LINEBURG


<< Пред. стр.

страница 2
(всего 6)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

1. Абрамов С.М., Патаракин Е.Д. Построение городской опорной сети и объединение на ее основе региональных образовательных, художественных и научных ресурсов" Международная конференция РАПРОС-97, г. Нижний Новгород, 27 - 30 октября
2. Patarakin E. Turtle on the Web, Eurologo 1997








ИНФОРМАТИКА И ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ
В ВУЗЕ

А.Р.Есаян, Н.М.Добровольский
Тульский педуниверситет


Анализ взаимодействий и рекурсия

Целью данной работы является построение и обоснование некоторых методических приёмов решения оперативных задач педагогического общения в обучении рекурсии, основывающихся на использовании теории анализа взаимодействий [1-3].
В упрощающих предположениях в системе "Педагог?Студенты" есть два момента, на которые следует обратить внимание. Во-первых, не всегда просто определить состояние компоненты "Студенты", ибо доминантного множества состояний отдельных студентов в группе может просто не быть. Во-вторых, мы апеллируем к не совсем ясному эвристическому процессу ? интуиции. Оставляя здесь возможным критикам плацдарм для замечаний, поясним, что мы вкладываем в это понятие. Интуиция ? это приобретение сведений или нахождение решения задачи на основе ориентиров поиска, не связанных логически или недостаточных для получения логического вывода. Иными словами, интуиция означает, что мы можем нечто знать, не зная, как мы это узнали. Как говорил З.Фрейд, "все это в высшей степени умозрительно и полно нерешенных проблем, но незачем этого пугаться" [2, с. 470].
Трансакцией, простым элементом общения, единицей общения или коммуникатом называют произвольное разовое направленное обращение одного лица (адресанта) к другому лицу (адресату). С английского языка слово transaction в нашем случае может быть переведено как короткое сообщение или неделимая операция. Индивиды, от которых идет трансакционный стимул (запрос) и ожидается трансакционная реакция (ответ), могут быть заменены непустыми группами людей. Стимул и реакция могут реализовываться как на вербальном, так и на невербальном уровне. Последовательности подобных трансакций обеспечивают процесс коммуникации.
В информатике могут рассматриваться трансакции (синоним: транзакции) между людьми и автоматическими устройствами ? исполнителями, управляемыми компьютером. Возможны трансакции и между двумя исполнителями. Часто исполнители ? это просто специализированные управляющие программные комплексы. К ним могут быть отнесены системы управления базами данных, обучающие системы, вычислительные среды и т.п. Исследование взаимодействий типа "Человек - Исполнитель" может помочь ответить на многие открытые и спорные вопросы дистанционного обучения.
Процесс формирования и передачи связного сообщения занимает определенный промежуток времени, в течение которого состояния адресанта и адресата по многим причинам могут меняться. Это и приводит к появлению трансакций, исходящих от разных уровней.

Приведем три примера-эксперимента.

Эксперимент 1. Для студентов 4 курса факультета математики и информатики объявлена 20-минутная самостоятельная проверочная работа по рекурсии.
На языке программирования Mathcad требуется написать рекурсивную программу-функцию решения одной конкретной задачи. В то же время на доске заранее выписаны условия двух приблизительно одинаковых по уровню сложности задач. Вот они:

A. Задача о современной стоимости отложенного платежа [11]. Какую сумму следует внести в банк при ставке в p процентов за один период времени (год, месяц и т.п.), чтобы через n периодов получить сумму в S денежных единиц.

B. Задача о динамике вклада. В банк положена сумма в S денежных единиц со ставкой в p процентов за один период времени (год, месяц и т. п.). В конце каждого периода вкладчик после начисления процентов снимает со счета A денежных единиц. Определить сумму вклада через n периодов времени.

Студенты спрашивают: "Какую из приведенных задач решать?" или "Это разные варианты?". Преподаватель отвечает, что решать можно любую задачу на выбор. И через секунду-другую паузы, как бы невзначай, добавляет: "Задача B, конечно, интересная, но для многих она может оказаться слишком трудной". Через три-четыре минуты, проходя по рядам и просматривая экраны дисплеев, он обнаруживает, что из 15 присутствующих студентов 12 решают задачу B.
Разберем данную ситуацию. Со стороны может показаться, что преподаватель ожидает, что большая часть группы приступит к решению задачи А. Но в заключительной реплике заложен еще и второй точно направленный опытным преподавателем тайный посыл в сторону студентов. Речь идет о фразе "Задача B, конечно, интересная, но для многих она может оказаться слишком трудной". И поразмыслив, немного, 12 из 15 студентов, по-видимому, произнесли про себя фразу приблизительно следующего содержания: "Я докажу (преподавателю? себе? другим студентам?), что эта задача мне по силам".
Реакция студентов подтверждает правильность нашего анализа.
Решение задачи B, предъявленное студентами, с точностью до обозначений выглядело так:

(1)

Несмотря на лаконичную запись рекурсивной программы-функции (1), оставлять её без всестороннего обсуждения нецелесообразно. В разборе решения в данном случае и в других подобных ситуациях желательно участие и студентов, и преподавателя. Но заключительный, итоговый комментарий, по-видимому, должен брать на себя педагог, и это обусловлено следующими причинами. Во-первых, почти всегда находятся студенты, получившие неправильное, частичное или ошибочное решение. Не исключен и такой крайний случай, когда постановка задачи оказалась не всеми понята. Во-вторых, будущим педагогам недостаточно простого умения находить решение. Очень важно научиться методически правильно и доступно объяснять все тонкости и особенности используемого метода, а также пути его реализации. И именно система заранее глубоко продуманных комментариев к решениям многочисленных прикладных задач, пронизывающая весь курс информатики, обеспечивает формирование фундамента методической подготовки будущих учителей информатики.

Заключительный комментарий преподавателя по поводу структуры рекурсивной программы-функции waste().
Как мы уже знаем, поиск рекурсивного алгоритма решения задачи состоит из трех основных этапов: параметризация, построение базы рекурсии и декомпозиция. В данном случае параметризация задачи, вплоть до обозначения параметров, фактически проведена в её постановке. Базу рекурсии, то есть некий тривиальный случай, легко получить из таких соображений. Если вклад в S денежных единиц поместить в банк и тут же забрать его, то, очевидно, нам должны вернуть ровно S единиц (что при этом может произнести кассир, учитывать не будем). Иными словами, при n=0
waste(S,p,A,n)=S.

Далее декомпозицию задачи (разложение, расчленение, разбиение, расщепление, редукция) организуем, исходя из следующих фактов. Положить вклад на объявленных условиях на n периодов равносильно тому, чтобы положить его на n?1 период, снять со счета и затем вновь положить на один период. Следовательно, при n?0 имеем:

waste(S,p,A,n)= waste(S,p,A,n?1)?(1+p/100) ? A .

Теперь остается лишь учесть все сказанное при написании программы-функции waste(S,p,A,n).
Замечания.
1. При решении задач A и B предполагается, что экономика устойчива, то есть в ней нет резких колебаний инфляции, не осуществляются денежные реформы, действуют стабильные цены и т. п.
2. В задаче B можно было бы вывести конечную формулу для расчета величины вклада по прошествии n периодов времени. Делается это так (wn=waste(S,p,A,n), w0=S):





Полученную этими правдоподобными рассуждениями формулу для нахождения wn можно строго доказать методом математической индукции. И все же нелишне подчеркнуть, что рекурсивный вариант расчетной программы-формулы (1) получается с гораздо меньшими усилиями и фактически доступен для понимания любому восьмикласснику.
3. Трансакционный стимул "Задача B, конечно, интересная, но для многих она может оказаться слишком трудной" вполне мог быть заменен, например, одной из следующих фраз:
* В группе "4Д" мало кто сумел решить задачу B.
* На решение задачи B у меня ушло слишком много времени.
* Для некоторых преподавателей задача B оказалась твердым орешком.
* На прошлогодней университетской олимпиаде по информатике задачу В решил лишь один человек.
4. Этапы нахождения базы рекурсии и декомпозиции в этой и других задачах требуют от студента интуиции, подлинного творчества, логической игры с параметрами по нечетким правилам.
5. Ни одним из студентов не был предложен вариант решения задачи B, дополнительный к (1), когда декомпозиция организуется, исходя из следующей посылки: положить вклад на объявленных условиях на n периодов равносильно тому, чтобы положить его на 1 период, снять со счета и затем вновь положить на (n?1) период. Однако при упоминании о возможности подобной декомпозиции сразу же был представлен и такой вариант программы:



Трое студентов, решавших задачу А, представили два следующих правильных решения:

(2)

(3)

Заключительный комментарий преподавателя по поводу структуры рекурсивной программы-функции discount().

Как и в предыдущем случае, параметризация задачи, вплоть до обозначения параметров,[Нп1] фактически проведена в её постановке. Базу рекурсии легко получить из таких соображений. При любой ставке p современная стоимость платежа в S денежных единиц, осуществляемого через n периодов при n=0 равна S. Иными словами, при n=0

discount(S,p,n)=S.

Далее декомпозицию задачи организуем, исходя из следующих фактов. Современные стоимости отложенного платежа в S единиц через n и n?1 периодов при n?0 связаны друг с другом соотношением:

discount(S,p,n)=discount(S,p,n?1)/(1+p/100) (n=1,2,... ). (4)

Теперь остается лишь учесть все сказанное при написании программы-функции discount(S,p,n).
Замечания.
1. В задаче A нетрудно получить конечную формулу для расчета современной стоимости отложенного на n периодов платежа в S денежных единиц. В самом деле, если в банк положить сумму в R единиц на n периодов под p процентов за период, то в результате мы получим сумму:

Sn = R?(1+p/100)n ,

то есть современная стоимость R отложенного платежа Sn может быть вычислена по формуле
R = Sn/(1+p/100)n .

2. Нетрудно видеть, что, кроме формулы (4), современные стоимости отложенного платежа в S единиц через n и n?1 периодов при n?0 связаны друг с другом и таким соотношением:

discount(S,p,n)=discount(S/(1+p/100),p,n?1) (n=1,2,... ).

Это и позволило получить решение задачи в виде программы-функции (3).

Эксперимент 2. На 36 часовой недельной практике по вычислениям преподаватель предлагает (впервые!) студентам 5 курса факультета математики и информатики, освоившим основные понятия рекурсии и способы решения с её помощью прикладных задач, создать программное обеспечение по визуализации исполнения рекурсивных алгоритмов.
Студенты уточняют, что понимается под визуализацией вычислений по конкретному алгоритму? Идет ли речь о визуализации вычислений для определенного множества алгоритмов или о необходимости создания некоего инструментального средства для визуализации вычислений по любому рекурсивному алгоритму? На каком языке программирования лучше всего решать эту задачу? А не использовать ли для решения какую-либо среду объектного визуального программирования? После требуемых уточнений и непродолжительного, но бурного обсуждения было решено, что поскольку практически все студенты данной подгруппы слушали курс по выбору "Система управления базами данных Visual FoxPro", то требуемое программное обеспечение "Визуализация рекурсии" целесообразно создавать именно на Visual FoxPro.
В связи с тем, что в условиях задачи заложен не совсем осознаваемый преподавателем неявный психологический посыл студентах предлагается "увидеть рекурсию", то есть сделать понятие рекурсивных вычислений доступным для глаза и, тем самым, доступным для понимания достаточно широким кругом обучаемых, например, школьникам 6 класса средней общеобразовательной школы. Здесь трансакционный стимул направлен от восторженного, по поводу значимости возможных результатов, состояния преподавателя. Результаты подобных трансакций могут быть самыми неожиданными, после экспертного заключения всей группы было признано, что проект "Визуализация рекурсии" с теми или иными натяжками выполнили лишь 8 человек из 12. И лишь один студент создал программное обеспечение, достойное включения в фонд учебных программ.
Рассмотренная выше скрытая (двойная) трансакция при обучении встречается не так уж редко. И происходит это обычно из-за не совсем четко осознаваемых преподавателем последствий трансакционного стимула, содержащего в себе тот или иной неявный психологический подтекст. Наиболее часто наблюдать скрытую трансакцию можно при флирте. Его присутствие в учебном процессе вряд ли оправдано, но возникнуть он все же может и не учитывать этого нельзя.
Эксперимент 3. На курсе по выбору (спецсеминар "Рекурсивные методы решения практических задач") после 20 часов аудиторной работы преподаватель дал студентам 5 курса факультета математики и информатики домашнее задание: "Составить презентацию понятия рекурсии". При этом он добавил, что студенты могут включать в свой проект столько примеров различных видов рекурсии и областей её применения, сколько надо для успешного решения поставленной задачи.
Студенты интересуются сроками выполнения задания и уточняют, что понимается под презентацией? Можно ли использовать для решения задачи систему компьютерной подготовки презентаций PowerPoint или какую-нибудь систему визуального объектно-ориентированного программирования? После некоторых разъяснений и непродолжительной дискуссии было решено, что, несмотря на то, что не все студенты имеют навыки работы с системой PowerPoint, задание должно быть выполнено именно на ней и в двухнедельный срок. Это решение было оправдано желанием участников семинара познакомиться с педагогическими возможностями PowerPoint для её возможного последующего оперативного использования в создании презентаций своих дипломных работ.
Разберем данную ситуацию. Формулируя домашнее задание, преподаватель вложил в задание скрытый психологический посыл студентам, содержащийся в не совсем корректной, расплывчатой фразе: "можно включать в свой проект столько примеров различных видов рекурсии и областей её применения, сколько надо для успешного решения поставленной задачи" (сравните: "берите, сколько хотите", "делайте, что хотите", "назначайте любую цену", "отдыхайте, сколько заблагорассудится" и т.п.). Фактически объем задания отдавался на откуп исполнителям. Результат выполнения задания оказался неутешительным. Почти все студенты организовали презентацию на минимуме фактического материала (вычисление факториала целого неотрицательного числа и (или) вычисление n-го члена последовательности Фибоначчи). И это несмотря на то, что к данному моменту они уже освоили достаточно обширный фактический материал по рекурсивным вычислениям. Впоследствии, при обсуждении представленных разработок, выяснилось, что практически каждый из студентов решил немного слукавить. Поскольку задание точно не поставлено, вряд ли стоит тратить много усилий на его выполнение. В презентации можно будет ограничиться одним-двумя простейшими примерами. Фактически, от студентов преподавателю, сразу же или впоследствии, сформирована и передана скрытая (доминантная) трансакция приблизительно такого содержания: "Вынужден будешь принять от меня задание. Все что требовалось ? выполнено!". Иными словами, в данной ситуации мы имеем скрытые трансакции, компоненты которых на психологическом уровне пересекаются и потому вряд ли стоило ожидать иного результата выполнения задания.
При формировании трансакционного стимула преподавателю необходимо следить за характеристиками своей устной речи. Считается [7], что:
* предложения не должны быть слишком длинными;
* простые предложения должны преобладать над сложными в примерном соотношении 60 % к 40 %;
* cложные предложения должны отличаться строгой структурой и содержать в основном одно-два придаточных предложения.
Любопытные данные получены учеными из Германии [7]. Они установили, что более половины взрослых людей не в состоянии на слух запомнить предложения, насчитывающие более 13 слов. Если цепочка произносимых слов длится более 6 секунд, слушатели теряют нить фразы. Одна треть взрослых забывает начало фразы уже тогда, когда произносится одиннадцатое по счету слово. Длинные предложения ? более 18 слов ? способны понять и усвоить не более 15 % аудитории. По мнению этих ученых, следует говорить со скоростью не более двух слов в секунду и строить фразы по возможности короче.
Не претендуя на общность результатов, приведем некоторые качественные выводы, полученные нами, исходя из основ теории взаимодействия при освоении темы "Решение задач рекурсивными методами", а также анализа педагогической литературы, в частности [5-9]. В роли обучаемых выступали: студенты 3-5 курсов факультета математики и информатики Тульского государственного педагогического университета, учителя математики и информатики средних учебных заведений на годичных курсах повышения квалификации Тульского института развития образования, школьники 8-10 классов.
1. Последовательности прямых дополнительных трансакций на лингвистическом, семиотическом или паралингвистическом уровнях обеспечивают устойчивый процесс коммуникации педагога и студентов и способствуют активизации обмена информацией между участниками учебного процесса.
2. Скрытые дополнительные трансакции имеют положительный эффект лишь в аудитории, где преподаватель пользуется авторитетом у студентов.
3. Скрытые угловые трансакции являются мощным и действенным инструментом управления процессом обучения при решении практико-ориентированных задач.
4. Скрытые двойные трансакции при обучении могут привести к совершенно неожиданным, как положительным, так и отрицательным, результатам.
5. Обучение рекурсивным методам решения практических задач с использованием анализа взаимодействий дало положительный результат. Нам представляется, что область применения этой педагогической технологии не ограничивается затронутой темой и знакомство с ней будет полезно преподавателю любой специальности.
6. Не всё в трансактном анализе бесспорно, многое наивно, но критически осмысленное и квалифицированное его использование при обучении может принести несомненный положительный эффект.
Остановимся еще на одном моменте. Теория взаимодействий Э.Берна дает ответы на многие вопросы, связанные с анализом и управлением процессом педагогического общения. Но еще большую значимость она может приобрести при сочетании с "теорией словесных действий", разработанной последователем "системы Станиславского" П.М.Ершовым [10, 11] и на первых порах используемой лишь для практических нужд театрально-исполнительского искусства. Основой этой теории являются выделенные им простые (основные, исходные, опорные) словесные действия, направленно влияющие преимущественно на ту или иную сторону психики партнера по общению. Для шести разделов человеческой психики: внимания, мышления, памяти, эмоций, воображения и воли выделены одиннадцать имен простых действий (см. табл. 1).

Таблица 1. Простые словесные действия



Разделы
психики
Названия
действия
Подтекст действия
1
Внимание
звать
привлекать внимание к себе,
обращать внимание на себя
2
Мышление

объяснять,
отделываться
втолковывать, разъяснять,
отмахиваться, огрызаться
3
Память
узнавать,
утверждать
выяснять, спрашивать,
отвечать
4
Эмоции и
чувства
одобрять,
упрекать
укреплять уверенность,
укорять
5
Воображение
удивляться,
предупреждать
хвастать, хвалиться, поражать,
намекать, подстерегать, язвить
6
Воля
просить,
приказывать
распоряжаться,
руководить действием

Эти имена заданы глаголами, связанными по смыслу с соответствующими классами возможных трансакций-стимулов для воздействия на конкретную сторону психики человека. Подчеркнем, что это лишь мнемонические имена простых действий. Само же действие осуществляется с помощью той или иной словесной трансакции-стимула. В работе [10] опровергается кажущаяся на первый взгляд условность в выборе наименований простых действий и обосновывается неслучайный состав их перечня.
Отработка практических навыков овладения простыми словесными действиями и осознанное оперирование ими невозможно без проникновения в суть понятий внимание, мышление, память, эмоции (чувства, аффекты), воображение, воля. Соответствующие дефиниции, не отягощенные детализацией и специфическими подробностями, могли бы выглядеть так:
Внимание ? это процесс и состояние субъекта, позволяющие сознательно или бессознательно воспринимать приоритетную для него информацию или выполнять конкретную задачу.
Мышление ? это движение идей, раскрывающее суть вещей. Мышление есть процесс творческого преобразования в сознании человека субъективных образов объектов.
Память ? это форма психического отражения действительности, заключающаяся в запоминании, сохранении и воспроизведении информации.
Эмоции ? это психические процессы, связанные с инстинктами, потребностями и мотивами и проявляющиеся в виде радости, страха, удивления, удовлетворения и т. д. Чувства ? устойчивые эмоциональные отношения человека к явлениям действительности. Они характеризуют значения происходящих явлений в связи с потребностями и мотивами личности. Аффекты (стресс, страсть и т. п.) ? это особо выраженные эмоциональные состояния, сопровождаемые видимыми изменениями в поведении человека.
Воображение ? это способность человека к построению целостных образов действительности, позволяющая ему творить, планировать свою деятельность, управлять ею. Являясь основой наглядно-образного мышления, воображение дает человеку возможность ориентироваться в ситуациях и решать задачи без погружения в сферу практики.
Воля ? это способность человека действовать в направлении сознательно поставленной цели, регулируя своё поведение и преодолевая внешние и внутренние препятствия.
Локальное влияние на каждый из разделов психики с помощью какого-либо простого словесного действия встречается не так уж часто. Однако, умение оперировать этими "чистыми" трансакциями весьма полезно для понимания структуры составных или сложных трансакций и помогает ориентироваться во всем их многообразии. Иногда из словесного действия достаточно просто в качестве составляющих компонентов выделить простые действия, иногда это сделать труднее. Многие действия могут быть получены элементарной конкатенацией простых действий. В общем случае трансакции могут содержать комбинации любых из одиннадцати основных словесных действий и, таким образом, одновременно оказывать влияние на различные стороны психики. Желая, например, одновременного приказать (воздействовать на волю) и предупредить (воздействовать на воображение), мы должны воспользоваться трансакциями из некоторого класса, который условно можно было бы назвать "угрожать". И наоборот, желая что-то "выяснить", нам необходимо воздействовать и на память (узнавать), и на волю (просить или приказывать), а возможно, и на другие компоненты психики. Выбор педагогом того или иного простого или составного типа действия в конкретной ситуации связан с его профессионализмом, эрудицией, практическим опытом, привычками, установками и предпочтениями, а также педагогическим пониманием сложившейся ситуации.
Рассмотрим пример. На одном из первых практических занятий по рекурсии на доске была зафиксирована следующая программа-функция рекурсивного вычисления дробной части вещественного числа x:
(5)
Было предложено выяснить, что вычисляет puzzle(), какие числовые значения параметра x допустимы и какое имя больше подходит для этой функции?

Таблица 2. Трансакции-стимулы при обсуждении функции (5)


Раздел
психики
Действие
Трансакции
1
Внимание
звать
1. Послушайте!
2. Обратите внимание!
3. Посмотрите на пример!
4. Отвлекитесь на минуточку!
5. Наташа, Артем! Обсуждаем пример.
6. (пауза) - несловесное действие!
2
Мышление
объяснять,
отделываться
1. Обратите внимание на то, как преобразуется аргумент функции в зависимости от его знака.
2. Учтите, что рекурсивный вызов функции в её теле встречается дважды.
3. Думаю, что каких-либо пояснений к задаче вам не требуется.
3
Память
узнавать,
утверждать
1. Подобная задача вам уже встречалась.
2. Прежде всего перепишите функцию puzzle() к себе в тетрадь.
3. Не сталкивались ли вы с подобной задачей ранее?
4. Как переводится с английского языка слово "puzzle"?
4
Эмоции
(Чувства)
одобрять,
упрекать
1. Вам эта задача вполне по силам.
2. Думаю, что эта задача для вас сложности не представляет.
3. Маша и Эдик! Будете разговаривать ? не останется времени на решение задачи!
5
Воображение
удивлять,
предупреждать
1. Решение этой задачи дает ключ к пониманию многих проблем рекурсии.
2. Мой сын решает подобные задачи моментально!
3. Не найдете решение данной задачи ? могут быть затруднения в дальнейшем!
6
Воля
просить,
приказывать
1. Сосредоточьтесь! На решение задачи дается всего лишь 5 минут.
2. Оля! Отвлекись от окна! Решай задачу!
3. Володя! Не мешай Коле работать!

В таблице 2 приведены некоторые возможные трансакции-стимулы преподавателя, являющиеся простыми словесными действиями. Как правило, постановка задачи сопрягается с составными словесными действиями, затрагивающими практически все стороны психики обучаемых. Например, в нашем случае подобное действие может быть реализовано следующим образом: "Отвлекитесь на минуточку! Посмотрите на пример (воздействие на внимание)! Подобная задача вам уже встречалась (воздействие на память). Думаю, что она для вас сложности не представляет (воздействие на эмоции). Решение этой задачи дает ключ к пониманию многих проблем рекурсии (воздействие на воображение). Обратите внимание на то, как преобразуется аргумент функции в зависимости от его знака (воздействие на мышление). Сосредоточьтесь! На решение задачи дается всего лишь 5 минут (воздействие на волю)".
После того, как было понято, что функция puzzle(x) вычисляет дробную часть любого вещественного числа x (представимого в памяти компьютера), и обсужден рекурсивный алгоритм, реализуемый этой функцией, студенты решили, что название puzzle (загадка, головоломка) должно быть заменено на fractional (fractional part of number - дробная часть числа) и что так и надо было назвать эту функцию сразу.

В заключение заметим, что интеллектуальная плотность текстов П.М.Ершова, автора теории словесных действий, требует от читателя известных усилий по их осмыслению, можно сказать, соучастия, сопереживания, сотворчества. Именно этим, на наш взгляд, можно объяснить довольно слабое проникновение его идей в среду педагогов-практиков. Однако появление второго издания книги [10], где тексты П.М.Ершова сопровождаются своеобразными очерками-комментариями, по-видимому, будет способствовать расширению круга сторонников его теории. И тогда многие педагоги наконец-то смогут осуществить заветную мечту А.С.Макаренко уметь произносить фразу "пойди сюда" двадцатью шестью способами. Правда, сразу же надо договориться о том, какие два способа произнесения этой реплики следует считать разными. Наиболее естественно полагать, что они не совпадают, если воздействуют на разные наборы разделов психики. Из комбинаторных соображений следует существование 26=64 вариантов подобного воздействия. Но в зависимости от конкретной ситуации и техники исполнения этого простого по форме предложения его воздействие на любой из шести разделов психики может быть положительным, отрицательным и нейтральным. С учетом данного факта получается иное количество вариантов: 36=729.
Авторы признательны за внимание к работе, благожелательное обсуждение затронутых проблем, полезные советы и замечания профессорам А.А Орлову, Е.И. Исаеву и Е.А. Орловой.

Литература

1. Берн Э. Игры, в которые играют люди. Люди, которые играют в игры. Минск:, 1999.
2. Берн Э. Введение в психиатрию и психоанализ для непосвященных. Минск:, 1999.
3. Психологический словарь / Под ред. В.П.Зинченко, Б.Г.Мещерякова. 2-е изд. М.: Педагогика-Пресс, 1997.
4. Орлова Е.А. Я и другой (искусство общения). Тула, 1995.
5. Леонтьев А.Н. Педагогическое общение. М., 1979.
6. Кан-Калик В.А. Учителю о педагогическом общении. М., 1979.
7. Немов Р.С. Психология. Кн. 1?3. М.: Просвещение, 1995.
8. Добрович А.Б. Общение: наука и искусство. М.: Знание, 1978.
9. Симонов А.С. Экономика на уроках математики. М.: Школа-Пресс, 1999.
10. Ершов П.М., Ершова А.П., Букатов В.М. Общение на уроке, или Режиссура поведения учителя. М.: Изд-во "Флинта", 1998.
11. Ершов П.М. Режиссура как практическая психология. М., 1972.


В.А.Бубнов, Н.Н.Скрыпник
Московский городской педагогический университет

Применение информационных технологий в методике
преподавания высшей математики

Периодически, как в средней, так и в высшей школах, происходит изменение учебных планов и программ. Это вызвано прежде всего введением в учебный процесс новых научных дисциплин, способствующих подготовке профессиональных кадров, отвечающих современным запросам общества. В пределах постоянного срока обучения для конкретного уровня образования указанный процесс, как правило, реализуется за счет уменьшения объема часов, отводимых на такие традиционные дисциплины как высшая математика. При этом следует учесть, что математика как наука непрерывно развивается и для качественного обучения высшей математике в ее учебную программу следует вводить дополнительные объемы знаний.
Все это порождает проблему преподавания математики в средней школе и высшей математики в педагогических университетах на данном этапе развития образовательного пространства.
Государственные требования к минимуму содержания и уровню подготовки по высшей математике выпускника по специальности 030600 - Технология и предпринимательство заключаются в освещении следующих разделов математики.
Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии. Числовые многочлены. Функции, последовательности. Пределы. Дифференциальные исчисления. Интегралы. Ряды Тейлора и Фурье. Обыкновенные числа. Теория вероятности. Математическая статистика.
Многие из вышеперечисленных тем представляют самостоятельные области математической науки и выполнить качественно данные государственные требования в отведенные учебным планом сжатые сроки обучения представляется трудной задачей.
Нам представляется, что при решении этой проблемы в учебную программу по высшей математике третьего уровня высшего профессионального образования не должны включаться знания из предыдущего образовательного уровня, т.е. знания из школьной математики.
Далее известно, что математика как наука состоит из определенного объема аналитических рассуждений, приводящих к установлению математических объектов и значительно большего объема практических действий над указанными объектами посредством математических операций. Например, в теории определенного интеграла аналитическая часть - это введение операции интегрирования как обратной дифференцированию, а практическая часть - приемы интегрирования, связанные с различными способами преобразования подинтегральных функций к табличным интегралам.
Вычленение практических разделов математики из лекционных занятий позволяет уменьшить число лекций при неизменном числе практических занятий. Это позволяет изучать высшую математику прежде всего через операции над математическими объектами без доказательств очевидных теорем и предложений, что характерно для представителей аналитической или чистой математики. Известно, что сторонником такого подхода изучения математики был известный физик А.Эйнштейн. Более того, в советской средней школе некоторые учителя строили методику задач с минимальным набором теоретических средств.
В лекционных занятиях необходимо ввести компьютер как техническое средство, позволяющее с помощью вычислительных средств разъяснять наиболее трудные положения математического анализа.
Действительно, изучение темы "Варианта и ее предел" начинается с установления следующего понятия числовой последовательности.
Представим себе натуральный ряд:

1,2,3,......, n-1, n, ....., (1)

в котором числа расположены в порядке возрастания. Если теперь заменить в ряде (1), по какому-нибудь закону, каждое натуральное число n некоторым числом хn, то получится числовая последовательность:

х1, х2, х3,......, хn-1, xn, ..., (2)

члены или элементы которой занумерованы всеми натуральными числами и расположены в порядке возрастания номеров.
Переменную х, принимающую некоторую последовательность (2) значений называют вариантной ?1?.
Чтобы данное понятие проиллюстрировать вычислительными средствами, необходимо определить закон получения варианты, например, в виде следующей формулы:

Хn = 2(1/n) (3)

и на экране компьютера при помощи программных средств представить числовую последовательность, вычисленную по формуле (3) (см.табл.1).
Из этой таблицы видно, что с увеличением номера n значение варианты стремится к постоянному числу, равному единице. Чтобы определить смысл данного числа, напомним определение предела варианты.
Постоянное число a называется пределом варианты х=хn, если для каждого положительного числа ?, сколь бы мало оно не было, существует такой номер N, что все значения хn, у которого n?N, удовлетворяет неравенству:

? хn - a ? ? ?. (4)






Таблица 1. Варианта, определяемая формулой (3)

n
xn
n
xn
1
2
67
1,010399
11
1,414213
68
1,010245
1,065040
69
1,010096
12
1,059462
70
1,009951
13
1,054765
71
1,009810
21
1,033557
97
1,007171
22
1,032008
98
1,007097
23
1,030595
99
1,007025
24
1,029302
100
1,006955
25
1,028113
101
1,006886

Для варианты (3) a=1, а по данным таблицы 1 можно проверить справедливость неравенства (4). Действительно, пусть ?=0,06, тогда для всех n?11 из табл.1 следует неравенство ? хn - 1?? 0,06. Уменьшаем ? и принимаем ?=0,03, тогда неравенство (4) справедливо для всех n?23.
Аналогично, если ?=0,01, то n?69; а при ?=0,007 n?99.
Таким образом, данный вычислительный эксперимент над вариантой (3) позволяет наглядно выявлять ее свойства и проверять ее асимптотические оценки, получаемые аналитически.
На практических занятиях по математике решаются задачи, развивающие теоретические знания и иллюстрирующие прикладной характер математики и ее проникновение в различные области знаний. Однако современные компьютерные технологии позволяют увеличить сложность этих задач и значительно приблизить их к реальной действительности.
Последнее означает, что часть практических занятий следует перенести в компьютерный класс. Это легко осуществимо на современном этапе развития программных средств, так как такие пакеты как Excel или Mathcad позволяют осуществлять математические вычисления, в том числе и многие аналитические выкладки без использования языков программирования.
Применение электронных таблиц Excel рассмотрим на примере решения линейных алгебраических уравнений методом Гаусса. Рассмотрим следующую систему из уравнений с 5-ю неизвестными:
a11x1+a12x2+a13x3+a14x4+a15x5=b1
a21x1+a22x2+a23x3+a24x4+a25x5=b2
a31x1+a32x2+a33x3+a34x4+a35x5=b3 (5)
a41x1+a42x2+a43x3+a44x4+a45x5=b4
a51x1+a52x2+a53x3+a54x4+a55x5=b5,

где: х1, х2...х5 - неизвестные величины; a11, a12... a54, a55 - коэффициенты при неизвестных (первый индекс обозначает № строки, а второй - № столбца); b1, b2... b5 - свободные члены.
Решение уравнения (5) методом Гаусса заключается в последовательном исключении неизвестных ?2?. Сначала необходимо убедиться в том, что a11?0. Далее исключаем неизвестное х1 из всех уравнений, кроме первого. Для этого обе части первого уравнения в системе (5) умножаем на A1=a21/a11. Затем вычитаем полученный результат из 2-го уравнения системы (5):

(a21-A1a11)x1+(a22-A1a12)x2+...+(a25-A1a15)x5=b2-A1b1.

Учитывая, что (a21-A1a11)=0 и, введя новые обозначения: (a22-A1a12)=a22?,... ..., (a25-A1a15)x5=a25?, b2-A1b1=b2? , последнее выражение запишем в виде:

a22?x2+a23?x3+a24x4?+a25?x5=b2?.

Далее, обе части 1-го уравнения системы (5) умножим на A2=a31/a11 и вычтем результат (по частям) из 3-го уравнения системы (5), получив:

(a31-A2a11)x1+(a32-A1a12)x2+...+(a35-A2a15)x5=b3-A2b1.

Учитывая, что (a31-A2a11)=0 и, введя новые обозначения: (a32-A2a12)=a32?,.. ..., (a35-A2a15)x5=a35?, b3-A2b1=b3?, последнее выражение запишем в виде:

a32?x2+a33?x3+a34?x4+a35?x5=b3?.

Производя подобные вычисления с остальными уравнениями, систему (5) сведем к следующему виду:

a11x1+a12x2+a13x3+a14x4+a15x5=b1
a22?x2+a23?x3+a24?x4+a25?x5=b2?
a32?x2+a33?x3+a34?x4+a35?x5=b3? (6)
a42?x2+a43?x3+a44?x4+a45?x5=b4?
a52?x2+a53?x3+a54?x4+a55?x5=b5?

Далее, исключая неизвестное х2 из всех уравнений (6), кроме 1-го и 2-го, а затем повторяя этот цикл, исключим неизвестные х3 и х4 из остальных уравнений. В конечном итоге система (6) сведется к треугольному виду:

a11x1+a12x2+a13x3+a14x4+a15x5=b1
a22?x2+a23?x3+a24?x4+a25?x5=b?2
a33??x3+a34??x4+a35??x5=b3?? (7)
a44???x4+a45???x5=b4???
a55????x5=b5????.

Из последнего 5-го уравнения системы (7) можно вычислить первое неизвестное: x5=b5????/a5????. Затем, подставляя полученные неизвестные в 4-е, 3-е, 2-е и 1-е уравнение, последовательно вычислим остальные неизвестные: х4, х3, х2 и х1.
Использование электронных таблиц Excel позволяет просто и наглядно, несмотря на большое количество однотипных вычислений, используя автозаполнение, автоумножение строки на строку и автовычитание одной строки из другой, решить систему практически любой сложности. Для решения задачи сначала "привяжем" коэффициенты при неизвестных и свободные члены уравнения (5) к координатам ячеек таблиц Excel: a11=A1, a12=B1, a13=C1, a14=D1, a15=E1, b1=F1, a21=A2, a22=B2, a23=C2, a24=D2, a25=E2, b2=F2, a31=A3, a32=B3, a33=C3, a34=D3, a35=E, b3=F3, a41=A4, a42=B4, a43=C4, a44=D4, a45=E4, b4=F4, a51=A5, a52=B5, a53=C5, a54=D5, a55=E5, b5=F5.

Предположим, необходимо решить следующую систему уравнений ?3?:

х1+2х2+3х3+4х4+5х5=2

<< Пред. стр.

страница 2
(всего 6)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

Copyright © Design by: Sunlight webdesign