LINEBURG


<< Пред. стр.

страница 2
(всего 4)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

которой точке! — разумеется, бесконечно удалённой. При этом мы
BA1 CB1 AC1 c sin ?BAA1 a sin ?CBB1 b sin ?ACC1
полагаем также, что бесконечно удалённая точка Z прямой AB делит 1= = =
CA1 AB1 BC1 b sin ?CAA1 c sin ?ABB1 a sin ?BCC1
ZA
отрезок AB пополам в н е ш н и м образом: = 1.
ZB sin ?BAA1 sin ?CBB1 sin ?ACC1
= .
2. Постройте точку, которая делит отрезок AB внешним образом sin ?CAA1 sin ?ABB1 sin ?BCC1
99
, считая от вершины A, и точку, которая делит Для внешней точки Z рассуждение аналогично (проведите его само-
в отношении
100
стоятельно).
100
отрезок в отношении .
99
Некоторые замечательные точки треугольника. Теорема Карно
Решение этого упражнения показывает, что если отношение чуть
больше единицы, то искомая точка расположена п р а в е е точки A Посмотрим, как «работает» теорема Чевы.
Будем называть прямые конкурентными, если они пересекаются
и удалена от неё на значительное расстояние, а если чуть меньше,
то значительно л е в е е точки A. Отсюда вытекает, что, двигаясь по в одной точке.
Ц е н т р в п и с а н н о й о к р у ж н о с т и I (см. рис. 3). Применив
прямой влево или вправо, на самом деле мы идём к одной и той же
теорему Чевы в форме синусов, мгновенно получаем, что биссектрисы
бесконечно удалённой точке, т. е. прямая как бы замыкается, подобно
конкурентны.
окружности.
О р т о ц е н т р Н (см. рис. 4). Теперь докажем, что высоты тре-
3. Покажите, что при переводе с «проективного» языка на при-
угольника пересекаются в одной точке, ограничившись случаем ост-
вычный «евклидов» теорема Чевы в случае бесконечно удалённой
роугольного треугольника (случай тупоугольного треугольника раз-
вершины A может быть сформулирована следующим образом.
берите самостоятельно). Условие Чевы в форме синусов с использова-
На отрезке BC выбрана точка A1 , а на параллельных прямых,
нием известного соотношения sin(90? a) = cos a записывается в виде
проходящих через точки C и B, точки B1 и C1 соответственно. Тогда
cos a cos b cos c
прямые BB1 , CC1 и прямая, проходящая через A1 параллельно двум = 1.
cos b cos c cos a
данным, пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда
Ц е н т р о п и с а н н о й о к р у ж н о с т и O (см. рис. 2). Очевид-
BA1 CB1
= 1.
CA1 BC1 но, что два серединных перпендикуляра к сторонам треугольника пе-
ресекаются в точке, равноудалённой от
Теорема Чевы в форме синусов всех трёх вершин треугольника, и зна-
чит, эта точка лежит и на третьем сере-
В каждом из рассмотренных случаев — и в случае внутренней динном перпендикуляре.
точки Z, и в случае внешней точки Z — условие Чевы можно записать Но как доказать этот несложный
также в виде факт, пользуясь теоремой Чевы? Из
sin ?ACC1 sin ?CBB1 sin ?BAA1 принципиальных соображений это хоте-
= 1.
sin ?BCC1 sin ?ABB1 sin ?CAA1 лось бы сделать и в данном случае. Од-
нако здесь возникают затруднения, по-
Доказательство равносильности этих условий не сложно. Действи-
скольку по природе своей теорема Чевы
тельно, применив теорему синусов к треугольникам ACC1 и BCC1 ,
создана для выявления конкурентности Рис. 15
имеем:
ч е в и а н, а не п е р п е н д и к у л я р о в
AC1 sin ?ACC1 BC1 sin ?BCC1
= и = . к сторонам треугольника. Возникшее затруднение можно преодо-
CC1 sin ?CAC1 CC1 sin ?CBC1
леть, рассмотрев серединный треугольник (рис. 15). Поскольку
Разделив одно равенство на другое, получаем: средние линии параллельны сторонам исходного треугольника,
AC1 sin ?CBC1 sin ?ACC1 sin ?CBA sin ?ACC1 b sin ?ACC1 серединные перпендикуляры являются высотами серединного тре-
= = = .
BC1 sin ?CAC1 sin ?BCC1 sin ?CAB sin ?BCC1 a sin ?BCC1 угольника. И мы свели задачу к предыдущей!
8 9
точка касания вневписанной окружности с центром IB и стороны CA,
Есть и более содержательный подход к этой проблеме.
C1 — третьей вневписанной окружности и третьей стороны треуголь-
Теорема Карно [3]. Пусть точки A1 , B1 , C1 лежат на прямых BC,
ника. Прямые AA1 , BB1 , CC1 пересекаются в точке N.
CA, AB соответственно. Пусть также BA1 = x1 , CA1 = x2 , CB1 = y1 ,
Дело в том, что, используя всё ту же теорему о равенстве отрезков
AB1 = y2 , AC1 = z1 , BC1 = z2 . Следующие условия равносильны:
касательных, легко получить, что в случае вневписанной окружнос-
ти, например, с центром IA , BA1 = p c, CA1 = p b, т. е. точки касания
1) перпендикуляры к соответствующим сторонам треугольника,
восставленные в точках A1 , B1 , C1 , пересекаются в одной точке; вписанной и вневписанной окружностей со стороной треугольника
симметричны относительно середины этой стороны. Поэтому усло-
2) x2 + y2 + z2 = x2 + y2 + z2 (условие Карно).
1 1 1 2 2 2 вие Чевы записывается в виде
(Сравните с условием Чевы: x1 y1 z1 = x2 y2 z2 .) pcpapb
= 1.
pbpcpa
Д о к а з а т е л ь с т в о, пожалуй, ещё проще, чем доказательство
5. Докажите с помощью теоремы Карно, что перпендикуляры,
теоремы Чевы, и опирается лишь на теорему Пифагора. Пусть перпен-
дикуляры пересекаются в точке Z. Несложно восставленные к сторонам треугольника в точках касания вневпи-
A получить следующие равенства (рис. 16): санных окружностей, пересекаются в одной точке. Покажите затем,
AB2 CB2 = AZ2 CZ2 ,
1 1
BC2 AC2 = BZ2 AZ2 ,
C1 1 1
CA1 BA2 = CZ2 BZ2 ,
2
B1 1
Z сложив которые, и получаем условие Карно.
Доказательство обратной теоремы Кар-
но (как и обратной теоремы Чевы) использу-
ет прямую теорему: пусть два перпендикуля-
B A1 C
ра пересекаются в некоторой точке, опустим
Рис. 16
из неё перпендикуляр на третью сторону, за-
пишем условие Карно и т. д.
Из теоремы Карно конкурентность серединных перпендикуля-
ров вытекает столь же естественно, как и конкурентность медиан из
теоремы Чевы.
Т о ч к а Ж е р г о н н а G (см. рис. 5). Пусть A1 , B1 , C1 — точки ка- Рис. 17
сания вписанной окружности со сторонами BC, CA, AB соответствен-
но. Прямые AA1 , BB1 , CC1 пересекаются в одной точке (точке G), по- что эта точка симметрична центру вписанной окружности относи-
скольку отрезки касательных, проведённых к окружности из одной тельно центра описанной окружности (рис. 17).
точки, равны:
Некоторые замечательные преобразования,
BA1 = BC1 , CB1 = CA1 , AB1 = AC1 ; связанные с теоремой Чевы
BA1 CB1 AC1
И з о т о м и ч е с к о е с о п р я ж е н и е. Зафиксируем на плоскости
= 1.
CA1 AB1 BC1 треугольник ABC. Выберем некоторую точку плоскости Z и проведём
через неё и вершины треугольника прямые, пересекающие стороны
4. Покажите, что равные отрезки касательных выражаются через
треугольника (или их продолжения) в точках A1 , B1 , C1 соответствен-
полупериметр и стороны треугольника следующим образом:
но. Каждую такую точку отразим симметрично относительно сере-
AB1 = AC1 = p a, BC1 = BA1 = p b, CA1 = CB1 = p c. (*) дины той стороны, на которой она лежит*). Полученные три точки
Т о ч к а Н а г е л я N (см. рис. 6). Пусть теперь A1 — точка ка- *) В соответствии со сказанным на стр. 8 считаем, что бесконечно удалённая точка
сания вневписанной окружности с центром IA и стороны BC, B1 — любой прямой PQ при симметрии относительно середины PQ переходит в себя.
10 11
C C




A2
B1 B1
A2

B2
B2
A1 A1
Z Z
Zm Zl
а) б)

Рис. 20. Образы трёх полукругов под действием преобразований относи-
B B
A C2 C1 A C2 C1 тельно заштрихованного треугольника:
а) изогонального сопряжения; б) изотомического сопряжения.
Рис. 18 Рис. 19

обладают симметрии относительно точки, прямой или окружности
обозначим через A2 , B2 , C2 (рис. 18). Тогда прямые AA2 , BB2 , CC2
(инверсия). Очевидно, что и только что рассмотренные нами пре-
также пересекаются в некоторой точке Zm . Эта точка называется изо-
образования обладают этим же свойством. Однако они устроены бо-
томически сопряжённой точке Z относительно треугольника ABC.
лее сложным образом, например, не сохраняют прямые и окружно-
Корректность определения изотомического сопряжения следует
сти (т. е. образ прямой или окружности может быть чем-то иным,
из теоремы Чевы: в условии Чевы числители меняются местами со
рис. 20). Кроме того, непосредственно из определения следует, что
знаменателями, и если исходное произведение равнялось единице,
и изотомическое, и изогональное сопряжения «плохо» действуют на
то «перевёрнутое» произведение тоже равно единице.
точки, расположенные на сторонах (или их продолжениях) порожда-
И з о г о н а л ь н о е с о п р я ж е н и е. Зафиксируем на плоскости
ющего эти преобразования треугольника. Любая такая точка под дей-
треугольник ABC. Вновь выберем некоторую точку плоскости Z и
ствием этих преобразований переходит в противолежащую вершину,
проведём через неё и вершины треугольника прямые, пересекающие
а вершины — в любую точку на противоположной стороне. Нару-
стороны треугольника (или их продолжения) в точках A1 , B1 , C1 соот-
шается однозначность! Но если исключить из области определения
ветственно. Тогда прямые AA2 , BB2 , CC2 , симметричные прямым AA1 ,
прямые, содержащие стороны треугольника, однозначность восста-
BB1 , CC1 относительно биссектрис соответствующих углов треуголь-
навливается.
ника, пересекаются в одной точке Zl (рис. 19). Эта точка называется
Одной из важных характеристик преобразования является на-
изогонально сопряжённой точке Z относительно треугольника ABC.
личие (или отсутствие) неподвижных точек, т. е. точек, остающихся
Для доказательства корректности здесь удобно воспользоваться
под действием преобразования на месте. Легко понять, что неподвиж-
теоремой Чевы в форме синусов: записанное таким образом условие
ными точками изотомического сопряжения являются точка пересе-
Чевы «переворачивается», и если произведение отношений равня-
чения медиан и точки, симметричные вершинам треугольника отно-
лось единице, после «переворота» оно тоже будет равно единице.
сительно середин соответствующих сторон; неподвижными точками
Изотомическое и изогональное сопряжения
изогонального сопряжения являются центры вписанной и трёх вне-
к а к п р е о б р а з о в а н и я п л о с к о с т и. В геометрии сопряжением
вписанных окружностей.
называют преобразование F плоскости, возвращающее любую точку
С помощью изотомического и изогонального сопряжений мож-
обратно после двукратного применения. Формально это можно запи-
но получать новые замечательные точки (см. введение), например,
сать так:
антиортоцентр Hm (точку, изотомически сопряжённую ортоцентру)
F(F(X)) = X
или точку Im пересечения антибиссектрис (точку, изотомически со-
для любой точки X, или пряжённую центру вписанной окружности).
Точкой Лемуана L (см. рис. 7) называют точку, изогонально
F ? F = F2 = Id
сопряжённую точке пересечения медиан треугольника. Она обла-
(преобразование F в квадрате даёт тождественное). Таким свойством дает многими любопытными свойствами. Так, например, если для
12 13
точки пересечения медиан сумма квадратов расстояний до вершин
треугольника минимальна, то для точки Лемуана минимальна сумма
квадратов расстояний до его сторон [3, 4].
6. Проверьте, что точки Жергонна и Нагеля образуют пару изо- C
томически сопряжённых точек.
Z
7. Покажите, что центр описанной окружности и точка пересече-
ния высот изогонально сопряжены.
Выясним, какие линии переходят в бесконечно удалённую
прямую под действием рассмотренных сопряжений, т. е. найдём
множества точек, для которых чевианы,
A
их содержащие, переходят в тройки B
параллельных прямых.
C
Оказывается, в случае изогонально-
Z
го сопряжения ответом является опи-
санная около треугольника окружность. Рис. 22
F
В обозначениях рис. 21
?EAB = ?ZAC = ?ZBC = ?ABF,
B1
таким образом, чевианы AE и BF парал- C
B
A
лельны. Аналогично доказывается, что
им параллельна и третья чевиана.
E
Для изотомического сопряжения та-
Рис. 21
кой линией является описанный эллипс
Штейнера — эллипс, содержащий вер- B2
шины треугольника, а также точки, симметричные точке пересече-
ния медиан (которая является центром этого эллипса) относительно
A2 A1
середин соответствующих сторон (рис. 22) [3, 5]. Zc
И з о ц и р к у л я р н о е п р е о б р а з о в а н и е — ещё одно преобразо- Z
вание, при помощи которого можно получать новые замечательные
точки. Рассмотрим точку Z, расположенную в н у т р и треуголь-
ника ABC. Пусть прямая AZ пересекает описанную окружность B
A C2
в точке A1 . В сегмент, отсекаемый стороной BC, впишем окруж-
ность, касающуюся дуги BC в точке A1 , а стороны BC — в точке A2 .
Аналогично определим точки B2 и C2 (рис. 23). Прямые AA2 , BB2 , C1 Рис. 23
CC2 пересекаются в одной точке Zc , которую мы будем называть
изоциркулярным образом точки Z.
A1
Доказательство корректности определения изоциркулярного
преобразования использует теорему Чевы сразу в двух формулиров-
ках — в форме отношений синусов и в форме отношений отрезков, —
а также следующую интересную лемму.
Лемма Архимеда. Если окружность вписана в сегмент и касается
дуги в точке A1 , а хорды BC — в точке A2 , то прямая A1 A2 является
B
C
биссектрисой угла BA1 C (рис. 24). A2 Рис. 24
14 15
C Отметим, что все проведённые рассуждения были сделаны для
точек Z, расположенных в н у т р и треугольника ABC. Для внеш-
них точек Z нужно немного изменить конструкцию: рассматривать
о д н у окружность, касающуюся описанной в н у т р е н н и м обра-
зом, и д в е — в н е ш н и м (рис. 25).
9. Проверьте конкурентность прямых для внешней точки.
Изоциркулярное преобразование, хотя и не является сопряже-
C2
нием, всё же устроено проще, чем изотомическое и изогональное.
B
A
Так, несложно показать (с использованием барицентрических коор-
Zc
динат, о которых ниже), что оно любую прямую (на проективной
плоскости) переводит в прямую — такие преобразования называются
проективными.
Z
B2 Подробнее о свойствах изоциркулярного преобразования можно
B1
прочитать в статье [2].
A1
C1

A2 БАРИЦЕНТРИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ
Барицентрические координаты — это система координат, «при-
Рис. 25
вязанная» к данному треугольнику. Именно поэтому многие свойства
8. Докажите лемму Архимеда, пользуясь тем, что биссектриса треугольника в такой системе координат записываются значитель-
угла треугольника, вписанного в окружность, пересекает её в точке, но проще, чем, скажем, в прямоугольной системе координат. С ис-
лежащей на серединном перпендикуляре к стороне треугольника. пользованием этой системы координат упрощаются и доказательства
Пусть ?BAA1 = a1 , ?CAA1 = a2 . Поскольку A1 A2 — биссектриса большого количества сложных теорем геометрии треугольника.
угла при вершине A1 треугольника BA1 C, то по свойству биссектрисы Впервые барицентрические координаты упоминаются в книге
«Der barycentrische Calcul»*) Августа Мёбиуса, опубликованной
BA2 BA1
, а так как треугольники BAA1 и CAA1 вписаны в одну и
= в 1827 году.
CA2 CA1
ту же окружность, по теореме синусов BA1 = 2R sin a1 , CA1 = 2R sin a2 , Система материальных точек и её центр масс
и следовательно,
Системой материальных точек на плоскости называется конеч-
BA2 BA1 sin a1
= = . ная совокупность пар вида [mi , Ai ], где Ai — некоторые точки плоско-
CA2 CA1 sin a2
сти, а mi — массы, некоторые действительные числа, одновременно
Аналогично получаем, что
не равные нулю (i = 1, 2, …, n).
CB2 sin b1 AC2 sin c1 Центром масс этой системы называется точка Z, для которой
= , = ,
AB2 sin b2 BC2 sin c2 выполняется равенство
где b1 = ?CBB1 , b2 = ?ABB1 , c1 = ?ACC1 , c2 = ?BCC1 . Условие m1 ZA1 + m2 ZA2 + … + mn ZAn = 0 .
Чевы для прямых AA2 , BB2 , CC2 , таким образом, принимает вид (Если все числа mi были бы равны нулю, центром масс могла бы слу-
BA2 CB2 AC2 sin a1 sin b1 sin c1 жить любая точка, и потому такие системы запрещены.)
= .
CA2 AB2 BC2 sin a2 sin b2 sin c2 Это понятие допускает простую физическую интерпретацию.
Представим себе невесомую пластину и отметим на ней точки A1 ,
Осталось заметить, что правая часть этого равенства представляет
A2 , …, An . Затем к каждой точке с положительной массой прикрепим
собой выражение из условия Чевы в форме отношений синусов для
металлический шарик такой массы, а к каждой точке с отрицатель-
прямых AA1 , BB1 , CC1 , пересекающихся в точке Z. Следовательно,
ной массой привяжем воздушный шарик, подъёмная сила которого
BA2 CB2 AC2
= 1.
CA2 AB2 BC2 *) «Барицентрическое исчисление» (нем.).
16 17
11. Каждая из бесконечно удалённых точек задаётся направле-
пропорциональна модулю массы (коэффициент пропорционально-
сти, разумеется, равен g), рис. 26. Если расположить пластину нием параллельных прямых, пересекающихся в этой точке. Как
произвольным образом в пространстве и закрепить в центре масс Z определить направление, соответствующее точке Z — центру масс
системы [mi , Ai ] (i = 1, 2, …, n), m1 + m2 + … + mn = 0?
при помощи шарнира, то она останется в равновесии.
Вопросы геометрии масс детально рассматриваются в книге [1].

Определение барицентрических координат
Рассмотрим треугольник ABC, вершины которого нагружены
массами p, q, r (одновременно не равными нулю), т. е. рассмотрим
систему [p, A], [q, B], [r, C].
Построим центр масс Z геометрически. Пусть A1 — центр масс
подсистемы [q, B], [r, C] (т. е. точка, делящая отрезок BC в отно-
r
Z шении в зависимости от знаков масс внутренним или внешним
q
образом). Пусть B1 и C1 — центры масс си- C
r
стем [r, C], [p, A] и [p, A], [q, B] соответственно
(рис. 27). Согласно правилу группировки и
Рис. 26
свойству единственности центра масс, прямые A1
AA1 , BB1 , CC1 пересекутся в искомой точке Z.
В случае, когда m1 + m2 + … + mn = 0, центром масс Z является одна B1
И обратно, если взять произвольную точ-
из бесконечно удалённых точек плоскости (с точки зрения физики — ку Z, провести прямые через неё и вершины
Z
очень-очень далёкая точка плоскости). треугольника до пересечения с противополож-
Используя свойства векторов, из определения центра масс можно ными сторонами треугольника (или их про-
вывести следующие четыре свойства. q
p
должениями) и найти отношения, в которых C1
С у щ е с т в о в а н и е и е д и н с т в е н н о с т ь. Для любой системы B
A
они делят стороны треугольника, то, пользу-
материальных точек существует единственный центр масс. ясь полученными отношениями, легко нагру- Рис. 27
О д н о р о д н о с т ь. Одновременное умножение масс всех точек зить вершины треугольника так, чтобы точ-
системы на одно и то же отличное от нуля число не меняет центра ка Z стала центром масс системы точек A, B, C. К примеру, если
масс. точка Z расположена внутри треугольника, то все точки пересече-
П р а в и л о р ы ч а г а. Центр масс Z системы [p, A], [q, B] распо- ния соответствующих прямых со сторонами треугольника попада-
q
AZ
= l, причём если массы одного AC1 BA1
ложен на прямой AB так, что = = a, = b, приходим к систе-
BZ p ют внутрь сторон, и, обозначив
BC1 CA1
знака, то Z делит отрезок AB в отношении l внутренним образом, ме [1, A], [a, B], [ab, C]. Если же Z расположена в н е треугольника
если же эти массы различны по знаку, то точка Z делит его в отноше- и соответствующие прямые пересекают отрезок AC в н у т р е н н и м
нии l внешним образом. В последнем случае, если массы ещё и равны образом, а две другие стороны треугольника — в н е ш н и м, то по-
по модулю, центром масс является бесконечно удалённая точка пря- лучим систему [1, A], [ a, B], [ab, C] (нужно заменить числа a и b
мой AB. противоположными по знаку).
П р а в и л о г р у п п и р о в к и. Если разбить систему материаль- Под записью Z = (p, q, r) (или Z(p, q, r)) подразумевается, что точ-
ных точек на некоторое количество подсистем, а затем заменить каж- ка Z является центром масс системы [p, A], [q, B], [r, C], а тройка
дую подсистему на её центр масс и поместить в него массу, равную чисел (p, q, r) называется барицентрическими координатами точ-
сумме масс точек подсистемы, центры масс полученной и исходной ки Z в базисном треугольнике ABC. Всякая такая тройка чисел (за
систем совпадут. исключением тройки (0, 0, 0)) с точностью до умножения всех трёх ко-
10. Докажите эти свойства. ординат на отличное от нуля число однозначно определяет некоторую
18 19
Барицентрические координаты некоторых замечательных точек
точку проективной плоскости, и наоборот, каждой точке проектив-
ной плоскости соответствует единственная тройка чисел с точностью
Приведём теперь барицентрические координаты некоторых за-
до умножения всех трёх чисел на отличное от нуля число.

<< Пред. стр.

страница 2
(всего 4)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

Copyright © Design by: Sunlight webdesign