LINEBURG


<< Пред. стр.

страница 3
(всего 3)

ОГЛАВЛЕНИЕ

для функции F имеют противоположные знаки, по сравнению
с этими же слагаемыми в сумме В?Р+Г?Ш для функции ?F.
Значит, ?(V)=В?Р+Г?Ш=0.
Доказательство закончено: проективная плоскость не ограни-
чивает никакого трёхмерного тела!

§ 15
Вот такие неожиданные геометрические факты открывал Анри
Пуанкаре — основатель алгебраической топологии многообразий —
в 1890-е годы, когда математический мезозой незаметно сменял-
ся математическим кайнозоем, причём маститый Пуанкаре играл
роль первого индрикотерия в обновлении древней (палеозойской)
геометрии. Второй, младший индрикотерий — Давид Гильберт
(1862—1943) перестраивал столь же древнюю теорию чисел на но-
вый кайнозойский лад — так, чтобы она срослась воедино с новой
кайнозойской алгеброй — теорией групп — и старой (мезозойской)
алгебраической геометрией. А чем занимались в ту пору послед-
ние динозавры уходящего мезозоя?
В конце XIX века эта порода грозных ящеров сохранялась
только в доброй старой Англии. Старый Чарльз Дарвин уже умер,
и роль последнего динозавра играл Артур Кэли (1821—1895). Он
вырос в далёком Петербурге, где успел увидать живого Пуш-
кина и царя Николая I. Вернувшись в Англию, удалой юноша
окончил Кембридж и стал профессиональным адвокатом — но про-
должал увлекаться всем на свете, от математики до альпинизма.
Услыхав, что его старший коллега Гамильтон придумал интерес-
ное некоммутативное умножение векторов в ч е т ы р ё х м е р н о м
пространстве, молодой Кэли решил не уступать сопернику. Он
придумал в в о с ь м и м е р н о м пространстве такое умножение
векторов, которое даже не ассоциативно — но сохраняет многие
полезные свойства комплексных чисел.
Тогда же Артур Кэли увлёкся давней и, оказывается, всё ещё
не решённой задачей: хватит ли четырёх разных красок, чтобы
раскрасить любую карту на глобусе так, что страны-соседки полу-
чат разные цвета?
Первый необходимый шаг в доказательстве этого факта ясен:
нужно доказать, что на сфере нельзя нарисовать пять стран, лю-
бые две из которых граничат по отрезку. Если такая пятёрка стран
существует, то мы соединим их столицы попарно — кратчайшими
дорогами, и так получим вложение в сферу полного графа, натя-
нутого на пять вершин.
Но такое вложение н е в о з м о ж н о — ибо вложенный в сферу
полный граф с четырьмя вершинами разбивает её на четыре тре-
20
угольные области. Куда бы мы ни поместили пятую вершину —
из неё будут достижимы только три другие вершины, а четвёртая
будет заслонена одним из рёбер четырёхвершинного графа.
Таково начало доказательства гипотезы Кэли о четырёх крас-
ках на сфере. Как пройти от этого начала к желанному концу?
Сколько разных вариантов промежуточных карт придётся пере-
брать на индуктивном пути? Решить эту проблему Кэли не успел —
по многим причинам; например, потому, что у него не было
компьютера для перебора тысяч карт. Подходящий компьютер
и подходящие к нему головы геометров-программистов появились
на Земле через восемь десятилетий после Кэли — в глубоком
кайнозое (1976 год), когда все математические динозавры дав-
ным-давно вымерли.
Но прежде чем вымер Кэли, последний из его друзей-диноза-
вров — Джон Хивуд, молодой доцент Кембриджа — вдохновился
успехами Римана и Клейна в классификации замкнутых поверх-
ностей и решил разобраться с раскраской карт на любых поверх-
ностях. Например, тор: сколько попарно граничащих стран можно
на нём нарисовать? Сколько таких стран уместится на проектив-
ной плоскости или на бутылке Клейна?
Будучи опытным геометром, Хивуд быстро придумал довольно
сложные карты на этих поверхностях. На торе он нашёл семь
попарно граничащих стран, а на проективной плоскости — шесть.
Вот как выглядят эти карты.
Проведём на торе три параллели и один меридиан. Эти четыре
окружности рассекают поверхность тора на три длинные области —
полосы, которые начинаются и кончаются на меридиане. Разрежем




Рис. 19
21
Рис. 20

тор по этому меридиану — и склеим его вновь, после поворота
вдоль меридиана на 120? . В результате три страны-полосы склеятся
в одну очень длинную полосу, трижды обматывающую тор вдоль
его параллели и один раз — вдоль его меридиана. Теперь разрежем
эту сверхдлинную полосу на семь равных частей поперечными
отрезками. Поскольку 3/7<1/2, то каждая из семи стран занимает
на торе довольно скромное место: меньше его половины в длину,
и одну треть — в ширину. Поскольку числа 3 и 7 взаимно просты
и 9/7>1, то любые две из этих семи стран имеют общий отрезок
границы (рис. 19, рис. на 1-й стр. обложки). Вот и получилась
на торе карта, которую невозможно правильно раскрасить менее
чем семью цветами!
Чтобы создать сходную карту из шести стран на проектив-
ной плоскости, мы разобьём сферу на 12 пятиугольных стран —
согласно граням, рёбрам и вершинам правильного додекаэдра.
Этот многогранник центрально симметричен (рис. 20). Склеивая
попарно все его диаметрально противоположные вершины, рёбра
и грани, мы получаем разбиение проективной плоскости на шесть
пятиугольных стран, каждая из которых граничит по ребру с л ю-
б о й другой страной.
Итак, образцовые карты Хивуда нарисованы. Теперь мы пере-
ходим к доказательству теоремы Хивуда о раскраске произвольных
карт на замкнутой поверхности M с эйлеровой характеристи-
кой ?(М). Формулировка теоремы такова.
22
А. Если ?(М)>0, то любая карта на M
правильно раскрашивается шестью цветами.
Б. Если ?(M)=0, то любая карта на M
правильно раскрашивается семью цветами.
В. Если ?(М)<0, то любая карта на М
правильно раскрашивается C(?) цветами, где
A A
v
7+ 49?24? !
!
!.
!
C(?)=  
2
Из этой формулы видно, что в конце
доказательства нам придётся решать некое
квадратичное неравенство — притом решать
его в целых числах. Но прежде чем мы до него
доберёмся, нам нужно повторить довольно
хитрые геометрические рассуждения Джона
Хивуда.
О п р е д е л е н и е. Карта на поверхности М
называется регулярной, если в каждой её вер-
шине сходятся вместе т р и страны и т р и Рис. 21
ребра, а каждая страна гомеоморфна кругу.
З а м е ч а н и е. Если любая регулярная карта на поверхности М
правильно раскрашивается k разными красками, то и любая другая
карта на этой поверхности правильно раскрашивается k красками.
Д о к а з а т е л ь с т в о показано на рис. 21.
Видно, что на новой регулярной карте каждая страна имеет
н е м е н ь ш е соседок, чем имела её предшественница на старой —
не регулярной карте. И если мы умеем правильно раскрасить
новую карту k цветами — значит, мы можем это сделать и со ста-
рой, не регулярной картой. Заметим ещё одно полезное свойство
регулярных карт: для них 3В=2Р. Действительно, из каждой вер-
шины регулярной карты исходят три ребра; пересчитав их по всем
вершинам, мы получим удвоенное число рёбер карты, ибо каждое
ребро мы учли в обеих его вершинах.

§ 16
Теперь мы изложим основную геометрическую процедуру Хи-
вуда. Для заранее выбранной поверхности M с эйлеровой характе-
ристикой ? он перебирает все возможные карты на ней, в порядке
возрастания числа стран (Г) у этих карт.
Рассуждение ведётся путём индукции по Г. Основной шаг ин-
дукции таков: если мы умеем правильно раскрасить любую карту
на M с Г?1 странами с помощью k цветов и если в данной регу-
лярной карте с Г странами нашлась хоть одна страна, число рёбер
которой меньше, чем k — тогда и данную карту с Г странами мы
можем правильно раскрасить k цветами.
23
Как выполнить этот шаг индукции? Выбрав в карте K1
с Г странами такую страну C, которая ограничена менее чем
k рёбрами, мы с т я г и в а е м эту страну в точку. Это стягива-
ние возможно, поскольку каждая страна карты K1 гомеоморфна
кругу; ясно также, что стягивание круга в точку не изменяет по-
верхность M, в которой лежит этот круг. Значит, наше стягивание
круга даёт нам новую карту K2 на той же поверхности M — быть
может, не регулярную, но уже с Г?1 странами.
По индуктивному предположению, мы умеем правильно рас-
красить л ю б у ю карту на M с Г?1 странами — в том числе,
карту K2 — с помощью k цветов. В той вершине карты K2 , которая
получилась от стягивания страны C, сходятся вместе м е н ь ш е
чем k разных стран — тоже по предположению нашей индук-
ции. Значит, для этой вершины мы можем выбрать <свободный>
цвет — и окрасить им страну C в исходной карте K1 с Г странами
на поверхности M. Все прочие страны карты K1 мы раскрашиваем
теми же цветами, какие мы использовали при раскраске их обра-
зов на <стянутой> карте K2 .
Таково описание геометрической процедуры в одном шаге ин-
дукции Хивуда. Теперь нам нужно написать некое неравенство,
которое делает этот шаг возможным. Вот оно — неравенство Хивуда:
kГ>6(Г??).
Смысл его таков: если для данной поверхности M с эйлеровой
характеристикой ? найдётся натуральное число k такое, что не-
равенство Хивуда верно для любого числа стран Г, то любую
регулярную карту на M можно правильно раскрасить k цветами.
Проверим, гарантирует ли неравенство Хивуда выполнимость
геометрической процедуры Хивуда, описанной выше.
Вспомним, что ? =В?Р+Г, и что 3В=2Р для регулярной
карты. Подставив эти соотношения в неравенство Хивуда, мы по-
лучаем:
Р
6(Г??)=6(Р?В)=6· =2Р.
3
Итак, неравенство Хивуда принимает вид kГ>2Р. Из этого не-
равенства видно, что в регулярной карте с Г странами найдётся
страна, ограниченная менее чем k рёбрами. Значит, неравенство
Хивуда обеспечивает выполнимость геометрической процедуры Хи-
вуда — стягивания одной страны в точку, с последующей рас-
краской новой и старой карт. Теперь вся геометрическая работа
Хивуда и его индуктивные переходы между картами обоснованы
нами. Осталась чисто арифметическая работа: выяснить, каким
нужно брать число k для данной поверхности M с эйлеровой ха-
рактеристикой ?, чтобы для любой карты на ней с числом стран Г
выполнялось неравенство Хивуда kГ>6(Г??).
24
Решать это неравенство относительно k нам придётся тремя
разными путями — в зависимости от знака эйлеровой характери-
стики ? =?(М).
А. Пусть ?(М)>0. Это значит, что мы работаем со сферой или
с проективной плоскостью. В этом случае нам достаточно взять
k=6 — тогда неравенство kГ>6(Г??) будет выполнено при любом
значении Г.
Б. Пусть ?(М)=0. Это значит, что мы работаем с тором или
с бутылкой Клейна. В этом случае нам достаточно взять k=7,
чтобы обеспечить неравенство kГ>6(Г??) для всех значений Г.
В. Пусть ?(М)<0. Это значит, что мы работаем с кренделями
или с теми неориентируемыми поверхностями, которые накрыва-
ются этими кренделями при склейке пар противолежащих точек
кренделя.
В этом случае мы перепишем неравенство Хивуда в виде
# A
?!
k>6 1? ! !
Г
и заметим, что второе слагаемое в скобках неравенства п о л о-
ж и т е л ь н о, но оно у б ы в а е т с ростом Г. Чтобы обеспечить
выполнение этого неравенства при в с е х значениях Г, нам доста-
точно обеспечить его при н а и м е н ь ш е м осмысленном значении
Гmin =k+1, ибо любую карту с меньшим числом стран мы можем
правильно раскрасить k цветами.
Итак, мы должны решить в целых числах неравенство
# A
?!!.
!
k>6 1?
k+1 
Оно равносильно квадратичному неравенству k(k+1)>6(k+1??),
или k2 ?5k+6(? ?1)>0. Больший корень этого квадратного трёх-
v
5+ 49?24?
члена равен . Наименьшее натуральное число, пре-
2
восходящее этот корень или равное ему, выражается формулой
A A
v
7+ 49?24? !
!
!.
!
C(?)=  
2
Такое число красок достаточно для раскраски любой карты
на замкнутой поверхности M с эйлеровой характеристикой
?(M)<0. Например, для обычного кренделя с двумя <дырка-
ми> P2 мы получаем C=8, а для связной суммы трёх проективных
плоскостей H3 мы получаем C=7. Заметим, что для тора тоже
C=7, а для бутылки Клейна C=6: это единственный при-
мер, где верхняя оценка Хивуда оказалась завышенной! Во всех
прочих случаях она точна — даже для сферы, где формула Хи-
вуда подсказывает нам не обоснованный, но верный ответ C=4.
25
Как положено последнему динозавру (и священнику англикан-
ской церкви), Джон Хивуд не дожил до полного решения проблемы
четырёх красок, которое появилось на заре компьютерной эры —
в 1976 году и огорчило настоящих топологов. Они-то надеялись,
что эта проблема Кэли потребует новых мощных алгебраических
методов — быть может, даже введения в математику новых по-
нятий, вроде фундаментальной группы! Но оказалось, что здесь
достаточно усидчивой работы за компьютером — такова суть про-
блемы, и таков двадцатый век.

§ 17
Полтораста лет назад (1854) молодой и дерзкий геометр Георг
Риман объявил программу создания новой науки — топологии. Он
поставил главную задачу нового раздела геометрии: разобраться
в строении п р о и з в о л ь н ы х многообразий так же хорошо или
лучше, чем мы уже разобрались в строении замкнутых поверхно-
стей! Сто лет назад (1905) матёрый геометр Анри Пуанкаре изобрёл
необходимые алгебраические средства работы с многообразиями
любой размерности. Это — группы г о м о т о п и й и г о м о л о-
г и й. Первым примером этого рода стала фундаментальная группа
?(X) — она позволила различить две замкнутые поверхности отно-
сительно их гомеоморфизма. Наконец, 70 лет назад (1930) третий
могучий зверь из класса млекопитающих — Марстон Морс — при-
думал геометрическую конструкцию, которая позволяет явно опи-
сать л ю б о е замкнутое многообразие п р о и з в о л ь н о й размерно-
сти. С этого момента топология вступила в свой зрелый возраст: его
можно назвать кайнозойской эрой, по аналогии с нынешним цар-
ством млекопитающих зверей на всей Земле. Что же сделали новые
звери — топологи — за 70 лет бурного развития их науки? На-
сколько они сумели превзойти скромные открытия Римана и Пу-
анкаре, которые мы с вами разобрали на предыдущих страницах?
Первый крупный прорыв совершил в 1938 году англичанин
Хаслер Уитни. Он доказал, что л ю б о е многообразие размерно-
сти k можно вложить в евклидово пространство размерности 2k —
почти так же, как мы с вами вложили проективную плоскость
в четырёхмерное пространство. И эта оценка — неулучшаемая: су-
ществуют такие многообразия Mk , которые невозможно вложить
в пространство 2k?1 без самопересечений. Таковы, например, про-
ективные пространства Pk при k=2n ; в случае k=2 мы с вами
нечаянно натолкнулись на самую неукротимую из замкнутых по-
верхностей — проективную плоскость.
Кстати, мы с вами сумели п о г р у з и т ь проективную плос-
кость в трёхмерное евклидово пространство — расположить её там
без изломов, хотя и с гладкими самопересечениями. Оказывается,
26
что и этот результат наилучший: при k=2n проективное про-
странство Pk можно погрузить в евклидово пространство 2k?1 ,
но нельзя погрузить в пространство 2k?2 . Препятствием к тако-
му погружению оказались особые элементы в группах гомологий
проективных пространств — характеристические классы Уитни
и Понтрягина, которые обобщают знакомую нам эйлерову харак-
теристику и ориентацию замкнутой поверхности.
Как известно, аппетит приходит во время еды — во всяком
случае, у млекопитающих зверей. Топологи тоже обладают этим
качеством. Как только проблема вложения замкнутых многообра-
зий была решена, они взялись за проблему бордизма этих же
многообразий: каких алгебраических условий будет достаточно,
чтобы замкнутое многообразие Mk было краем компактного мно-
гообразия Wk+1 ? Не пригодятся ли и здесь характеристические
классы Уитни и Понтрягина?
Оказывается, да! В 1954 году проблему бордизма замкнутых
поверхностей решил молодой французский математик Рене Том —
уроженец города Гренобля, где когда-то дерзкий Жан Франсуа
Шампольон расшифровал древнеегипетские иероглифы. При этом
молодой египтолог Шампольон опирался на открытия маститого
англичанина — физика Томаса Юнга; а молодой тополог Рене Том
опирался на открытие маститого россиянина — Льва Понтрягина,
изобретателя характеристических классов.
Во время Второй мировой войны слепой математик Понтрягин
(1908—1988) был эвакуирован в Казань и там тратил много вре-
мени на стояние в разных очередях: за обедом, за куском мыла
и т. д. Чтобы не тратить это время попусту, Понтрягин постоян-
но размышлял о каких-нибудь геометрических задачах, например,
о гомотопических группах сфер большой размерности. Вдруг он
заметил, что эти группы (ещё никем не вычисленные) тесно связа-
ны с бордизмами многообразий — но не простых, а оснащённых,
вроде рассерженного ежа, из которого во все стороны торчат игол-
ки. Зная строение всех замкнутых многообразий размерностей 1
и 2, Понтрягин сумел вычислить в уме первые две гомотопические
группы сфер: обе они оказались изоморфны группе вычетов 2 .
Не имея полной информации о строении многообразий размерно-
сти 3, Лев Понтрягин не сумел вычислить третью гомотопическую
группу сфер. Она оказалась равна группе вычетов 24 . Это выяс-
нил в 1950 году очередной молодой француз — Жан-Пьер Серр,
используя новую разновидность топологической арифметики —
с п е к т р а л ь н ы е п о с л е д о в а т е л ь н о с т и, изобретённые учи-
телем Серра — Жаном Лере.
Вычисления Серра были очень красивы — но они не были
напрямую связаны с бордизмами гладких многообразий, как вы-
числения Понтрягина. Можно ли установить и здесь прямую связь
27
алгебры с геометрией? Эту задачу взялся решать Рене Том, когда
ему не повезло: попав в автомобильную катастрофу, он оказал-
ся на несколько месяцев привязан к постели. В этом неприятном
положении Рене Том остался наедине со своими мыслями — по-
чти как Лев Понтрягин в эвакуации. Итог получился столь же
удачный: Том сумел объединить алгебраическую технику Серра
с геометрическими конструкциями Понтрягина и решил проблему
бордизма гладких замкнутых многообразий. Оказалось, что лю-
бое замкнутое многообразие Mk либо ограничивает компактную
плёнку Wk+1 , либо оно бордантно какому-нибудь произведению
проективных пространств — действительных или комплексных;
при этом размерности всех сомножителей должны быть степенями
двойки. Например, в размерности 3 все бордизмы тривиальны —
т. е. всякое замкнутое многообразие M3 ограничивает некоторую
плёнку W4 ; зато в размерности 4 есть три разных класса много-
образий, не бордантных нулю или друг другу: их представители
обозначаются P2 ? P2 , P4 и P2 . Последнее из этих трёх мно-
гообразий — ориентируемое; так что бывают и ориентируемые
многообразия, не ограничивающие никаких плёнок.
Все эти замечательные открытия выздоровевший Рене Том
опубликовал в 1954 году. В этом же году Жан-Пьер Серр был
удостоен высшей награды Международного союза математиков —
Филдсовской медали. Тогда она впервые была присуждена тополо-
гу, и было уже ясно, что это не в последний раз.
И вот что любопытно: престарелый динозавр Джон Хивуд
(1861—1955), который первый разобрался в раскраске карт на по-
верхностях, успел узнать о блестящих открытиях своих далёких
наследников и преемников, успел порадоваться их триумфам! По-
думать только: этот человек родился ещё при жизни Римана, он
был всего на семь лет моложе Пуанкаре, на год старше Гильбер-
та! И вот — прожил от высокого мезозоя до высокого кайнозоя,
до великих открытий Понтрягина и Тома, Лере и Серра... Кстати,
два героя-ровесника — Жан-Пьер Серр и Рене Том — родились не-
задолго до создания теории Морса; они благополучно здравствуют
поныне, через полвека после своих первых триумфов, когда сре-
ди филдсовских лауреатов насчитывается уже более 10 топологов!
Но их открытия и вдохновение — это тема для особого разговора.
А читатели этой брошюры могут стать преемниками дел её геро-
ев — если увлекутся красотами новой математики так, как это
случилось в прежние времена с Эйлером и Риманом, с Пуанкаре
и Морсом, с Серром и Томом.

<< Пред. стр.

страница 3
(всего 3)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Copyright © Design by: Sunlight webdesign