существенном расширении понятия доказательства. Им должны охватываться не толь­ко описания, способные иметь истинностное значение, но и все те многообразные утверждения, которые не являются описаниями и не могут быть сведены к ним.
Стандартный курс современной логики начинается определе­нием высказывания как предложения, являющегося истинным или ложным. Поскольку оценки, нормы и т. п. очевидным образом не имеют истинностного значения, данное определение можно по­нимать так, что все, излагаемое после него, не приложимо к оце­ночным, нормативным и им подобным выражениям.
Обычное понимание логического следования существенным образом опирается на понятие истины: из множества посылок A логически следует высказывание В, если и только если при любой интепретации, при которой истинны все высказывания из A, истинно также высказывание В. Это можно истолковать так, что между оценками, нормами, как и между всеми иными выражениями, ли­шенными истинностного значения, невозможно отношение логи­ческого следования. Очевидно, однако, что оценочные, норматив-



[170]
ные и им подобные высказывания способны быть посылками и заключениями логически корректных рассуждений. Это означает, что «высказывание», «логическое следование» и др. центральные понятия логики должны быть определены в терминах, отличных от «истины» и «лжи». Намечается выход логики за пределы «царства истины», в котором она находилась до сих пор. Понимание ее как науки о приемах получения истинных следствий из истинных по­сылок должно уступить место более широкой концепции логики.
Под влиянием приложений логики и прежде всего ее прило­жений в анализе научного знания существенно изменились пред­ставления об отношении логики к мышлению и языку. Согласно господствовавшей в 30-е годы точке зрения, правила логики пред­ставляют собой продукт произвольной конвенции и выбор их, как и выбор правил игры, ничем не ограничен. В силу этого все искусственные языки, имеющие ясную логическую структуру, рав­ноправны, и ни один из них не лучше и не хуже другого. Это — т. наз. принцип терпимости, выдвинутый в конце 20-х го­дов К. Менгером и активно пропагандировавшийся позднее Р. Карнапом. Данный принцип отрывает логику от обычного мышления и обычного языка. Разумеется, мышление не копирует мир своей внутренней структурой, но это не означает, что они никак не свя­заны и что логика — только своеобразная интеллектуальная игра, правила которой точны, но произвольны. Правила игры определя­ют способы обращения с вещами, правила логики — с символами. Искусственные языки логики имеют предметное, семантическое измерение, которого лишены игры. Нарушающий правила игры всту­пает в конфликт с соглашениями, нарушающий же правила логи­ки находится в конфликте с истиной и добром, стандарты которых не являются конвенциональными. Логика как инструмент позна­ния связана с действительностью и своеобразно отображает ее. Это проявляется в обусловленности развития логики развитием чело­веческого познания, в историческом изменении логических форм, в успешности практики, опирающейся на логическое мышление.
Перемены, происшедшие в логике, низвели ее с заоблачных вы­сот непогрешимой абстракции. Они приблизили логику к реальному мышлению и тем самым к человеческой деятельности, одной из разновидностей которой оно является. Это, несомненно, усложнило современную логику, лишило ее прежней твердости и категорич­ности. Но этот же процесс насыщения реальным содержанием при­дал ей новый динамизм и открыл перед нею новые перспективы.
Если не принимать во внимание давно сформировавшуюся ме­тодологию дедуктивных наук, существенный вклад в которую вне-



[171]
ела логика, можно сказать, что Л .н.п. не достигла пока особо впечат­ляющих успехов. Тем не менее есть определенное продвижение и есть перспектива. Уже сейчас можно сделать вывод о плодотворнос­ти крепнущих связей логики с естественными и гуманитарными науками как для методологии этих наук, так и для самой логики.
ЛОГИКА НЕКЛАССИЧЕСКАЯ
- совокупность логических тео­рий, возникших в известной оппозиции к логике классической и являющихся во многом не только критикой последней и попыт­кой ее усовершенствования, но также ее дополнением и дальней­шим развитием идей, лежащих в основе современной логики.
Начавшаяся в конце XIX — начале XX в., критика классической логики привела к возникновению целого ряда новых, некласси­ческих разделов математической (символической) логики. В ряде слу­чаев оказалось, что реализованные при этом идеи активно обсуж­дались еще в античной и средневековой логике.
Л. Брауэр (1881—1961) подверг сомнению неограниченную при­менимость в математических рассуждениях классических законов исключенного третьего, (снятия) двойного отрицания, косвенного до­казательства. Одним из результатов анализа таких рассуждений явилось возникновение интуиционистской логики, сформулирован­ной в 1930 г. А. Гейтингом (1888) и не содержащей указанных законов. Одновременно с Л. Брауэром идею неуниверсальности закона исключенного третьего отстаивал рус. логик Н. А. Васильев (1880-1940).
В 1912 г. К. И. Льюис (1883—1964) обратил внимание на пара­доксы импликации, характерные для формального аналога услов­ного высказывания в классической логике — импликации материальной. В дальнейшем он разработал первую неклассическую теорию логического следования, в основе которой лежало понятие строгой импликации. К настоящему времени предложен це­лый ряд теорий, претендующих на более адекватное, чем даваемое классической логикой, описание логического следования и ус­ловной связи. Наибольшую известность из них получила релеван­тная логика.
Классическая логика исходит из предположения, что всякое высказывание является или истинным, или ложным (двузначности принцип). В 20-е годы XX в. Я. Лукасевичем (1878-1956) и Э. Постом (1897—1954) были построены многозначные логики, допускающие более двух истинностных значений.
На рубеже 20-х годов К. И. Льюисом и Я. Лукасевичем были построены первые модальные логики, рассматривающие понятия необходимости, возможности, случайности и т. п. Тем самым в со-



[172]
временной логике была возрождена тема модальностей, которой активно занимались еще Аристотель и средневековые логики.
В середине 20-х годов появилась первая работа Э. Малли по деон­тической логике, исследующей логические связи нормативных выс­казываний. К этому же времени относится первая попытка Э. Гус­серля (1859—1938) развить оценок логику.
В 30-е годы Д. фон Нейманом (1903-1957) и Г. Биркгофом была опубликована первая работа по логике квантовой механики.
Особенно интенсивно Л. н. продолжала расширяться после вто­рой мировой войны. С. Яськовским (1906-1965) была построена «логика дискуссии», явившаяся прототипом паранепротиворечивой логики, на возможность которой еще раньше указывали Н. А. Васи­льев и Я. Лукасевич; с работ А. Н. Прайора началось развитие логи­ки времени; С. Халлденом и Г. X. фон Вригтом (р. 1916) были пред­ложены развитые логические теории сравнительных оценок (предпочтений логика); Г. X. фон Вригтом построены логика измене­ния и логика действия; А. Берксом — логика причинности и т. д.
Экстенсивный рост Л. н. не завершился и сейчас. В последние десятилетия существенно упрочились ее основы и усовершенство­вались ее методы. Это касается прежде всего модальной логики и теории логического следования.
Л. н. с трудом поддается определению, т. к. ее ветви рассматри­вают различные типы рассуждений. В целом задача Л. н. - более полно описать те элементы логической формы рассуждений, ко­торые упускаются из виду классической логикой.
Между неклассическими разделами логики существуют слож­ные и многообразные связи. Так, интуиционистская и модальная логики могут быть истолкованы как определенного рода много­значные логики (а именно: как бесконечнозначные логики). В рам­ках модальной логики может быть определено понятие логического следования, в свою очередь в терминах неклассических имплика­ций — определены модальные понятия и т. д.
В настоящее время Л. н. является наиболее интенсивно развивающейся частью логики, нашедшей важные приложения в филосо­фии, математике, кибернетике, физике, языкознании и т. д.
ЛОГИКА НОРМ, см.: Деонтическая логика.
ЛОГИКА ОТНОШЕНИЙ
- раздел логики, изучающий свойства высказываний об отношениях между объектами различной при­роды. Элементарными высказываниями об отношениях являются высказывания вида akb, т. е. объект а находится в отношении k к объекту b, напр.: «а брат b», «а тяжелее b» и т. п. В зависимости от числа объектов, связанных тем или иным отношением, различают



[173]
двухместные, или бинарные, отношения, трехместные, или тернарные, отношения, напр.: «a находится между b и с»; и вообще n-местные, или n-арные, отношения. Особое значение имеют бинарные отношения, посредством которых определяют такие важнейшие понятия логики и математики, как «функция» и «операция». Вводя для бинарных отношений теоретико-множе­ственные операции объединения (суммы), пересечения (произведения) и дополнения, получают «алгебру отноше­ний», роль единицы в которой играют отношения эквивалентно­сти (равенства, тождества). Отношения эквивалентности обладают следующими свойствами:
а) рефлексивностью: для всякого х верно, что xkx, т. е. каждый объект находится в данном отношении к самому себе;
б) симметричностью: из xky следует ykx;
в) транзитивностью: из xky и ykz следует xkz.
Опираясь на различные свойства отношений, можно из одних высказываний об отношениях выводить другие высказывания. Напр., отношение «быть братом» симметрично, поэтому из выс­казывания «а брат b» можно сделать вывод о том, что «b брат а». В естественном языке трудность подобных выводов состоит в том, чтобы установить, обладает ли рассматриваемое отношение необ­ходимым для вывода свойством. Напр., можно ли из высказывания «а теплее b» сделать вывод о том, что «b теплее а»? Нет, нельзя, т. к. отношение «быть теплее» не является симметричным. Но оно яв­ляется транзитивным, потому из высказываний «а теплее b» и «b теплее с» можно вывести высказывание «а теплее с».
Значительный вклад в разработку Л.о. внес рус. логик С. И. Поварнин (1870—1952). В современной математической логике отно­шения выражаются посредством многоместных предикатов, напр.: «Брат (а, b)», «Больше (а, b)» и т. п. Поэтому Л. о. в настоящее время разрабатывается как часть логики предикатов.
ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ, или: Функциональная логика, теория квантификации, кванторная логика,
- основ­ной раздел современной (математической, символической) логики, в котором описываются выводы, учитывающие внутреннюю (субъектно-предикатную) структуру высказываний. Л. п. является расши­ренным вариантом логики высказываний.
В Л. п. — в дополнение к средствам логики высказываний -вводятся логические операторы" («для всех») и $ («для некото­рых» или «существует»), называемые кванторами общности и существования соответственно. Для выявления субъектно-пре­дикатной структуры высказываний вводится бесконечный пере-



[174]
чень индивидных переменных: х, у, z, ..., х1, у1, zl, ..., представляющих различные объекты, и бесконечный перечень предикатных переменных: Р, Q, R, ..., Р1, Q1, Л1, ..., представляющих свойства и отношения объектов. Индивидные переменные принимают значения в произвольной (непустой) области; наряду с этими переменными могут вводиться инди­видные константы, или имена собственные.
Запись ("х)Р (х) означает «Всякий х обладает свойством Р»; ($х)Р(х) - «Некоторые х обладают свойством Р»; ($x)Q(xy) - «Су­ществует х, находящийся в отношении Q с у» и т. п. Индивидная переменная, входящая в область действия квантора по этой пере­менной, называется связанной; переменная, не являющаяся связанной, называется свободной. Так, во всех трех приведен­ных формулах переменная х связана, в последней формуле пере­менная у свободна. Подлинной переменной является только сво­бодная переменная: вместо нее можно подставить одно из ее значений и получить осмысленное выражение. Связанные пере­менные называются фиктивными.
Формула Л. п. называется общезначимой, если она истинна в каждой интерпретации. Тавтология логики высказываний явля­ется частным случаем общезначимой формулы. В Л. п., в отличие от логики высказываний, нет эффективного процесса, позволя­ющего для произвольно взятой формулы решить, является она общезначимой или нет.
Для Л. п. доказан ряд важных теорем, характеризующих ее ос­новные свойства (см.: Непротиворечивость, Полнота, Разрешимость теории).
ЛОГИКА ТРАДИЦИОННАЯ, см.: Традиционная логика.
ЛОГИКА ЭПИСТЕМИЧЕСКАЯ (от греч. episteme - знание)
- раз­дел модальной логики, исследующий логические связи высказыва­ний, включающих такие понятия, как «полагает» («убежден»), «со­мневается», «отвергает», «знает», «доказуемо», «неразрешимо», «опровержимо» т. п.
Знание отличается от убеждения, или веры: знание всегда истинно, убеждение же может быть как истинным, так и ложным. Этому различию соответствует различие между двумя вариантами Л. э.: логикой знания и логикой убеждений. Каждая из этих «логик» слагается из логических систем, различающихся не только зако­нами, но и исходными понятиями. Иногда к Л. э. относят лишь логику убеждений.
Одна из первых логик знания была сформулирована австрий­ским математиком и логиком К. Гёделем (1906-1978). Исходным


[175]
термином ее является «доказуемо»; в числе ее законов положе­ния:
· >> если высказывание доказуемо, оно истинно (доказать можно только истину, доказательств лжи не существует);
· >> логические следствия доказуемого также являются доказу­емыми;
· >> если нечто доказуемо, то доказуемо, что оно доказуемо;
· >> логическое противоречие недоказуемо и т. п.
Другим примером логики знания может служить логика исти­ны, устанавливающая такие законы, как:
· >> если высказывание истинно, то неверно, что его отрицание также истинно («Если истинно, что Земля вращается, то неверно, что истинно, будто она не вращается»);
· >> конъюнкция истинна, если и только если оба входящих в нее высказывания истинны («Истинно, что холодно и идет снег, толь­ко если истинно, что холодно, и истинно, что идет снег»), и т. п.
В логике убеждений в качестве исходного обычно принимается понятие «полагает» («убежден», «верит»), через него определяют­ся понятия «сомневается» и «отвергает»:
· >> субъект сомневается в чем-то, если только он не убежден ни в этом, ни в противоположном;
· >> субъект отвергает нечто, если только он убежден в противо­положном.
Среди законов логики убеждений положения:
· >> субъект полагает, что первое и второе, если и только если он полагает, что первое, и полагает, что второе («Субъект верит, что Марс - планета и что Луна - планета, только если он верит, что Марс — планета, и верит, что Луна — планета»);
· >> нельзя одновременно верить и сомневаться, быть убежден­ным и отвергать, сомневаться и отвергать;
· >> субъект или убежден, что дело обстоит так-то, или сомневает­ся в этом, или отвергает это («Субъект или убежден, что Венера — звезда, или сомневается в этом, или отвергает это»);
· >> невозможно быть убежденным одновременно в ч.-л. и в про­тивоположном («Нельзя верить как в то, что астрология наука, так и в то, что она не является наукой») и т. п.
Для понятий «знает», «истинно», «доказуемо» верно, что логи­ческие следствия известного также известны, истинного — истин­ны, доказуемого — доказуемы. Аналогичный принцип для понятия «убежден», кажущийся противоинтуитивным, получил название парадокса логического всеведения. Он утверждает, что человек убежден во всех логических следствиях, вытекающих из



[176]
принимаемых им положений. Напр., если человек уверен в пяти постулатах геометрии Евклида, то, значит, принимает и всю эту геометрию, поскольку она вытекает из них. Но это не так. Согла­шаясь с постулатами, человек может не знать доказательства тео­ремы Пифагора и потому сомневаться в том, что она верна.
Л.э. находит интересные приложения в теории познания и в методологии науки, в лингвистике, психологии и др.
ЛОГИСТИКА — в начале XX в. название формальной логики, изу­чаемой математическими методами, в частности с использовани­ем аксиоматизации и формализации. Слово первоначально озна­чало искусство вычисления или обычную арифметику. Г. Лейбниц употреблял его для обозначения «исчисления умозаключений», которое он пытался развить.
Термин вышел из употребления, уступив место терминам мате­матическая логика, символическая логика или логика современная.
ЛОГИЦИЗМ — концепция, сводящая математику к логике. Со­гласно Л., логика и математика соотносятся между собой как час­ти одной и той же науки: математика может быть получена из чистой логики без введения дополнительных основных понятий или дополнительных допущений. Под логикой при этом понима­ется теория дедуктивного рассуждения (см.: Дедукция).
Л. восходит к идее Г. Лейбница (1646—1716) о «сводимости ма­тематики к логике». Во второй половине прошлого века немецкий логик Г. Фреге (1848-1925) сформулировал арифметику чисто ло­гически, но, столкнувшись с парадоксами, признал свою попытку безнадежной. В дальнейшем тезис Л. развивали англ. философы и логики Б. Рассел (1872-1970) и А. Уайтхед (1861-1947).
Против идеи, что математические понятия можно свести к ло­гическим понятиям с помощью явных определений и затем выве­сти математические теоремы из логических аксиом, обычно выд­вигаются следующие возражения. Прежде всего, для сведения математики к логике приходится принимать аксиому беско­нечности, предполагающую существование бесконечных мно­жеств. Сам Б. Рассел вынужден был признать, что она не является собственно логической. Далее, вывод математики из логики в ка­кой-то степени содержит круг. Всегда имеются необоснованные предпосылки, которые должны быть приняты на веру или интуи­тивно. Можно попытаться уменьшить их число, но нельзя изба­виться от них совсем. Различение, что из этих предпосылок отно­сится к математике, а что - к логике, лежащей в ее основе, носит субъективный и по существу произвольный характер. И наконец, в 1931 г. К. Гёдель показал, что все системы аксиоматически постро-


[177]
енной арифметики существенно неполны: их средствами невоз­можно доказать некоторые содержательные истинные арифмети­ческие утверждения. Основной тезис Л. следует, таким образом, признать опровергнутым.

<< Пред. стр.

страница 6
(всего 13)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

Copyright © Design by: Sunlight webdesign