LINEBURG


<< Пред. стр.

страница 2
(всего 3)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

<чудо>: интуитивно ясно, что эту приклейку н е л ь з я произве-
сти в пространстве без самопересечений! Спасибо интуиции — она
нас не обманывает. Действительно: в отличие от сферы, тора или
9
Рис. 8

кренделя, проективную плоскость н е л ь з я в л о ж и т ь в обычное
пространство без кратных точек самопересечения! Дело в том, что
всякая замкнутая поверхность, лежащая в трёхмерном про-
странстве, р а з д е л я е т его на две части — ограниченную
<внутренность> и неограниченную <внешность>, подобно тому,
как замкнутая кривая разделяет плоскость на две части.
Но известно, что лист Мёбиуса — поверхность о д н о с т о-
р о н н я я. Пройдя вдоль всей его <средней линии> с поднятым
вверх флажком, мы вернёмся в исходную точку — но флажок бу-
дет теперь <поднят> в другую сторону (рис. 8)! Это значит, что
флажок, не пересекая проективную плоскость, попал из <внешно-
сти> во <внутренность> дополнения к ней. Значит, у дополнения
к проективной плоскости в пространстве н е т отдельной <внеш-
ности> и отдельной <внутренности>! То же верно для л ю б о й
замкнутой поверхности, содержащей хотя бы один лист Мёбиу-
са и расположенной в пространстве. Оттого все эти поверхности
н е в к л а д ы в а ю т с я, а только погружаются в трёхмерное
евклидово пространство. Зато в четырёхмерное пространство они
вкладываются без самопересечений — но об этом речь пойдёт ниже.

§9
Вспомним, как тор Р1 породил бесконечное семейство крен-
делей Рk с помощью <связной суммы поверхностей> (рис. 9).



+ =



Рис. 9
10
Точно так же проективная плоскость Н1 поро-
ждает бесконечное семейство поверхностей Нk .
Все они, в отличие от кренделей, н е о р и е н т и-
р у е м ы. Нетрудно заметить и подсчитать (сде-
лайте это!), как преобразуется эйлерова харак-
теристика поверхностей при их связной сумме:
?(A+B)=?(A)+?(B)?2. Поэтому ?(Hk )=2?k.
Упомянутый выше геометр Анри Пуанка-
ре (1854—1912) доказал (когда пришла пора
для таких открытий), что любые две замкнутые
поверхности с р а з н ы м и эйлеровыми харак-
теристиками н е г о м е о м о р ф н ы друг другу.
Он доказал также, что любая ориентируемая по-
верхность н е г о м е о м о р ф н а любой неориен-
тируемой поверхности. Пути этих доказательств Рис. 10
мы рассмотрим ниже; пока важно заметить, что
все фигуры Pk и Hk попарно различны, даже с точки зрения топо-
логии — самой общей ветви геометрической науки. Но прежде чем
углубиться в эти тайны, геометры пожелали у в и д е т ь чертежи
всех фигур Нk . Пусть это будут картинки с самопересечениями —
лишь бы их можно было охватить единым взором!
Сказано — сделано. Первого успеха в изготовлении портрета
поверхности Н2 достиг в 1870 году молодой и везучий немец
Феликс Клейн (1849—1925) — достойный преемник рано умершего
Римана, будущий соперник Пуанкаре и друг Гильберта. Его про-
стую картинку до сих пор называют <бутылкой Клейна> (рис. 10).
Видно, что эту бутылку (как и тор) можно изготовить из обыч-
ного цилиндра. Но склеивать основания цилиндра здесь придётся
иначе: зеркально отразив окружность-торец относительно её диаме-
тра. Заметим ещё, что самопересечение бутылки Клейна устроено
довольно скромно: всего одна окружность, вдоль которой вытяну-
тое горлышко бутылки прорезало её бок. Можно ли изобразить
сходным путём проективную плоскость?
Да, можно! Для этого нужно заметить, что бутылка Клейна
имеет плоскость симметрии, которая рассекает её на две одинако-
вые половины (рис. 11). Каждая половина представляет собой лист
Мёбиуса, вложенный в полупространство весьма своеобразно: пе-
ресекая себя вдоль отрезка и так, что весь край листа Мёбиуса
уместился в краю полупространства! А теперь вспомним, как ста-
рик Мёбиус разложил проективную плоскость на две части —
на лист Мёбиуса и круг, склеенные по общему краю. Мы уже по-
грузили лист Мёбиуса в полупространство. Нам остаётся погрузить
в другое полупространство круг — но не как попало, а так, чтобы
край круга лежал в краю полупространства точно так, как в нём
лежит край листа Мёбиуса!
11
= +




Рис. 11




КРАЙ
ЛИСТА МЁБИУСА




ОКРУЖНОСТЬ


Рис. 12


Сделаем это. Рассмотрим край листа Мёбиуса, погружённый
в плоскость, как обычное погружение окружности — и начнём
двигать эту окружность по плоскости, допуская самопересечения,
но не допуская изломов кривой (рис. 12).
12
Рассмотрим с л е д этого движения окружности
по плоскости. Он задаёт п о г р у ж е н и е цилин-
дра в толстый <ломоть> пространства, заключённый
между двумя параллельными плоскостями (рис. 12).
В верхнем краю ломтя лежит погружённая окруж-
ность (край листа Мёбиуса), а в нижнем — вложенная Рис. 13
окружность, которую легко продолжить до вложе-
ния круга. Вот и всё! Теперь погружение проективной плоскости
в обычное пространство можно составить из трёх частей: из погру-
жения листа Мёбиуса в верхнее полупространство, из погружения
цилиндра в ломоть пространства согласно рис. 12 и из вложения
круга в нижнюю граничную плоскость ломтя.
Обратим внимание на множество всех к р а т н ы х точек по-
строенного нами погружения проективной плоскости в евклидово
пространство. Наблюдая за изменением семейства двойных точек
самопересечения окружности при её регулярной гомотопии по
плоскости, можно заметить то единственное мгновение, когда по-
явилась и сразу исчезла одна тройная точка будущего погружения
поверхности. Весь ансамбль кратных точек проективной плоскости
в трёхмерном пространстве выглядит, как лист клевера (рис. 13).
В этом букете каждая петля состоит из двойных точек, но
узловая точка букета — тройная. Около неё три разных листа
погружённой проективной плоскости пересекаются попарно орто-
гонально — как три координатные плоскости Oxy, Oxz, Oyz возле
начала координат O.

§ 10
А теперь мы попробуем в л о ж и т ь проективную плоскость
в ч е т ы р ё х м е р н о е евклидово пространство без самопере-
сечений. Увидеть эту картинку целиком нашими трёхмерными
глазами, конечно, невозможно — и не нужно. Всё, что происходит
в четырёхмерном пространстве, можно описать словами и изобра-
зить на трёхмерном чертеже столь же успешно и точно, как мы
изображаем трёхмерные тела на плоских чертежах.
Например, трёхмерное пространство есть произведение плос-
кости на прямую. Точно так же четырёхмерное пространство есть
произведение обычного пространства на прямую. Выделим в этом
произведении четырёхмерный <толстый ломоть> — произведение
трёхмерного пространства на отрезок — и вложим в верхнее осно-
вание ломтя лист Мёбиуса, а в его нижнее основание — круг.
Вспомним, что край листа Мёбиуса н е о б р а з у е т в обычном про-
странстве узла. Поэтому его можно непрерывным движением без
самопересечений превратить в окружность, стандартно вложенную
в плоскость и ограничивающую в ней круг.
13
Значит, мы можем дополнить наши две вложенные фигуры —
лист Мёбиуса в верхнем основании четырёхмерного ломтя и круг
в его нижнем основании — вложением в тело ломтя двумерного
цилиндра, согласно следу движения, <развязывающего> край ли-
ста Мёбиуса в пространстве. Объединение всех трёх вложенных
фигур — листа Мёбиуса, цилиндра над его краем и диска, замыка-
ющего другой край цилиндра — даёт нам вложение проективной
плоскости в евклидово пространство размерности 4.
Аналогично можно вложить в четырёхмерное пространство
связную сумму любого числа проективных плоскостей — т. е.
любую из известных нам замкнутых неориентируемых поверхно-
стей Нk . Нам осталось только доказать, что все в о з м о ж н ы е
замкнутые поверхности нам уже известны!
Для этого нужно сделать очередной пры-
жок на 60 лет вперёд: из эпохи молодого нем-
ца Феликса Клейна и юного француза Анри
Пуанкаре перескочить в эпоху молодого аме-
риканца Марстона Морса, когда стариков
Клейна и Пуанкаре уже не будет в живых.
На дворе будет 1930 год — расцвет эры мле-
копитающих в ноосфере — учёном сообществе
матушки Земли.
Если считать гениального Римана первым
) среди прытких новых зверей (кем-то вроде
первой лошадки — эогиппуса), а могучего
первопроходца топологии — Анри Пуанкаре
уподобить индрикотерию (который мог шутя
перешагнуть через обычного слона), то Мар-
стон Морс (1892—1977) оправдал значение
своей английской фамилии: Морж. Он спокой-
но и уверенно переплыл такое море, которое
ТОР старшие сухопутные коллеги по привычке
считали непроходимым. Вероятно, Пуанкаре
мог бы сделать это раньше — но недосуг бы-
ло, за прочими великими делами!
)
§ 11
Молодой Морс начал с простого замечания:
каждую из известных замкнутых поверхностей
(будь то сфера или тор, проективная плоскость
или бутылка Клейна) можно разложить в объ-
единение нескольких лент — либо плоских,
ПРОЕКТИВНАЯ ПЛОСКОСТЬ
H1 как обычное кольцо, либо кручёных — как
лист Мёбиуса. Тор составлен из двух таких
Рис. 14
14
Рис. 15


лент, последовательно приклеенных к краю круга крест-накрест
(рис. 14, а). Первая из этих лент (1) превращает край круга
(окружность) в край кольца (это — две окружности). Вторая лен-
та (2) восстанавливает связность края и позволяет нам заклеить
этот край <крышкой> — кругом (3) так, что мы получаем замкну-
тую ориентируемую поверхность.
Соорудить неориентируемую поверхность из лент ещё проще.
Ведь край листа Мёбиуса связен; поэтому приклейка к кругу
любого набора кручёных лент оставляет край поверхности связ-
ным — и мы в любой момент можем заклеить этот край крышкой
(рис. 14, б). Так и получаются два семейства замкнутых поверхно-
стей: Рk , где число плоских лент чётно, и Нk , где число кручёных
лент любое.
Как же доказать, что в с я к а я замкнутая поверхность М
составлена из плоских либо кручёных лент? Морс нашёл удиви-
тельно простой ход к цели. Достаточно задать на поверхности М
любую гладкую ч и с л о в у ю ф у н к ц и ю F — и проследить, как
изменяется множество меньших значений этой функции по дороге
от её минимума к максимуму!
Возьмём тор: поставим его на стол и сопоставим каждой точке
тора число, равное её высоте над столом. Видно, что множество
меньших значений М(F) существенно изменяется четырежды: при
проходе через все критические точки функции F, где касательная
плоскость к её графику горизонтальна (рис. 15).
Около точек минимума и максимума график функции F устро-
ен как чашка, открытая вверх (минимум) или вниз (максимум).
Около промежуточных точек график F выглядит как седло: при
15
1 2 3




4 5 6



Рис. 16


проходе через него (будь то снизу вверх или сверху вниз) к краю
?
множества меньших (или больших) значений функции приклеива-
ется лента — либо плоская, либо кручёная.
Морс доказал (это было не трудно), что на любой замкну-
той поверхности любую числовую функцию можно преобразовать
в <хорошую> функцию — с одной точкой минимума, одной точкой
максимума и несколькими седловыми точками. Поэтому всякая
замкнутая поверхность склеена из лент — либо только из плос-
ких, либо только из кручёных, либо из тех и других вперемежку.
Но оказалось, что <смешанных> поверхностей н е б ы в а е т: при-
клейка двух кручёных лент порождает такую же фигуру, как
приклейка одной плоской и одной кручёной ленты (рис. 16).
Вот так Марстон Морс сумел перечислить в с е возможные
замкнутые поверхности — и не только их, ибо теория Морса
оказалась применима к изучению м н о г о о б р а з и й л ю б о й
р а з м е р н о с т и. А теперь вернёмся на одно поколение назад —
в 1890-е годы, когда Морс родился, а Пуанкаре сумел решить про-
блему, поставленную Риманом: как различить любые поверхности,
не гомеоморфные друг другу? Видно, не случайно Анри Пуанкаре
родился в тот год (1854), когда Георг Риман прочёл перед лицом
старого Карла Гаусса знаменитую лекцию о ведущей роли много-
образий в обновлённой геометрии!
16
§ 12
Вспомним, что в XVIII веке Эйлер учредил арифметическую
топологию — когда он начал различать замкнутые поверхности
по значению на них арифметической суммы В?Р+Г. В нача-
ле XIX века Лагранж, Абель и Галуа ввели в математику новое
понятие группы — для того, чтобы <исчислять> преобразова-
ния фигур, которые не всегда удаётся записать целыми числами.
В конце XIX века Пуанкаре превратил арифметическую тополо-
гию в алгебраическую топологию: для этого он ввёл в геометрию
фундаментальную группу ?(?) произвольной фигуры ?.
Описать эту группу не трудно: все её элементы суть петли
с общей вершиной на фигуре ?, причём две петли эквивалентны
(гомотопны), если одна из них переводится в другую непрерыв-
ным движением (гомотопией). Перемножить две петли — значит,
пройти их одну за другой в определённом порядке. Ясно, что
фундаментальная группа у большинства фигур н е к о м м у т а-
т и в н а — и вычислять её не легко. Ещё труднее доказать, что
две разные группы н е и з о м о р ф н ы друг другу. Но эта зада-
ча облегчается в случае, когда обе группы коммутативны. Оттого
топологи часто добавляют в фундаментальную группу тождество
коммутативности: AB=BA для любых элементов A и B. Уж если
две сомнительные группы оказались не изоморфны после того, как
мы их прокоммутировали — значит, они и прежде были не изо-
морфны друг другу!
Именно так получается с фундаментальными группами замк-
нутых поверхностей. Пуанкаре заметил, что петли, порождающие
фундаментальную группу ?(?) поверхности ?, соответствуют тем
лентам (плоским или кручёным), из которых склеена поверх-
ность ?. А ещё в группе ?(?) есть о д н о соотношение: оно воз-
никает, когда мы приклеиваем завершающий круг к краю объеди-
нения всех лент, составляющих нашу поверхность ? (см. рис. 14).

§ 13
Например, в случае проективной плоскости мы приклеили за-
вершающий круг к краю листа Мёбиуса, который обегает его
среднюю линию д в а раза. Оттого группа ?(?) поверхности H1
задана одним элементом a и одним соотношением: а·а=e. Это —
знакомая вам группа 2 вычетов по модулю 2; она состоит из двух
элементов. Вскоре мы увидим, что у всех прочих замкнутых
поверхностей фундаментальные группы либо бесконечны, либо
тривиальны (у сферы). Так мы единым махом доказали довольно
сильное утверждение: проективная плоскость H1 не гомеоморфна
никакой другой замкнутой поверхности. Вот для таких триумфов
и создавалась алгебраическая топология!
17
Перейдём теперь к бутылке Клейна H2 . Она склеена из двух
листов Мёбиуса; поэтому в её группе ?(?) есть две образую-
щие а, b и одно соотношение: a·a·b·b=e. Если упростить эту
группу путём коммутирования и заменить одну из образующих b
на более сложную ab, то получится группа + 2 . Аналогично,
для более сложных поверхностей семейства Нk прокоммутирован-
ная фундаментальная группа ?(?) изоморфна сумме (k?1) + 2 .
Как доказать, что все эти группы попарно не изоморфны?
Дело в том, что в каждой из этих групп есть лишь о д и н эле-
мент порядка 2. При любом изоморфизме таких групп их элементы
порядка 2 переходят друг в друга. Профакторизовав по этим эле-
ментам наши группы, мы получим изоморфизм между более про-
стыми группами: (k?1) =(m?1) . Но он возможен, только если
k=m: иначе мы получили бы изоморфизм векторных пространств
разных размерностей, невозможность которого была доказана ещё
Гауссом. Точно так же доказывается попарная неизоморфность
групп ?(?) для разных кренделей Pk : их фундаментальные груп-
пы после коммутирования становятся изоморфны (2k) . Наконец,
изоморфизм групп k и m + 2 невозможен потому, что в одной
из этих групп есть элемент порядка 2, а в другой такого эле-
мента нет. Вот мы и разобрали алгебраическое (на языке теории
групп) доказательство знаменитой теоремы Пуанкаре о том, что
все известные замкнутые поверхности попарно не гомеоморфны.

§ 14
Что же делать дальше? Дальше в умной голове Анри Пуанкаре
возник совсем наивный вопрос: ч ь и м и поверхностями (т. е. кра-
ями каких трёхмерных тел) являются известные нам замкнутые
поверхности? Для поверхностей Pk всё ясно: согласно нашему по-
строению, они ограничивают знакомые всем кренделя. Не очень
трудно построить тело, краем которого служит бутылка Клейна:
оно получится из бублика, если склеить попарно все его точки,
симметричные относительно центра бублика (рис. 17).
Но для сферы похожая операция не проходит — потому что
центр сферы находится внутри шара (а центр бублика лежит вне
его). Результат склейки всех пар диа-
метрально противоположных точек ша-
ра н е б у д е т трёхмерным многообра-
зием (устроенным около каждой точки
так же, как обычное пространство) —
потому что центр шара не с чем склеить!
По этой причине нам не удаётся по-
строить тело, ограниченное проективной
плоскостью. Более того, эта поверхность
Рис. 17
18
Рис. 18


н е о г р а н и ч и в а е т н и к а к о г о т р ё х м е р н о г о т е л а! Тако-
го чуда не предвидел даже хитроумный и опытный геометр Анри
Пуанкаре. Но, нечаянно обнаружив этот чудесный факт, Пуанка-
ре сумел доказать его — путём не очень сложных геометрических
конструкций.
Оказалось, что только поверхности с ч ё т н ы м и эйлеровыми
характеристиками служат границами трёхмерных многообразий —
потому, что эйлерова характеристика ?(W)=В?Р+Г?Ш любого
замкнутого трёхмерного многообразия W равна н у л ю.
Вывести первое утверждение из второго не сложно. Допустим,
что проективная плоскость H1 является краем некоторого трёхмер-
ного тела V. Возьмём два экземпляра этого тела и склеим их по их
общему краю — так, как раньше мы склеивали два листа Мёбиу-
са, чтобы получить бутылку Клейна (рис. 18). Теперь мы получим
замкнутое трёхмерное многообразие W: его строение нам не ясно,
но мы знаем (со слов Пуанкаре), что эйлерова характеристика ?(W)
равна 0.
Из чертежа видно, что ?(W)=2?(V)??(Н1 ). Аналогично эйле-
рова характеристика бутылки Клейна выражалась через эйлеровы
характеристики листа Мёбиуса и его границы — окружности.
Но там мы не получили арифметического противоречия, поскольку
эйлеровы характеристики всех трёх фигур — участниц склейки —
равнялись нулю. Здесь же одна из характеристик — ?(Н1 ) —
нечётна, а другая — ?(W) — равна 0. Оттого наше равенство не-
выполнимо по модулю 2 — и тем более, в целых числах.
Наметим теперь схему доказательства того факта, что эйлерова
характеристика В?Р+Г?Ш любого замкнутого трёхмерного мно-
гообразия W равна нулю. Проще всего вывести этот факт из теории
Морса — используя те разложения многообразия W в объединение
точек (В), отрезков (Р), кругов (Г) и шаров (Ш), которые задают-
ся гладкими числовыми функциями на многообразии V. Рассмо-
трим сразу две такие функции: F и ?F. Задаваемые ими суммы
В?Р+Г?Ш должны быть равны — если эйлерова характери-
стика многообразия W определена корректно. Но из нечётности
19
размерности 3 следует, что все слагаемые суммы В?Р+Г?Ш

<< Пред. стр.

страница 2
(всего 3)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

Copyright © Design by: Sunlight webdesign