LINEBURG


страница 1
(всего 4)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

НЕСКОЛЬКО ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ Библиотека
«Математическое просвещение»

Fll(Fm (L))
L
L (Fm (L))
I
I L
L
MI
MI
NS
NS IS
IS Lm
Lm
Lm m
Lm m
O
O


А. Г. Мякишев
1) N — S — M — I, где S — 5) Lm =Fm (L) — Im — S. 10) O — L — Fl (Fm (L)).
точка Шпикера — центр
вписанной окружности се-
рединного треугольника.

H
H
G
G


ЭЛЕМЕНТЫ ГЕОМЕТРИИ
Om
Om
MM
L
L
Gll
G
Lm
Lm
F O
O
G Nll

ТРЕУГОЛЬНИКА
G
Hm
6) M—Gl —F, где F—точка m
I
I
11) Hm — Lm — Om =
Фейербаха — точка каса-
Gll
G
N
N
=Fm (O) — H.
ния вписанной окружно-
O
O
сти и окружности девяти
2) O — Gl =Fl (G) — I — точек.
Nl =Fl (N), где Fl — изого-
нальное сопряжение. Fll(Fm (H))
m
H
H H
H
Om
Om
LL
Nll
N
Fll(Fm (O))
F (F (O))
m
O
O
H
H N
N
Hm
Hm
F
F
L
L
Fl (Fm (O)) — L
12) —
M
7) H — Nl — F. Fl (Fm (H)).
Hm
Hm

3) Hm =Fm (H) — M — Fll(Fm (H))
(Fm (H))
L=Fl (M), где Fm — изото- (I))
(I))
H
H
G Fl(Fm
(Fm
мическое сопряжение.
EE I
IL L
M
M Gll
G
O
O Im
Im
Hm
Hm
H
H
13) Gl — L — Fl (Fm (I)).
8) O—M—E—H—Fl (Fm (H))
(п р я м а я Э й л е р а).
Gc
Gc
G
G
Im
Im I
I
N
N
Hm
Hm
Fll(Fm (H))
(Fm (H))
H
H
I
4) Hm — N — Im =Fm (I) — I L
L
M
M
Im
Im
Gc =Fc (G) — G, где Fc — S
S S M
M
Lm
Lm
Nc c N
Nc c N
изоциркулярное преобра-
Hm
Hm
зование.
Fm (Fll(Fm (H)))
(F (Fm (H)))
9) Nc =Fc (N) — Sc =Fc (S) — m

Im — M. 14) Fm(Fl (Fm(H)))—Lm—M.
ISBN 5 90457 048 8

Издательство Московского центра
Обозначения точек см. на стр. 3—5 брошюры; опре-
непрерывного математического образования
деления изогонального и изотомического сопряжений —
на стр. 11, 12; определение изоциркулярного преобразо-
9 785904 570484 Москва • 2002
вания — на стр. 14—16.




Pantone 282 C K
Библиотека
«Математическое просвещение»
Выпуск 19




А. Г. Мякишев

Н а у ч н о - р е д а к ц и о н н ы й с о в е т с е р и и:
В. В. Прасолов, А. Б. Сосинский,
ЭЛЕМЕНТЫ ГЕОМЕТРИИ
В. М. Тихомиров (гл. ред.), И. В. Ященко.


ТРЕУГОЛЬНИКА
Серия основана в 1999 году.




Издательство Московского центра
непрерывного математического образования
Москва • 2002
ВВЕДЕНИЕ
УДК 514.112.3
ББК 22.151.0
Крылатую фразу Козьмы Пруткова «Никто
М99
не обнимет необъятного» в полной мере можно
отнести и к геометрии треугольника. В самом де-
ле, треугольник, как кладезь прекрасных и по-
разительных геометрических конструкций, пои- Рис. 1. M — центр
Аннотация стине неисчерпаем. Их пестрота и изобилие, с тру- масс — точка пере-
дом поддающиеся какой-либо систематизации, не
Геометрия треугольника справедливо считается од- сечения медиан тре-
ним из интереснейших разделов элементарной геометрии. могут не восхищать. Впрочем, иной раз эти бла- угольника.
В данной брошюре рассматриваются различные заме- городные чувства перерастают в изумлённое раз-
чательные точки и прямые треугольника, а также неко-
дражение, едва ли не в протест: если уж с виду
торые преобразования плоскости, свзянные с треугольни-
такая «игрушечная» область геометрии настоль-
ком. Брошюра содержит краткое введение в барицентриче-
ко сложна, то в чём же вообще тогда можно разо-
ское исчисление — один из основных методов исследования
свойств треугольника. браться?
Текст брошюры подготовлен по материалам лекции,
Интересно попробовать понять, а почему тот
прочитанной автором 13 апреля 2002 года на Малом мех-
или иной результат геометрии треугольника ока-
мате МГУ для школьников 9—11 классов.
зывает на нас большее или меньшее воздействие.
Брошюра рассчитана на широкий круг читателей, ин-
тересующихся математикой: школьников старших клас- В грубом приближении ответ на этот вопрос следу-
Рис. 2. O — центр
сов, студентов младших курсов, учителей… ющий: красивая теорема в геометрии треугольни- описанной около тре-
ка связана, как правило, с замечательными точ- угольника окружнос-
ками, прямыми или окружностями. Но прямая ти — точка пересече-
Издание осуществлено при поддержке
ния серединных пер-
или окружность замечательна, если содержит
Московской городской Думы
пендикуляров.
и Московского комитета образования. какие-нибудь замечательные точки треугольни-
ка. В точки эти, стало быть, всё и упирается. Одна-
ко как сравнивать степень их «замечательности»
между собой? Очевидно, точка тем более замеча-
тельна, чем с более естественными и содержатель-
ISBN 5-94057-048-8 © Мякишев А. Г., 2002. ными конфигурациями треугольника она взаи-
© МЦНМО, 2002. модействует. Поэтому в первый ряд следует по-
ставить, конечно, таких заслуженных ветеранов,
Рис. 3. I — центр впи-
как M — точку пересечения медиан (центр тяже-
Мякишев Алексей Геннадьевич. санной в треугольник
сти), рис. 1, O — центр описанной окружности, окружности — точка
Элементы геометрии треугольника.
рис. 2, I — центр вписанной окружности, рис. 3, пересечения биссек-
(Серия: «Библиотека „Математическое просвещение“»).
H — точку пересечения высот (ортоцентр), рис. 4. трис.
М.: МЦНМО, 2002. — 32 с.: ил.
Не испортит общей картины и молодёжь: точка G
Редактор Ю. Л. Притыкин. Техн. редактор М. Ю. Панов. Жергонна (рис. 5) и точка N Нагеля (рис. 6)*).
С точками первого порядка связаны и пер-
Лицензия ИД № 01335 от 24/III 2000 года. Подписано к печати 16/VIII 2002 года.
воклассные результаты — теоремы о прямой Эй-
Формат бумаги 60 88 1/ . Офсетная бумага № 1. Офсетная печать. Физ. печ. л. 2,00.
16
лера, окружности девяти точек. Далее, точками
Усл. печ. л. 1,96. Уч.-изд. л. 2,10. Тираж 2000 экз. Заказ 2802.
второго порядка можно считать точки, являющи-
еся «производными» от точек первого порядка,
Издательство Московского центра непрерывного математического образования.
Рис. 4. H — орто-
119002, Москва, Г-2, Бол. Власьевский пер., 11. Тел. 241 05 00.
*) Молодёжь, поскольку первые четыре точки встречаются центр — точка пере-
Отпечатано в ФГУП «Производственно-издательский комбинат ВИНИТИ». ещё у Евклида, а последние две, насколько известно, были сечения высот тре-
140010, г. Люберцы Московской обл., Октябрьский пр-т, 403. Тел. 554 21 86. открыты примерно 200 лет назад. угольника.
3
Рис. 5. G — точка Жергонна — точка пере- Рис. 6. N — точка Нагеля — точка пере- Рис. 10. Gl — точка, изогонально сопря- Рис. 11. Nl — точка, изогонально сопря-
сечения прямых, проходящих через точ- сечения прямых, проходящих через точ- жённая точке Жергонна. жённая точке Нагеля.
ки касания вписанной окружности со сто- ки касания вневписанных окружностей
ронами треугольника и противолежащие со сторонами треугольника и противоле- т. е. полученные из них под действием какого-нибудь преобразова-
вершины. жащие вершины.
ния (к примеру, изотомического или изогонального сопряжения —
эти преобразования мы ещё рассмотрим в дальнейшем) или как пере-
сечение каких-нибудь замечательных линий первого порядка и т. д.
Сюда можно отнести, в первую очередь, точку L Лемуана (точку пе-
ресечения прямых, симметричных медианам относительно соответ-
ствующих биссектрис, такое преобразование и называется изогональ-
ным сопряжением), рис. 7, антиортоцентр треугольника Hm (точку
пересечения прямых, проходящих через точки, симметричные осно-
ваниям высот относительно соответствующих середин сторон, и про-
тиволежащие вершины, это преобразование называется изотомиче-
ским сопряжением), рис. 8, точку Im пересечения антибиссектрис
Рис. 7. L — точка Лемуана — точка, изогонально сопряжённая точке пересечения (изотомически сопряжённую точке пересечения биссектрис), рис. 9,
медиан, т. е. точка, пересечения прямых, симметричных медианам относительно
точки Gl и Nl (точки, изогонально сопряжённые точкам Жергонна и
соответствующих биссектрис треугольника.
Нагеля), рис. 10 и 11. Точки третьего порядка определяются анало-
гично, как «производные» точек второго порядка и т. д. Понятно, что
с ростом порядка количество точек стремительно растёт, впрочем,
столь же стремительно проигрывая в качестве: чем больше порядок,
тем геометрические связи между ними бледнее и невыразительней.

ТЕОРЕМА ЧЕВЫ
Большинство замечательных точек треугольника могут быть по-
лучены при помощи следующей процедуры.
Пусть у нас имеется некоторое правило, согласно которому мы
сможем выбрать определённую точку A1 на стороне BC (или её про-
должении) треугольника ABC (например, выберем середину этой
Рис. 8. Hm — антиортоцентр — точка, Рис. 9. Im — точка пересечения антибис-
стороны). Затем построим а н а л о г и ч н ы е точки B1 , C1 на двух
изотомически сопряжённая ортоцентру, сектрис — точка, изотомически сопря-
т. е. точка пересечения прямых, проходя- жённая центру вписанной в треугольник
других сторонах треугольника (в нашем примере — ещё две середи-
щих через точки, симметричные основа- окружности.
ны сторон). Если правило выбора у д а ч н о е, то прямые AA1 , BB1 ,
ниям высот относительно середин сторон,
CC1 пересекутся в некоторой точке Z (выбор середин сторон в этом
и соответствующие вершины.
4 5
смысле, конечно, удачный). Например, все замечательные точки Сопоставив это соотношение с заданным равенством, приходим к вы-
AC2 AC1
рис. 1, 3—11 получаются именно так.
, т. е. C1 = C2 .
воду, что =
BC2 BC1
Поэтому хотелось бы иметь какой-нибудь общий метод, позво-
ляющий по положению точек на сторонах треугольника определять, А как запомнить, произведение каких именно отношений входит
пересекается ли соответствующая тройка прямых в одной точке в условие Чевы? Обойдём все три вершины треугольника, стартовав
из точки B. По дороге в точку C мы наткнёмся на точку A1 и образуем
или нет.
дробь, в числителе которой будет стоять BA1 , а в знаменателе — CA1 .
Универсальное условие, «закрывшее» эту проблему, нашёл
Далее идём из C в A, записываем второе отношение, и далее, идём
в 1678 г. итальянский инженер Джованни Чева (отрезки, соеди-
из A в B.
няющие вершины треугольника с точками на противолежащих
сторонах, называют чевианами — понятно, почему). Можно сказать, 1. Покажите, что эта процедура не зависит от выбора «отправной»
что эта теорема служит фундаментом всей геометрии треугольника. вершины и направления обхода, т. е. что всегда будет получаться,
по сути, одно и то же равенство*).
Теорема Чевы:
A
случай внутренней точки
Теорема Чевы: случай внешней точки.
Бесконечно удалённые точки плоскости
Выберем в произвольном треугольнике
ABC точки A1 , B1 , C1 на сторонах BC, CA,
Теорема Чевы остаётся справедливой и для внешней точки Z тре-
AB соответственно (рис. 12). Следующие
B1
угольника и точек A1 , B1 , C1 , одна из которых принадлежит стороне
C1 два утверждения равносильны:
треугольника, а две другие — продолжениям
а) прямые AA1 , BB1 , CC1 пересекаются
Z B1
сторон. (Разумеется, и «правило обхода»
в некоторой внутренней точке Z треуголь- остаётся в силе. Следует только помнить, что
ника ABC; Z
при составлении отношений, выходя из вер-
B A1 C A
BA1 CB1 AC1 шины, мы сначала идём в точку деления —
б) = 1 (условие Чевы).
Рис. 12 CA1 AB1 BC1 она может теперь быть расположена вне C1
стороны, а потом — к очередной вершине.)
Доказать прямую теорему Чевы (а б) проще всего, заменив от-
Однако, рассматривая внешние точки Z,
ношения отрезков в условии Чевы на отношение площадей:
мы наталкиваемся на некоторые сложности.
BA1 SABA1 SBZA1 B C
Например, если AZ BC, чему равно
= = ,
CA1 SACA1 SCZA1 Рис. 13
BA1 CB1 AC1
следовательно, CA1 AB1 BC1 B1
BA1 SABA1 SBZA1 SBZA
= = . (рис. 13)? Где вообще в таком случае распола-
CA1 SACA1 SCZA1 SCZA C1
гается точка A1 ?
Точно так же получим, что A
Как несложно проверить, пользуясь тео-
CB1 SCZB AC1 SCZA ремой Фалеса, условию Чевы удовлетворяют
= , = .
и точки A1 , B1 , C1 , для которых прямые AA1 , B
AB1 SBZA BC1 SCZB C
A1
BB1 , CC1 параллельны (рис. 14).
Теперь осталось только перемножить эти три равенства:
Чтобы не выделять эти ситуации в осо- Рис. 14
BA1 CB1 AC1 SBZA SCZB SCZA
= = 1. бые, удобно считать, что плоскость пополне-
CA1 AB1 BC1 SCZA SBZA SCZB
на бесконечно удалённой прямой, составленной из бесконечно удалён-
Обратная же теорема Чевы следует из прямой: пусть AA1 и BB1 ных точек, в каждой из которых пересекается какое-нибудь семей-
пересекаются в точке Z. Пусть прямая CZ пересекает сторону AB тре- ство параллельных прямых. Можно поэтому считать, что бесконеч-
угольника в точке C2 . Для точек A1, B1 , C2 выполняется условие Чевы: но удалённая точка у к а з ы в а е т н а п р а в л е н и е прямой. Такую
BA1 CB1 AC2
= 1.
CA1 AB1 BC2 *) Двумя чертами слева выделены упражнения для самостоятельного решения.
6 7
BA1 c sin ?BAA1 CB1 a sin ?CBB1
модель в математике называют проективной плоскостью. На проек- Аналогично = , = . Окончательно
CA1 b sin ?CAA1 AB1 c sin ?ABB1
тивной плоскости любые параллельные прямые пересекаются в не-
имеем:

страница 1
(всего 4)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

Copyright © Design by: Sunlight webdesign