LINEBURG


страница 1
(всего 5)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

Библиотека
<Математическое просвещение>
Выпуск 31




В. Ю. Протасов

Н а у ч н о - р е д а к ц и о н н ы й с о в е т с е р и и:

МАКСИМУМЫ
В. В. Прасолов, А. Б. Сосинский (гл. ред.),
А. В. Спивак, В. М. Тихомиров, И. В. Ященко.

И МИНИМУМЫ
В ГЕОМЕТРИИ
Серия основана в 1999 году.




Издательство Московского центра
непрерывного математического образования
Москва • 2005
УДК 514.177.2
ВВЕДЕНИЕ
ББК 22.151.0
П78 Экстремальные задачи — задачи на максимум и минимум —
во все времена привлекали внимание учёных. Из попыток решить
Аннотация ту или иную экстремальную задачу возникали и развивались новые
теории, а иногда и целые направления математики.
Текст брошюры подготовлен по материалам лекции, прочитанной
автором 21 февраля 2004 года на Малом мехмате МГУ для школьников В чём причина такого интереса? Во-первых, среди задач на
9—11 классов.
максимум и минимум много красивых задач, которые интересно
Читатель познакомится с такими классическими задачами на мак-
и приятно решать. Но люди занимаются ими отнюдь не только
симум и минимум, как задача Фаньяно, задача о построении фигуры
максимальной площади заданного периметра, задача Штейнера о крат-
<из любви к искусству>. Много экстремальных задач, ложащихся
чайшей системе дорог и многими другими. Одна из глав посвящена ко-
на письменный стол учёного, приходит из практики. Максимумы
ническим сечениям и их фокальным свойствам. В брошюре излагаются
решения перечисленных выше задач, особое внимание уделено пробле- и минимумы постоянно возникают в инженерных расчётах, в ар-
ме доказательства существования решения в экстремальных задачах.
хитектуре, экономике. . . Кроме того, экстремальные задачи самым
В конце каждого раздела помещён набор задач для самостоятельного
неожиданным образом находят применение в науках о природе:
решения.
Брошюра рассчитана на широкий круг читателей, интересующих- физике, химии, биологии. Давно уже было замечено, что окружа-
ся математикой: школьников старших классов, студентов младших
ющий мир во многом устроен по экстремальным законам. Леонард
курсов, а также школьных учителей, руководителей математических
Эйлер (1707—1783), один из величайших математиков, говорил:
кружков. При чтении последних разделов будет полезным (но не обя-
зательным) знакомство с началами математического анализа.
<В мире не происходит ничего, в чём бы не был виден смысл ка-
кого-нибудь максимума или минимума>.
С экстремальными задачами человек начинает знакомиться
в средней школе. Вот, пожалуй, самая известная из них:
ISBN 5-94057-193-X © Протасов В. Ю., 2005. 1. На плоскости дана прямая l и точки A и B по одну сторону
© МЦНМО, 2005. от неё. Найти на прямой точку M, для которой сумма AM+BM
наименьшая.
Для решения отразим точку B относительно прямой l, по-
лучим точку B? (рис. 1). Отрезок BM переходит при симметрии
в отрезок B? M, следовательно, AM+BM=AM+B? M. Согласно не-
Владимир Юрьевич Протасов.
равенству треугольника, сумма AM+B? M принимает наименьшее
Максимумы и минимумы в геометрии.
значение, когда точка M лежит на отрезке AB? . Таким образом,
(Серия: <Библиотека ,,Математическое просвещение“>).
M — точка пересечения прямой l с отрезком AB? ; для этой точки
М.: МЦНМО, 2005. — 56 с.: ил.
сумма AM+BM равна длине отрезка AB? , при другом выборе точ-
Редакторы Р. О. Алексеев, Н. М. Нетрусова Техн. редактор М. Н. Вельтищев
ки M эта сумма будет больше AB? .
Рисунки М. Н. Вельтищева, иллюстрация на обложке Н. М. Нетрусовой
Один из американских школьных учебников по геометрии на-
чинается не с понятий <точка>, <прямая> и не с первых аксиом,
Лицензия ИД № 01335 от 24/III 2000 года. Подписано в печать 22/IV 2005 года.
Формат бумаги 60?88 116 . Офсетная бумага № 1. Офсетная печать. Физ. печ. л. 3,5.
/
а сразу с разбора этой задачи. Настолько наглядно, просто и по-
Тираж ?000 экз. Заказ ????.
учительно её решение! С её помощью можно
объяснить закон отражения света <угол паде-
Брошюра соответствует гигиеническим требованиям к учебным изданиям для общего A
и начального профессионального образования (заключение государственной санитарно- ния равен углу отражения>, поскольку в од- B
эпидемиологической службы Российской Федерации № 77.99.02.953.Д.003873.06.04
нородной среде свет распространяется по крат-
от 2/VI 2004 года).
чайшему пути. Кроме того, эта простая задача
M
лежит в основе так называемых фокальных
Издательство Московского центра непрерывного математического образования.
119002, Москва, Г-2, Бол. Власьевский пер., 11. Тел. 241 72 85, 241 05 00. свойств конических сечений — эллипса, гипер-
болы и параболы. Об этом речь пойдёт в § 2.
Отпечатано с готовых диапозитивов B?
Считается, что впервые задача о кратчай-
в ФГУП <Производственно-издательский комбинат ВИНИТИ>.
шем пути между двумя точками с заходом Рис. 1
140010, г. Люберцы Московской обл., Октябрьский пр-т, 403. Тел. 554 21 86.
3
на прямую, или задача об отражении света, была решена древ- ков в прямую линию>. Суть его проста: с помощью движений
негреческим математиком Героном Александрийским (I век н. э.) плоскости несколько отрезков выстраиваются в ломаную, которая,
в трактате <О зеркалах>. Поэтому её иногда называют задачей Ге- по неравенству треугольника, будет иметь наименьшую длину,
рона. Её можно интерпретировать и как сугубо практическую: где когда её звенья лежат на одной прямой. Так, в задаче Герона в ка-
на прямой дороге нужно поставить автобусную остановку, чтобы честве движения использовалась симметрия относительно прямой l.
суммарный путь до неё от деревень A и B был наименьшим? 5. Внутри угла дана точка M. Найти на сторонах угла точки A
Однако обобщить задачу Герона и её решение не так-то просто. и B (по одной на каждой стороне), для которых периметр тре-
Что будет, например, если деревень не две, а три? угольника MAB наименьший.
2. На плоскости дана прямая l и три точки A, B и C по одну 6. Внутри угла даны точки M и N. Найти на сторонах угла точ-
сторону от неё. Найти на прямой точку M, для которой сумма ки A и B (по одной на каждой стороне), для которых периметр че-
AM+BM+CM наименьшая. тырёхугольника с вершинами в точках M, A, B, N наименьший.
Все попытки решить эту задачу при помощи симметрии 7. Дана прямая l и точки A и B по разные стороны от неё.
ни к чему не привели. Для решения этой и многих других за- Найти на прямой точку M, для которой величина |AM?BM|
дач на максимум и минимум математикам пришлось изобретать принимает наименьшее значение.
совершенно новый метод, называемый теперь вариационным. Мы 8. Деревни A и B разделены рекой, берега которой параллель-
займёмся им в §§ 6, 7. А вот другой пример: ны. Где на реке нужно поставить мост, чтобы путь из одной
3. На плоскости дан выпуклый четырёхугольник. Найти точ- деревни в другую был наименьшим (мост перпендикулярен бере-
ку, сумма расстояний от которой до его вершин наименьшая. гам реки)?
Решение совсем просто: искомая точка M является точкой 9. Деревни A и B разделены двумя параллельными реками
пересечения диагоналей четырёхугольника. В самом деле: по нера- разной ширины. На каждой реке нужно поставить по мосту так,
венству треугольника, сумма расстояний AM+CM не меньше диа- чтобы путь из одной деревни в другую был наименьшим (мосты
гонали AC, а сумма расстояний BM+DM перпендикулярны берегам).
D не меньше BD. Поэтому минимум суммы
расстояний равен AC+BD и достигается § 1. ЗАДАЧА ФАНЬЯНО
C
M
в точке пересечения диагоналей (рис. 2).
Та же задача, но для треугольника, тре- В начале XVIII века итальянский инженер и математик Фа-
бует более тонких рассуждений. Для фор- ньяно деи Тоски (1682—1766) поставил следующую задачу:
мулировки ответа понадобится так называ- 10. Вписать в данный остроугольный треугольник ABC тре-
A B
емая точка Торричелли треугольника (§ 3). угольник наименьшего периметра так, чтобы на каждой стороне
Рис. 2
А для того чтобы решить эту задачу для треугольника ABC лежала одна вершина треугольника.
произвольного многоугольника, вновь придётся прибегнуть к вари- Воспользуемся тем же приёмом: с помо-
ационному методу. При этом ответ может быть подсказан из фи- щью движений плоскости попробуем выстро- A3
C
зических соображений (§ 8). Рассмотрим другое обобщение: ить стороны вписанного треугольника в лома-
4. Соединить вершины данного четырёхугольника системой до- ную линию. Тогда периметр будет не меньше
рог наименьшей суммарной длины. отрезка, соединяющего концы этой ломаной. Q A1
Решение этой задачи приведёт к понятию сети Штейнера для А наименьший периметр будет соответство- B1
данной системы точек. Об этом речь пойдёт в § 3. Как видим, вать случаю, когда стороны ломаной лежат
похожие между собой задачи на максимум и минимум могут тре- на одной прямой.
бовать совершенно различных путей решения. Итак, пусть точки A1 , B1 , C1 лежат на сто- P
В §§ 2—5 будет рассказано о задачах, которые решаются геоме- ронах треугольника ABC (A1 — на стороне BC A C1 B
трически; в §§ 6, 7 мы коснёмся вариационных методов, а в § 8 — и т. д.). Отразим точку A1 симметрично отно-
физических методов; § 9 и приложения целиком посвящены тео- сительно сторон AB и AC, получив точки A2
ремам существования в экстремальных задачах. и A3 соответственно (рис. 3). Длина трёхзвен- A2
Вернёмся теперь к геометрическим решениям. Приём, которым ной ломаной A3 B1 C1 A2 равна периметру тре-
решается задача Герона, можно назвать <выстраиванием отрез- угольника A1 B1 C1 . Для того, чтобы периметр Рис. 3
4 5
был наименьшим (равным отрезку A2 A3 ), Получаем, что три таких произведения в треугольнике равны
A3
нужно, чтобы вершины B1 и C1 лежали между собой. Докажите, что на самом деле они равны удвоенной
C
в точках пересечения отрезка A2 A3 со сто- площади, делённой на радиус описанной окружности.
ронами треугольника AB и AC. Осталось 14. Исследуйте задачу Фаньяно для тупоугольного треугольника.
понять, как выбрать точку A1 на сторо- 15. Исследуйте задачу Фаньяно для четырёхугольника. Для ка-
не BC таким образом, чтобы длина отрез- ких четырёхугольников вписанный четырёхугольник минималь-
A1
ка A2 A3 была наименьшей. Для этого за- ного периметра существует? Будет ли он единственным?
метим, что треугольник A2 AA3 — равнобе-
§ 2. ФОКАЛЬНОЕ СВОЙСТВО КОНИК
дренный (A3 A=A2 A=A1 A), а угол при его
A B
вершине A равен 2?BAC и потому не зави- <Закон гиперболических зеркал таков: лучи света, падая на
внутреннюю поверхность гиперболического зеркала, сходятся
сит от выбора точки A1 (рис. 4).
все в одной точке, в фокусе гиперболы. Это известно>.
A2 Итак, при движении точки A1 по сторо-
А. Н. Т о л с т о й, <Гиперболоид инженера Гарина>.
не BC углы треугольника A2 AA3 не меняют-
Рис. 4
Коникой, или коническим сечением, или квадрикой называ-
ся. А его линейные размеры будут наимень-
ется кривая, полученная в пересечении плоскости с конусом.
шими, когда наименьшей будет сторона A2 A, которая равна A1 A.
Под конусом, как обычно, понимается прямой круговой конус:
Значит, A1 A — высота, опущенная на сторону BC.
фигура, которая состоит из прямых, проходящих через данную
Мы видим, что существует единственный вписанный треуголь-
точку A и образующих данный угол ?<90? с прямой l, проходя-
ник наименьшего периметра, его вершина A1 — основание высоты.
щей через точку A. При этом мы считаем, что конус образован
Если провести те же рассуждения c вершинами B1 и C1 , получим,
именно прямыми, а не лучами или отрезками (как определяет-
что они также являются основаниями высот (поскольку треуголь-
ся в школьных учебниках). Эти прямые называются образующими
ник минимального периметра — единственный!)
конуса (поскольку именно они образуют конус), прямая l — его
Теорема Фаньяно. Среди всех треугольников, вписанных в дан-
осью, а точка A — его вершиной. Таким образом, конус является
ный остроугольный треугольник, наименьший периметр имеет
неограниченной фигурой и состоит из двух половинок, централь-
ортотреугольник (т. е. треугольник с вершинами в основаниях
но-симметричных относительно вершины A.
высот).
Если пересечь конус плоскостью, не проходящей через верши-
11. Две смежные стороны ортотреугольника образуют равные
ну, получим коническое сечение. Конические сечения бывают трёх
углы с соответствующей стороной исходного треугольника. Среди
видов: эллипс, гипербола и парабола. Эллипс получается, когда
всех треугольников, вписанных в данный треугольник, только
плоскость не параллельна ни одной из образующих и пересека-
ортотреугольник обладает указанным свойством*).
ет только одну половину конуса (рис. 5, а), гипербола — когда
12. Высоты треугольника являются биссектрисами углов орто-
плоскость пересекает обе половины (рис. 5, б), а парабола — ко-
треугольника.
гда плоскость параллельна одной из образующих (рис. 5, в). Мы
Луч света, пущенный вдоль одной из сторон ортотреугольни-
не будем рассматривать вырожденные коники, соответствующие
ка, отразится последовательно от всех сторон треугольника ABC
случаю, когда плоскость проходит через вершину конуса (в этом
и вернётся в исходную точку. Таким образом, контур ортотреуголь-
случае может получиться либо пара прямых, либо одна прямая,
ника представляет собой замкнутую траекторию луча света. Если
либо точка).
сдвинуть три зеркала так, чтобы они образовали остроугольный
<Позвольте>, — возразит читатель, — <в школе давались сов-
треугольник, то луч света, идущий по сторонам ортотреугольни-
сем другие определения. Парабола задаётся уравнением y=ax2 , ги-
ка, замкнётся и никогда не выйдет наружу. Математики говорят,
y2
x2
что стороны ортотреугольника образуют биллиард для данного тре- k
пербола — уравнением y= , а эллипс — уравнением 2 + 2 =1.
угольника. x a b
13. Периметр ортотреугольника равен удвоенному произведе- Эллипс, к тому же, является геометрическим местом точек плоско-
нию высоты треугольника на синус угла, из которого она исходит. сти, сумма расстояний от которых до двух данных точек постоян-
на. Так это те же кривые или другие?>. Кривые, конечно, те же.
Все определения этих кривых равносильны, за исключением, раз-
*) В задачах на доказательство мы будем только формулировать утверждение,
ве что, гиперболы, которая не всегда задаётся уравнением y=k/x.
а слова <доказать, что> будем опускать.
6 7
В т о р о е о п р е д е л е н и е к о н и ч е-
а)
с к и х с е ч е н и й. Эллипс является геометри-
ческим местом точек M плоскости, таких что
F1 M+F2 M=c, где F1 и F2 — данные точки
плоскости, c — данное число, причём c>F1 F2 .
Точки F1 и F2 называются фокусами эллипса.
Гипербола — геометрическое место точек M,
для которых |F1 M?F2 M|=c (точки F1 , F2 —
фокусы гиперболы). Парабола — геометриче-
ское место точек, равноудалённых от данной
точки F и от данной прямой d (точка F — фо-
кус параболы, прямая d — её директриса). T1
Для того чтобы показать, что это определе-
ние равносильно предыдущему, впишем в конус
две сферы S1 и S2 , касающиеся плоскости сече- F1
F11
F1
F11
1
1
ния (они называются сферами Данделена). Че-
б) M
рез F1 и F2 обозначим точки касания этих сфер
с плоскостью (рис. 6). Сфера касается поверхно-
сти конуса по окружности, которую мы назовём F2
F2
F22
F22
поясом сферы. Для любой точки M эллипса 2

отрезки MF1 и MT1 равны как касательные
из одной точки к сфере (T1 — точка пересе-
чения пояса сферы S1 с образующей конуса,
проходящей через точку M), а MF2 =MT2 . Та-
T2
ким образом, MF1 +MF2 =T1 T2 , значит, сумма
расстояний от точки эллипса до фокусов рав-
на расстоянию между двумя поясами и потому
не зависит от точки M.
Точно так же доказывается, что для гипер-
болы величина |MF1 ?MF2 | равна расстоянию
между поясами (рис. 7).
Если же плоскость сечения параллельна
в)
образующей, то существует только одна сфе-
ра, вписанная в конус и касающаяся плоскости
сечения (почему?). Обозначим через F точку ка-
сания сферы и плоскости, а через d — прямую,
по которой эта плоскость пересекается с плос-
костью пояса (рис. 8). Тогда MF=MT, а кроме
того, если опустить перпендикуляр MH на пря-
мую d, то MT=MH, поскольку эти отрезки
образуют равные углы с плоскостью пояса (пер-
вый лежит на образующей конуса, второй па- Рис. 6
раллелен другой образующей). Таким образом,
расстояния от точки M до фокуса F и до ди-
ректрисы d равны.
Рис. 5
8 9
M
d
F1 H
T
T1
F
F
F
F

T2

M
M
M
M
F2
F2
F22
F22
2




Рис. 7 Рис. 8




10 11
Конические сечения были известны ещё математикам Древней зательство почти не меняется. Следовательно,
Греции. Так, Менехм в середине IV века до н. э. доказал, что эл- при проецировании на основание цилиндра
липс, гипербола и парабола являются сечениями конуса. Наиболее эллипс переходит в окружность. Остаётся за-
полное исследование конических сечений изложено в книге <Ко- метить, что проецирование на плоскость экви-
ника> Аполлония Пергского, написанной, как считается, между валентно сжатию относительно подходящей
T1
210 и 200 годами до н. э. Аполлоний был третьим после Евкли- прямой.
да и Архимеда великим представителем Александрийской школы. Всякое уравнение второй степени F1
F1
F11
F1
Его <Коника> — настоящий научный подвиг. Это грандиозный 11
1
y)=ax2 +2bxy+cy2 +2dx+2ey+f=0,
p(x,
труд, состоящий из восьми книг. В первых семи книгах, дошедших F2
F2
F22
F2
до нас, содержится 387 теорем, подчас весьма сложных, с подроб- 2
2
если имеет действительные корни, задаёт ко-
ными доказательствами. В течение двух тысячелетий <Коника> нику. Чтобы убедиться в этом, нужно повер-
была настольной книгой математиков и главным руководством нуть плоскость на угол ?, такой что M
M
M
M
по изучению конических сечений. Теория конических сечений
T2
изложена Аполлонием настолько подробно и глубоко, что матема- c?a
ctg 2?= ,
тикам мало что удавалось добавить нового, несмотря на бурный 2b
прогресс математической науки.
тем самым уничтожив слагаемое 2bxy, за-
16. На плоскости даны прямая d и точка F. Пусть задано
тем сделать параллельный перенос так, чтобы
положительное число k. Найдите геометрическое место точек,
уничтожить линейные члены 2dx и 2ey. По-
для которых отношение расстояний до F и до d равно k. Рис. 9
лучившееся уравнение либо будет задавать
17. На плоскости даны две окружности. Найдите геометри-
вырожденную конику (пару прямых, прямую или точку), либо
ческое место центров всевозможных окружностей, касающихся
(возможно, после перемены местами координат x и y) совпадёт
двух данных.
с уравнением эллипса, гиперболы или параболы.
Конические сечения обладают многими замечательными свой-
Теперь всё готово для изучения фокального свойства коник.
ствами, из которых оптические, или, как их называют, <фокаль-
Теорема. Касательная к эллипсу (гиперболе) образует рав-
ные>, свойства занимают особое место. Перед тем как сформули-
ные углы с отрезками, соединяющими точку касания с фоку-
ровать и доказать эти свойства, дадим ещё одно, аналитическое
сами. В случае гиперболы касательная является биссектрисой
определение коник, без которого наш рассказ был бы не полон.
угла F1 MF2 , а в случае эллипса — биссектрисой смежного угла.
Т р е т ь е о п р е д е л е н и е к о н и ч е с к и х с е ч е н и й. Эллипс
Касательная к параболе, проведённая в точке M, образует рав-
y2
x2
ные углы с прямой MF и осью параболы (рис. 10).
задаётся на координатной плоскости уравнением + 2 =1, ги-
a2 b
y2
x2
? 2 =1, парабола — уравнением y=ax2 .
пербола — уравнением M

страница 1
(всего 5)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

Copyright © Design by: Sunlight webdesign