LINEBURG


<< Пред. стр.

страница 6
(всего 11)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

(см. первую главу настоящей работы).


2.1. Оценка результатов научных проектов

На практике распространена задача оценивания сложных систем, процес-
сов и явлений, описываемых многими показателями. Для принятия управленче-
ских решений желательно иметь агрегированную картину, которая, с одной
стороны, включала бы минимальное количество показателей, а, с другой сторо-
ны, позволяла бы выявлять существенные с точки зрения управляющего органа
различия состояний управляемой системы. Процедура перехода от исходного
набора частных показателей (оценок по частным критериям) к агрегирован-
ным показателям (оценкам по агрегированным критериям) называется проце-
дурой комплексного оценивания. Совокупность исходных и конечных показате-
лей, совместно с процедурой агрегирования, называется системой
комплексного оценивания [19].
Задача построения системы комплексного оценивания с математической
точки зрения практически совпадает с многокритериальной задачей принятия
решений и требует характеризации процедур комплексного оценивания, удов-
летворяющих тем или иным системам требований (аксиом) [100, 110].
С практической точки зрения важным является не только поиск процедуры
агрегирования, но и предъявление такого алгоритма ее построения и использо-
вания, который основывался бы на информации, получаемой от экспертов –
специалистов в различных предметных областях. Поэтому процедуры ком-
плексного оценивания обычно строят последовательно, декомпозируя получе-
ние агрегированного показателя на несколько процедур, то есть сначала «сво-
рачивают» частные показатели, затем сворачивают уже полученные показатели
и т.д. Во многих случаях логика свертки диктуется деревом целей – структурой
декомпозиции целей и задач описываемой системы [20].
Имея систему комплексного оценивания, можно ставить и решать задачи
управления [21]. Если заданы процедура агрегирования частных показателей и
затраты на их изменение, то можно искать оптимальные (с точки зрения затрат,
рисков и т.д.) комбинации частных показателей, приводящие к требуемому
значению агрегированного показателя.


4
В написании ряда разделов второй главы принимали участие А.А. Иващенко и
Н.А. Коргин.
39
Наибольшее распространение в последние годы получили матричные про-
цедуры комплексного оценивания, в которых существует набор частных показа-
телей, измеряемых в дискретной шкале, которые сворачиваются попарно (ди-
хотомическая – бинарная – процедура), а агрегированные значения
определяются так называемыми матрицами свертки. При этом возникают как
теоретические задачи нахождения функций свертки, представимых в виде ди-
хотомического дерева [26, 36], перестроения деревьев свертки [4], так и задачи
построения матричных систем комплексного оценивания в различных приклад-
ных областях: управления развитием приоритетных направлений науки и тех-
ники [69], управления проектами [20], управления безопасностью [17, 64], ре-
гионального управления [3, 4], управления научными [121],
производственными [19, 21], и образовательными [90, 95] системами и т.д.
Настоящий раздел посвящен рассмотрению нечетких сетевых систем ком-
плексного оценивания, которые обобщают матричные сверки, с одной стороны,
на случай сети (бинарное дерево является частным случаем сети [18]), а с дру-
гой стороны – на случай нечетких [5] оценок (как частных, так и агрегирован-
ных). Для этого сначала дается общая постановка задачи комплексного оцени-
вания, а затем описываются нечеткие матричные и сетевые системы
комплексного оценивания.
Обозначим: N = {1, 2, …, n} – множество частных критериев, оценки xi I Xi
по которым принимают значения из множеств Xi, i I N; x0 I X0 – комплексная
(агрегированная) оценка, которая вычисляется в соответствии с процедурой
агрегирования F(?): X' ® X0, то есть x0 = F(x), где x = (x1, x2, …, xn) I X' = O X i .
iIN

Различают непрерывные (когда Xi – область в некотором конечномерном
евклидовом пространстве) и дискретные (когда множества Xi конечны) проце-
дуры комплексного оценивания. Также можно отдельно выделить унифициро-
ванные процедуры, в которых все множества Xi одинаковы (например, отрезок
[0; 1] или дискретная шкала с одним и тем же числом значений).
Предположим, что заданы: функция затрат c(x1, x2): (X')2 ® A 1 на изменение
вектора частных показателей с x1 I X' до x2 I X' ; начальное состояние x0 I X';
F0 – требуемое значение комплексной оценки; R – ограничение на ресурсы.
Будем считать, что Xi I A1, i I {0} E N, то есть все оценки – скалярные.
Прямая задача комплексного оценивания заключается в вычислении при из-
вестном векторе частных показателей x0 I X' значения комплексной оценки
F0 = F(x0). При известном отображении F(?) данная задача тривиальна.
Обратная задача комплексного оценивания заключается в нахождении та-
кого множества X(F0) I X' значений векторов частных показателей, которые
приводят к заданной комплексной оценке F0, то есть
X(F0) = {x I X' | F(x) = F0}.
Задача распределения ресурса
(1) F(x) ® max
{ xI X ' | c ( x 0 , x ) ? R }




40
заключается в поиске такого вектора частных показателей, который приводил
бы к максимальной комплексной оценке при условии ограниченности затрат
(затраты на переход не должны превышать имеющегося ресурса R).
Обратная задача распределения ресурса
(2) c(x0, x) ® min
{ xI X ' | F ( x ) = F0 }

заключается в нахождении такого вектора значений частных показателей, пере-
ход к которому из текущего состояния обеспечивал бы достижение заданного
значения F0 комплексной оценки.
Задачи, аналогичные (1) и (2) можно ставить и решать и с учетом неопре-
деленности – например, риска не достижения соответствующих значений част-
ных показателей. Возможен также учет глобальных ограничений Xгл на значе-
ния частных показателей: x I X' C Xгл.
Отметим, что задача (2) может формулироваться и для более сложных слу-
чаев – когда требуется определить оптимальную (с точки зрения затрат) траек-
торию в пространстве частных критериев, приводящую к концу планового пе-
риода к требуемой или максимально возможной величине комплексной оценке
(в динамике можно также минимизировать время достижения требуемого зна-
чения комплексной оценки и т.д.).
Если ввести на множестве X' значений частных критериев функционал
G(x1, x2), отражающий «расстояние» между векторами значений частных крите-
риев, то в случае монотонно неубывающего по всем переменным отображения
F(?) можно определять резерв
(3) d(x0) = x0 – arg min G(x0, x).
xI X ( F ( x0 ))

Понятие резерва позволяет ввести определение напряженного варианта
[20], как такого (условно говоря «Парето-оптимального по расстоянию G(?)»)
вектора значений частных критериев, что ни одна из оценок ни по одному из
этих критериев не может быть уменьшена без уменьшения комплексной оцен-
ки. Делается это следующим образом: если резервы (3) «независимы», то учет
взаимной зависимости значений частных критериев, приводящих к одному и
тому же значению комплексной оценки F0, приводит к следующему определе-
нию множества напряженных вариантов:
D(x0) = {x I X' | F(x) = F0 и " x' ? x F(x') < F0}.
Все сформулированные в настоящем разделе определения и поставленные
задачи являются достаточно общими, хотя и сводятся к известным задачам
математического программирования или дискретной оптимизации. Для их ис-
пользования на практике необходимо, как минимум, расшифровать «что скры-
вается внутри» процедуры агрегирования F(?), как ее строить и как ею пользо-
ваться в каждом конкретном случае. Поэтому перейдем к рассмотрению
матричных систем комплексного оценивания.
Начнем с описания четких матричных (дискретных дихотомических древо-
видных) систем комплексного оценивания, следуя примеру, приведенному в
[5]. Предположим, что требуется оценить уровень научной деятельности ВУЗа
(критерий X0) (см. рисунок 2.1), который определяется уровнем результатов
41
научных исследований (критерий X1) и уровнем применения результатов науч-
ных исследований (критерий X2). Уровень результатов научных исследований,
в свою очередь, определяется уровнем результатов фундаментальных научных
исследований (критерий X11) и уровнем результатов прикладных научных ис-
следований (критерий X12), а уровень применения результатов научных иссле-
дований – уровнем применения результатов научных исследований в ВУЗе
(критерий X21) и уровнем применения результатов научных исследований во
внешних организациях (критерий X22). В данном случае частными критериями
являются X11, X12, X21 и X22, агрегированным критерием является X0, а крите-
рии X1 и X2 являются промежуточными.


X0
Уровень научной деятельности ВУЗа




X1 X2
Уровень результатов научных Уровень применения
исследований результатов
научных исследований


x11 x12 x21 x22
Уровень Уровень Уровень Уровень
результатов результатов применения применения
фундаментальных прикладных результатов результатов НИ
научных научных во внешних
НИ в ВУЗе
исследований исследований организациях

Рис. 2.1. Дерево критериев научной деятельности ВУЗа


Пусть оценки по каждому критерию могут принимать конечное число зна-
чений (для простоты будем использовать четырехбальную шкалу: 1 – «плохо»,
2 – «удовлетворительно», 3 – «хорошо» и 4 – «отлично»). Требуется (прямая
задача), имея оценки по критериям X11, X12, X21, X22 нижнего уровня, полу-
чить агрегированную оценку по критерию X0. В случае бинарного (дихотомиче-
ского) дерева для свертки оценок, полученных в дискретной шкале, используют
логические матрицы (матрицы свертки), значения элементов которых опреде-
ляют агрегированную оценку при условии, что оценки по агрегируемым крите-
риям являются номерами соответствующих строк и столбцов.
Если использовать в рассматриваемом примере матрицы свертки, (см. ри-
сунок 2.2), то, например, при x11 = 4, x12 = 3, x21 = 2, x22 = 3 получим, что x1 = 4,
x2 = 2, а x0 = 3 (см. таблицу 2.1).



42
x2
x1
x2 x0 x22
x12
1 1 3 3
1 1 2 2 1
1
1 2 2 3
1
3 3 1 2 3 3
1 2 2
2
1 2 3 3
2
1 2 3 4
2 3 3 4 3
3
2 2 3 4
3
2 2 3 4
2 3 4 4 4
4
2 3 3 4
4
x1 1 2 3 4
1 2 3 4 x11 x21
1 2 3 4
Рис. 2.2. Матрицы свертки


Таблица 2.1. Агрегирование четких оценок
Критерии Четкие значения
X0 3
X1 4
X2 2
X11 4
X12 3
X21 2
X22 3


Напряженными вариантами, приводящими, например, к агрегированной
оценке x0 = 4, будут следующие 8 вариантов:
x11 = 3, x12 = 4, x21 = 3 и x11 = 3, x12 = 4, x21 = 3
при любых значениях x22.
Обобщением описанной выше четкой матричной системы комплексного
оценивания является нечеткая матричная система комплексного оценивания, в
которой оценки по каждому из критериев являются в общем случае нечеткими,
и агрегируются в соответствии с четкими матрицами свертки5. Нечетким оцен-
кам могут соответствовать вектора степеней уверенности экспертов в достиже-
нии четких оценок. Получаемая в результате агрегирования оценка также явля-
ется нечеткой и несет в себе больше информации, чем четкие оценки.
Пусть ˜1 – нечеткая оценка по первому критерию, задаваемая функцией
x
принадлежности m ˜ ( x1 ) на универсальном множестве, определяемом соответст-
x1


вующей шкалой (в рассматриваемом примере это множество – {1, 2, 3, 4}), ˜2 –
x



5
Под нечеткими процедурами комплексного оценивания будем понимать четкие
процедуры (отображения) нечеткой информации в нечеткую информацию. Все полу-
ченные результаты могут быть легко обобщены на случай, когда процедура агрегиро-
вания является нечеткой. Однако содержательные интерпретации и практическое
использование подобных моделей представляется затруднительным в силу высокой
их сложности.
43
нечеткая оценка по второму критерию, задаваемая функцией принадлежности
m ˜ ( x2 ) .
x2

В соответствии с принципом обобщения [106] полученная в результате аг-
регирования по процедуре F(?), задаваемой матрицей свертки, нечеткая оценка
˜ будет определяться функцией принадлежности6
x0
(4) ?˜ ( x0 ) = min { m ˜ ( x1 ) , m ˜ ( x2 ) }, x0 = 1,4 .
sup
x x x
0 1 2
{( x 1 ,x 2 ) | F ( x 1 ,x 2 ) = x 0 }

В предельном случае, то есть когда агрегируются четкие оценки, естест-
венно, агрегированная оценка является четкой и совпадает с получающейся в
результате использования четкой процедуры комплексного оценивания.
Пусть для рассматриваемого примера нечеткие оценки по критериям ниж-
него уровня принимают значения, приведенные в таблице 2.2, и сворачиваются
в соответствии с деревом, приведенным на рисунке 2.1. Используя матрицы
свертки, приведенные на рисунке 2.2, и выражение (4), получаем нечеткие
оценки по агрегированным критериям (см. таблицу 2.2).

Таблица 2.2. Агрегирование нечетких оценок
Нечеткие значения
Критерии
1 2 3 4
0,00 0,20 0,70 0,30
X0
0,00 0,10 0,40 0,70
X1
0,20 0,90 0,30 0,10
X2
0,00 0,20 0,40 0,70
X11
0,00 0,10 1,00 0,40
X12
0,20 0,90 0,30 0,10
X21
0,00 0,30 0,95 0,40
X22

Нечеткие оценки по критериям X0, X1 и X2 для рассматриваемого примера
приведены на рисунке 2.3.
По аналогии с напряженными вариантами в системах четкого комплексно-
го оценивания [20], можно рассматривать нечеткие напряженные варианты.
Пусть задан нечеткий вектор оценок агрегированного критерия (в рассматри-
ваемом примере – это вектор ˜0 = (0; 0,2; 0,7; 0,3)). Напряженными назовем
x
минимальные вектора агрегируемых оценок, приводящие к заданному нечетко-
му вектору агрегированных оценок. Легко убедиться, что в рассматриваемом
примере – это вектора ˜1 = (0; 0; 0,2; 0,7) и ˜2 = (0,2; 0,7; 0,3; 0).
x x
Напряженному варианту будет соответствовать следующий набор значе-
˜ = (0; 0; 0,2; 0,7), ˜ = (0; 0; 0,7; 0),
ний оценок нижнего уровня: x11 x12
˜ = (0,2; 0,7; 0,3; 0), ˜ = (0; 0; 0,7; 0). Разности между приведенными в таб-
x21 x22
лице 2.2 значениями оценок и напряженными можно считать резервами по со-
ответствующим критериям, что позволяет ставить и решать задачи оптимиза-

6
Супремум по пустому множеству в выражении (4) (и аналогичных ему) будем счи-
тать равным нулю.
44
ции резервов, затрат и риска. Отметим, что найденные напряженные варианты
отличаются от оценки, даваемой формулой (6) – см. ниже, в соответствии с
которой в данном примере m min ( xi ) = 0,7, xi I {1, 2, 3, 4}, i I {11, 12, 21, 22}.
˜
xi




1,00



0,80

X0
0,60
X1


0,40 x2



0,20



0,00
1 2 3 4

Рис. 2.3. Нечеткие оценки по критериям X0, X1 и X2

Завершив рассмотрение примера, обобщим полученные результаты. В слу-
чае, когда нечеткие оценки { ˜i }i I N агрегируются в соответствии с четкой про-
x
цедурой F(?) значение функции принадлежности для агрегированной оценки ˜0 x
вычисляется по следующей формуле:
min { m ˜ ( xi ) }, x0 I X0.
(5) ?˜ ( x0 ) = sup
x x
0 i
iIN
{ xI X ' | F ( x ) = x 0 }

Можно решить и обратную задачу: пусть задана требуемая функция при-
надлежности ?˜ ( x0 ) итоговой агрегированной нечеткой оценки ˜0 . Тогда рав-
x
x 0

номерная оценка сверху «минимальных» («напряженных») значений функций
принадлежности значений частных критериев есть
?˜ ( x0 ) , xi I Xi, i I N.
(6) m min ( xi ) = sup x
˜ 0
xi
{ x 0 I X 0 | x i IProji X ( x 0 )}

где ?˜ ( x0 ) определяется (5).
x 0


Пример расчетов нечетких напряженных вариантов по формуле (6) приве-
ден выше. Имея значения минимальных функций принадлежности (6), приво-
дящих к заданному нечеткому агрегированному результату, можно при извест-
ном функционале затрат, определенном на множестве пар («начальных» и
«конечных») функций принадлежности, искать наиболее дешевый вариант дос-
тижения заданного нечеткого агрегированного результата из начального со-
стояния, описываемого также нечетких вектором оценок по частным критери-
ям.
Нечетким резервом назовем следующую нечеткую величину:
(7) d ˜ ( xi ) = m ˜ ( xi ) – m min ( xi ) , xi I Xi, i I N.
x x ˜
i i xi


<< Пред. стр.

страница 6
(всего 11)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

Copyright © Design by: Sunlight webdesign