LINEBURG


страница 1
(всего 3)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

Библиотека
<Математическое просвещение>
Выпуск 27




С. Г. Смирнов


ПРОГУЛКИ
ПО ЗАМКНУТЫМ
ПОВЕРХНОСТЯМ




Издательство Московского центра
непрерывного математического образования
Москва • 2003
УДК 515.16
ББК 22.152
С50


Аннотация
Изучение замкнутых поверхностей началось в XVIII веке
с теоремы Эйлера: В?Р+Г=2 для всякого выпуклого много-
гранника. Но для невыпуклых многогранников выражение ? =
=В?Р+Г может принимать совсем другие значения. Приняв
значение ? за численную характеристику поверхности, мы получа-
ем её первый т о п о л о г и ч е с к и й и н в а р и а н т: он позволя-
ет доказать, например, что тор н е э к в и в а л е н т е н кренделю.
Но различить таким образом тор и бутылку Клейна н е у д а ё т-
с я: нужен другой инвариант, выражающий о р и е н т и р у е-
м о с т ь поверхности. В конце XIX века Пуанкаре навёл алгебра-
ический порядок среди всех замкнутых поверхностей. Одновре-
менно Хивуд связал эйлерову характеристику ? с наименьшим
числом цветов, необходимых для раскраски любой карты на дан-
ной поверхности. В XX веке геометры стали изучать поверхности
с новой точки зрения: какие из них являются границами неких
тел, и какие из них можно изобразить в пространстве без самопе-
ресечений. Пути решения этих проблем рассмотрены в брошюре.
Брошюра рассчитана на широкий круг читателей: школьни-
ков, студентов, учителей.

Издание осуществлено при поддержке
Департамента образования г. Москвы
и Московской городской Думы.



ISBN 5-94057-120-4 © С. Г. Смирнов, 2003.
© МЦНМО, 2003.

Сергей Георгиевич Смирнов.
Прогулки по замкнутым поверхностям.
(Серия: <Библиотека ,,Математическое просвещение“>. Вып. 27).
М.: МЦНМО, 2003. — 28 с.: ил.
Редактор А. Б. Сосинский.
Техн. редактор М. Ю. Панов. Корректор Т. Л. Коробкова.

Лицензия ИД № 01335 от 24/III 2000 года. Подписано в печать 10/X 2003 года.
Формат бумаги 60?88 116 . Бумага офсетная № 1. Печать офсетная. Физ. печ. л. 1,75.
/
Усл. печ. л. 1,71. Уч.-изд. л. 1,72. Тираж 3000 экз. Заказ 3922.

Издательство Московского центра непрерывного математического образования.
119002, Москва, Г-2, Бол. Власьевский пер., 11. Тел. 241 05 00.

Отпечатано с готовых диапозитивов
в ФГУП <Производственно-издательский комбинат ВИНИТИ>.
140010, г. Люберцы Московской обл., Октябрьский пр-т, 403. Тел. 554 21 86.
§1
Биологи привыкли делить историю жизни
на Земле на три эры: палеозой (эру трилоби-
тов), мезозой (эру динозавров) и кайнозой (эру
млекопитающих животных). Всю историю ма-
тематики тоже можно разделить на три эры.
Античность (или научный палеозой) замеча-
тельна тем, что её учёные люди (Пифагор,
Архимед, Цзу Чун-чжи и их коллеги в Элладе СФЕРА
и Китае) хорошо знали целые числа и про-
стые фигуры — вроде куба или параболы,
но не ведали позиционной записи чисел. Науч-
ный мезозой начался в XVII веке — когда пер-
вый динозавр (Рене Декарт) ввёл на плоско-
сти числовые координаты, записал уравнения
несложных кривых линий и начал изучать ТОР
графики функций путём их математического
анализа. В XIX веке эта сфера знаний достиг-
ла совершенства: тогда первый млекопитаю-
щий (Георг Риман) применил все накопленные
методы работы к изучению гладких много-
образий. В течение кайнозоя (XX век) новая
наука о многообразиях (алгебраическая топо-
логия, основанная <индрикотерием> — Анри
Пуанкаре) объединила вокруг себя все прочие
ветви математики в единое дерево — разве-
систое и обильно плодоносящее в наши дни.
Самые простые многообразия имеют раз-
мерность 2 и называются замкнутыми поверх-
ностями. Ими мы займёмся, начав с простого
определения: замкнутой поверхностью назы-
вается любая ограниченная (компактная) фи-
КРЕНДЕЛЬ
гура, около каждой своей точки устроенная
С ДВУМЯ ДЫРКАМИ
так же, как обычная плоскость.
Рис. 1
Примеры замкнутых поверхностей знако-
мы всем — это сфера (поверхность шара —
или колобка), тор (поверхность бублика) и крендель (с двумя или
?
большим количеством дырок в тесте), рис. 1.

§2
Поглядев на этот ряд фигур, неизбежно задаёшь вопрос: мож-
но ли их о т л и ч и т ь друг от друга иначе, чем <на глазок>?
Сможет ли их различить компьютер по каким-нибудь числовым ха-
рактеристикам этих поверхностей? Например, если мы нарисовали
3
на некой поверхности карту — отгадает ли
компьютер, на к а к о й поверхности она
нарисована?
Вопросы такого рода приходили в го-
лову даже динозаврам в мезозойскую
эру — т. е. в XVII веке, в эпоху Ришелье
и д’Артаньяна. Кстати, именно тогда бы-
ли построены первые компьютеры — ме-
ханические арифмометры. Их построил
Блез Паскаль (1623—1662) — коллега
и конкурент Декарта в создании аналити-
ческой геометрии. А сам Рене Декарт
КУБ
(1596—1650) заметил неожиданное общее
=8, =12, =6;
? + =2 свойство всех правильных многогранни-
ков: для любого из них В?Р+Г=2, где
В — число вершин многогранника, Р —
число его рёбер, Г — число его граней,
рис. 2.
Сделав это наблюдение, Декарт обра-
довался: как будет хорошо, если это свой-
ство выделяет правильные многогранни-
ки среди всех прочих! Но вскоре пришло
отрезвление: формула В?Р+Г=2 вер-
на для всех в ы п у к л ы х многогран-
ников, и для многих невыпуклых — тоже.
Разочарованный таким <ненужным>
открытием, Декарт оставил эту тему по-
ОКТАЭДР
томкам — следующему поколению мате-
=6, =12, =8;
матических динозавров.
? + =2


§3
Прошло полвека, прежде чем на свет
появился очередной великий матема-
тик — Леонард Эйлер (1707—1783).
В эту пору научные динозавры перестали
работать в уединении, подобно Декарту
и Паскалю. Они сбивались в стаю, назы-
вали её академией наук и вместе обсу-
ждали самые важные проблемы. Четыре
самые авторитетные академии возни-
ДОДЕКАЭДР
кли в Лондоне (1662), в Париже (1666),
=20, =30, =12;
? + =2 в Берлине (1700) и в Петербурге (1724).
Именно в Петербург приехал 20-летний
Эйлер со своим другом — Даниилом
Рис. 2
4
Бернулли (1700—1782). Позднее оба друга стали первыми акаде-
миками всех четырёх академий Европы.
Молодой Эйлер был готов заниматься любой точной наукой,
какая под руку попадётся. То он в одиночку и вручную обраба-
тывал данные первой российской переписи населения; то читал
лекции по исчислению дифференциалов и интегралов для буду-
щих морских офицеров; то упражнялся в дешифровке очередного
тайного послания какого-нибудь иностранного посла к своему мо-
нарху. В перерывах между этими важными делами Эйлер искал
и находил новые задачи из <чистой> математики — и решал их,
если хватало времени и сил.
Именно тогда Эйлер открыл для себя большую теорему Фер-
ма — и доказал её для степеней 3 и 4, а дальнейшую ра-
боту оставил для новой научной молодёжи (работы им хватило
на 250 лет). Тогда же Эйлер переоткрыл формулу Декарта для
выпуклых многогранников (В?Р+Г=2) — и доказал её очень
простым способом, выявляющим главную суть дела.
Действительно, если эта формула верна для в с е х выпуклых
многогранников, то чьё же свойство она выражает? Наверное, это
свойство с ф е р ы — той замкнутой поверхности, на которой можно
нарисовать контур любого выпуклого многогранника, состоящий
из вершин (В) и рёбер (Р). При этом сфера разбивается на столько
областей, сколько граней (Г) у исходного многогранника. Иными
словами, поверхность любого выпуклого многогранника взаимно
однозначно деформируема в сферу путём сжатий или растяже-
ний — но без разрывов или склеек1 ).

§4
После такого переосмысления теорема Эйлера о многогран-
никах приобрела очень простую формулировку и доказательство.
Всякое вложение связного графа с В вершинами и Р рёбрами
в сферу разбивает её на Г областей, причём В?Р+Г=2.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть на сфере нарисован произволь-
ный связный граф с В вершинами и Р рёбрами, разбивающий её
на Г областей. Мы будем последовательно упрощать наш граф,
уменьшая числа его рёбер и вершин, но так, чтобы сумма В?Р+
+Г сохранялась при всех упрощениях. Если после всех упрощений
будет выполнено условие В?Р+Г=2, значит, оно выполнялось
и для исходного графа. Упрощения графа будут двух сортов.
1? . С т я г и в а н и е в точку одного ребра, соединяющего две
разные вершины. Такая операция уменьшает на единицу число
вершин графа (В) и точно так же уменьшает число его рёбер (Р).
1
) Такую деформацию математики XX века назвали гомеоморфизмом фигур:
это понятие нам пригодится позже.
5
Число областей (Г), на которые граф делит
сферу, при этом н е и з м е н я е т с я — так что
сумма В?Р+Г сохраняется1 ) (рис. 3, а—д).
Наша операция 1? может увеличить чи-
сло петель в графе — но это нам не меша-
ет. Напротив, наша промежуточная цель —
сделать число вершин графа (В) равным 1
(рис. 3, д). Такой граф называется букетом
)
v 1? петель; упростить его дальше с помощью опе-
рации 1? невозможно; поэтому мы вводим сле-
дующую операцию.
2? . Пусть на сфере лежит букет петель; мы
уберём одну из них. Тогда число областей (Г),
на которые делит сферу новый граф (он —
тоже букет петель), на единицу меньше, чем
было у исходного графа. Значит, сумма В?
?Р+Г сохраняется при преобразовании 2? .
)
v 1? Ясно, что таким образом мы можем умень-
шить число рёбер графа до нуля: граф пре-
вратится в одну точку на сфере, а для такого
графа В?Р+Г=1?0+1=2. Доказательство
теоремы Эйлера закончено.

§5
Теперь мы построим к о н т р п р и м е р
)
к теореме Эйлера с помощью н е в ы п у к л о г о
v1 ?

многогранника, нарисованного на т о р е
(рис. 4). Для этого многогранника В?Р+Г=0!
Итак, для некоторых вложений некоторых
графов в тор сумма В?Р+Г равна нулю —
а не двойке, как на сфере. Верно ли это для
любого вложения любого графа в тор? К сожа-
лению, нет. Например, окружность (т. е. граф
с одной вершиной и одной петлёй) можно вло-
)
жить в тор двумя способами: либо так, что
v 1?
окружность уместится в маленьком круге (как
на сфере), либо так, что она станет меридиа-
ном тора или его параллелью (рис. 5, а—в).
В случае а окружность разбивает тор на две
области; в случаях б и в дополнение к окруж-
ности в торе связно — значит, область одна.
1
) З а м е ч а н и е. В графе некоторые пары вершин
) могут быть соединены н е с к о л ь к и м и рёбрами, а для
Рис. 3 некоторых рёбер (петель) начало и конец могут совпадать.
6
=16, =32, =16
? + =0
Рис. 4




) ) )
Рис. 5

Конечно, Эйлер заметил разницу между этими картинками —
и нашёл условие, необходимое для одинаковых значений суммы
В?Р+Г при разных вложениях графа в тор или более сложную
поверхность.
Заметим, что при подсчёте суммы В?Р+Г мы должны счи-
тать, что любая область из дополнения к графу K, вложенному
в поверхность М, г о м е о м о р ф н а кругу без границы.
На сфере это условие выполнено для любого вложения любого
связного графа. Но на торе это не всегда так. Минимальный граф,
п р а в и л ь н о р а з б и в а ю щ и й тор — это букет двух петель: па-
раллели и меридиана. Дополнение к такому графу состоит из одной
правильной области, так что В?Р+Г=1?2+1=0. Сходные раз-
биения можно построить на кренделе с k <дырками>: в этом случае
сумма В?Р+Г принимает значение 2?2k. (Постройте на крен-
деле с двумя <дырками> букет петель, удовлетворяющий условию
Эйлера. Сколько петель для этого потребуется?)
К сожалению, Эйлеру не удалось придумать строгое доказа-
тельство формулы В?Р+Г=2?2k для л ю б о г о графа, лежа-
щего на кренделе с k дырками и правильно разбивающего эту
поверхность. Эйлер оставил эту задачу своим преемникам, надеясь
на дерзость и смекалку новых динозавров. Потомки не подвели
Эйлера — хотя ждать успеха пришлось долго. Доказать коррект-
ность определения эйлеровой характеристики сумел только Анри
Пуанкаре в конце XIX века — когда эра динозавров в математике
сменялась эрой млекопитающих.
7
§6
Но ещё в середине XIX века сразу несколько дерзких мате-
матиков задались простым вопросом: в с е ли возможные замкну-
тые поверхности обнаружил Эйлер? Видно, что для <кренделей>
сумма В?Р+Г (её назвали эйлеровой характеристикой поверхно-
сти) принимает чётные значения. Нет ли поверхности с нечётной
эйлеровой характеристикой? Например, можно ли построить по-
верхность и правильный граф на ней, для которых В?Р+Г=1?
Оказывается, можно! Такую поверхность впервые построил
Георг Риман (1826—1866) — ученик великого математика Карла
Гаусса и лучший геометр своего времени. Исследуя геометрию фи-
гур на сфере, Риман заметил интересный факт: о к р у ж н о с т и
наибольшего радиуса играют на сфере ту же роль, что п р я -
м ы е на плоскости! Ведь отрезок большой окружности является
к р а т ч а й ш е й линией, соединяющей две любые точки на сфере.
Правда, геометрия Римана на сфере резко отличается от геометрий
Евклида или Лобачевского на плоскости. В ней вовсе н е т п а р а л-
л е л ь н ы х <прямых>, ибо любые две окружности наибольшего
радиуса пересекаются в двух концах некоторого диаметра сферы!
Сам по себе этот факт не шокировал современников Римана.
Они успели привыкнуть к геометрии Лобачевского, где через лю-
бую точку вне <прямой> можно провести много разных <прямых>,
не пересекающих данную <прямую>. Ну, а если <псевдопараллель-
ных> прямых бывает много — значит, может не быть и ни одной!
Но вот пересечение двух прямых в д в у х разных точках — это
неестественно. Разные прямые должны пересекаться в одной точ-
ке — либо вовсе не пересекаться!
Так думал и Риман; поэтому он решил <исправить> сферу,
склеив к а ж д у ю её точку с другой точкой — диаметрально
противоположной. То, что получилось в результате, современники
Римана назвали проективной плоскостью — благо эту странную
поверхность давным-давно построили иным путём и использовали
французские геометры во главе с Жераром Дезаргом, современни-
ком Декарта и Паскаля.

§7
Интересно, что оба первооткрывателя — Дезарг и Риман — вос-
принимали необычную проективную плоскость лишь как удобную
м о д е л ь, где воплощена нужная система геометрических преобра-
зований или удобная система аксиом. О том, как в ы г л я д и т в с я
проективная плоскость — <вблизи> или <в целом>, первым задумался
другой ученик Гаусса — Август Мёбиус (1790—1868), пожилой и скром-
ный профессор астрономии и геометрии. Он начал с чертежа проек-
тивной плоскости, используя как заготовку привычный чертёж куба.
8
Из определения проективной плоско-
сти по Риману следует, что на ней в с е-
г о будет в д в о е м е н ь ш е, чем на сфе-
ре. Не шесть граней, а три; не восемь
вершин, а четыре; не 12 рёбер, а только
шесть (рис. 6). Поэтому эйлерова харак-
теристика В?Р+Г проективной плоско-
сти равна 1.
Забудем ненадолго о <приполярных>
областях сферы и займёмся тем, что
Рис. 6
происходит вблизи её экватора, когда
там склеиваются вместе все пары диаме-
трально противоположных точек. Из че-
тырёх боковых граней куба две соседние
исчезают; зато две другие соседки скле-
иваются вместе своими параллельными )
рёбрами — но не так, как мы привыкли
изготовлять цилиндр из прямоугольной
бумажки, а с п е р е в о р о т о м ребра-от-
резка вокруг его середины (рис. 7, а). Эту
склейку вы, наверное, когда-то в детстве
выполняли сами — и знаете, что полу-
ченная вами <перекрученная на 180? >
лента называется <листом Мёбиуса>
(рис. 7, б). Почему её не заметили Де-
карт или Дезарг, Эйлер или Риман?
Наверняка замечали — но не придали
большого значения случайной находке, )
не укладывающейся в красивую общую Рис. 7
теорию. А вот Мёбиус оценил свою на-
ходку по достоинству — и нечаянно обрёл на склоне лет научное
бессмертие. Урок для всех добрых молодцев: следите внимательно
за любыми чудесами вокруг себя — особенно за теми, о которых
вам никто не сообщил заранее!

§8
Итак, лист Мёбиуса составляет главную часть проектив-
ной плоскости — её более сложную половину. Другая половина
той же плоскости получается из <приполярной> области сферы —
т. е. из обычного круга, который приклеивается к листу Мёбиу-
са по их общему краю — окружности. Здесь нас ожидает новое

страница 1
(всего 3)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

Copyright © Design by: Sunlight webdesign