LINEBURG


<< Пред. стр.

страница 4
(всего 5)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

# A # A
cos ?+ ! cos ?? !
когда возможно только охарактеризовать положение точки мини-
2 2
! !
>ctg ?, >ctg ?,
мума (максимума), но не найти её конструктивно.
sin(?+?) sin(???)
Вариационный метод применим и к задачам с несколькими пе-
получаем окончательно
ременными, когда функция f(x) задана не на прямой, а, скажем,
f? (0)=?MB ctg ?+MA ctg ?. на плоскости. При этом x — точка на плоскости с координатами
36 37
(x1 , x2 ). Производная определяется по тому же принципу: произ- 55. Задача о наименьшей сумме расстояний до k точек. На
водной в данной точке x называется вектор a=f? (x) такой, что плоскости дано k точек. Найти точку, сумма расстояний от кото-
рой до этих точек минимальна.
f(x+h)=f(x)+a·h+?(h) |h|,
Р е ш е н и е. Обозначим через x1 , . . ., xk данные точки, а че-
рез x — произвольную точку плоскости. Пусть также fi (x)=|x?xi |
где h=(h1 , h2 ) — произвольный вектор, называемый приращени-
для i=1, . . ., k. Нужно найти точку x, для которой сумма f1 (x)+
p
ем аргумента x, число |h|= h2 +h2 — его длина, а величина ?(h)
1 2 +. . . +fk (x) будет наименьшей. Производная функции fi (x) являет-
стремится к нулю при |h|>0. Разница только в том, что вместо
ся единичным вектором, сонаправленным вектору x?xi . Если x —
обычного произведения чисел теперь берётся скалярное произведе-
точка минимума, то либо сумма таких векторов равна нулю, либо
ние векторов a·h, равное произведению их длин на косинус угла
одна из функций fi не имеет производной в точке x, а это значит,
между ними. В координатах скалярное произведение выражается
что x совпадает с точкой xi . Таким образом,
как a·h=a1h1 +a2 h2 .
Точка минимума суммы расстояний либо совпадает с одной
В точке минимума или максимума функции f её производная
из данных точек, либо характеризуется следующим свойством:
(если она существует) равна нулю.
сумма k векторов единичной длины, направленных из этой точки
Д о к а з а т е л ь с т в о. В самом деле, пусть f? (x)=a=0. Тогда
к данным k точкам, равна нулю.
рассмотрим приращения h=ta, где t — положительное число.
При k=3 получаем точку Торричелли либо одну из вершин
Учитывая, что a·ta=t|a|2 , получаем
треугольника (как мы знаем, вершину с углом ?120? ), при k=4 —
f(x+ta)=f(x)+t|a|2 +t|a| ?(ta)=f(x)+t|a|(|a|+?(ta)). точку пересечения диагоналей четырёхугольника, если четырёх-
угольник выпуклый, а если невыпуклый — то его вершину,
При t>0 величина ?(ta) стремится к нулю, поэтому при малых t
лежащую внутри треугольника с вершинами в трёх оставшихся
величина |a|+?(ta) — положительна, значит f(x+ta)>f(x). Таким
точках. При k?5 эта точка, вообще говоря, не строится с помо-
образом, точка x не является точкой максимума. Точно так же,
щью циркуля и линейки.
взяв приращение h=?ta, доказываем, что x не является и точкой
Получается довольно странная ситуация. Если на плоскости
минимума.
дано, скажем, 10 точек, то существует способ построения кратчай-
В качестве примера найдём производную функции длины век-
шей системы дорог, их связывающей (сеть Штейнера). Причём это
тора f(x)=|x|. Эта производная понадобится нам во многих задачах.
построение — точное, его можно сделать с помощью циркуля и ли-
Пользуясь тем, что |x|2 =x·x, получаем
нейки и найти точную длину. Если же нам нужно решить более,
казалось бы, простую задачу — найти точку, сумма расстояний от
|x+h|2 ?|x2 | (x+h)·(x+h)?x·x 2x·h+h·h
= =
|x+h|?|x|= . которой до данных 10 точек минимальна (т. е. найти кратчайшую
|x+h|+|x| |x+h|+|x| |x+h|+|x|
не из всех систем дорог, а только из тех, которые сходятся в одном
Отсюда перекрёстке), то эта задача в общем случае решается лишь при-
ближённо, а не точно. Про точку минимума мы ничего не знаем,
2x |h|
|x+h|?|x|= ·h+ ·|h|
кроме того, что она существует, и того, что
|x+h|+|x| |x+h|+|x|
x5
сумма 10 единичных векторов из неё в дан- x4
Если x=0, то при h>0 величина |x+h|+|x| стремится к 2|x|, ные точки равна нулю. С помощью циркуля
|h| и линейки мы решение построить не можем.
а величина стремится к нулю. Поэтому
|x+h|+|x| 56. Прямой, проходящей через данную x3
точку внутри угла, отрезать от этого угла
x
|x+h|?|x|= ·h+?(h) |h|. треугольник наименьшей площади. Най- x6
|x|
дите как геометрическое решение, так
x и решение, использующее производную.
где ?(h)>0 при h>0. Отсюда следует, что f? (x)= . Итак,
|x| x2
Какое из них проще?
Функция f(x)=|x| имеет производную в любой точке x, кроме 57. То же, но для треугольника мини- x
точки x=0. Эта производная является вектором единичной дли- 1
мального периметра. Найдите как геоме-
ны, сонаправленным с вектором x. трическое решение, так и решение, ис- Рис. 29
38 39
пользующее производную. Метод Лагранжа базируется на нескольких ключевых идеях. Од-
58. Проведите касательную к данной окружности, лежащей на из них состоит в том, как искать минимум функции, если
внутри угла, отсекающую от этого угла треугольник а) мини- на функцию заданы некоторые ограничения. Этот приём теперь
мальной площади; б) минимального периметра. носит название <правило множителей Лагранжа>. Мы сформули-
59. Через данную точку внутри угла провести прямую так, руем это правило в несколько упрощённой форме.
чтобы сумма KA+KB была наименьшей (точка K — вершина уг- Теорема Лагранжа. Предположим, на плоскости задана функ-
ла, точки A и B — точки пересечения прямой со сторонами угла). ция f(x) и дана кривая g(x)=0. Если функция f, ограниченная
60. Пространственный четырёхугольник ABCD сделан из че- на данную кривую, достигает своего минимума или максимума
в точке x, то векторы f? (x) и g? (x) коллинеарны (при условии,
? ? ?
тырёх стержней длины 1, шарнирно соединённых в вершинах.
?
В каком положении объём тетраэдра ABCD — наибольший? Че- что обе функции имеют производные в точке x).
му равен этот наибольший объём? В общей теореме Лагранжа функция f зависит не от двух,
61. Даны положительные числа a, b, c и треугольник ABC. а от n переменных, и есть несколько функций g(x), задающих
Охарактеризуйте положение точки M, для которой сумма aMA+ ограничения gi (x)=0, i=1, . . ., m. Мы оставим эту теорему без
+bMB+cMC минимальна. доказательства, это завело бы нас слишком далеко в сторону ма-
62. Если k точек не лежат на одной прямой, то существует тематического анализа. Посмотрим, как превосходно она работает
только одна точка с наименьшей суммой расстояний до них. при нахождении максимумов и минимумов.
П о д с к а з к а. Предположим, что нашлись две точки с наименьшей сум- Теорема (Закон Снеллиуса о преломлении света). Две среды
мой расстояний. Докажите, что для середины отрезка, соединяющего эти точки,
разделены прямой линией, в первой скорость распространения
сумма расстояний ещё меньше. Для этого воспользуйтесь тем, что медиана тре-
света равна v1 , а во второй — v2 . Если луч света выходит
угольника меньше полусуммы сторон, между которыми она заключена.
63. Пусть M — точка внутри тетраэдра ABCD, для которой из первой среды под углом ?1 к нормали и входит во вторую
сумма расстояний до вершин минимальна. Тогда противополож- под углом ?2 , то
ные рёбра тетраэдра видны из точки M под равными углами,
sin ?1 v x1
а биссектрисы этих углов лежат на одной прямой. =1
64. На плоскости даны k точек и прямая линия. Охарактери- sin ?2 v2
зуйте положение точки плоскости, сумма расстояний от которой –u1
Д о к а з а т е л ь с т в о. Прямая
до данных точек и до прямой — наименьшая.
на плоскости задаётся уравнением
65. В пространстве даны три точки и плоскость. Охарактери- ?1
зуйте положение точки, сумма расстояний от которой до данных n·(x?x0 )=0,
точек и до плоскости — наименьшая.
?2
где x0 — произвольная точка прямой, –u2
а n — вектор, перпендикулярный пря-
§ 7. ПРАВИЛО МНОЖИТЕЛЕЙ ЛАГРАНЖА x2
мой. Выберем произвольную точку x1 на
В 1755 году 19-летний юноша, будущий великий французский входящем пучке света и точку x2 на пре- Рис. 30
математик Жозеф Луи Лагранж (1736—1813), изложил в пись- ломлённом (рис. 30). Свет всегда распро-
ме к Леонарду Эйлеру свой метод решения задач по нахождению страняется по пути, занимающему наименьшее время. Значит,
максимумов и минимумов. Сам Эйлер решал множество задач нужно найти на границе сред точку x, для которой величина f(x)=
такого рода и каждый раз придумывал особый приём для но- 1 1
= |x?x1 |+ |x?x2 | принимает наименьшее значение. Получаем
вой задачи. Вопрос Эйлера, к которому он приглашал учёных, v1 v1
состоял в том, чтобы изыскать общий метод решения. Юный Ла- задачу:
гранж блестяще справился с этой проблемой, и разработал свой
алгоритм, решавший единообразным способом самые разные экс- |x?x1 | |x?x2 |
+ >min при условии g(x)=n·(x?x0 )=0.
f(x)=
тремальные задачи, включая изопериметрическую. Восторженная v1 v2
реакция Эйлера не заставила долго ждать: <Ваше решение изо-
Согласно принципу Лагранжа, в точке минимума векторы f? (x)
периметрических проблем безукоризненно, и я рад, что тема,
и g? (x) коллинеарны. Производная f? (x) равна сумме вектора u1 ,
которой я давно занимаюсь, доведена Вами до близкого конца>.
40 41
который имеет длину 1/v1 и сонаправлен с вектором x?x1 , и век- ющих в качестве основания данный правильный треугольник,
тора u2 длины 1/v2 , сонаправленного с вектором x?x2 . А произ- найти пирамиду с наименьшей суммой длин рёбер. Тот же во-
водная g? (x) равна вектору n. Условие коллинеарности означает, прос про четырёхугольную пирамиду с основанием, совпадающим
что сумма u1 +u2 перпендикулярна прямой, то есть проекции век- с данным параллелограммом.
69. В пространстве даны три скрещивающиеся прямые. Как
sin ?1 sin ?2
торов u1 и u2 на прямую равны. Таким образом, = , что выбрать по точке на каждой из этих прямых так, чтобы треуголь-
v1 v2
ник с вершинами в этих точках имел наименьший периметр?
и требовалось.
70. Муха летает внутри правильного тетраэдра. Каким мог
Ну а теперь мы готовы представить обещанные решения задач о
быть кратчайший путь мухи, если она побывала на каждой грани
минимуме суммы расстояний до точки прямой и до точки плоскости.
тетраэдра?
66. Задача о минимальной сумме расстояний от k точек плос-
кости до точки на прямой. На плоскости дана прямая и k точек. § 8. ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ
Найти (или охарактеризовать) положение точки на прямой, для
<Книга Природы написана треугольниками, окружностями
которой сумма расстояний до данных точек минимальна. и другими геометрическими фигурами, без которых человек
Р е ш е н и е. Пусть l — данная прямая, а x1 , . . ., xk — данные не сможет понять в ней ни единого слова>.
точки. Решаем задачу на минимум: Галилео Галилей
Выдающийся математик Карл Зигель писал: <По Лейбницу,
f(x)=|x?x1 |+. . . +|x?xk |>min
наш мир является лучшим из всех возможных миров, и потому
при условии g(x)=n·(x?x0 )=0,
его законы можно описать экстремальными принципами>. В са-
где x0 — произвольная точка прямой l, а n — вектор, перпенди- мом деле, многое в природе происходит по законам минимумов
кулярный этой прямой. Обозначим через ui вектор единичной дли- и максимумов. И, наверное, поэтому многие геометрические зада-
ны, сонаправленный с вектором x?xi . Тогда f? (x)=u1 +. . . +uk , чи на минимум и максимум имеют наглядный физический смысл.
а g? (x)=n. По теореме Лагранжа, в точке минимума вектор f? (x) Задача о минимальной длине пути между двумя точками с захо-
коллинеарен n, т. е. перпендикулярен прямой l. Таким образом: дом на прямую линию или задача Снеллиуса могут быть решены
Решением задачи служит точка прямой l, для которой сумма с помощью оптики. При этом мы используем главный принцип:
проекций на прямую k единичных векторов, направленных из свет всегда выбирает путь, на который тратится наименьшее вре-
неё в данные точки, равна нулю. мя. Другой принцип использует механику, он гласит:
Если из данных k точек есть хотя бы одна, не лежащая на пря- Механическая система в состоянии, при котором она имеет
мой l, то задача имеет единственное решение. Доказать это совсем наименьшую потенциальную энергию, находится в равновесии.
просто, если использовать приём из задачи 62. Если k?3, то такая Упрощённо этот закон можно выразить так: механическая
точка, вообще говоря, не строится с помощью циркуля и линейки система всегда стремится к уменьшению своей потенциальной
(вычисление её координаты приводит к уравнению высокой степе- энергии. Брошенный камень летит вниз, и его потенциальная энер-
ни). Поэтому в общем случае у нас нет ничего лучшего, чем то гия, равная mgh (здесь m — масса камня, g?9,8 — ускорение
описание точки минимума, которое мы привели. свободного падения, а h — высота камня), при этом уменьша-
ется. Растянутая пружина стремится сжаться к первоначальному
67. Задача о минимальной сумме расстояний от k точек про-
странства до точки на данной плоскости. В пространстве дана состоянию, а значит — уменьшить свою потенциальную энер-
гию. Напомним, что потенциальная энергия пружины равна kx2 /2,
плоскость ? и k точек. Найти (или охарактеризовать) положение
точки на плоскости ?, для которой сумма расстояний до данных где x — растяжение пружины (на сколько изменили её длину),
точек минимальна. а k — коэффициент упругости. Вот как можно применить этот
Решение этой задачи ничем не отличается от предыдущей принцип к нескольким классическим задачам.
и приводит к похожему ответу: Задача Фаньяно. Возьмём остроугольный треугольник ABC,
Минимум достигается в точке x плоскости ?, для которой сум- стороны которого сделаны из жёсткой проволоки, и натянем
ма проекций на плоскость k единичных векторов, направленных на него резиновое кольцо (рис. 31). Предполагаем, что трения
из x в данные точки, равна нулю. нет. Согласно принципу минимума потенциальной энергии, коль-
68. Среди всех треугольных пирамид данного объёма, име- цо сожмётся до минимально возможной длины (поскольку его по-
42 43
тенциальная энергия, так же, как ствующих на узел со стороны верёвок, равна нулю. Все силы
C
и у пружины, равна kx2 /2), и в этом натяжения верёвок равны по модулю, так как все грузики имеют
положении будет находиться в рав- равные массы. Следовательно, сумма равных по длине векторов,
новесии. Значит, в положении равно- направленных из точки x к точкам x1 , . . ., xk , равна нулю, откуда
B?
весия периметр треугольника A? B? C? и следует ответ. В частности, при k=3 получаем точку Торричелли.
? A?
будет наименьшим. Напишем усло- Изопериметрическая задача. Возьмём прямоугольный лист бу-
вия равновесия для кольца в точке A? . маги и склеим из него цилиндр. Поставим цилиндр вертикально
?
N
На него действуют две равные по на гладкую плоскость и нальём в него воду. Будем считать, что
модулю силы натяжения и сила реак- вода не просачивается между плоскостью и цилиндром. Что про-
?>
ции опоры N . Так как трения нет, изойдёт? Ясно, что основание цилиндра под действием воды примет
C?
A B
?
>
сила N направлена перпендикуляр- круглую форму, поскольку давление воды на стенки во все сторо-
Рис. 31
но прямой BC. Сумма этих трёх сил ны одинаково. С другой стороны, для того, чтобы потенциальная
должна быть равна нулю. В проекции на прямую BC это означает, энергия была минимальна, центр тяжести налитой воды должен
что T cos ?=T cos ?, т. е. ?=?. Итак, стороны треугольника наи- занять самое низкое положение. Центр тяжести цилиндра распола-
меньшего периметра, вписанного в треугольник ABC, пересекают гается на середине его высоты, проведённой из центра основания,
стороны треугольника ABC под равными углами. Следовательно, значит, высота уровня воды должна быть минимальной. Высота
это ортотреугольник (см. задачу 11). равна объёму, делённому на площадь основания. Объём — постоян-
Задача о минимальной сумме расстояний до k точек. Предста- ный, поэтому площадь основания должна быть наибольшей. Итак,
вим себе, что точки x1 , . . ., xk нарисованы на столе. Просверлим наибольшая площадь основания соответствует кругу.
в этих точках дырки, через которые пропустим верёвки. К каждой Вплоть до начала XX века физическое решение считалось
верёвке подвесим груз массой 1 кг, а сверху свяжем верёвки в один вполне достаточным для математической задачи. По крайней мере,
узел. Отпустим все грузы. Система через некоторое время придёт физические соображения позволяют забыть о проблеме существова-
в положение равновесия. Считая верёвки невесомыми и пренебре- ния решения, которая подчас бывает чрезвычайно сложна. Теперь,
гая трением, попробуем охарактеризовать это положение. конечно, одной физической интерпретацией не обойтись. Каждая
С одной стороны, оно соответствует минимуму потенциальной математическая задача должна иметь математическое решение!
энергии, а это значит, что сумма расстояний от узла до k данных Хотя бы потому, что физика во многом уповает на интуицию,
точек минимальна. В самом деле, выбрав уровень стола за нулевой на представления человека об окружающей природе. А интуиция
уровень, получим, что потенциальная энергия каждого груза рав- не раз подводила математиков. И всё же нельзя не восхититься
на ?mghi (она будет отрицательна), где hi — длина i-й верёвки под взаимосвязью вещей в природе, когда сложная задача может быть
столом. Поэтому минимальная потенциальная энергия системы со- объяснена наглядно, с позиции обычного здравого смысла! А кро-
ответствует положению, когда сумма длин всех верёвок под сто- ме того, физические соображения помогают угадать правильный
лом — наибольшая, а это ответ (который потом, конечно же, придётся строго математически
значит, что сумма их длин обосновать).
x4
x5
над столом — наименьшая Как получить вписанный шарнирный многоугольник? Обра-
x3
(поскольку сумма длин всех тимся к задаче 52. Для любого шарнирного k-угольника существу-
x6 верёвок постоянна). ет единственное положение, при котором он вписан в окружность.
x2
x1
Итак, в положении рав- Причём в этом положении он имеет максимальную площадь. Как
новесия сумма расстояний от найти это положение, т. е. найти углы многоугольника или радиус
узла x до k данных точек описанной окружности? Оказывается, при k?5 решить эту задачу
минимальна. Если при этом можно лишь приближённо. Например, нахождение радиуса опи-
узел застрял в одной из ды- санной окружности приводит к уравнению
m рок xi , то минимум суммы a1 a
+. . . +arcsin k =?.
расстояний достигается имен- arcsin
2R 2R
но в точке xi . Если же это
не так, то сумма сил, дей- Здесь a1 , . . ., ak — данные стороны k-угольника. Это уравнение
Рис. 32

44 45
можно решить приближённо (или, как говорят математики, чи- за, второй — из теории динамических систем.
сленно) с помощью компьютера. Но ни получить точного решения, Теорема Минковского—Радона. Внутри любой ограниченной
ни построить такой многоугольник с помощью циркуля и линей- выпуклой фигуры на плоскости найдётся точка M, обладаю-
ки в общем случае не удастся. щая следующим свойством: любая хорда фигуры, проходящая
Физические соображения предлагают следующий практиче- через M, делится этой точкой в отношении, не превосходящем
ский способ решения. Из жёстких прямоугольных листов картона двух, т. е. если через M провести произвольную прямую, пересе-
одинаковой высоты, но разной ширины, склеим прямую призму кающую фигуру по отрезку KL, то отношение большего из двух
так, чтобы углы между боковыми гранями могут свободно ме- отрезков KM, LM к меньшему не превосходит двух.
няться. Поставим её вертикально на гладкую плоскость и нальём Д о к а з а т е л ь с т в о. Из всех треугольников ABC с вершинами
в неё воду. Тогда основание призмы примет форму вписанного на границе фигуры ? выберем треугольник наибольшей площади.
многоугольника. Читатель сам без труда докажет это, пользуясь Тогда точка пересечения медиан этого треугольника — искомая.
результатом задачи 52. Для доказательства проведём через вершины треугольни-
71. Придумайте физические интерпретации задачи о мини- ка ABC прямые, параллельные противоположным сторонам. Они
образуют треугольник A? B? C? , для которого точки A, B и С
мальной сумме расстояний от точки прямой до k данных точек,
а также задач 33, 56, 61, 63, 64, 69. являются серединами сторон (рис. 33).
P
Докажем, что треугольник A? B? C? со- A?
72. Объясните физическую интерпретацию задачи о сетях Q B?
C
Штейнера как формы мыльной плёнки, натянутой между гвоздя- держит фигуру ?. Если это не так, то K
K
KK
ми. Почему если сетей Штейнера несколько, то мыльная плёнка на границе ? найдётся точка P, ле-
? T
может принять форму любой из них, а не только самой короткой? жащая вне этого треугольника, а это T
TT
значит, что отрезок MP пересекает од- M
MM
M
? B? C? (пусть
ну из сторон треугольника A
§ 9. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ
это сторона A? B? ). Тогда площадь тре- B A
<Чистые теоремы о существовании служили в действительно- угольника ABP будет больше площади LL
L
L
сти важнейшими вехами развития нашей науки>.
треугольника ABC (у них сторона AB — S
Давид Гильберт
общая, а высота, опущенная на эту сто-
Теоремы существования по праву входят в число высших до- рону, у треугольника ABP больше). Это
стижений математики. Порой гораздо легче доказать, что объект невозможно, так как треугольник ABC
обладает какими-нибудь замечательными свойствами, чем дока- имеет наибольшую площадь среди всех C?
зать, что он вообще существует. Как мы видели на примере изо- треугольников, вписанных в фигуру ?.
Рис. 33
периметрической задачи, именно вопрос о существовании подчас Далее всё просто. Произвольная
бывает наиболее важным во всём доказательстве. Такие теоремы, прямая, проходящая через точку M,
Q
?
B?
C
пересекает фигуру ? по отрезку KL. A
как правило, очень красивы, но вместе с тем и трудны. Достаточно
вспомнить, что наиболее сложные проблемы современной мате- Пусть она также пересекает отрезок BC
в точке T, а отрезок B? C? — в точке S
матики, например, недавно доказанные великая теорема Ферма TT
TT
и гипотеза Пуанкаре, а также не доказанные и не опровергнутые (рис. 34). Из подобия треугольников M
M
M
M
до сих пор гипотеза близнецов и гипотеза <P=NP>, являются про- MTC и MSC следует равенство MS=
блемами существования. =2MT. Далее, MS?ML и MT?MK,
B A
Задачи на минимум и максимум часто помогают доказать то ML?2MK. Так же доказывается,
S
теоремы существования, причём в самих теоремах ни о каких ми- что и MK?2ML.
нимумах и максимумах может и не упоминаться. Идея довольно Для следующего примера нам пона-
проста: точка или фигура, дающая решение экстремальной задачи, добится понятие гладкой кривой. Кри-
обладает некоторыми специальными свойствами. Поэтому, решив вая на плоскости называется гладкой,
экстремальную задачу, мы тем самым доказываем, что объект с та- если в каждой её точке можно провести
C?
кими свойствами существует. Приведём здесь два примера, взятых единственную касательную. У гладкой
из разных областей математики. Первый — из выпуклого анали- кривой нет вершин и заострений. На- Рис. 34

46 47
пример, многоугольник не является гладким, а вот окружность, нить это противоречие?
эллипс, гипербола — гладкие. Если функция одной переменной 74. Стороны всех k-угольных биллиардов эллипса касаются
имеет производную в каждой точке, то её график — гладкая кри- некоторого фиксированного эллипса.
вая. Гладкая замкнутая кривая на плоскости может быть задана 75. В выпуклую фигуру площади S всегда можно вписать тре-
уравнением g(x)=0, где функция g имеет производную в каждой угольник площади большей, чем S/4. Вокруг неё всегда можно
точке. описать треугольник площади меньшей, чем 4S.
Теорема Биркгофа о замкнутом биллиарде. Для произвольной 76. Сформулируйте и докажите теорему Минковского—Радона
гладкой замкнутой кривой на плоскости, ограничивающей вы- для выпуклого тела в пространстве.
пуклую фигуру, существует биллиард с k вершинами, где k?3 — 77 (Я. Бринкхаус). Для любой тройки попарно скрещиваю-
произвольное число. щихся прямых в пространстве существует единственная тройка
Напомним, что биллиардом называется многоугольник с вер- точек A, B и C (по одной на каждой прямой), обладающая таким
шинами на данной кривой, любые две соседние стороны которого свойством: каждая из трёх прямых образует равные углы с дву-
образуют с кривой равные углы. Так, ортотреугольник является мя соответствующими сторонами треугольника ABC (прямые AB
биллиардом для треугольника. Биллиард также можно интерпре- и AC образуют равные углы с прямой, проходящей через точ-
тировать как замкнутую траекторию луча света внутри кривой. ку A, и т. д.)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим множество всех k-уголь- 78 (Е. С. Горская). Дан шарнирный пространственный четырёх-
ников с вершинами на данной кривой. При этом позволим вер- угольник ABCD, длины сторон которого фиксированы, а углы
шинам совпадать друг с другом. Среди этих многоугольников можно менять. Тогда существует такое положение этого четырёх-
найдём тот, который имеет максимальный периметр. Он и являет- угольника, при котором двугранные углы тетраэдра ABCD при
ся биллиардом. Для доказательства заметим сначала, что он имеет рёбрах AC и BD — прямые.
П о д с к а з к а. Максимизируйте объём тетраэдра ABCD.
ровно k различных вершин, а не меньше (в противном случае
79. Любое движение трёхмерного пространства, имеющее не-
добавим несколько недостающих вершин, периметр от этого толь-
подвижную точку, имеет и неподвижную прямую.
ко увеличится). Возьмём теперь три соседние вершины x1 , x2 , x3
П о д с к а з к а. Считаем, что движение A оставляет на месте начало координат.
и обозначим через l касательную к кривой в точке x2 . Так как наш Рассмотрите задачу (Ax)·x>max при условии |x|=1 и воспользуйтесь теоремой
многоугольник имеет наибольший периметр, то максимум функ- Лагранжа.
ции f(x)=|x?x1 |+|x?x3 | на дуге x1 x3 нашей кривой достигается
в точке x2 . Значит точка x2 является решением задачи § 10. ЕЩЁ НЕСКОЛЬКО ЗАДАЧ
f(x)=|x?x1 |+|x?x3 |>max при условии g(x)=0. Мы познакомились с основными приёмами решения геометри-
ческих задач на максимум и минимум. Предлагаем вам теперь
g? (x2 ) f? (x2 )
Согласно теореме Лагранжа, векторы и коллинеарны.
сводный раздел, в котором собрано несколько красивых, хотя и до-
? (x ) перпендикулярен касательной l, а f? (x2 )=u1 +u3 ,
Вектор g 2
вольно сложных задач. Какую из задач каким методом решать —
где u1 — единичный вектор, направленный из точки x1 в x2 , а u3 —
выбирать вам.
единичный вектор, направленный из x3 в x2 . Сумма этих векто-
80 (Американская математическая олимпиада, 1979 г.). Через
ров должна быть перпендикулярна l, следовательно, они образуют
данную точку M, лежащую внутри угла, провести отрезок AB

<< Пред. стр.

страница 4
(всего 5)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

Copyright © Design by: Sunlight webdesign