LINEBURG


<< Пред. стр.

страница 4
(всего 4)

ОГЛАВЛЕНИЕ

? p1 x + q1 y + r1 z = 0,
?
должна удовлетворять и тройка (nx, ny, nz). Поэтому n = 0. Во-вторых,
p x + q2 y + r2 z = 0,
поскольку точки X и Y лежат на прямой XY, должны выполняться
?2
? p x+q y+r z=0
равенства 3 3 3
kp1 + lq1 + mr1 = 0,
должна иметь решение, отличное от (0, 0, 0) (т. е. на самом деле бес-
(**)
kp2 + lq2 + mr2 = 0. конечно много решений). По-другому это можно записать так:
p1 q1 r1
Уравнений — два, а неизвестных — три. Поэтому мы сумеем опре-
= p1 q2 r3 + q1 r2 p3 + r1 p2 q3 r1 q2 p3 q1 p2 r3 p1 r2 q3 = 0
p2 q2 r2
делить из этой системы коэффициенты k, l, m лишь с точностью
p3 q3 r3
до некоторого действия (в нашем случае — с точностью до умноже-
ния всех коэффициентов на некоторое число). Возможны два случая: (определитель равен нулю).
28 29
Проиллюстрируем двойственность на примере. Рассмотрим ной плоскости). Докажем это. Рассмотрим прямую, задаваемую урав-
теорему о прямой Эйлера: точки H, O, M лежат на одной прямой. нением px + qy + rz = 0. Каждую точку Z(x0 , y0 , z0 ), лежащую на ней,
Двойственная теорема звучит так: прямые Hд , Oд , Mд пересекаются x0 y0 z0
изоциркулярное преобразование переводит в точку Zc ,, .
abc
в одной точке.
Отметим, что прямая с уравнением x + y + z = 0, двойственная Для них
точке M(1, 1, 1), является бесконечно удалённой прямой, поскольку apx + bqy + crz = px0 + qy0 + rz0 = 0.
для любой точки, лежащей на этой прямой, сумма барицентрических
Таким образом, изоциркулярное преобразование переводит прямую
координат равна нулю (см. стр. 20). По-
с уравнением px + qy + cz = 0 в прямую с уравнением apx + bqy + crz = 0.
этому полученный выше факт можно
переформулировать следующим обра-
зом: прямые Oд и Hд параллельны.
Прямую, двойственную точке
Z(k, l, m), легко построить геометриче-
ски. Для этого сначала проведём через
точку Z три чевианы AA1 , BB1 , CC1 .
Точки пересечения прямых A1 B1 и AB,
B1 C1 и BC, C1 A1 и CA лежат на од-
Z
C ной прямой. Этот факт представляет
B1
собой знаменитую теорему Дезарга,
A
A1 одну из основных теорем проективной
Z
геометрии (рис. 33). Его несложно
C
C1 получить, используя выведенное урав-
B нение прямой. Покажите, что точки
пересечения из теоремы Дезарга име-
ют координаты (0, l, m), (k, 0, m), I B
A
( k, l, 0), и убедитесь, что определи-
Рис. 33
тель, составленный из их координат,
равен нулю, а уравнение прямой, проходящей через эти точки, имеет
вид lmx + kmy + klz = 0, или, с учётом однородности,
xyz
+ + = 0.
klm
Рис. 34
В этой конструкции точка Z называется полюсом, а построенная пря-
мая — полярой. Посмотрим, какая прямая переходит при изоциркулярном пре-
Прямая, двойственная точке Z(k, l, m), задаётся уравнением образовании в бесконечно удалённую прямую. Чтобы прямая, зада-
111
ваемая уравнением apx + bqy + crz = 0, являлась бесконечно удалён-
kx + ly + mz = 0, а поляра точки Zm ,, имеет то же уравне-
klm
ной (с уравнением x + y + z = 0), должны выполняться равенства ap =
ние. Итак, прямая, двойственная точке Z, есть поляра точки Zm — = bq = cr = 1. Таким образом, искомой является прямая с уравнением
изотомического образа точки Z.
xyz
+ + =0
abc
Изоциркулярное преобразование и бесконечно удалённая прямая
— поляра центра вписанной окружности I (или прямая, двойствен-
Как уже упоминалось на стр. 17, изоциркулярное преобразование
ная Im , что равносильно), рис. 34.
является проективным, т. е. переводит точки, лежащие на одной пря-
22. Покажите, что изоциркулярное преобразование переводит
мой, в точки, лежащие на одной прямой. Другими словами, изоцир-
бесконечно удалённую прямую в поляру точки Im .
кулярное преобразование переводит прямые в прямые (на проектив-
30 31
ЗАКЛЮЧЕНИЕ БИБЛИОТЕКА
«МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРОСВЕЩЕНИЕ»
Геометрия треугольника, наравне со многими другими разде-
лами элементарной математики, даёт возможность почувствовать
красоту математики вообще и может стать для кого-то началом
ВЫПУСК 1 ВЫПУСК 10
пути в «большую науку». Кроме того, каждый любитель геометрии
А.Б.С о с и н с к и й. Узлы и косы.
В. М. Т и х о м и р о в. Великие
треугольника имеет шанс от-
математики прошлого и их ве-
крыть нечто новое и пополнить
C ВЫПУСК 11
ликие теоремы.
её сокровищницу собственной
драгоценной находкой, ибо гео- Э. Б. В и н б е р г. Симметрия
ВЫПУСК 2
метрия поистине неисчерпаема! многочленов.
А. А. Б о л и б р у х. Проблемы
A1 Чтобы не быть голослов-
Гильберта (100 лет спустя).
ным, приведу один пример, тем ВЫПУСК 12
B1 более что он связан с одной из В. Г. С у р д и н. Динамика звёзд-
ВЫПУСК 3
рассмотренных нами выше тем. ных систем.
Д. В. А н о с о в. Взгляд на мате-
А именно, вернёмся к рис. 23.
Z
матику и нечто из неё.
Несколько лет назад один ВЫПУСК 13
из знатоков элементарной гео-
B
A
В. О. Б у г а е н к о. Уравнения
ВЫПУСК 4
метрии Лев Емельянов открыл
C1 Пелля.
и доказал [7], что если провести В. В. П р а с о л о в. Точки Брока-
на этом рисунке окружность, ра и изогональное сопряжение.
ВЫПУСК 14
Рис. 35 касающуюся внешним образом
ВЫПУСК 5 В. И. А р н о л ь д. Цепные дроби.
трёх окружностей, вписанных
в сегменты, то она всегда будет касаться вписанной в треуголь- Н. П. Д о л б и л и н. Жемчужи-
ник окружности (вне зависимости от выбора начальной точки Z, ВЫПУСК 15
ны теории многогранников.
расположенной внутри треугольника), рис. 35! В. М. Т и х о м и р о в. Дифферен-
ВЫПУСК 6
Таким образом, выражаясь возвышенно, на небосводе геометрии циальное исчисление (теория и
треугольника зажглась ещё одна звезда первой величины. А. Б. С о с и н с к и й. Мыльные приложения).
плёнки и случайные блуждания.
ВЫПУСК 16
ЛИТЕРАТУРА ВЫПУСК 7
В. А. С к в о р ц о в. Примеры
И. М. П а р а м о н о в а. Сим-
[1] М. Б а л к, В. Б о л т я н с к и й. Геометрия масс. — М.: Наука, метрических пространств.
метрия в математике.
1987.
[2] А. М я к и ш е в. О некоторых преобразованиях, связанных с тре- ВЫПУСК 17
ВЫПУСК 8
угольником // Математическое образование. № 1 (8). 1999. В. Г. С у р д и н. Пятая сила.
В. В. О с т р и к, М. А. Ц ф а с м а н.
[3] В. П р а с о л о в. Задачи по планиметрии. — М.: МЦНМО, 2001.
Алгебраическая геометрия
[4] В. П р а с о л о в. Точки Брокара и изогональное сопряжение. —
ВЫПУСК 18
и теория чисел: рациональные
М.: МЦНМО, 2000. — (Библиотека «Математическое просвеще-
О числе p.
А. В. Ж у к о в.
и эллиптические кривые.
ние». Вып. 4).
[5] C. K i m b e r l i n g. Triangle Centers and Central Triangles. —
ВЫПУСК 9 ВЫПУСК 19
Winnipeg, 1998.
Б. П. Г е й д м а н. Площади мно- А. Г. М я к и ш е в. Элементы
[6] C. K i m b e r l i n g. Encyclopedia of Triangle Centers. —
гоугольников. геометрии треугольника.
http://www2.evansville.edu/ck6/encyclopedia/
[7] L. E m e l y a n o v. A Feuerbach Type Theorem on Six Circles // Fo-
rum Geometricorum. Vol. 1. 2001. — http://forumgeom.fau.edu/
32

<< Пред. стр.

страница 4
(всего 4)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Copyright © Design by: Sunlight webdesign