LINEBURG


<< Пред. стр.

страница 2
(всего 4)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

где k = tg a, поэтому yQ = kxQ и yC = kxc . Следовательно,
AQ AP AQ AP
= = .
C
cos a tg a tg a sin a tg a
O
Q
AQ2 = x2 + k2 x2 CQ2 = (xQ xC )2 + k2 (xQ xC )2 .
и
Величины AQ и AP известны, вычислим
A Q Q
P B
sin a. Площадь треугольника ABC равна Поскольку угол AQD прямой,
Рис. 12
1 1
AC AB sin a= ab sin a, AQ2 + QD 2 = AD 2 , т. е.
2 2
x2 + k2 x2 + QD 2 = AD 2 , (4)
но её мы можем узнать из формулы Герона, следовательно, Q Q
2S ABC аналогично,
sin a= .
ab
CQ2 + QD 2 = CD 2 , т. е.
Теперь, если проделать все оставшиеся вычисления, получится фор-
xC )2 + k2 (xQ xC )2 + QD 2 = CD 2 .
мула (1). (xQ (5)
10 11
Вычтем (5) из (4), получится из вершины O, в одном случае обход получается по часовой стрел-
ке, в другом случае — против часовой стрелки. Пусть наш тетраэдр
2xQ xC x2 + 2k2 xQ xC k2 x2 = AD 2 CD 2 = AD2 CD2 = d2 f2 ,
C C
ориентирован, т. е. задано направление, в котором обходятся верши-
d2 f 2
1 ны основания. Будем считать, что, если обход
xQ = xC + .
2xC (1 + k2 )
2 O
по часовой стрелке, то ориентированный объём
тетраэдра меньше нуля, если против часовой
Далее, рассмотрев треугольник DAB, по формуле (3) мы можем
стрелки — больше, а по модулю он равен обыч-
вычислить абсциссу xP точки P в нашей системе координат. Таким
ному объёму.
образом, координаты P(xP , 0) нам тоже известны. 3
Теперь перейдём к многогранникам с боль-
Абсцисса точки O пересечения перпендикуляров, восстановлен-
шим числом вершин. Пусть есть некоторое 1
ных в плоскости ABC к AB в точке P и к AC в точке Q, равна xO = xP .
множество плоских треугольников и указано,
Чтобы определить её ординату yO , найдём уравнение прямой OQ. По-
2
какие стороны каких треугольников склеива-
скольку эта прямая перпендикулярна прямой AC, её угловой коэффи-
ются (отождествляются) друг с другом. При
1 O
циент равен , где k — угловой коэффициент AC. Воспользовавшись склеивании соблюдаются следующие правила:
k
1) отождествление проходит по всей сто-
тем, что Q принадлежит рассматриваемой прямой, запишем оконча-
роне, так что склеиваются стороны равной
тельное уравнение:
3
длины, и при этом указываются также отожде-
1
y= (x xQ ) + yQ .
ствляемые вершины;
k
2) каждая сторона является общим ребром 1
Подставим в это уравнение x = xO = xP и получим yO :
только двух треугольников, и два треугольника 2
1 могут приклеиваться только по одной стороне;
yO = (x xQ ) + yQ . Рис. 14
kP 3) треугольники, которые после склеива-
Теперь можно получить выражение для высоты DO тетраэдра: ния имеют одну общую вершину A, можно перенумеровать в некото-
ром порядке так, что каждый следующий имеет с предыдущим об-
DO = AD2 AO2 = d2 x2 y2 , щую сторону, исходящую из A. Последний же имеет общую сторону
O O
в которой все величины выражаются через длины рёбер. с предпоследним и первым (число треугольников, имеющих общую
Таким образом, мы доказали формулу (1), и теперь можем вы- вершину A, должно быть не меньше чем 3).
числять объём тетраэдра, зная лишь длины его рёбер. А можно ли Множество треугольников с некоторым указанным законом скле-
вычислить ивания, удовлетворяющим правилам 1)—3), называется развёрткой,
а закон склеивания или отождествления вершин и сторон треугольни-
ков называется комбинаторным строением развёртки. Таким обра-
ОБЪЁМ ПРОИЗВОЛЬНОГО МНОГОГРАННИКА,
зом, комбинаторное строение развёртки можно задать списком всех
зная лишь длины его рёбер? Оказывается, можно, правда, многогран- треугольников и всех отождествляемых вершин и сторон. Для крат-
ник должен быть специального вида, а именно, он должен быть ори- кости будем обозначать этот список одной буквой K и будем гово-
ентируемым (позже мы уточним, что это означает), а все грани долж- рить, что развёртка имеет комбинаторное строение K. Многогранник
ны быть треугольниками*). Далее нам понадобятся некоторые новые с комбинаторным строением K получается склеиванием развёртки.
понятия и определения. Прежде всего определим, что такое «объ- Для этого достаточно совместить те вершины треугольников, кото-
ём ориентированного тетраэдра». Перенумеруем вершины его осно- рые должны перейти в одну вершину многогранника согласно K,
вания числами 1, 2, 3 (рис. 14). Эти вершины можно обойти двумя и склеить треугольники по сторонам, которые согласно K должны
способами: либо 1 2 3, либо 1 3 2. Если смотреть на основание перейти в одно ребро многогранника. При таком склеивании полу-
чается многогранник P(K) с комбинаторным строением K, гранями
*) Если у многогранника есть грань с числом рёбер, большим чем 3, разобьём её которого являются треугольники нашей развёртки.
на треугольники (например, диагоналями) так, чтобы вершинами получившихся тре-
Заметим, что по внешнему виду такая конструкция может силь-
угольников были только вершины граней. Будем считать, что эти треугольники —
но отличаться от привычных нам форм многогранников. Сравни-
грани многогранника, принадлежащие одной плоскости, а их стороны — рёбра много-
те, например, октаэдры рис. 15, а, б: они оба имеют одно и то же
гранника (и, тем самым, нам известны их длины).
12 13
комбинаторное строение. В P(K) могут быть самопересечения (как, то надо иметь в виду, что ориентируемость или неориентируемость
например, в октаэдре рис. 15, б). развёртки не зависит от длин сторон треугольников, поэтому их мож-
С первого взгляда не ясно, что же называть объёмом такого но выбирать произвольно, «подгоняя»
C3 C3
сложного объекта. Поэтому сначала надо обобщить понятие объёма. треугольники один к другому. Но,
Пусть комбинаторное строение развёртки конечно, всё равно останутся отожде-
N таково, что она может быть ориентирована, ствляемые стороны, расположенные
а) C1
т. е. границу каждого плоского треугольника не вместе, иначе весь многогранник C4 C2
можно обойти так, чтобы общие рёбра любых реализовался бы на плоскости.
C
двух соседних треугольников проходились
A
бы в противоположных направлениях. Про B3
B1 B2 C1
A C2 C4
B1
A
такие треугольники говорят, что они ори-
B
D
ентированы согласованно. Ориентацию же
граней многогранника P(K) мы определяем,
C2 C4
B1
C1 C2 C3 C3
A
сохраняя при склеивании развёртки пра-
S
вила обхода треугольников. Многогранник, Рис. 16 Рис. 17
N
S который можно ориентировать, называется
б)
Пусть у нас есть ориентированный многогранник. Выберем в про-
ориентируемым многогранником, в против-
странстве точку O и к каждой грани «пристроим» тетраэдр с верши-
ном случае он называется неориентируемым.
C
ной в точке O (рис. 18, здесь тетраэдр «пристроен» к грани ABC).
Развёртки «большинства» известных
A
Для каждого тетраэдра определён ориентированный объём. Обобщён-
многогранников, например, всех правильных
ным объёмом ориентированного многогранника назовём сумму этих
многогранников и вообще всех выпуклых
B D
объёмов тетраэдров. Используя понятие смешанного произведения
многогранников*), являются ориентируемы-
Рис. 15
векторов, можно показать, что значение этого обобщённого объёма
ми. Но существуют и неориентируемые раз-
вёртки. На рис. 16 приведена неориентируемая развёртка, соот-
O
ветствующая многограннику с краем (в данном случае это лист
Мёбиуса); край состоит из рёбер, к которым примыкает только A
одна грань. Определите край развёртки и проверьте, что если для
треугольника AB1 C1 дан обход в направлении от A к B1 , то при скле- C
ивании сторон с одинаковыми обозначениями вершин сторона AB1
в треугольнике AB1 C3 обходится в том же направлении, что и AB1
в треугольнике AB1 C1 , а по правилу согласованной ориентации общие
рёбра двух соседних треугольников должны обходиться в противо-
положных направлениях. (Как показать, что это свойство наличия
B
несогласованной ориентации не зависит от того, в каком треуголь-
нике сделан начальный выбор ориентации?) На рис. 17 приведён Рис. 18
пример неориентируемой развёртки замкнутого многогранника (т. е.
многогранника без края). Проверьте, что это множество треуголь- не зависит от выбора точки O (для этого и нужно требование об ориен-
ников действительно удовлетворяет перечисленным выше условиям тируемости многогранника). Заметим, что, если мы выберем точку O
определения развёртки и что на этой развёртке действительно не- внутри выпуклого многогранника, то объёмы всех тетраэдров будут
льзя ввести согласованные ориентации всех треугольников. Если одного знака, и обобщённый объём в данном случае будет совпадать
вы будете пытаться расположить треугольники на плоскости так, по модулю с обычным объёмом. Оказывается, этот факт верен для
чтобы склеиваемые треугольники имели на рисунке общую сторону, любого многогранника без самопересечений.
Найдём объём v многогранника, у которого пять вершин. Про-
*) Конечно, формально, их надо триангулировать, т. е. разбить диагоналями все
ведём сечение ACE и получим два тетраэдра (рис. 19, а, б). Объём v
нетреугольные грани на треугольники, но существует и другое определение ориенти-
равен либо сумме, либо разности объёмов v1 и v2 тетраэдров ABCE
руемости, пригодное для развёрток и с нетреугольными гранями.
14 15
и ACDE. Для обобщённых объёмов можем записать рёбер рассматриваемого многогранника, когда уравнение (6) имеет
два р а з н ы х корня V 2 , соответствующие двум реально существу-
V = V1 V2
ющим в пространстве многогранникам ABCDE с разными объёмами.
( V = v, V1 = v1 , V2 = v2 ). Преобразуем это выражение так, чтобы уда- Это значит, что для объёма ABCDE не может существовать многочле-
лось избавиться от знаков . Сначала возведём равенство в квадрат: на степени меньше чем 4 (так как с учётом изменения ориентации
имеем четыре разных обобщённых объёма), т. е. уравнение (6) явля-
2 2
V 2 = V1 + V2 2V1 V2 ,
A A
ется уравнением н а и м е н ь ш е й степени, которому удовлетворяют
2 2
затем перенесём члены V1 и V2 объёмы всех возможных расположений многогранника ABCDE в про-
в левую часть и после повторного странстве, при условии, что длины рёбер остаются без изменения.
возведения в квадрат для V полу- Оказывается, и в общем случае можно показать, что обобщённые
чим уравнение объёмы многогранников — корни полиномиальных уравнений с ко-
C D
D C эффициентами, которые не зависят от расположения вершин много-
2 2 2 2
V 4 2(V1 +V2 )V 2 +(V1 V2 )2 = 0. (6)
гранника в пространстве, а представляют собой многочлены от ква-
B B
E E
а) б) 2 2 дратов длин его рёбер. Числовые коэффициенты этих многочленов
Так как V1 и V2 выражаются по
Рис. 19 определяются комбинаторным строением многогранника, т. е. у мно-
формуле (1) через длины рёбер ис-
гогранников с одинаковым комбинаторным строением уравнение для
ходного многогранника, все ко-
обобщённого объёма одно и то же.
эффициенты уравнения (6) зависят только от квадратов длин рёбер
В окончательном виде обощение формулы (1) на объём произволь-
многогранника. Получаем, что объём любого многогранника вида
ного многогранника даёт
ABCDE с данными длинами рёбер обязательно удовлетворяет урав-
Основная теорема. Пусть P — множество всех многогранников,
нению вида (6).
имеющих одинаковое комбинаторное строение K и одинаковый на-
Рассмотрим несколько частных случаев.
бор длин рёбер l1 , …, ln , где n — число рёбер. Тогда можно указать
I. Пусть объёмы тетраэдров ABCE и ADCE равны: V1 = V2 . Тогда
многочлен
имеем два возможных расположения этих тетраэдров: 1) они находят-
ся по разные стороны от плоскости ACE; тогда объём многогранника Q(V) = V 2N + a1 V 2N 2
+ … + aN 1 V 2 + aN , (7)
ABCDE равен с у м м е объёмов составляющих его тетраэдров, что
такой что обобщённый объём каждого многогранника из P являет-
2
соответствует корню V 2 = 4V1 и V = 2V1 (знак зависит от выбора ори-
ся корнем этого многочлена. Коэффициенты ai , 1 i N, сами явля-
ентации, при соглашении, что через V1 обозначен геометрический,
ются многочленами от l2 , …, l2 с числовыми коэффициентами, за-
т. е. положительный объём тетраэдра); 2) тетраэдры расположены n
1
висящими лишь от комбинаторного строения K.
по одну сторону от плоскости ACE и тогда при вычислении объёма
Мы не можем, конечно, дать здесь хотя бы краткое изложение
ABCDE объёмы тетраэдров должны вычитаться, что соответствует
доказательства основной теоремы, заметим лишь, что оно конструк-
корню V 2 = 0.
тивное и проводится методом индукции по числу вершин и по топо-
II. V2 = 0, т. е. тетраэдр ADCE вырождается в область на плоскости
логическому роду многогранника.
и вершина D расположена на плоскости ACE. Тогда объём многогран-
Базой индукции служит формула (1) для объёма тетраэдра. Алго-
ника ABCDE равен объёму тетраэдра ABCE (с точностью до ориента-
ритм построения многочлена (7) неоднозначен, т. е. на каждом шаге
ции), и этот факт согласуется с решением уравнения (6):
построения есть выбор следующего шага, поэтому таких многочле-
2 4 2 2
V 4 2V1 V 2 + V1 = 0 (V 2 V1 )2 = 0 V 2 = V1 V = V1 . нов вида (7) можно построить, вообще говоря, очень много. По той же
причине мы не можем сказать, чему равна наименьшая степень таких
III. V1 = 0, V2 = 0. Оба тетраэдра ABCE и ADCE вырождены и весь
многочленов (7).
многогранник ABCDE расположен на одной плоскости ACE (если тре-
Рассмотрим некоторые
угольник ACE не вырождается в отрезок) и его объём поэтому равен
нулю, что согласуется с получаемым в этом случае уравнением V 4 = 0.
Таким образом, мы видим, что во всех рассмотренных случаях ПРИМЕРЫ,
объём многогранника ABCDE непременно является корнем соответ-
ствующего уравнения (6). Кроме того, заметим, что уравнение (6) иллюстрирующие утверждение основной теоремы о многочлене для
всегда имеет не более, чем два корня V 2 и есть такие значения длин объёма многогранников.
16 17
Первый пример — это, конечно, многочлен (1) для объёма тетра- Оно имеет восемь корней: 69 696, 17 424, 7744, 1936, 576, 144, 64
эдра. Он имеет два корня, соответствующие двум разным выборам и 16, которые соответствуют 16 объёмам (со знаком ) восьми реально
ориентации тетраэдра. Это уравнение содержит 23 монома (слагае- существующих октаэдров с указанными длинами рёбер (рис. 21).
мых): один моном от V и 22 монома от длин рёбер.
z z z z
Второй пример даётся биквадратным уравнением (6), содержа- N N N N
щим уже около тысячи мономов.
Следующий по сложности многогранник — это октаэдр, имею-
щий шесть вершин (случай другого многогранника с шестью вер-
шинами, рис. 20, читателю не составит труда разобрать самостоя- y y y y
C
C
A A A A
тельно — должен получиться многочлен степени 8; рекомендуем убе- D
D
B B B B
C
C
C
C D
D
диться, что все четыре корня V 2 действительно реализуются в ви- D
D
D
D
D x
x x
C x
C x
x
C
де объёмов четырёх разных многогранников). Многочлен для объёма x x
тетраэдра, получаемый по методу доказательства основной теоремы,
имеет степень 210 = 1024. Его впервые нашла О. Павлова в 1991 году.
Впоследствии А. Астрелин и автор этой брошюры предложили новый
способ построения многочлена, степень которого оказалась равной 16
(фактически 8, так как в нём только чётные степени объёма). S S S S
Как пример приведём многочлен для объёма октаэдра, длины
w =69 696 w = 17 424 w = 7744 w =1936
рёбер которого заданы соотношениями
AB2 = CD2 = a, BC2 = DA2 = b, NB2 = SD2 = c, z z z z
S S S S
ND2 = SB2 = d, NA2 = SC2 = e, NC2 = SA2 = f N N
N N N N
N N
(см. рис. 15), тогда уравнение для объёма прини-
мает следующий вид:
w8 4(ab(c + d + e + f a b) + cd(a + b + e + f c d) + y y y y
+ ef(a + b + c + d e f) eac fad fbc ebd)w7 = 0 C
C
A A A A
Рис. 20 B B B B
C
(где w = 36V 2 ). Корень w = 0 соответствует октаэдру D
D
D
D D x x
рис. 15, б, ненулевой корень — октаэдру рис. 15, а. Cx Cx
Для октаэдра общего вида (т. е. с 12 разными буквенными зна- w =576 w =144 w =64 w =16
чениями длин рёбер) многочлен минимальной степени содержит уже
Рис. 21
много миллионов слагаемых, и поэтому выписать его, конечно, прак-
тически невозможно. Но при помощи компьютера с ним вполне удаёт-
Строятся они так: первый октаэдр имеет вершины A( 4, 0, 0),
ся работать. Вы вводите конкретные численные значения длин рёбер,
B(0, 3, 0), C(2, 0, 0), D(0, 1, 0), N(0, 0, 5), S(0, 0, 6), а остальные
и компьютер выдаёт искомый многочлен с численными значениями
получаются поочерёдными зеркальными отражениями относительно
коэффициентов.
плоскостей координат (всего 23 = 8 комбинаций, включая начальное
Вот пример такого вычисления (проведённого С. Михалёвым):
положение). Следовательно, для октаэдров минимально возможная
пусть длины рёбер октаэдра заданы равенствами NA2 = 41, NB2 = 34,
степень многочлена Q(V) равна 16, так как ни один многочлен сте-
NC2 = 29, ND2 = 26, SA2 = 52, SB2 = 45, SC2 = 40, SD2 = 37, AB2 = 25,
пени меньшей 16 не может иметь в качестве своих корней все эти
BC2 = 13, CD2 = 5, DA2 = 17 (рис. 21) Тогда получаем следующее урав-
16 значений.
нение для объёма (w = 36V 2 ):
w8 97 600 w7 + 2150 278 656 w6 14 733 233 766 400 w5 +
+ 28 949 731 124 248 576 w4 16 429 559 369 328 230 400 w3 + Основная теорема открывает совершенно новые возможности
+ 2 673 932 358 387 945 701 376 w2 135 342 229 652 751 620 505 600 w + для работы с многогранниками. Прежде всего, не имея даже самого
+ 1 546 362 629 160 356 875 862 016 = 0. многогранника, а зная только его натуральную развёртку (развёртка
18 19
называется натуральной, если все треугольники развёртки и только случае — неизгибаемым. Движения многогранника в пространстве
они суть будущие грани многогранника), можно составить уравне- как твёрдого тела не являются его изгибаниями, так как при таком
ние Q(V) = 0 (см. формулу (7)) для объёма и ещё д о п о с т р о е н и я движении ни один двугранный угол не изменяется. Поэтому такие
многогранника сказать, что значение его объёма должно быть среди движения иногда называют тривиальными изгибаниями, а те де-
корней этого уравнения. Получается, что мы ещё не построили мно- формации, о которых шла речь в определении изгибаний, называ-
гогранник по его развёртке, а уже знаем возможные значения его ют нетривиальными изгибаниями. Очевидно, требование изменения
объёма! Более того, если окажется, что для выписанного уравнения в ходе нетривиального изгибания хотя бы одного двугранного угла
все его корни V 2 — отрицательные или комплексные числа, значит, можно заменить требованием изменения хотя бы одной диагонали
из такой развёртки нельзя склеить ни одного многогранника*). многогранника.
Далее, можно вывести уравнения, позволяющие в общем слу- З а м е ч а н и е. Возможность простого перемещения многогран-
чае определять двугранные углы между склеиваемыми гранями. Воз- ника в пространстве как твёрдого тела, т. е. без изменения его дву-
можных значений этих углов оказывается конечное число; построе- гранных углов, используется для фиксации положения каких-либо
ние многогранника по его граням на каждом шаге сводится к правиль- «элементов» многогранника в ходе его изгибания. Делается это так:
ному выбору угла между склеиваемыми гранями, и поэтому путём к деформации нетривиального изгибания многогранника добавляют
хотя бы перебора вариантов либо удастся склеить многогранник, ли- движение, подобранное так, чтобы рассматриваемый элемент вернул-
бо будет доказана невозможность этого. Таким образом, открывается ся в исходное положение. Пусть, например, требуется, чтобы данная
путь алгоритмического решения задачи о построении многогранника треугольная грань ABC была неподвижна. Если после деформации
по его натуральной развёртке. изгибания грань «ушла» из своего исходного положения, то сначала
Все эти действия по аналогии с известным термином «решение параллельным переносом вернём, скажем, точку A из нового в старое
треугольников» логично назвать «решением многогранников». Но её положение, затем вращением вокруг точки A приведём в совпаде-
соответствующие вычисления настолько большие, что мощности пер- ние с прежними положениями вершины B и C.
сональных компьютеров пока не хватает даже для того, чтобы найти Простейший пример изгибания многогранника — открывание
многочлен (7) для объёма многогранника Штеффена (этот многран- или закрывание книги с твёрдой обложкой (многогранник может
ник имеет девять вершин, рис. Ц16—Ц18, см. также с. 29). Тем не ме- иметь край). Примеры посложнее: трёхгранный угол неизгибаем,
нее важно, что задачи метрической геометрии многогранников те- а n-гранный угол при n 3 изгибаем. Если многогранник ещё слож-
перь становятся в принципе конечно-вычислимыми по крайней мере нее, а особенно если он замкнутый, т. е. не имеет края, исследование
в том же смысле, в каком шахматы являются конечной игрой. его изгибаемости — сложная задача, так как изгибания всех много-
Но пожалуй самым «лакомым» следствием является возмож- гранных углов должны быть согласованы между собой.
ность применения основной теоремы для решения проблемы «куз- Первый значительный результат в теории изгибаний много-
нечных мехов», появившейся в теории изгибаний многогранников. гранников получил в 1813 году О. Коши, чья знаменитая теорема
утверждает, что любой выпуклый многогранник неизгибаем. Вопрос
о том, бывают ли замкнутые многогранники изгибаемыми, долгое
ИЗГИБАНИЯ МНОГОГРАННИКОВ
время оставался открытым. Лишь в 1897 году бельгийский инженер
— это непрерывные деформации, при которых изменяется хотя бы Р. Брикар доказал, что существуют
один из двугранных углов при рёбрах, но грани остаются равными
исходным. Иначе говоря, в теории изгибаний грани многогранни-
ИЗГИБАЕМЫЕ ОКТАЭДРЫ,
ков рассматриваются как абсолютно твёрдые пластины, способные
вращаться вокруг рёбер и вершин. Если многогранник допускает и дал их полную классификацию. Оказалось, что все изгибаемые ок-
деформацию такого вида, он называется изгибаемым, в противном таэдры можно разбить на т р и типа. Сейчас мы опишем первые два,
а так же их непрерывные деформации в пространстве с сохранением
*) Критерий того, можно ли склеить из данной (не обязательно натуральной) раз-
длин рёбер.
вёртки многогранник, даёт также теорема А. Д. Александрова. См. брошюру Н. П. Дол-
билина «Жемчужины теории многогранников», М.: МЦНМО, 2000 (вып. 5 серии Сначала сформулируем две леммы (простые доказательства ко-
«Библиотека „Математическое просвещение“»). Правда, если дана развёртка и для
торых оставляем читателю).
неё выполняются условия теоремы Александрова, т. е. из развёртки можно склеить
Лемма 1. Пусть в пространстве дан четырёхугольник ABCD
многогранник, то эта теорема не даёт никаких сведений о том, как будет выглядеть

<< Пред. стр.

страница 2
(всего 4)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

Copyright © Design by: Sunlight webdesign