LINEBURG


страница 1
(всего 4)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

Магазин «Математическая книга» в МЦНМО Библиотека
«Математическое просвещение»
В магазине представлен наиболее полный ассортимент книг издатель-
ства МЦНМО. Эти книги продаются по издательским ценам. Здесь также
можно найти книги по мате-
матике ведущих издательств,
таких как «Мир», Физматлит,
УРСС, «Факториал», «Регуляр-
ная и хаотическая динамика».


А. В. Жуков



О ЧИСЛЕ ?
В отделе школьной лите-
ратуры представлен широкий
ассортимент книг для школь-
ников, учителей, руководите-
лей математических кружков.
В отделе вузовской и научной литературы можно найти учебники и
научные монографии ведущих российских и зарубежных математиков.
В магазине также имеются отделы «книга—почтой» и букинистический.
Адрес магазина: 119002, Москва, Бол. Власьевский пер., 11. Проезд
до ст. м. «Смоленская» или «Кропоткинская», далее пешком (см. схему).
Телефон для справок: 241 72 85.
l
Магазин работает ежедневно кроме воскресенья (летом — кроме =?
2r
субботы и воскресенья) с 1130 до 2000.

r

l




ISBN 5 94057 030 5

Издательство Московского центра
непрерывного математического образования
E-mail: biblio@mccme.ru
9 785940 570301 http://biblio.mccme.ru/ Москва • 2002



YK
Библиотека
«Математическое просвещение»
Выпуск 18




А. В. Жуков
Н а у ч н о - р е д а к ц и о н н ы й с о в е т с е р и и:
В. В. Прасолов, А. Б. Сосинский,

О ЧИСЛЕ ?
В. М. Тихомиров (гл. ред.), И. В. Ященко.



Серия основана в 1999 году.




Издательство Московского центра
непрерывного математического образования
Москва • 2002
УДК 51(09) ВВЕДЕНИЕ
ББК 22.1
Все знают, что длина окружности больше её диаметра в одно и
Ж86
то же, не зависящее от самой окружности, число раз. К этому выво-
ду можно прийти, задавшись вопросом: почему все окружности по-
хожи друг на друга? Для похожих, или, как говорят математики,
Аннотация п о д о б н ы х фигур естественно предположить пропорциональность
их линейных размеров. Так, для двух произвольных окружностей с
Изучение числа ? — задача, интересующая математи-
ков на протяжении нескольких тысячелетий. В этой бро-
длинами C1 и C2 и диаметрами d1 и d2 соответственно мы вправе ожи-
шюре излагается история вычислений числа ?, начиная от
C1 d
Архимеда и заканчивая новейшими сверхэффективными
дать выполнение равенства = 1 . По свойству пропорции отсюда
алгоритмами. Рассказывается также о различных пробле- C2 d2
мах, связанных с этим числом, некоторые из которых пока
C1 C
получаем = 2 . Осталось только обозначить последнее отношение
остаются нерешёнными.
d1 d2
Брошюра написана по материалам лекции, прочитан-
ной автором 22 декабря 2001 года на Малом мехмате МГУ буквой ? и заключить, что длина C п р о и з в о л ь н о й окружности
для школьников 9—11 классов.
диаметра d может быть вычислена по формуле C = ?d. Конечно же,
Для широкого круга читателей, интересующихся ма-
эти рассуждения носят лишь правдоподобный характер, поскольку
тематикой: школьников старших классов, студентов млад-
ших курсов, учителей... основываются на интуитивном представлении о длине окружности.
То, что отношение длины окружности к её диаметру постоянно,
было известно ещё в глубокой древности. Первое о б о з н а ч е н и е
Издание осуществлено при поддержке
этого числа греческой буквой ? содержится в работе «Synopsis
Московской городской Думы
и Московского комитета образования. Palmoriorum Matheseos» («Обозрение достижений математики») ан-
глийского преподавателя Уильяма Джонса (1675—1749), вышедшей
в 1706 году. Обозначение ? для отношения длины окружности к
диаметру широко распространилось после того, как его стал исполь-
ISBN 5-94057-030-5 © Жуков А. В., 2002.
зовать в своих трудах Леонард Эйлер (1707—1783).
© МЦНМО, 2002.

?
ПРЕДЫСТОРИЯ ЧИСЛА
Жуков Александр Владимирович. Вычисления числа ? претерпели удивительную эволюцию — от
наивных оценок древних, тысячелетия потративших для того, чтобы
О числе ?.
определить первые два знака после запятой этого числа, до миллиар-
(Серия: «Библиотека „Математическое просвещение“»).
дов знаков ?, полученных в наши дни.
М.: МЦНМО, 2002. — 32 с.: ил.
Из математических текстов древних вавилонян (3—2 тысячеле-
Редактор Е. Ю. Смирнов. Техн. редактор М. Ю. Панов.
C2
тия до н. э.) вытекает такое соотношение: S = , где S — площадь
Лицензия № 01335 от 24/III 2000 года. Подписано к печати 11/VI 2002 года. 12
Формат бумаги 60 88 1/16 . Офсетная бумага № 1. Офсетная печать. Физ. печ. л. 2,00.
круга, а C — длина окружности. Способ, применявшийся для выво-
Усл. печ. л. 1,96. Уч.-изд. л. 1,81. Тираж 3141 экз. Заказ 1988.
да этой формулы, неизвестен. Если в неё подставить выражение для
площади круга S = ?r2 и длины окружности C = 2?r, то из равенства
Издательство Московского центра непрерывного математического образования.
119002, Москва, Бол. Власьевский пер., 11. Тел. 241 05 00.
(2?r)2
?r 2 = получим оценку для числа ?, которую использовали древ-
12
Отпечатано в ФГУП «Производственно-издательский комбинат ВИНИТИ».
ние вавилоняне. Они полагали, что ? равно трём.
140010, г. Люберцы Московской обл., Октябрьский пр-т, 403. Тел. 554 21 86.
3
Более точное значение для числа ? было получено в Древнем рецептам древних умельцев и мастеров пришли строгие рассуждения
Египте. В Лондоне и Нью-Йорке хранятся две части древнеегипетско- математиков.
го папируса, который известен как «папирус Ринда» (или Райнда), по
Идеи Антифона и Бризона
имени Генри Ринда — мецената, приобрётшего папирус в 1858 году
(в год его обнаружения). Эту древнюю рукопись относят к периоду Попытку осмыслить понятие длины окружности одним из пер-
между 2000 и 1700 годами до н. э. вых предпринял философ Антифон, живший в Греции в V в. до н. э.
В папирусе Ринда приводятся решения различных практических В «Истории геометрии» Евдема (IV в. до н. э.) так описывается его
задач. Там можно прочитать «наставление, как вычислить круглый способ определения длины окружности:
хлебный амбар», имеющий форму цилиндра с диаметром основания «Начертив круг, он вписал в него такой правильный многоуголь-
9 локтей (локоть — старинная мера длины, немногим менее 0,5 м). ник, который мы умеем вписать. Пусть это будет квадрат. Потом он
Для вычисления площади основания предлагается такой рецепт: разделил каждую сторону квадрата пополам и через точки деления
1 провёл прямые, перпендикулярные к сторонам до пересечения с
«От 9 отними , т. е. 1. Получится 8. Умножь 8 на 8. Смотри: это 64.
9
окружностью. Очевидно, они делят сегменты круга на две равные
Ты правильно нашёл».
части (рис. 1). Затем он соединил полученные точки с концами
Здесь сформулировано такое правило для определения площади
сторон квадрата так, что получились четыре треугольника, и вся
круга. Эта площадь S равна площади квадрата, сторона которого рав-
образовавшаяся фигура стала правильным восьмиугольником…».
2
1 8
на диаметру круга d, уменьшённому на своей длины, т. е. S = d , Продолжая этот процесс дальше, Антифон по-
9 9
лучает 16-угольник, 32-угольник, 64-угольник
и значит, ? = 3,1604… Из каких соображений получена эта формула?
и т. д. «Поступает он так, пока не исчерпает весь
Неизвестно.
круг, — пишет Евдем. — И Антифон заключает,
Неизвестно также происхождение множества других содержа-
что таким образом будет вписан многоугольник,
щихся в древних источниках математических «рецептов».
периметр которого можно рассматривать как
Среди примечательных результатов предыстории числа ? от-
длину окружности».
1
метим довольно грубое приближение ? 3 , которым пользовался Подход Антифона к определению длины ок-
8
ружности вызвал жаркие споры среди учёных
известный римский архитектор Витрувий (живший в I в. до н. э.)
Рис. 1
Древней Греции. Симпликий (VI в. н. э.) в ком-
(ему приходилось проектировать сооружения внушительных раз-
ментариях к «Истории геометрии» Евдема пи-
меров, например, знаменитый Римский театр, и надо полагать, что
сал по этому поводу, что «мы никогда не достигнем окружности кру-
используемое им грубое значение для ? приводило к недочётам в
га, даже если бы деление продолжалось до бесконечности». Что же
строительстве), и выдающийся результат китайского математика
смутило Симпликия и его единомышленников?
355
и астронома Цзу Чунчжи (V в. н. э.) ? , дающий семь точных Интуитивное понятие предела, на котором основана конструкция
113
Антифона, чревата хитроумными ловушками, о чём свидетельствует
десятичных знаков числа ?.
следующий древний софизм (неверное утверждение, производящее
впечатление правильного):
ЭРА ВПИСАННЫХ И ОПИСАННЫХ МНОГОУГОЛЬНИКОВ
«Теорема». В любом треугольнике одна из сторон равна сумме
Найти одно научное доказательство для меня двух других.
важнее, чем овладеть всем персидским царством.
«Д о к а з а т е л ь с т в о». Пусть в рассматриваемом треугольнике
Демокрит
ABC точки D, E, F — середины сторон (рис. 2). По свойству средних
Цивилизация древних эллинов подарила миру один из самых 1 1
линий треугольника DF = BC и EF = AB, так что длина ломаной
значительных подарков в истории человечества — доказательную ма- 2 2
тематику. На смену неизвестно откуда взявшимся вычислительным ADFEC равна сумме длин сторон AB и AC. Если далее взять середины
4 5
G, H, I, J сторон двух новых треугольников ADF и FEC, то точно так ничего не остаётся делать, как совпасть с указанными пределами:
же можно показать, что длина ломаной AGKHFILJC равна длине A = C = B. Современные методы анализа позволяют дать этим рассу-
ломаной ADFEC и, следовательно, равна сумме длин сторон AB и AC. ждениям строгое обоснование (см. Приложение, с. 29).
Такой процесс измельчения ломаной можно продолжать сколь угодно Ну а коль скоро идея верна, то можно принять следующее опре-
долго, но на каждом шаге этого процесса длина всех последовательно деление длины окружности:
образованных ломаных равна AB + BC. Дли- Длиной окружности называется предел периметров правильных
A
на отрезков, составляющих ломаные линии, вписанных в окружность многоугольников при неограниченном
постоянно уменьшается, их концы всё более возрастании количества их сторон.
K
и более прижимаются к основанию AC, и Или такое:
G
в пределе периметр ломаных сливается с Длиной окружности называется предел периметров правильных
F
отрезком AC. Следовательно, AB + BC = AC. описанных около окружности многоугольников при неограничен-
D
H
Итак, кажущиеся интуитивно ясными ном возрастании количества их сторон.
L
I выводы о результатах бесконечного процесса
могут отстоять от истины довольно далеко.
«Измерение круга» Архимеда
Действительно ли стремится к пределу
B E J C
последовательность периметров вписанных в
Рис. 2 22
Дробь часто называют «архимедовым числом». Здесь имеется
окружность правильных многоугольников? 7
А если стремится, то где гарантия того, что этот предел непременно давняя традиция. Например, из знаменитой «Арифметики» (1703)
совпадёт с длиной окружности? Не случится ли так, что периметры Леонтия Магницкого (1669—1739), сыгравшей исключительную
многоугольников стремятся к какому-то пределу, а длина окружнос- роль в становлении точного знания в России, мы узнаём, что «в колё-
ти при этом останется чем-то недосягаемым? сах же пропорция архимедова диаметра ко окружности как 7 к 22».
Корректные ответы на эти вопросы были даны сравнительно Многие ошибочно полагают, будто заслуга Архимеда состоит
недавно, когда появились строгие методы математического анализа 22
лишь в обнаружении приближённого равенства ? . На самом
(XVII—XVIII вв.). Удивительно, что за несколько тысячелетий до 7
этого, на самой заре становления точного знания, деле Архимеду удалось не только найти это довольно хорошее
учёные уже пытались «нащупывать» приёмы, приближение для числа ?, но и, что гораздо важнее, определить
обуздывающие норов коварной бесконечности. точность этого приближения, т. е. указать узкий промежуток чи-
Одну из плодотворных идей в этом направле- словой оси, которому принадлежит отношение длины окружности к
нии высказал пифагореец Бризон (V в. до н. э.). её диаметру. В работе «Измерение круга», чудом дошедшей до нас
Он предложил для нахождения длины окруж- благодаря стараниям многочисленных переписчиков, Архимед до-
ности не только вписывать в круг (по способу казывает цепочку неравенств, которая в современных обозначениях
Антифона), но и описывать около него соответ- выглядит так:
Рис. 3
ствующие правильные многоугольники (рис. 3).
10 6336 14688 1
Длина окружности всегда будет заключена меж- 3 3,
?
71 1 1 7
2017 4673
ду периметрами вписанного и описанного многоугольников и может 4 2
быть установлена тем точнее, чем больше сторон у этих многоуголь-
ников. или 3,1409096… ? 3,1428265… Свои выводы Архимед формули-
Если периметры вписанных многоугольников стремятся к вели- рует в виде теоремы:
чине A, а периметры описанных многоугольников — к величине B, то «Периметр всякого круга равен утроенному диаметру с избыт-
длина окружности C должна находиться между этими двумя числа- ком, который меньше одной седьмой части диаметра, но больше
ми: A C B. Если вдруг окажется, что A = B, то длине окружности C десяти семьдесят первых» ([1], с. 185—191).
6 7
22 265
Как видим, «архимедово число» приближает число ? с избыт- а затем преобразовать его к обыкновенной дроби, то получим .
7 153
1351
ком, и точность такого приближения равна 0,002. Архимед нашёл Если же оборвать цепочку на 12-м звене, то получим . Удиви-
780
три точных знака числа ?: ? = 3,14… Именно эти три знака чаще всего
тельное совпадение!
используются нами в несложных повседневных расчётах.
Архимед достоин восхищения ещё и потому, что свои высокоточ-
Сделать точные выводы Архимеду помогли вписанные и опи-
ные расчёты с дробями, а также выкладки по извлечению квадратных
санные многоугольники. Отправляясь от вписанного в заданную
корней из больших чисел, он проводил в неудобной с точки зрения со-
окружность и описанного около неё правильных шестиугольников,
временного человека системе нумерации. Каким способом пользовал-
Архимед затем исследует правильные 12-угольники, 24-угольники,
ся Архимед для приближённого извлечения квадратных корней —
48-угольники, 96-угольники. При этом Архимед проявляет чудеса
неизвестно. В сложных выкладках Ар-
изобретательности. Так, для оценки отношения диаметра окруж- B
химеда очень легко запутаться.
ности d к стороне a6 правильного описанного шестиугольника он
Упражнение 1. Попробуйте повто-
d 265 D
привлекает неравенство . С высоты сегодняшних знаний мы рить рассуждения Архимеда в ре-
a6 153
шении следующей задачи. На рис. 4
d
= ctg 30? = 3, но во времена Архимеда ещё не было
знаем, что изображена дуга окружности с цен-
a6
тром в точке E и диаметром AC. BC — C E A
тригонометрических функций. Получается, что в своих расчётах
сторона вписанного в эту окружность Рис. 4
Архимед подобрал приближение для числа 3 в виде обыкновенной
правильного шестиугольника, а DC —
265
дроби . Это приближение имеет поразительно высокую точность: сторона вписанного правильного 12-угольника. Архимед подбирает
153
величину диаметра окружности таким образом, чтобы для вели-
265 AB AB 1351
3 0,000025. чины была справедлива довольно точная оценка .
153 BC BC 780
Для этого он полагает AC = 1560 (убедитесь, что при таком значе-
1351
В другом месте он воспользовался оценкой , ещё более точно 2
1351
нии диаметра величина AB2 отличается от величины
780 BC
780
приближающей число 3 с избытком: всего на единицу!). Исходя из этих числовых данных, докажите
неравенство
1351
3 0,000001. 3
780 3013
AC 4
Как Архимед мог получить такие точные приближения? Об этом CD 780
можно только догадываться. Академик С. Н. Бернштейн в коммента- (учтите, что Архимед тригонометрическими функциями не пользо-
риях к работе Архимеда ([2], с. 224) обращает внимание, например, вался).
на такой факт. Запишем число 3 в виде цепной дроби (см., напри-
мер, [3]): Начало удивительного соревнования
1 Созданный древнегреческими математиками метод вычисления
3= 1+ .
1 длины окружности посредством вписанных и описанных многоуголь-
1+
1
ников оставался основным на протяжении почти двух тысяч лет.
2+
1
1+ Клавдий Птолемей (ок. 100—178) для вписанного правильно-
2 + .. 377
. го 720-угольника получает ? 3,14167. Китайский математик
120
Если оборвать бесконечную цепочку в этом выражении на 9-м звене, Лю Хуэй (III—IV вв. н. э.) для вписанного 3072-угольника находит
8 9
3,14159. Самаркандский математик Гияс ад-Дин Джемшид ал-Ка- Метод вписанных и описанных многоугольников достиг своего
?
ши (XIV—XV вв.) в «Трактате об окружности» (1424) ставит задачу с наивысшего развития в работах голландских математиков Вилле-
интригующим условием: выразить окружность через диаметр с такой брорда Снеллия (1580—1626) и Христиана Гюйгенса (1629—1695).
точностью, чтобы погрешность в длине окружности, диаметр которой Тонкие геометрические рассуждения позволили им получить более
равен 600 000 диаметров Земли, не превосходила толщины волоса» точные результаты при меньшем числе сторон используемых мно-
(примерно 0,5 мм). Для этой цели он определяет число ? с точностью гоугольников. Результат Архимеда — три точных знака ? — Снел-
до 16 верных десятичных знаков: ? 3,14159265358979325, попутно лий получает уже для вписанного и описанного шестиугольников, а
указывая, что «всей истины этого*) не знает никто, кроме Аллаха». 96-угольники помогают ему рассчитать 7 точных знаков ?. Христиан
Ал-Каши последовательно расчитывает вписанные многоугольники, Гюйгенс в сочинении «О найденной величине круга» (1654) доказы-
начиная с треугольника и дойдя до 805 306 368-угольника**). Полу- вает ряд теорем о соотношениях между длинами хорд и стягиваемых
ченная ал-Каши точность в измерении окружности была достигну- ими дуг, которые позволили ему вычислить 10 точных знаков числа ?
та и превзойдена европейскими математиками лишь в конце XVI в. уже для 60-угольника.
В 1597 году голландский математик Адриан ван Роомен (1561—1615) Упражнение 2. Один из «тонких» геометрических фактов, обна-
публикует свои результаты по вычислению 17 десятичных знаков чи- руженных Гюйгенсом, состоит в следующем. Отложим на число-
сла ?, для чего применяет 1 073 741 824-угольник***). На скрупулёз- вой оси значение pn периметра правильного n-угольника, вписан-
ные вычисления Адриан ван Роомен потратил несколько лет. ного в окружность единичного диаметра, и значение Pn периметра
Однако рекорд фантастического прилежания и неимоверной точ- правильного n-угольника, описанного около неё. Разделим отрезок
ности побил профессор математических и военных наук Лейденского [pn , Pn ] на три равные части. Докажите, что для любого n число ?
университета Лудольф ван Цейлен (1539—1610). На протяжении де- 2 1
принадлежит первой из этих частей, т. е. pn pn + Pn .
?
сяти лет, удваивая по методу Архимеда число сторон вписанных и 3 3
описанных многоугольников и дойдя до 32512254720-угольника, он
вычислил 20 точных десятичных знаков числа ?. Своё сочинение с
ЭРА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
изложением результатов в 1596 году профессор завершил патетиче-
ской фразой: «У кого есть охота, пусть пойдёт дальше». И как бы
С конца семнадцатого столетия бурная река человеческой пытли-
в доказательство того, что «охота пуще неволи» и лучшего охотни-
вости вышла из берегов элементарной математики — началась эра
ка, чем он сам, во всём мире не сыскать, Лудольф ван Цейлен опять
математического анализа. Бесконечные последовательности и ряды
ринулся вычислять очередные точные знаки числа ?, впоследствии
стали привычными объектами исследований математиков. Возник-
доведя их количество до 35. Эти знаки он завещал выбить на своём
ло дифференциальное и интегральное исчисление, базирующееся на
надгробном камне. В память о неординарном вычислителе современ-
строго определённом понятии предела. Новые инструменты исследо-
ники ещё долгое время называли ? числом Лудольфа ([2], с. 54—55).
ваний позволили взглянуть на число ? с совершенно неожиданной
Отдавая должное мастерству и поистине самоотверженному тру-
стороны.
ду математиков этого периода, посвящавших годы своей жизни, или
Одним из первых результатов в этом направлении стал ряд
даже всю жизнь, вычислению точных знаков числа ?, всё же нуж-
но признать, что их результаты носили скорее спортивный, чем на- 12 11 1
?

страница 1
(всего 4)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

Copyright © Design by: Sunlight webdesign