LINEBURG


<< Пред. стр.

страница 3
(всего 4)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>



149 835 855 053
57 402 068 394




66 625 560 317
181 276 557 577

115 040 878 310
123 040 860 473




55 172 085 586
183 859 550 237
42 321 758 803



137 803 268 208




8 728 557 724
133 601 569 485
150 339 161 883




152 752 201 245




40 852 015 448




91 912 325 844
ность такого приближения не превышает 0,0015%).
Предположение о равном «представительстве» цифр в десятич-




Некоторые любопытные последовательности цифр в десятичной записи числа




Некоторые любопытные последовательности цифр в десятичной записи числа
ном разложении было выдвинуто уже при вычислении первых со-
тен его знаков в начале XIX века. Английского математика Огастеса
де Моргана (1806—1871) в своё время очень удивил тот факт, что
среди 700 цифр десятичной дроби числа ?, вычисленных Уильямом
Шенксом, цифра 7 оказалась на особом положении. Если любая дру-




Данные лаборатории Токийского университета, руководимой Я. Канадой и Д. Такахаши [8].
гая цифра встречалась примерно одинаково — около 70 раз, то ци-
фра 7 — всего 53 раза. Причина этого явления, как мы уже знаем,
скрывается в неверно вычисленных Шенксом знаках ?, начиная с




Последовательность




Последовательность
528-го. Последующее устранение этой ошибки устранило и «дискри-




3333333333333
31415926535
09876543210


10987654321




10987654321


654321098765
98765432109




27182818284
минацию» цифры 7 — как и следовало ожидать, семёрки стали встре-
чаться с той же частотой, как и остальные цифры.




»
»
»

»
»

»
»




»
»


»

»
Впрочем, действительно ли этого следует ожидать? Этот вопрос
сегодня остаётся открытым.
«Тонкая структура» числа ?
Какие комбинации цифр возможны, а какие невозможны в деся-
тичном разложении числа ?? (См. табл. на с. 23.) До недавнего вре-
мени на этот счёт нельзя было сказать ничего вразумительного. Но




Начиная с разряда №




Начиная с разряда №
вот появился первый результат на эту тему. Автору брошюры его со-




171 257 652 369
41 952 536 161




50 494 465 695
102 081 851 717




132 217 072 915
99 972 955 571




45 111 908 393




189 727 479 303
53 217 681 704
148 425 641 592




173 036 790 762
66 787 942 929


199 571 086 462
100 850 401 743

125 310 799 184

168 614 433 523
129 469 449 048
197 954 994 289
26 852 899 245




149 589 314 822
общил профессор Восточного Иллинойсского университета Григорий
Александрович Гальперин.
Рассмотрим любые m цифр числа ?, идущие подряд, начиная с са-
мого начала: 314… Австралийский математик Альф ван дер Поортен
доказал, что сразу же за этими m цифрами в десятичном разложении
числа ? не может идти набор из 7m девяток: за первой цифрой 3 не
идёт 7 девяток; за цифрами 31 не идут 14 девяток и т. д.
Г. А. Гальперин выдвигает гипотезу, что сразу же за m первыми
цифрами числа ? не может идти набор из m девяток. Эта гипотеза




Последовательность




Последовательность
верна по крайней мере для тех цифр числа ?, которые в настоящее




5678901234567
01234567890

01234567891




432109876543
543210987654




01234567890


01234567891

234567890123

09876543210
27182818284
время вычислены с помощью компьютеров. Верна ли эта гипотеза
в общем случае, неизвестно.



»

»
»
»
»




»
»

»



»
»
Существуют ли объекты размерности ??
разряды:




разряды:
Если под размерностью понимать наименьшее число коорди-
нат, необходимое для однозначного определения положения точки
в пространстве (одна координата для числовой прямой, две — для
22 23
координатной плоскости, и т. д), то в этом случае размерность задаёт-
ся натуральным числом, и ответ на вопрос, вынесенный в заголовок,
отрицателен. Однако возможны обобщения понятия размерности,
сулящие немало сюрпризов. Рассмотрим одно из них, восходя-
щее к немецкому математику Феликсу Хаусдорфу (1868—1942)
([11], с. 15—23).
Разрезая квадрат на одинаковые составляющие его квадратики,
мы получим количество N этих квадратиков, пропорциональное ве-
личине 1/k2 , где k — коэффициент подобия маленького квадратика
разрезаемому квадрату. Разрезая куб на одинаковые составляющие
его кубики, мы получаем количество кубиков N, пропорциональное
величине 1/k3 , где k — коэффициент подобия маленького кубика дан-
ному кубу.
Поскольку и в общем случае для n-мерного куба существует ана-
логичная связь Nkn = 1, то последнее соотношение при заданных зна-
чениях N и k может служить для определения размерности:
ln N
n= . (8)
1
ln
k

Французский математик (ныне работающий в США) Бенуа Ман-
дельброт распространил определение размерности (8) не только на
многомерные кубы, но и на причудливые объекты, называемые само- Рис. 8
подобными фракталами. Слово «фрактал» происходит от латинско-
го fractus — дробный. Самоподобный фрактал — множество, которое
представлено в виде объединения непересекающихся подмножеств,
полученных масштабированием оригинала. Если N — число таких
подмножеств, а k — коэффициент подобия (масштабирования), то ха-
рактеристика n самоподобного фрактала, вычисленная по формуле K0 K1
(8), называется его фрактальной размерностью. В общем случае та-
кая размерность не обязана быть целым числом, поэтому её иногда
называют ещё дробной размерностью.
Пример самоподобного фрактала был построен шведским матема- K3
K2
тиком Хельгой фон Кох в 1904 году. Он получил название «снежинка
Кох» (рис. 8).
...
Граница этой фигуры составлена из трёх одинаковых фракталов.
Каждый из них строится итеративно (рис. 9). K4
Из начального отрезка K0 выбрасывается средняя треть и вме-
сто неё добавляются два новых отрезка такой же длины (стороны Рис. 9
равностороннего треугольника, построенного на выброшенном отрез-
ке, см. рис. 9). В итоге получается множество K1 . С каждым звеном
24 25
фигуры K1 производится такая же операция — образуется фигура K2 , ПРИЛОЖЕНИЕ
и т. д. Последовательность кривых {Kn } сходится к некоторой пре- Докажем следующие утверждения, следуя [13].
дельной кривой K. Если взять копию K, уменьшенную в три раза
1. Существует предел последовательности периметров правиль-
(k = 1/3), то всё множество K можно составить из N = 4 таких копий. ных многоугольников, вписанных в окружность заданного радиуса
Отсюда размерность множества K равна R, при неограниченном возрастании количества их сторон.
ln 4 2. Существует предел последовательности периметров правиль-
n= 1,2618.
ln 3
ных многоугольников, описанных около окружности заданного ра-
Коль скоро существуют самоподобные фракталы дробной размер- диуса R, при неограниченном возрастании количества их сторон.
ности, то не исключено, что может существовать и некий загадочный 3. Эти пределы совпадают.
фрактал размерности ?. Существует ли он на самом деле? Это пока Для доказательства первого утверждения (второе утверждение
неизвестно. Может быть, его удастся сконструировать вам? доказывается аналогично) воспользуемся достаточно очевидным при-
Имея в виду размерность Хаусдорфа, можно поставить вопрос о знаком существования предела числовой последовательности: всякая
существовании таких натуральных N и k, что монотонная и ограниченная числовая последовательность имеет пре-
ln N дел. В более строгой формулировке, справедлива следующая теорема.
?= = logk N.
ln k Теорема. Пусть числовая последовательность {xn }, n = 1, 2, … воз-
Круг подобных вопросов можно расширять и дальше. Например, су- растает (убывает), т. е. её члены удовлетворяют условию xn xn+1
ществует ли такое натуральное число n, что sin n = 1/?? (соответственно, xn xn+1 ) для любого n = 1, 2, … Предположим,
она ограничена сверху (снизу), т. е. xn B (соответственно, xn A),
Романтическая гипотеза где A, B — некоторые числа. Тогда у этой последовательности су-
Знаете любимую игру бесконечности? ществует предел, равный некоторому числу M (соответственно, m),
Мерцать на ресницах.
удовлетворяющий неравенству M B (соответственно, A m).
Владимир Казаков, «Объёмы»
Доказательство этой интуитивно очевидной теоремы о монотон-
Мы остаёмся в неведении относительно того, какие комбинации ной и ограниченной последовательности можно найти в стандартном
цифр могут встретиться в десятичном разложении числа ?. Это незна-
курсе математического анализа (см., на- A
ние лежит в основе следующей красивой гипотезы.
пример, [14], т. 1, с. 71).
Закодируем используемые при наборе этой брошюры типограф- A1
Удостоверимся в том, что после- C1
ские символы комбинациями цифр от 0 до 9. Например, каждому A2
довательность периметров правильных C2
символу можно сопоставить уникальный десятизначный код, в ко- многоугольников, вписанных в окруж-
тором задействованы различные цифры. Вся брошюра тогда пред- Cn
ность радиуса R, удовлетворяет условиям An
ставится длинным цифровым кодом, в котором одинаковые цифры
этой теоремы. Обозначим через an и an+1 O An+1
могут стоять не более чем на двух соседних местах (на границах ко- Cn+1
длины сторон правильных n-угольника
дов двух соседних символов). Очевидно, все ныне известные огра-
и (n + 1)-угольника, вписанных в данную
ничения, свойственные «тонкой структуре» числа ?, при этом будут
окружность, соответственно. Тогда их
соблюдены. периметры равны, соответственно, nan и
Гипотеза состоит в том, что где-то на «бескрайних просторах» де- B1
(n + 1)an+1 . Докажем, что
сятичного разложения числа ? может встретиться построенный нами B
nan (n + 1)an+1 . (9)
код. Ясно, что вместо данной брошюры можно закодировать и солид- Рис. 10
ные сочинения: роман Л. Н. Толстого «Война и мир», Британскую На рис. 10 показаны стороны AB и
энциклопедию и вообще, как фантазирует известный популяризатор A1 B1 (A1 B1 AB) правильных n-угольника и (n + 1)-угольника, впи-
науки Мартин Гарднер, «любую книгу, которая была, будет или мог- санных в окружность с центром O. Проведём радиус OAn+1 , который
ла быть написана» ([12], с. 427). пересекает сторону AB в середине Cn+1 . Тогда ACn+1 = an /2.
26 27
n pn
Дуга окружности A1 An+1 составляет -ю часть от дуги AAn+1 . lim = 1. Отсюда следует, что lim pn = lim Pn . Как следствие из этого
n+1 Pn
n n n
Разделим угол AOAn+1 на n + 1 равных частей, и пусть разделяющие получаем выражение длины окружности C = lim pn = lim Pn через её
n n
радиусы пересекают дугу AAn+1 в точках A1 , A2 , …, An+1 . Опустив из
радиус:
этих точек перпендикуляры на AB, получим соответственно точки C1 ,
C = 2?R,
C2 , …, Cn+1 . Отрезки AC1 , C1 C2 , C2 C3 , …, Cn Cn+1 являются проекциями
на AB хорд равной длины AA1 , A1 A2 , A2 A3 , …, An An+1 с последователь- где через ? обозначен предел

<< Пред. стр.

страница 3
(всего 4)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

Copyright © Design by: Sunlight webdesign