LINEBURG


<< Пред. стр.

страница 3
(всего 4)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

с равными противоположными сторонами AB = CD, AD = BC. Тогда
склеенный многогранник (известно только, что он будет выпуклым). — Прим. ред.
20 21
у этого четырёхугольника есть ось симметрии, проходящая через теперь точку S, симметричную N относительно прямой l, и повто-
середины диагоналей AC и BD, а в частном случае, когда четырёх- рим построения четырёхгранного угла с вершиной в S и основани-
угольник является параллелограммом, ось симметрии проходит ем ABCD. Объединение, или склеивание двух четырёхгранных углов
через точку пересечения диагоналей перпендикулярно плоскости NABCD и SABCD по их общему краю ABCD даст замкнутый много-
параллелограмма. гранник (рис. Ц1—Ц3; эти рисунки сделаны для октаэдра, постро-
Лемма 2. Пусть в пространстве дан четырёхугольник ABCD с по- енного на базе четырёхугольника из рис. 22, а), так как после такой
парно равными сторонами AB = AD, CB = CD. Тогда этот четырёх- операции край ABCD исчезает. Вместе с тем этот многогранник бу-
угольник имеет плоскость симметрии, проходящую через диаго- дет изгибаемым, так как изгибания новой его части SABCD можно
наль AC перпендикулярно диагонали BD. взять просто как симметричные относительно прямой l повторения
Эти леммы позволяют нам описать изгибаемые октаэдры Брикара изгибаний части NABCD (заметим, что положение прямой l в ходе
первого и второго типа. Рассмотрим четырёхзвенный механизм ABCD изгибания изменяется, но она всегда остаётся осью симметрии четы-
(т. е. четыре стержня, соединённые шарнирами и имеющие возмож- рёхугольника ABCD в ходе его изгибания; покажите, используя за-
ность вращаться вокруг них) и удовлетворяющий условиям леммы 1. мечание на стр. 21, что прямую l всегда можно считать направленной
Пусть l — его ось симметрии. Пусть N — произвольная точка про- вдоль фиксированной оси z).
странства, отличная от A, B, C, D и не лежащая на оси l (рис. 22, а Многогранник NABCDS имеет 6 вершин, 8 треугольных граней
и б изображают два разных вида четырёхугольника ABCD, дающих и 12 рёбер, для длин которых выполнены равенства
четырёхгранный угол NABCD без самопересечений и с самопересече-
AB = CD, BC = AD, NB = SD, NA = SC, ND = SB, NC = SA. (8)
ниями, соответственно). Соединим N с вершинами четырёхзвенника
ABCD и полученные «проволочные» треугольники NAB, NBC, NCD, Комбинаторно эти рёбра и грани соединены как рёбра и грани обычно-
NDA заклеим плоскими треугольниками (эта операция образно назы- го правильного октаэдра (см. рис. 15, а), поэтому NABCDS тоже мож-
вается «обшивкой каркаса гранями»). Получится четырёхгранный но назвать октаэдром, только расположение его вершин в простран-
угол с известными длинами рёбер. Этот четырёхгранный угол при стве отличается от расположения вершин выпуклого октаэдра, и по-
фиксированных длинах рёбер может изгибаться, причём его нетри- этому из рис. Ц1 трудно сразу увидеть, что мы имеем дело с другими,
виальные изгибания определяются изменяющимся значением одного непривычными нам реализациями в пространстве модели октаэдра.
параметра — угла a= ?ABC. Действительно, угол a определяет поло- На самом деле эти реализации октаэдра физически построить нельзя,
так как в них есть пересекающиеся грани. Например, на рис. 22, б уже
четырёхгранник NABCD имеет пересекающиеся грани NAB и NCD,
а) б)
N
N
l
l
а на рис. Ц2 каждый из четырёхгранных углов NABCD и SABCD
не имеет самопересечений, но в их объединении грань SBC пересека-
ется с гранями NAB и NAD, а грань NDC пересекается с гранью SDC.
D
D
Заметим следующее свойство построенных октаэдров: если взять
Bp
Cp
любые две вершины, не соединённые между собой ребром, то из ра-
A
A
венств (8) видно, что оставшиеся четыре вершины образуют четырёх-
C
B
угольник (называемый экватором октаэдра) с равными противопо-
ложными сторонами. Тем самым по лемме 1 каждый экватор имеет
Рис. 22
ось симметрии, но на самом деле все эти оси совпадают, и поэтому
жение треугольника ABC на плоскости p, а знание расстояний от трёх в проведённом построении все экваторы равноправны.
точек A, B, C до N определяет положение N однозначно (на самом де- Описанный выше октаэдр относится к первому типу изгибаемых
ле точка N может иметь два положения, симметричных относительно октаэдров Брикара. Второй тип октаэдров Брикара получается на
плоскости p, но мы рассматриваем только н е п р е р ы в н ы е изме- основании леммы 2 аналогично октаэдрам первого типа. Возьмём че-
нения исходного положения точки N), а знание положения точек A, тырёхугольник ABCD, удовлетворяющий условиям леммы 2. У него
есть плоскость симметрии p. Возьмём любую точку N, не лежащую
B, N и расстояний от них до D однозначно определяет непрерывные
на плоскости p и отличную от вершин четырёхугольника ABCD. Со-
изменения положения точки D.
Итак, четырёхгранник NABCD изгибается, но он являтся мно- единив N с точками A, B, C и D и заклеив «проволочные» треуголь-
гогранником с краем, его край — четырёхугольник ABCD. Возьмём ники плоскими, получаем изгибаемый четырёхгранный угол NABCD
22 23
с краем ABCD. Пусть S — точка, симметричная N относительно плос- как-то перемещаются, и они автоматически определяют движения
кости p. Построим четырёхгранный угол SABCD, и он вместе с че- боковых граней построенных тетраэдров.
тырёхгранным углом NABCD даст второй тип изгибаемых октаэдров
Брикара, которые тоже имеют самопересечения. У построенного ок-
D
таэдра имеем следующие равенства длин рёбер:
C
S
S
AB = AD, CB = CD, ND = SB, NB = SD, NA = SA, NC = SC. (9) A
В отличие от октаэдров первого типа, в данном случае не все экваторы D
D B
B
C
равноправны. А именно, у экватора NBSD равны противоположные
стороны, поэтому он имеет ось симметрии, а у экватора NASC есть N
равные пары прилегающих сторон, поэтому он имеет плоскость сим- A
B
метрии, совпадающую, конечно, с плоскостью p.
Существует ещё третий тип изгибаемых октаэдров, но их опи- Рис. 24 Рис. 25
сание существенно сложнее (и к тому же для дальнейшего они нам
не понадобятся). Ещё более сложно доказать, что эти три типа исчер- «Крышка» и «дно» склеены между собой по сторонам прямо-
пывают все изгибаемые октаэдры. угольника ABCD, и они вместе образуют замкнутый изгибаемый мно-
Используем теперь изгибаемые октаэдры Брикара, чтобы по- гогранник Q, состоящий из 24 боковых граней 8 тетраэдров. В от-
строить дельности на «крышке» и «дне» по построению самопересечений нет.
Боковые грани и рёбра тетраэдров «крышки» и «дна» располагаются
по разные стороны от общей плоско-
ИЗГИБАЕМЫЕ МНОГОГРАННИКИ КОННЕЛЛИ,
сти их оснований, поэтому они тоже
которые уже не имеют самопересечений (т. е. являются вложенными не пересекаются. Но рёбра на осно-
в пространство). Основная идея — попытаться построить изгибае- вании тетраэдров остались те же, что
мый многогранник, устранив самопересечения в октаэдрах Брикара. были в прямоугольнике на рис. 23.
D
Рассмотрим изгибаемый октаэдр Брикара первого типа, у которо- Видно, что есть всего две точки само-
C
a
a
го грани дважды покрывают прямоуголь- пересечения — точки a и b. Наша за-
S
N
N
C
D ник ABCD (рис. 23); L — точка пересече- дача — убрать эти самопересечения.
A
ния диагоналей прямоугольника, через В многограннике Q самопересе-
B
a
которую перпендикулярно к плоскости чер- чение выглядит как на рис. 26, т. е.
N S
L
L
тежа проходит ось симметрии l четырёх- фактически оно является самокаса-
b
звенника ABCD. Сначала сведём к миниму- нием: в точке a касаются рёбра двух
Рис. 26
му возможные самопересечения. Для этого двугранных углов. Коннелли сумел
B
A
в четырёхгранном угле NABCD заменим изменить один двугранный угол в окрестности точки a так, чтобы
Рис. 23
каждую грань тремя боковыми гранями исчезло самокасание, а новые элементы конструкции изгибались со-
тетраэдров, обращённых вершинами вверх, оставив рёбра основания гласованно с изгибанием изменённого двугранно-
на своём месте в прямоугольнике, причём выберем расположения го угла, состоящим в непрерывном изменении рас-
всех 12 граней так, чтобы они между собой не пересекались (для твора двугранного угла. R(a)
чего достаточно, чтобы вершины тетраэдров проектировались внутрь Для этого рассмотрим октаэдр Брикара второ- O(a)
D B
треугольников, которые они заменяют). Получим многогранник, го типа, построенный, однако, иначе, чем это де- a
составленный из четырёх тетраэдров без основания, как на рис. 24, лалось выше, а именно, исходя из наличия у него
и назовём этот многогранник «крышкой». экватора с осью симметрии, как это было замечено A C
Аналогичным образом заменим грани четырёхгранного угла выше. Пусть дан самопересекающийся плоский Рис. 27
SABCD тетраэдрами вершинами вниз и получим «дно» будущего четырёхзвенный механизм ABCD с равными про-
многогранника (рис. 25). тивоположными сторонами AB = CD, BC = AD (рис. 27). Легко пока-
При изгибании четырёхгранных углов NABCD и SABCD их рёбра зать, что вершины этого четырёхугольника являются вершинами
24 25
равнобочной трапеции, поэтому вокруг ABCD можно описать окруж- может быть выбрано так, чтобы точка a оказалась на отрезке DC,
ность. Центр O и радиус R окружности зависят от a= ?ABC. Четы- не попадая, однако, на ребро AB, т. е. чтобы изменённый верхний
рёхзвенник ABCD может изменять свою форму с сохранением длин двугранный угол на рис. 26 не касался нижнего двугранного угла. Та-
своих сторон (т. е. он может изгибаться), оставаясь на плоскости и кое же построение можно провести и в окрестности точки b — второй
имея сторону DC в неподвижном положении. При этом в новых поло- точки самокасания, причём размеры встроенного многогранника P
жениях вершины четырёхугольника по-прежнему будут вершинами можно подобрать так, чтобы в пределах некоторого изменения рас-
равнобочной трапеции и новое положение центра O(a) описанной ок- твора двугранного угла не появились новые самопересечения. Таким
ружности и её радиус R(a) при изгибании четырёхугольника ABCD на образом получится изгибаемый многогранник без самопересечений
плоскости изменяются непрерывно вместе с a. Возьмём теперь над и с 26 вершинами.
под точкой O(a) две точки N и S на одинаковом расстоянии h(a) от O(a) Легко видеть, что эту конструкцию можно сразу же упростить,
(можно и на разных расстояниях, с соответствующими изменениями а именно, в исходном дважды покрытом прямоугольнике можно оста-
в дальнейших рассуждениях), таком, чтобы R2 (a) + h2 (a) = d2 = const вить на месте грани AND и BSC (см. рис. 23), не заменяя их тетраэдра-
и соединим N(a) и S(a) отрезками длины d с точками A(a), B(a), C и D ми, тогда получится изгибаемый многогранник с 24 вершинами. Его
(рис. Ц3—Ц5). После «обшивки» каркаса плоскими треугольника- развёртку с подходящими размерами треугольников можно найти
ми получится октаэдр P, у которого есть в журнале «Квант», № 7 за 1979 год, а на рис. Ц10—Ц12 изображе-
N плоскость симметрии, проходящая через ны различные положения этого многогранника в ходе его изгибания.
точки N и S перпендикулярно прямой Существенное упрощение получается,
C
D
AC, т. е. мы получили октаэдр Брикара если в исходном октаэдре Брикара доба-
второго типа. Его изгибания определяются влять тетраэдры так, чтобы была необхо-
изгибаниями плоского четырёхзвенного димость использовать «зарубку Коннелли»
D S
B
механизма ABCD. Удалим из P две грани, только один раз, как это предложили П. Де-
A
A C
C N
дающие самопересечения: NDC и SDC. линь и Н. Кёйпер. Делается это так. Отправ-
Останется многогранник P с краем, изо- ным положением будет изгибаемый октаэдр
S бражённый на рис. 28. Хотя ребра CD Брикара первого типа, изображённый на B
A
и нет, в ходе изгибания многогранника P рис. 29. На нём вершины A и C лежат на
Рис. 28 Рис. 29
как части P расстояние CD остаётся посто- горизонтальной плоскости (условно с коор- D
янным, так как оно равно длине ребра CD в октадре P. При этом же динатой z = 0), вершины B и D подняты на C
S
S
высоту e 0, а вершины N и S — на высоту
изгибании расстояние NS, равное 2h(a), изменяется, поэтому изменя-
d e и всё это проектируется ортогонально
ется угол между плоскостями удалённых граней NDC и SDC, причём
точки D и C при этом можно считать остающимися на месте. Ис- на прямоугольник рис. 23 (где L по-преж- A
пользуем это обстоятельство для того, чтобы изменить двугранный нему обозначает точку пересечения этого B
угол на рис. 26, вставив туда соответствующим образом подобранный прямоугольника с вертикально располо- S0
многогранник P , который для краткости и большей ясности будем женной осью симметрии рассматриваемого
Рис. 30
называть «зарубкой Коннелли». Пусть T — биссекторная плоскость, октаэдра). В новом положении ребро AS
скажем, верхнего двугранного угла на рис. 26. Расположим четырёх- проходит под ребром N B , ребро N C — под
звенник ABCD на плоскости T так, чтобы отрезок DC шёл по ребру ребром S D , так что прежних точек самопересечения нет, но есть но-
двугранного угла, отрезки ND и NC были на одной полуплоскости, вые пересечения граней. Построим теперь «дно» следующим образом:
а DS и CS были на другой полуплоскости двугранного угла (рис. Ц7— в исходном четырёхгранном угле S AB CD с вершиной S заменим
Ц9). Части ND и NC, SD и SC края многогранника P — «зарубки Кон- грань S CD тетраэдром вершиной вниз (рис. 30). Краем построенного
нелли» — прилегают к соответствующим частям граней двугранного многогранника является четырёхугольник AB CD , но теперь есть
угла. Изменение величины b двугранного угла приводит к изгибанию «яма» в виде тетраэдра S0 S CD . Далее строим «крышу» так. Над
многогранника P , согласованному с движением граней двугранного фигурой рис. 31 возьмём две точки T и K и построим неполные
угла, в который он был встроен (т. е. рёбра ND и NC, SD и SC края пирамиды с гранями N D T и D CT, N B K и B CK. Получится много-
многогранника P не изменяют свою длину и остаются на гранях дву- гранник без самопересечений и с двумя четырёхугольными краями
гранного угла). Расположение точек D и C на ребре двугранного угла AB CD и N KCT (рис. 32). Он пересекается с построенным ранее
26 27
ИЗГИБАЕМЫЙ МНОГОГРАННИК ШТЕФФЕНА,
«дном» только вдоль контура AB CD и после склеивания «крышки»
с «дном» вдоль этого контура получится многогранник (обозначим
имеющий всего 9 вершин и 14 граней. Этот многогранник был найден
его Г) без самопересечений и с одним четырёхугольным краем N KCT.
в 1978 г. немецким математиком Клаусом Штеффеном. Опишем его
Многогранник Г изгибается, причём его
строение и объясним, почему он изгибается.
D исходные вершины просто повторяют те
Возьмём «зарубку Коннелли», изображённую на рис. 34. Она
движения, которые были у начального из-
C
представляет собой октаэдр Брикара второго типа с удалёнными
гибаемого октаэдра Брикара первого типа
N гранями CDS и CDN. Её нетривиальные изги-
на рис. 29, поэтому, в частности, расстоя- z
бания можно представить как вращение вер- N
ние N C остаётся постоянным, так как оно
A x
шины N вокруг неподвижной прямой DC, при
соответствует длине ребра N C исходного
B
неподвижных отрезках SD и SC (так как рассто- B
C
октаэдра. Теперь подберём «зарубку Кон-
Рис. 31
яние DC постоянно как длина удалённого ребра
нелли» так, чтобы её добавлением закрыть
изгибаемого октаэдра, три точки S, D, C можно
T
отверстие с краем N KCT. Для этого вы-
D
считать неподвижными). При вращении N вер-
берем положения точек T и K с условием D
C
шины A и B перемещаются соответственным A
TC = TN = KN = KC, что вполне возможно.
K
K
N
N образом. Для данного рисунка если N уходит
Возьмём «зарубку Коннелли» как на рис. 28,
влево (вправо), то A смещается вниз (вверх),
но с изменёнными в соответствии с рис. 33
A S
B уходит вверх (вниз), но вообще направле-
обозначениями вершин и со сторонами
B Рис. 34
ния их движений зависят от конкретных длин
TN = TP = TQ = TC = KN = KC = KP = KQ.
Рис. 32
рёбер. Рассмотрим движения точки N более
Можем считать, что изгибания многогран-
подробно, для чего введём следующую систему координат: направим
ника Г происходят с сохранением плоскости трёх вершин N , K, T,
ось Ox вдоль прямой DC, от D к C, плоскость SDC примем за плоскость
и точки K и T перемещаются по фиксированной прямой KT так, что
xOz, направив ось Oz вверх, начало ко-
середина отрезка KT остаётся непо- N1 ординат поместим в середине отрезка
T
движной. Этими условиями движе- P N2 DC (см. рис. 34). Пусть длина ребра DC
ния точек K, T, N и C, а значит,
равна 2a, длина SD = SC = b a. Тогда D,
и остальных вершин многогранника Г C C, S имеют, соответственно, координа-
B1
определены однозначно. При этих же K
K C B2
N
b2 a2 ).
ты ( a, 0, 0), (a, 0, 0), (0, 0,
условиях изгибания «зарубки Коннел-
Точка N вращается вокруг оси Ox, на
ли» тоже определяются однозначно,
A2 постоянном расстоянии d от D и C. Тогда
поэтому движения её вершин K, T, Q
её координаты суть
N и C будут теми же самыми, что D
Рис. 33
A1
и у соответствующих вершин много-
(0, d2 a2 sin f, d2 a2 cos f). (10)
гранника Г. Это значит, что когда мы склеим край N KCT «зарубки
Коннелли» с таким же краем многогранника Г, изгибания Г и «заруб- Возьмём теперь второй экземпляр
S
ки» будут согласованными. Остаётся позаботиться, чтобы «зарубка» той же самой «зарубки Коннелли», иден-
поместилась в «яму», пересекаясь с многогранником Г только по тичный рассмотренному. Расположим
Рис. 35
их общему краю, для чего нужно выбрать то положение плоскости их сначала с полным совпадением. Если
механизма PQCN , когда точка Q окажется внутри тетраэдра S0 D S C, затем в первой «зарубке» точку N повернём влево, а во второй —
а точка P — выше треугольника AS D , и тогда получится изгибаемый вправо, то точки D, C, S останутся на месте, а точки N, A, B разойдут-
многогранник без самопересечений, имеющий 11 вершин и 18 гра- ся, приняв соответственно новые положения N1 , A1 , B1 и N2 , A2 , B2 .
ней (на рис. Ц13—Ц15 изображены три его положения в процессе Зафиксируем некоторые положения точек N1 и N2 , симметричные
изгибания). относительно неподвижной плоскости DSC и склеим (отождествим)
Оба построенных выше изгибаемых многогранника трудны для в этом положении рёбра SD и SC из первой «зарубки» с такими же
моделирования, так как имеют довольно сложное строение, но ока- рёбрами из второй «зарубки». Получится многогранник M , изо-
зывается, существует бражённый на рис. 35 и имеющий край N1 DN2 C. Далее вершины
28 29
Для этого обратимся к формуле (10). Пусть N1 = (0, d2 a2 sin f0 ,
N1 и N2 можно вращать согласованно так, чтобы расстояние N1 N2
оставалось постоянным. Следовательно, отрезок N1 N2 тогда можно d2 a2 cos f0 ), f0 0, N2 = (0, d2 a2 sin f0 , d2 a2 cos f0 ) и пусть
принять за ребро и если мы закроем отверстие с краем N1 DN2 C начиная с этого положения угол поворота для N1 равен f0 + e, а для N2
двумя треугольниками N1 DN2 и N1 CN2 , то полученный многогран- угол пусть равен f0 + e. Тогда квадрат расстояния между точками N1
ник будет замкнутым, причём при соответственно подобранных и N2 равен
размерах сторон и положениях вершин N1 и N2 он будет без само-
2(d2 a2 )(cos2 e sin2 f0 + sin2 e sin2 f0 ) = 2(d2 a2 ) sin2 f0 ,
пересечений. Этот изгибаемый многогранник имеет всего 9 вершин
т. е. является постоянным относительно e, что и требовалось по-
и 14 граней (на рис. Ц16—Ц18 изображены три его положения в ходе
изгибания). При подборе нужных длин рёбер возникают трудности: казать.
если многогранные углы при вершинах A и B сделать слишком Сразу же после построения этих примеров было замечено, что
«утопленными» (или, по-другому, слишком «пузатыми»), то при при изгибании объёмы изгибаемых многогранников
разведении вершин N1 и N2 грани при A1 и B1 будут пересекаться о с т а ю т с я п о с т о я н н ы м и. Для многогранника Штеффена это
с гранями при A2 и B2 ; если же сделать эти многогранные углы утверждение представляется довольно очевидным ввиду полной сим-
слишком выступающими (или, по-другому, слишком «острыми»), метрии движений: грани одной «половины»
то они будут пересекаться с «крышей» многогранника, состоящей многогранника движутся так, что движения
из треугольников N1 DN2 и N1 CN2 . Хороший набор длин указан граней другой его «половины» восполняют
на развёртке рис. 36. На ней сплошные линии соответствуют рёбрам, изменяемый при этом объём. Для более убе-
дительного доказательства воспользуемся
S S тем фактом, что обобщённый объём изгибае-
мых октаэдров Брикара равен нулю (примем
b b это без доказательства). Изменим многогран-
D D
b b
a a ник Штеффена следующим образом. Добавим
a a
c c
две грани DCN1 и DCN2 и с их помощью обра-
C C
A2
A1
c c зуем многогранник R, составленный из двух
D
c c
октаэдров Брикара (без грани SDC). Комби-
B1 B2
d d
наторно это представляется так: у двух мно-
c c
b b
b b
C C гогранников убрали две конгруентные тре-
a a
a a
угольные грани и склеили их вдоль двух оди-
e
наковых границ образовавшихся отверстий
N1 N2
(рис. 37); в нашем случае убираемой (исчез-
a a
нувшей) гранью является грань SCD. Обоб-
щённый объём многогранника R равен нулю,
как сумма двух нулевых объёмов. Остав-
C шаяся часть многогранника Штеффена вме-
Рис. 36. При размерах (в см) a = 9, b = 7,5, c =3,75, d = 8,25, e = 12,75 развёртку можно сте с добавленными гранями образует новый
поместить на одном листе бумаги формата A4. Но для большей наглядности модели
тетраэдр с вершинами N1 , D, C, N2 . Следо-
рекомендуем сделать модель из плотного картона и с размерами a = 12, b =10, c =5,
вательно, объём многогранника Штеффена
d = 11, e = 17.
в любом его положении в процессе изгиба-
которые в склееном многограннике расположены как «хребты», т. е. ния равен объёму тетраэдра с постоянными
определяемые ими двугранные углы в многограннике обращены длинами рёбер, т. е. в ходе изгибания он
ребром наружу, к наблюдателю; а пунктирные линии соответствуют не изменяется.
рёбрам, которые в многограннике расположены «во впадине», т. е. Что касается объёмов изгибаемых много- Рис. 37
двугранные углы при них обращены ребром внутрь многогранника. гранников из первых двух примеров, то по-
Нам осталось обосновать, что для многогранника M возмож- стоянство их объёма тоже можно доказать, или применяя указанный
ны изгибания, при которых расстояние N1 N2 остаётся постоянным. выше факт о равенстве нулю обобщённого объёма любого октаэдра
30 31
БИБЛИОТЕКА
Брикара или проводя довольно длинные вычисления. Но этого де-
«МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРОСВЕЩЕНИЕ»
лать фактически не нужно, так как мы сейчас докажем, что спра-
ведлива
ВЫПУСК 1 ВЫПУСК 11
В. М. Т и х о м и р о в. Великие Э. Б. В и н б е р г. Симметрия
ГИПОТЕЗА КУЗНЕЧНЫХ МЕХОВ.
математики прошлого и их вели- многочленов.
Факт неизменности объёма в построенных примерах изгибаемых мно- кие теоремы.
ВЫПУСК 12
гогранников естественно привёл к вопросу о справедливости этого
В. Г. С у р д и н. Динамика звёзд-
ВЫПУСК 2
свойства для любого изгибаемого многогранника. Коннелли назвал
ных систем.
предположение о постоянстве объёма изгибаемого многогранника в А. А. Б о л и б р у х. Проблемы
ходе его изгибания «гипотезой кузнечных мехов». Происхождение Гильберта (100 лет спустя). ВЫПУСК 13
этого термина очень простое. Вспомним из физики закон Бойля—Ма- В. О. Б у г а е н к о. Уравнения
ВЫПУСК 3
риотта, который утверждает, что в газах произведение давления на Пелля.
Д. В. А н о с о в. Взгляд на мате-
объём постоянно, т. е. pV = const, где p — давление, V — объём газа.
ВЫПУСК 14
матику и нечто из неё.
Следовательно, если V = const, то и p = const, поэтому гипотезу куз-
В. И. А р н о л ь д. Цепные дроби.
нечных мехов по другому можно переформулировать так: м а т е м а-
ВЫПУСК 4
тически идеальные кузнечные мехи нельзя сделать ВЫПУСК 15
В. В. П р а с о л о в. Точки Брока-
в виде изгибаемого многогранника с отверстием В. М. Т и х о м и р о в. Дифферен-

<< Пред. стр.

страница 3
(всего 4)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

Copyright © Design by: Sunlight webdesign