LINEBURG


<< Пред. стр.

страница 4
(всего 4)

ОГЛАВЛЕНИЕ

но уменьшающимся углом наклона. Следовательно, справедливы 180? 180?
lim n sin = lim n tg .
неравенства n n
n n
AC1 C1 C2 C2 C3 … Cn Cn+1 .
Определив площадь круга как предел площадей правильных
Отсюда заключаем, что n-угольников, вписанных в круг или описанных около него, при
неограниченном увеличении количества их сторон n, аналогичным
1
AC1 ACn+1 .
образом можно вывести формулу для площади круга S = ?R2 .
n+1
an a
Но ACn = = AC1 + n+1 , поэтому
2 2 РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ
an 1 an an+1 1 (р е ш е н и е А р х и м е д а). Сначала докажем, что треугольник ADC подобен
+ ,
2 n+1 2 2 треугольнику CDG, где G — точка пересечения отрезков AD и CB (рис. 12). Углы ?BAD
и ?DCB равны по свойству вписанных углов, опи-
откуда следует неравенство (9). рающихся на одну и ту же дугу. Но ?BAD = ?DAC, B
Итак, последовательность периметров правильных вписанных в поэтому ?DCB = ?DAC. Кроме того, у треугольни-
ков ADC и CDG общий угол при вершине D. Следо-
окружность заданного радиуса n-угольников с увеличением количе- D
вательно, эти треугольники подобны. Тогда
ства их вершин n монотонно возрастает. Эта последовательность так- G
AD AC
= . (10)
же является ограниченной. Действительно, любой вписанный в ок- DC DG
ружность n-угольник лежит внутри описанно- Поскольку AG — биссектриса треугольника ABC, C A
го около неё квадрата. Если же один выпуклый AC AB
получаем: = . Привлекая далее свойство Рис. 12
CG BG
многоугольник лежит внутри другого, то его пропорции и учитывая, что CG + GB = BC, име-
периметр заведомо меньше периметра объем- AC AC + AB AC + AB
ем: = = . Возвращаясь к равенству (10), заключаем отсюда, что
CG CG + BG BC
лющего многоугольника. Идея доказательства
AD AC + AB
последнего утверждения видна из рис. 11. При = . (11)
DC BC
каждом «отрезании» периметр внешнего мно- 1 AB 1351
Поскольку ?BAC = 30? , то BC = AC = 780. Кроме того, , поэтому из ра-
гоугольника уменьшается, так как ломаная за- 2 BC 780
AD2 AD2 + DC2
AD 2911 8473921 9082321
меняется отрезком. Утверждение 1 доказано. венства (11) следует . Отсюда и . Но
DC 780 608400 608400
DC2 DC2
Для доказательства утверждения 3 выра-
Рис. 11 3
3013
2
зим через радиус окружности периметры впи- 2 + DC2 = AC2 , поэтому AC 9082321 AC 4
AD , т. е. .
608400 CD 780
CD2
санного в окружность и описанного около неё правильных n-уголь-
ников. 2. Неравенство pn ? очевидно, поэтому сосредоточим свои усилия на доказа-
180? 2p + Pn
Периметр вписанного n-угольника равен pn = 2Rn sin ; пери- p, где p = n
тельстве неравенства ? .
n 3
Используем следующие два неравенства:
180?
метр описанного n-угольника равен Pn = 2Rntg . Отношение этих x3 x3
n tg x x+ и sin x x (12)
3 6
180?
величин cos при неограниченном увеличении n стремится к 1: (0 x ?/2).
n
28 29
x3 ЛИТЕРАТУРА
Заметим, что производная функции f(x) = tgx x+ положительна:
3
[1] Хрестоматия по истории математики / Под ред. А. П. Юшкеви-
1
(1 + x2 ) = tg2 x x2
f (x) = 0,
cos2 x
ча. — М.: Просвещение, 1976.
поскольку tg x x — в этом можно убедиться, сравнив площади сектора OAB
[2] О квадратуре круга. С приложением теории вопроса / Сост.
?
окружности единичного радиуса с центральным углом и прямоугольного тре-
Ф. Рудио под ред. и с прим. акад. С. Н. Бернштейна. — М.—Л.:
n
угольника OAC, катет AC которого касается дуги
ГТТИ, 1934.
A этого сектора (рис. 13). Это означает, что функция f
возрастает. Отсюда следует f(x) f(0) = 0 — первое В этой книге собраны первоисточники: А р х и м е д, «Измерение круга»;
из неравенств (12). Х. Г ю й г е н с, «О найденной величине круга»; И. Л а м б е р т, «Предваритель-
tg x
1 Доказательство второго из неравенств (12) не- ные сведения для ищущих квадратуру и спрямление круга»; А. Л е ж а н д р,
sin x x3 «Доказательство того, что отношение окружности к диаметру и его квадрат
сколько сложнее. Положим g(x) = sin x x .
6 суть иррациональные числа».
x
Имеем:
[3] Х и н ч и н А. Я. Цепные дроби. — М.: Наука, 1978.
D B
O C x2
g (x) = cos x 1+ , g (x) = sin x + x 0
[4] Б о л л У., К о к с е т е р Г. Математические эссе и развлече-
Рис. 13 2
(см. рис. 13, длина дуги AB = x больше длины перпен- ния. — М.: Мир, 1986.
дикуляра AD = sinx). Поэтому g (x) — возрастающая функция. Значит, g (x) g (0) = 0.
[5] Б е л о в А., Т и х о м и р о в В. Сложность алгоритмов // Квант.
Аналогично заключаем, что g(x) g(0) = 0.
1999. № 2. С. 8—11.
Вернёмся к доказательству неравенства p ?. Используя неравенства (12), имеем:
[6] Б о р в е й н Дж., Б о р в е й н П. Рамануджан и число ? // В мире
?3 ?3
? ?
? ? 2n +n +
2nsin + ntg n n 3n3
6n3 науки. 1988. № 4. С. 58—66.
n n
p= = ?.
3 3
[7] B o r w e i n J. M., B o r w e i n P. B. Pi and the AGM. A Study
Pn ?
В статье [15] обосновывается ещё более «тонкий» факт: lim = 2. Из этого in Analytic Number Theory and Computational Complexity. —
? pn
n
N. Y.: John Wiley & Sons, 1987.
следует, что число ?, находясь при любом n 3 в интервале (pn ,p), при всех достаточно
больших значениях n ближе к правому концу этого интервала, чем к левому.
[8] Новости о числе ? лаборатории Я. Канады. —
3. Сначала докажем равенство http://www.lupi.ch/PiSites/Pi-Rekord.html
1 1 1
[9] Вычисление ? совместными усилиями. —
arctg = arctg + arctg , n = 1, 2, …, (13)
u2n u2n+1 u2n+2
http://www.cecm.sfu.ca/projects/pihex/
где uk обозначает число Фибоначчи с номером k. Для этого воспользуемся тождеством
[10] Р о з е н ф е л ь д Б. А., Я г л о м И. М. Неевклидовы геометрии
для чисел Фибоначчи u2n+1 u2n+2 u2n u2n+3 = 1, которое можно доказать методом ма-
тематической индукции. Перепишем это равенство в виде // Энциклопедия элементарной математики. Т. 5: Геометрия. —
1 1
М.: Наука, 1966. — С. 433—439.
+
u2n+3 u +u u2n+1 u2n+2
1
= 2n+1 2n+2 =
= . [11] К р а н о в е р Р. М. Фракталы и хаос в динамических систе-
u2n u2n u2n+2 1 u2n+1 u2n+2 1 1 1
1
мах. — М.: Постмаркет, 2000.
u2n+1 u2n+2
Привлекая тригонометрическое тождество [12] Г а р д н е р М. Математические головоломки и развлечения. —
x+y
М.: Мир, 1971.
arctg = arctg x + arctg y (xy 1),
1 xy
[13] З в о н к и н А. Что такое ?? // Квант. 1978. № 11. С. 28—31.
получаем (13).
[14] Ф и х т е н г о л ь ц Г. М. Курс дифференциального и интеграль-
1
Многократно применяя (13) к выражениям arctg при n = 1, 2, …, находим:
u2n
ного исчисления: В 3 т. — М.: Наука, 1969.
? 1 1 1 1 1 1
= arctg = arctg + arctg = arctg + arctg + arctg =… [15] В а в и л о в В. В. Об одной формуле Христиана Гюйгенса //
4 u2 u3 u4 u3 u5 u6
Квант. 1985. № 11. С. 9—14.
1 1 1 1
… = arctg + arctg + … + arctg + arctg =
u3 u5 u2n 1 u2n [16] Кое-что о ?. —
1 1 1 1 1
http://www.geom.umn.edu/huberty/math5337/groupe/
= arctg + arctg + … + arctg + arctg + arctg =…
u3 u5 u2n 1 u2n+1 u2n+2
1 1 1
… = arctg + arctg + arctg +…
u3 u5 u7

30
БИБЛИОТЕКА
«МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРОСВЕЩЕНИЕ»


ВЫПУСК 1 ВЫПУСК 9
В. М. Т и х о м и р о в. Великие Б. П. Г е й д м а н. Площади мно-
математики прошлого и их ве- гоугольников.
ОГЛАВЛЕНИЕ
ликие теоремы.
ВЫПУСК 10
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
А.Б.С о с и н с к и й. Узлы и косы.
ВЫПУСК 2
Предыстория числа ? ............... 3
А. А. Б о л и б р у х. Проблемы
ВЫПУСК 11
Гильберта (100 лет спустя).
Эра вписанных и описанных многоугольников . . 4
Э. Б. В и н б е р г. Симметрия
Идеи Антифона и Бризона (5). «Измерение круга»
многочленов.
Архимеда (7). Начало удивительного соревнования (9). ВЫПУСК 3
Д. В. А н о с о в. Взгляд на мате-
Эра математического анализа . . . . . . . . . . . 11 ВЫПУСК 12
матику и нечто из неё. В. Г. С у р д и н. Динамика звёзд-
Новая эра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
ных систем.
Схемы «сверхбыстрого» умножения (15). «Сверхэффек- ВЫПУСК 4
тивный» алгоритм Джонатана и Питера Борвейнов (16).
В. В. П р а с о л о в. Точки Брока- ВЫПУСК 13
Продолжение «марафона» (17).
ра и изогональное сопряжение. В. О. Б у г а е н к о. Уравнения
Всегда ли ? = 3, 14…? . . . . . . . . . . . . . . . 18
Пелля.
ВЫПУСК 5
Нерешённые проблемы . . . . . . . . . . . . . . 20
ВЫПУСК 14
Н. П. Д о л б и л и н. Жемчужи-
Нормально ли число ?? (20). «Тонкая структура» чи-
В. И. А р н о л ь д. Цепные дроби.
сла ? (22). Существуют ли объекты размерности ?? (22). ны теории многогранников.
Романтическая гипотеза (26).
ВЫПУСК 15
П р и л о ж е н и е . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ВЫПУСК 6
В. М. Т и х о м и р о в. Дифферен-
А. Б. С о с и н с к и й. Мыльные
Р е ш е н и я у п р а ж н е н и й . . . . . . . . . . . 29 циальное исчисление (теория и
плёнки и случайные блуждания.
приложения).
Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
ВЫПУСК 7
ВЫПУСК 16
И. М. П а р а м о н о в а. Сим- В. А. С к в о р ц о в. Примеры
метрия в математике. метрических пространств.
ВЫПУСК 8 ВЫПУСК 17
В. В. О с т р и к, М. А. Ц ф а с м а н. В. Г. С у р д и н. Пятая сила.
Алгебраическая геометрия
ВЫПУСК 18
и теория чисел: рациональные
и эллиптические кривые. А. В. Ж у к о в. О числе ?.

<< Пред. стр.

страница 4
(всего 4)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Copyright © Design by: Sunlight webdesign