LINEBURG


<< Пред. стр.

страница 5
(всего 5)

ОГЛАВЛЕНИЕ

равные углы с l, что и требовалось доказать.
1 1
Надо заметить, что гладкость кривой в теореме Биркгофа с концами на сторонах угла так, чтобы величина + была
существенна! Например, кривая, ограничивающая тупоугольный MA MB
треугольник, не имеет треугольного биллиарда. Почему? Если тре- наибольшей.
угольник имеет биллиард из трёх вершин, то эти вершины лежат 81 (Международная математическая олимпиада, 1980 г.). Найти
в основаниях высот, а для тупоугольного треугольника два основа- точку P внутри данного треугольника, для которой сумма отно-
ния из трёх лежат вне треугольника. шений длин сторон треугольника к расстояниям от P до этих
73. Мы видели, что вписанный k-угольник максимального пе- сторон минимальна.
риметра является биллиардом. Однако для остроугольных тре- 82. Охарактеризуйте положение точки внутри данного мно-
угольников биллиард (треугольный) соответствует не максималь- гоугольника, для которой произведение расстояний до сторон
ному, а минимальному периметру (задача Фаньяно). Как объяс- многоугольника максимально.
48 49
Эта точка называется аналитическим центром многоугольни- Последовательность x1 , x2 , . . ., xk , . . . точек метрического про-
ка. Понятие аналитического центра появилось относительно не- странства X сходится к точке x, если ?(xk , x)>0 при k>?.
давно (в конце 1980-х годов), оно активно используется в теории Подмножество M метрического пространства X называется
экстремальных задач. Как найти аналитический центр треуголь- компактным, если из любой последовательности точек множе-
ника? Четырёхугольника? ства M можно выбрать подпоследовательность, сходящуюся к не-
83 (И. Ф. Шарыгин). Дана окружность с диаметром AC и точ- которой точке множества M.
ка M, лежащая на AB. Проведите через M хорду BD так, чтобы Функция f, заданная на подмножестве M метрического
площадь четырёхугольника ABCD была наибольшей. пространства X, называется непрерывной, если для любой по-
84 (И. Ф. Шарыгин). Внутри угла с вершиной K даны точки M следовательности точек x1 , x2 , . . ., лежащей в M и сходящейся
и C. Проведите через точку M отрезок AB с концами на сторонах к некоторой точке x?M, последовательность значений функции
угла таким образом, чтобы площадь четырёхугольника с верши- f(x1 ), f(x2 ), . . . сходится к f(x).
нами в точках K, A, B и C была наименьшей. Теорема Вейерштрасса. Непрерывная функция на компактном
85 (Ю. В. Нестеренко). Дан куб ABCDA? B? C? D? со стороной 1. множестве ограничена и достигает своего наибольшего и наи-
Найдите наименьшее расстояние между точками двух окружно- меньшего значения в некоторых точках этого множества.
стей, одна из которых вписана в квадрат ABCD, а другая описана Как проверить, является ли множество компактным? Часто
около треугольника BC? D? . помогает следующий критерий, для формулировки которого нам
86 (И. Ф. Шарыгин). Муха летает внутри правильного тетра- понадобится ещё несколько определений. Последовательность эле-
эдра. Каким мог быть кратчайший замкнутый путь мухи, если ментов метрического пространства x1 , x2 , . . . называется фунда-
она побывала на каждой грани тетраэдра? ментальной, если для любого числа ?>0 найдётся натуральное
?
87 (Соросовская олимпиада, Россия, 1997 г.). Даны три по- число N такое, что ?(xm , xk )<? для любых чисел k и m, больших,
ложительных числа a, b и c. Какова наибольшая возможная чем N. Подмножество M метрического пространства называется
площадь прямоугольного треугольника, если известно, что рас- замкнутым, если любая фундаментальная последовательность, ле-
стояния от его вершин до некоторой точки плоскости равны a, b жащая в M, сходится к некоторой точке множества M. Так,
и c (a — расстояние до вершины прямого угла)? отрезок прямой замкнут, а интервал или полуинтервал — нет.
Конечное подмножество {z1 , . . ., zm } метрического пространства X
называется ?-сетью для подмножества M, если для любой точ-
Приложение А. Компактность
ки x?M найдётся точка zi , для которой ?(zi , x)<?.
и теорема Вейерштрасса
Критерий компактности. Подмножество метрического про-
Метрическим пространством называется множество X, на странства компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто
котором задана метрика: каждой паре элементов (точек) x, y?X и для него существует ?-сеть при любом ?>0.
поставлено в соответствие неотрицательное число ?(x, y), которое Мы оставим без доказательства критерий компактности и те-
называется расстоянием между точками x и y и обладает следую- орему Вейерштрасса. Заинтересованный читатель может найти
щими свойствами: доказательства в учебниках по математическому анализу, напри-
1) ?(x, y)=0 тогда и только тогда, когда x=y; мер, в [6]. Пока же установим два полезных следствия.
2) ?(x, y)=?(y, x); Следствие 1. Замкнутое и ограниченное подмножество про-
странства n компактно.
3) ?(x, y)+?(y, z)??(x, z) для любых x, y, z?X.
Прямая, плоскость и пространство являются метрическими Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу критерия компактности нам
пространствами, метрика на них определена обычным (евклидо- достаточно построить ?-сеть для каждого ?. Так как множество
вым) расстоянием между точками. Пространство n размерности n ограничено, координаты всех его точек по модулю не превосхо-
определяется как множество упорядоченных наборов из n чи- дят некоторого числа R. Рассмотрим множество, состоящее из всех
сел: x=(x1 , . . ., xn ). Числа x1 , . . ., xn называются координатами точек пространства n , координаты которых по модулю не превос-
точки x. Пространство n также является метрическим простран- ходят R и являются десятичными дробями с не более чем k знача-
ством: в нём щими цифрами после запятой. Это конечное множество является
v k
v n/10k -сетью. Остаётся выбрать настолько большое k, чтобы число
q
?(x, y)= (x1 ?y1 )2 +. . . +(xn ?yn )2 . n/10 было меньше ?.
50 51
Следствие 2. Если функция от n переменных непрерывна тремя рёбрами. Общая длина графа при этом уменьшится.
и стремится к +?, когда хотя бы одна из переменных стремится к Итак, из каждой вершины выходит не более трёх рёбер. Зна-
бесконечности, то она достигает своего минимума в некоторой точке. чит, из каждой дополнительной вершины выходит ровно три ребра.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Возьмём любую точку x1 ? n и обозна- Далее, из каждой вершины A1 , . . ., Ak выходит по крайней мере по
чим a=f(x1 ). По условию, найдётся такое число R, что если хотя одному ребру. Пусть d — число дополнительных вершин. Так как
бы одна из координат точки x по модулю больше R, то f(x)>a. каждое ребро соединяет две вершины, общее число рёбер не мень-
Обозначим через I множество, состоящее из всех точек с координа- k+3d
ше . С другой стороны, число рёбер равно k+d?1. Действи-
тами, по модулю не превосходящими R. Множество I ограничено 2
и замкнуто, и значит, по следствию 1, компактно. По теореме тельно, так как граф односвязный, то для любой его вершины
Вейерштрасса, функция f достигает на нём своего минимума в не- существует единственный путь, соединяющий её с вершиной A1 .
которой точке x0 . Она будет точкой минимума функции f не только Поставив в соответствие этой вершине последнее ребро пути, полу-
на множестве I, но и на всём пространстве n , поскольку за преде- чим взаимно однозначное соответствие между рёбрами и вершина-
лами множества I значения функции больше, чем a=f(x1 )?f(x0 ). ми (без участия A1 ). Значит, в графе ровно k+d?1 рёбер. Итак,
С помощью следствия 2 можно доказать существование минимума k+3d
k+d?1? ,
в большинстве задач, которые мы разбирали. А две наиболее трудные 2
в этом отношении задачи разберём отдельно, в приложении Б. откуда d?k?2. Таким образом, в графе всего от k до 2k?2
вершин. Каждая из вершин имеет 2 координаты, поэтому граф
Приложение Б. Доказательство существования можно интерпретировать как точку в пространстве 4k?4 . Точку A1
в задаче Штейнера и в изопериметрической задаче помещаем в начало координат. Функция f — сумма длин рёбер
графа — непрерывна и стремится к +?, если хотя бы одна из
Задача Штейнера о кратчайшей системе дорог. Докажем су- вершин стремится к ?. Согласно следствию 2, функция f достигает
ществование кратчайшей системы дорог, связывающей k точек своего минимума. Это значит, что существует граф с наименьшей
плоскости A1 , . . ., Ak (для простоты вновь проведём все рассужде- суммой длин рёбер.
ния для плоскости). Изопериметрическая задача. Нужно доказать, что среди всех
Как мы уже установили, достаточно рассматривать только од- фигур периметра l найдётся фигура максимальной площади. Так
носвязные графы, которые содержат данные точки в качестве как любую фигуру периметра l можно поместить в квадрат со сто-
вершин и могут иметь дополнительные вершины, причём из ка- роной l, считаем, что наша фигура лежит внутри фиксированного
ждой дополнительной вершины выходит не менее трёх рёбер. квадрата со стороной l.
Докажем, что на самом деле можно ограничиться графами, у ко- Рассмотрим множество всех компактных подмножеств этого
торых из каждой вершины выходит не более трёх рёбер. В самом квадрата и введём на нём метрику Хаусдорфа. Расстоянием меж-
деле, если найдётся вершина A, из которой выходит не менее ду компактными множествами A и B называется максимальная
четырёх рёбер, то какие-то два ребра (назовём их AB и AC) из двух величин max ?(x, B) и max ?(y, A), где ?(x, B) — рас-
образуют угол меньше 120? , а значит, эту пару рёбер можно x?A y?B
заменить так, чтобы общая длина графа уменьшилась: ставим до- стояние от точки x до множества B, т. е. до ближайшей к x
полнительную вершину T и заменяем пару рёбер AB, AC на три точке множества B. Итак, мы берём точку множества A, наиболее
ребра AT, BT и CT. Если все углы треугольника ABC меньше 120? , удалённую от множества B, и точку B, наиболее удалённую от A.
то в качестве T берём точку Торричелли треугольника ABC, а ес- Максимум из этих двух расстояний и называется расстоянием
ли, скажем, ?ABC?120? , то берём любую точку T, достаточно между множествами A и B. Читатель без труда проверит, что так
близкую к вершине B. В обоих случаях после замены общая дли- определённое расстояние удовлетворяет трём условиям метрики.
на рёбер уменьшится. При этом возникнет одна дополнительная Получаем метрическое пространство, состоящее из всех компакт-
вершина, из которой выходит три ребра, количество рёбер, вы- ных подмножеств квадрата.
ходящих из A, уменьшится на единицу, а выходящих из других Рассмотрим подмножество M этого метрического пространства,
вершин — не изменится. Далее вновь берём любую вершину, из состоящее из всех фигур периметра l. К сожалению, множество M не
которой выходит более трёх рёбер, и делаем то же самое. После ко- компактно, и даже не замкнуто. Чтобы обойти эту трудность, покажем,
нечного числа шагов не останется ни одной вершины с более чем что можно ограничиться только выпуклыми фигурами периметра l.
52 53
ЛИТЕРАТУРА
Для любой фигуры A рассмотрим её выпуклую оболочку A.
По определению, A — это наименьшая выпуклая фигура, содер-
[1] Т и х о м и р о в В. М. Рассказы о максимумах и минимумах. —
жащая A. Если фигура A выпукла, то A=A. Выпуклая оболочка
М.: Наука, 1986.
состоит из точек всевозможных отрезков, соединяющих точки фи-
гуры A (рис. 35). Площадь A не меньше площади A, поскольку [2] К о к с е т е р Г. С. М., Г р е й т ц е р С. Л. Новые встречи с геоме-
выпуклая оболочка содержит в себе саму трией. — М.: Наука, 1978.
фигуру. Кроме того, периметр A, напротив,
[3] Б л я ш к е В. Круг и Шар. — М.: Наука, 1967.
не превосходит периметра A. Это свойство
мы не будем доказывать (доказательство [4] Б о л т я н с к и й В. Г., Я г л о м И. М. Геометрические задачи
можно найти, например, в [3]), заметим на максимум и минимум. // Энциклопедия элементарной мате-
только, что оно достаточно естественно. матики: кн. 5. — М.: Наука, 1966. — с. 270—348.
A
A
AA
При взятии выпуклой оболочки на гра- [5] Ш к л я р с к и й Д. О., Ч е н ц о в Н. Н., Я г л о м И. М. Геометри-
нице фигуры вместо каждой <вмятины> ческие неравенства и задачи на максимум и минимум. — М.:
возникает отрезок, который имеет мень- Наука, 1970.
шую длину. Таким образом, мы заменяем
[6] Р у д и н У. Основы математического анализа. — М.: Мир, 1976.
каждую невыпуклую фигуру её выпуклой
оболочкой, при этом периметр уменьшается,
A
A
A
A
а площадь увеличивается. Теперь увели-
чим фигуру преобразованием подобия так,
чтобы её периметр снова стал равен l, при
этом её площадь ещё более возрастёт. По-
лучается, что мы можем заменить любую
невыпуклую фигуру выпуклой того же пе-
?
риметра и большей площади. Итак, можно
Рис. 35
ограничиться множеством выпуклых фигур
периметра l. Теперь — ключевое место в доказательстве! Мно-
жество выпуклых фигур данного периметра l, лежащих внутри
данного квадрата, компактно. Во-первых, это множество замкнуто.
Если последовательность выпуклых фигур периметра l стремится
к некоторой фигуре, то предельная фигура также выпукла и име-
ет тот же периметр. В силу критерия компактности, достаточно
для любого ?>0 построить ?-сеть.
Для этого разобьём наш квадрат на N2 равных квадратиков
и рассмотрим множество всех фигур, состоящих из какого-то числа
v
таких квадратиков. Это множество является l 2/N-сетью для мно-
жества выпуклых фигур. Для доказательства достаточно каждой
выпуклой фигуре поставить в соответствие фигуру, составленную
из всех квадратиков, которые она пересекает. Расстояние между
v
этими фигурами не превосходит l 2/N. Остаётся взять достаточно
v
большое N так, чтобы l 2/N<?.
Так как при фиксированном периметре площадь непрерывно
зависит от выпуклой фигуры, то из теоремы Вейерштрасса следует
существование фигуры наибольшей площади.


54
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
§1. Задача Фаньяно . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
§2. Фокальное свойство коник . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
§3. Задача Ферма—Торричелли—Штейнера . . . . . . . . . . . . . 16
§4. Сети Штейнера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
§5. Изопериметрическая задача . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
§6. Вариационные методы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
§7. Правило множителей Лагранжа . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
§8. Физические принципы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
§9. Теоремы существования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
§10. Ещё несколько задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Приложение А. Компактность и теорема Вейерштрасса . . . . . 50
Приложение Б. Доказательство теорем существования . . . . . 52
Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Оглавление . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

<< Пред. стр.

страница 5
(всего 5)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Copyright © Design by: Sunlight webdesign