LINEBURG


<< Пред. стр.

страница 8
(всего 20)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

19. Проведём в блинчике три прямые и рассмотрим точки их пе-
ресечения. В зависимости от того, где будут расположены эти точки,
получится то или иное количество частей. Чтобы получить 4 части,
надо все три точки расположить вне блинчика (рис. 19.1). Перенос
одной из этих точек из-за границы блинчика внутрь добавляет одну
часть. Так, чтобы получить 5 частей, надо одну точку перенести внутрь
64
::::::::::::::::::::::::::::::: :::::::::::::::::::::::::::::::
Решения
::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::


блинчика (рис. 19.2), 6 — ещё одну точку перенести внутрь блинчика
(рис. 19.3), 7 — все три точки пересечения расположить внутри блин-
чика (рис. 19.4).




Рис. 19.1 Рис. 19.2




Рис. 19.3 Рис. 19.4
20. Если фигура имеет центр симметрии, то любая прямая, прохо-
дящая через него, делит эту фигуру на две равные части. Поэтому для
того чтобы одновременно разрезать и торт и шоколадку на две равные
части, надо провести прямую через центр торта и центр шоколадки.
21. Если бы торт был выпуклой фигу-
рой, этого сделать было бы нельзя, но ведь
нигде не сказано, что он должен быть та-
ким. Можно, например, испечь торт в виде
буквы «Ш» и разрезать так, как показано
на рисунке.
22. Если из трех прямых каждые две пересекаются внутри блин-
чика, получится 7 кусков (см. рис. 19.4). Если же из этих прямых
какие-нибудь две параллельны или пересекаются за пределами блин-
чика, то кусков будет меньше.
23. Для того чтобы подняться на 2-й этаж, надо пройти 1-й этаж,
а для того чтобы подняться на четвёртый — надо пройти три этажа.
Итак, ответ: в 3 раза (а вовсе не в 2, как кажется сначала).
24. В число Поликарпа будут входить цифры 1, 3, 5, 7, 9. Для то-
го, чтобы оно было наибольшим, надо цифры в нём записать строго
в обратном порядке: 97531. В Колькино же число войдут пять цифр 9,
и его число будет 99 999.
65
::::::::::::::::::::::::::::::: :::::::::::::::::::::::::::::::
Решения
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::


25. Если действовать так же, как в предыдущей задаче, Поликарп
должен был бы составить число 02 468, но первая цифра не может
быть нулём, так что Поликарп составил число 20 468. Попробуем най-
ти Колькино число. Оно больше, чем число Поликарпа, но состоит
из тех же цифр. Первые три цифры изменить нельзя, поскольку то-
гда разность между числами Кольки и Поликарпа будет больше 100.
Заменить можно только 4-ю цифру, причём менять её можно только
на пятую, иначе опять разность будет больше 100. Значит, Колькино
число 20 486.
26. Поскольку сумма чисел, стоящих в любых трех соседних клет-
ках, постоянна, значит, равны между собой все числа, стоящие на ме-
стах 1, 4, 7, ... , т. е. на этих местах стоит 6. Также равны между собой
все числа, стоящие на местах 3, 6, 9, .. . , значит, на всех этих местах
стоит 4. Числа, стоящие на местах 2, 5, 8, . .. тоже равны между со-
бой и должны быть равны 5, чтобы соблюдалось условие о сумме 15.
Окончательное решение приведено в таблице.

6 5 4 6 5 4 6 5 4 6 5 4 6 5 4

27. Из 500 цифр, стёртых Колькой, на однозначные числа уйдёт
9 цифр, значит, на остальные останется 491 цифра. На двузначные чис-
ла уйдёт 90 ? 2 = 180 цифр, значит, на остальные останется 311 цифр.
Из этого количества цифр получится 103 трехзначных числа и ещё две
цифры от 104-го. Это значит, что интересующая нас цифра — 3-я циф-
ра 104-го трехзначного числа. Это число 203, значит, искомая цифра 3.
28. Все такого типа ребусы расшифровываются практически оди-
наково. Например, этот ребус расшифровывается так.
В среднем столбце написано 8 ? В = 3, отсюда 27 + 8 = 35
В = 5. Из второй строки получаем Д = 0. Теперь в пер- ? ? ?
вой строке читаем АБ + 8 = 35, отсюда А = 2, Б = 7. 10 + 5 = 15
Тогда из первого столбца получаем Г = 1, и весь ребус
17 + 3 = 20
расшифрован.
29. Попробуем поступить, как Чук, — повесим на каждую ветку
по одной игрушке, тогда одна игрушка останется лишней. Теперь возь-
мём две игрушки — одну, оставшуюся лишней, а другую снимем с одной
из веток. Если теперь эти игрушки повесить вторыми на те ветки, на ко-
торых остались игрушки от первого раза, тогда на двух ветках будут
висеть игрушки и одна ветка останется пустой. Если бы, кроме этих
66
::::::::::::::::::::::::::::::: :::::::::::::::::::::::::::::::
Решения
::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::


трех веток, были бы ещё ветки, то на этих «лишних» ветках висело бы
по одной игрушке, что противоречит условию. Таким образом, веток
было 3, а игрушек, соответственно, 4.
30. Прежде всего заметим, что Джузеппе не сможет получить за-
готовок больше, чем (22 ? 15) / (3 ? 5) = 22 штуки. Теперь приступим
к разрезанию.
Разрежем наш лист на три поперёк стороны 22:
5 ? 15, 5 ? 15 и 12 ? 15. Теперь третий кусок раз-
режем вдоль стороны 12 на четыре равных куска
3 ? 15. Всего получится 6 кусков — два 5 ? 15
и четыре 3 ? 15. Из первых двух кусков мы получим по 5 заготовок
5 ? 3, а из оставшихся четырех — по 3 заготовки 3 ? 5. Итого полу-
чится 22 куска (см. рисунок).
31. Крестьянин не может оставить вместе волка с козой или козу
с капустой, но он может оставить капусту с волком. Покажем на схеме,
как крестьянин должен действовать дальше:
Крестьянин и коза >. 5. Крестьянин и капуста >.
1.
< Крестьянин. 6. < Крестьянин.
2.
Крестьянин и волк >. 7. Крестьянин и коза >.
3.
< Крестьянин и коза.
4.
Таким образом, крестьянин со всем своим имуществом сможет пере-
правиться на другой берег. Подумайте, как надо вести себя крестьянину,
если при третьей переправе он возьмёт с собой не волка, а капусту?
32. а) 8, 9 — числа идут подряд; б) 4, 3 — числа идут в обратном
порядке; в) 25, 30 — последовательно записаны числа кратные 5; г) 21,
24 — последовательно записаны числа кратные 3; д) 2, 2 — каждые
следующие два числа меньше предыдущих на 2.
33. а) 27, 31 — каждое следующее число больше предыдущего на 4;
б) 3, 1 — на нечётных местах: каждое следующее число меньше преды-
дущего на 4; все числа на чётных местах равны 1; в) 16, 17 — соединены
два ряда, в обоих каждое следующее число больше предыдущего на 4,
но первый ряд начинается с 4, а второй — с 5; г) 13, 13 — числа
в следующей паре на 4 меньше чисел в предыдущей паре; д) 64, 128 —
последовательные степени числа 2.
34. АРФА — начинается на гласную; БАНТ — первая и послед-
няя буквы не совпадают; ВОЛКОДАВ — не четыре буквы; ГГГГ —
не слово; СОУС — не в алфавитном порядке.
67
::::::::::::::::::::::::::::::: :::::::::::::::::::::::::::::::
Решения
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::


35. После того как Змей Горыныч испортил ковёр-самолёт, Иван-
царевич мог отрезать от этого ковра кусочек размером 1 ? 4 и превра-
тить его в ковёр размером 8 ? 12. Это значит, что после ухода Змея
Горыныча ковёр выглядел так, как показано на рис. 35.1.
Василиса Премудрая разрезала этот ковёр так, как показано
на рис. 35.2, и сшила так, как показано на рис. 35.3.




Рис. 35.1 Рис. 35.2 Рис. 35.3

36. Находим ту букву, от которой отходят только знаки «<». Она
соответствует минимальной цифре. Определяем, что это буква «К». За-
чёркиваем и её и все выходящие из неё знаки. Снова находим ту букву,
от которой отходят только знаки «<». И так далее. В результате читаем
слово «КОМПЬЮТЕР».
37. Инвалиды заплатили за сапоги 23 талера, но Карл от них полу-
чил только 20, поскольку остальные 3 талера Ганс истратил на конфеты.
Ганс, сидя в чулане, складывал доход (23 талера) с расходом (3 талера).
Эта сумма не имеет никакого смысла. Другое дело, если бы он вычис-
лил разность дохода и расхода — тогда остался бы «чистый» доход,
т. е. те самые 20 талеров, которые в итоге получил Карл.
38. Каждый гном берёт из сундука 1 квадрат, а кладёт 4 — т. е.
добавляет 3 квадрата. Следовательно, после ухода Седьмого Гнома
в сундуке должно лежать 1 + (3 ? 7) = 22 квадрата.
39. Здесь нарисованы цифры, написанные
шрифтом почтовых индексов и симметрично отра-
жённые относительно правой вертикальной границы
сетки. Фигурка справа «сделана» из цифры 6.
40. Всего телефонных аппаратов 7, каждый соединён с шестью.
Значит, соединений всего 7 ? 6 = 42. А провод — это два соединения.
Значит, всего понадобился 21 провод.
68
::::::::::::::::::::::::::::::: :::::::::::::::::::::::::::::::
Решения
::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::


41. В гулливерском спичечном коробке должно помещаться 12 ли-
липутских коробков в ширину, 12 — в длину и 12 — в высоту. Всего
12 ? 12 ? 12 = 1728 коробков.
42. Из 9 заготовок можно на первом этапе получить 9 деталей,
а из оставшихся стружек сделать 3 заготовки, на втором этапе —
3 детали, а из оставшихся стружек сделать 1 заготовку, на третьем —
1
1 деталь и останутся стружки на заготовки. Итого из 9 заготовок
3
можно сделать 13 деталей.
Из 14 заготовок получим: 1) 12 деталей, 2 заготовки и стружки
на 4 заготовки; 2) 6 деталей и стружки на 2 заготовки; 3) 2 детали
2
и стружки на заготовки. Итак, из 14 заготовок можно сделать 20 де-
3
талей.
Последний вопрос о 40 деталях решается подбором. Если 20 де-
талей мы получили из 14 заготовок, естественно предположить, что
40 деталей мы получим из 28 заготовок. Проверим это предполо-
жение.
Из 28 заготовок получим: 1) 27 деталей, 1 заготовку и стружки
на 9 заготовок; 2) 9 деталей, 1 заготовку и стружки на 3 заготовки;
3) 3 детали, 1 заготовку и стружки на 1 заготовку; 4) 2 детали и струж-
2 2
ки на заготовки. Всего 41 деталь и стружки на заготовки.
3 3
Мы получили много деталей, но не слишком. Проверим теперь, что
будет, если взять 27 заготовок: 1) 27 деталей и стружки на 9 заготовок;
2) 9 деталей и стружки на 3 заготовки; 3) 3 детали и стружки на 1 за-
1
готовку; 4) 1 деталь и стружки на заготовки. Всего 40 деталей, что
3
и требовалось.
Заметим, что всякий раз, когда мы из 3 заготовок вытачиваем 3 де-
тали, а из стружек выплавляем 1 новую заготовку, у нас число заготовок
уменьшается на 2, а число деталей увеличивается на 3, т. е. 2 заготовки
как бы превращаются в 3 детали. И такое превращение возможно до тех
пор, пока не останется только 1 или 2 заготовки. Значит, если заготовок
чётное число, то мы все их, кроме последних 2, постепенно превратим
в детали. А из последних 2 выточим ещё 2 детали и останется стружек
2
на заготовки, которые мы так и не сможем превратить в целую деталь
3
(хотя по весу металла в них достаточно). Значит, из (2n + 2) заготовок
3
выйдет (2n ? + 2) = (3n + 2) детали. Если же число заготовок будет
2
нечётным, то все их, кроме одной, мы превратим в детали, и из этой
69
::::::::::::::::::::::::::::::: :::::::::::::::::::::::::::::::
Решения
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::

1
последней заготовки получим ещё одну деталь и стружки на заготов-
3
3
ки, т. е. из (2n + 1) заготовки выйдет (2n ? + 1) = (3n + 1) деталь.
2
Отсюда, между прочим, следует, что, сколько бы мы ни взяли заго-
товок, число полученных из них деталей не может быть кратно 3.
43. Из условия задачи видно, что A ? C = C; тогда A = 1 и B ? B =
= 10 + C, где C — цифра. Последнее уравнение имеет единственное
решение B = 4, C = 6. Значит, искомое число 144.
44. Киоскёр сообразил, что, имея пачку в 100 конвертов, можно
не отсчитывать 60 конвертов, а отсчитать только 40 — тогда в пачке
останется 60 конвертов. То же и с 90 конвертами: достаточно убрать
10 конвертов из пачки.
45. Разместим внутри нашего квадрата малень- ···
···
кие квадратики, как показано на рисунке. Попро-
··· ·
буем найти количество таких квадратиков и длину
·
·· ·
·
стороны каждого, чтобы общая сумма их перимет- ·· ··
ров была равна 1992. ···
Обозначим число маленьких квадратиков вдоль
стороны через N, а длину сторон маленьких квадра-
тиков через A. Сумма периметров этих квадратиков будет равна 4N 2 A,
а нам надо, чтобы эта сумма была равна 1992, т. е. 4N 2 A = 1992. По-
скольку вдоль большого квадрата размещается N квадратиков со сто-
роной A, то NA ? 1 и NA < 1. Значит, 4N > 1992 и 4N ? 1992, т. е.
N ? 498. Взяв N = 500, A = 0,001992, получим набор квадратиков, сум-
ма периметров которых будет равна 0,001992 ? 4 ? 500 ? 500 = 1992,
что и требовалось.
46. На каждом столбе одно число показывает расстояние от столба
до Ёлкина, а другое число — расстояние от столба до Палкина. Зна-
чит, расстояние от Ёлкина до Палкина равно сумме чисел на столбе,
т. е. 13 км.
47. Из условия следует, что отец старше сына на 24 года. Если
сейчас сыну x лет, то отцу — 24 + x. Можно составить уравнение
3x = 24 + x. Решив его, получим x = 12. Значит, сыну сейчас 12 лет,
а отцу — 36.
48. У второго числа сумма цифр, скорее всего, будет 9 (поскольку
у предыдущего — 8). Попробуем искать среди чисел, одновременно
кратных 9 (сумма цифр 9) и 8 (по условию), т. е. чисел, кратных 72.
Первое же приходящее на ум такое число — 72 — годится, поскольку
70
::::::::::::::::::::::::::::::: :::::::::::::::::::::::::::::::
Решения
::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::


оно делится на 8, а у предыдущего — 71 — сумма цифр равна 8. Итак,
это числа 71 и 72.
49. При умножении на 5 последняя цифра не изменилась, значит,
она была 0 или 5. Если бы последняя цифра была 0, то всё число
было бы 0, а мы ищем натуральные числа. Значит, последняя цифра
была 5. А всё число 25. Естественно, больше 25 это число быть не мо-
жет, поскольку оно в 5 раз больше цифры, т. е. не может превышать 45.
50. Сначала решается задача а), и из неё 12 л 5л 8л
уже выводится решение задачи б). Решение 1 12 0 0
задачи а) приведено в строках 1–4 таблицы, 2 4 0 8
а решение задачи б) приведено в строках 1–8 3 4 5 3
9 0 3
таблицы. 4
51. Всё дело в том, что наследники с са- 5 9 3 0
6 1 3 8
мого начала не заметили: завещанные им доли
7 1 5 6
в сумме составляют вовсе не 100% наслед-
6 0 6
ства (как это бывает обычно), а всего 17/18 8
от общего количества. Так что даже если бы
они решились, во имя буквального исполнения доли завещателя, резать
верблюдов на части, то и тогда у них осталась бы лишней 1/18 доля
наследства, т. е. лишних 17/18 верблюда.
52. Естественно, яблоко тяжелее киви.
53. Данных в задаче недостаточно для решения: при заданных усло-
виях и апельсин может быть тяжелее груши, и груша может быть тя-
желее апельсина.
54. 7 шоколадок дороже, чем 8 пачек печенья. То есть, 7 Ш > 8 П,
значит, (8/7) ? 7 Ш > (8/7) ? 8 П или 8 Ш > 64/7 П, но 64/7 П > 9 П.
Значит, 8 Ш > 9 П, или 8 шоколадок стоят больше, чем 9 пачек печенья.
55. Здесь есть лишнее условие (об окунях). Поскольку 6 К > 10 Л,
то, тем более, 6 К > 9 Л. Разделив обе части последнего неравенства
на 2, получим 2 К > 3 Л. Значит, 2 карася тяжелее, чем 3 леща.
56. Число 2 011 533 нужно разбить на однозначные и двузначные
числа, чтобы соответствующая последовательность букв образовывала
имя. Первое число не может быть 2, т. к. иначе второе число 0 или 01,
чего быть не может. Значит, первое число 20, т. е. первая буква «Т».
Последнее число 33, поскольку иначе два последних числа 53 и 3 или 3
и 3, но 53-й буквы в алфавите нет, а на «вв» не может кончаться
имя девочки. Значит, последняя буква «я». На средние буквы осталось
71
::::::::::::::::::::::::::::::: :::::::::::::::::::::::::::::::
Решения
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::


сочетание 115, т. е. либо 1, 1, 5, либо 11, 5, либо 1, 15. Этому соот-
ветствуют наборы букв «аад», «йд» и «ан». Отсюда видно, что девочку
зовут Таня.
57. «Для вчера завтра» — это «сегодня», а «вчера для послезав-
тра» — это «завтра». Значит, если «для вчера завтра» — четверг,
то «вчера для послезавтра» — пятница.
58. а) 12, 13. От натурального ряда оставляют одно число, следую-
щее выкидывают, затем два числа, следующее выкидывают и т. д. б) 21,
34. Каждой следующее число — сумма двух предыдущих. в) 17, 19.
Написаны последовательные нечётные числа. г) 327, 647. Записывает-
ся очередная степень двойки и сзади приписывается цифра 7. д) 28, 36.
Записаны последовательные суммы чисел натурального ряда. е) 19, 23.
Это — последовательность простых чисел.
59. Если вы внимательно прочтёте условие, то поймёте, что запла-
ченные 100 рублей — это «первая половина» стоимости книги. Значит,
книга стоит 200 руб.
60. Эти числа, соответственно, 147 и 111. Задача решается простым
перебором вариантов, которых не так уж много.
61. а) с, ф. Записаны первые буквы цветов радуги. б) у, ф, х. Од-
на буква алфавита записана, одна — пропущена, две буквы записаны,
две — пропущены, и т. д. в) один, четыре. Записывается число букв
в предыдущем слове. г) Ф, Х, Ш. Записаны буквы, имеющие вертикаль-
ную ось симметрии. д) в, д. Написаны первые буквы чисел натурального
ряда.
62. Сумма двух чётных или двух нечётных чисел будет чётной,
а сумма чётного и нечётного — нечётной.
63. Сумма любого числа чётных чисел, а также чётного числа нечёт-
ных чисел будет чётной, сумма же нечётного числа нечётных чисел —
нечётной.
64. Произведение будет чётным, если хотя бы один из сомножи-
телей — чётное число. Если же оба сомножителя — числа нечётные,
то и произведение будет нечётным.
65. Если в произведении ни один из сомножителей не является чёт-
ным числом (т. е. все числа нечётны), оно будет нечётным. В противном
случае (т. е. если хотя бы одно число чётно) произведение будет чётным.
66. Если мы возьмём все 11 купюр достоинством 3 руб., то по-
лучим 33 руб. — на 8 руб. больше, чем надо. Заменим несколько
трехрублевых купюр на однорублевые. Каждая купюра уменьшает раз-
ницу на 2 руб. Следовательно, чтобы уменьшить сумму на 8 руб., надо
72
::::::::::::::::::::::::::::::: :::::::::::::::::::::::::::::::
Решения
::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::


заменить 4 трехрублевые купюры на 4 однорублевых: (7 ? 3 руб.) + (4 ?
? 1 руб.) = 25 руб. Чтобы найти все возможные решения, составим
систему уравнений:
x + y + z = 11,
x + 3y + 5z = 25,

где x, y, z — количество одно-, трех- и пятирублевых купюр. Вы-
чтя первое уравнение из второго, получим 2y + 4z = 14, или y + 2z = 7.
Из последнего уравнения видно, что для z возможны четыре значе-
ния — 0, 1, 2, 3. Им соответствуют четыре значения y — 7, 5, 3, 1
и четыре значения x — 4, 5, 6, 7. Таким образом, задача имеет четыре
различных решения.
67. Задача не имеет решения. Сумма десяти купюр, каждая из кото-
рых нечётна, обязательно будет чётной, следовательно, никогда не будет
равна 25.
68. Содержимое левой руки Петя умножает на чётное число, а со-
держимое правой — на нечётное. Первое из этих произведений всегда
чётное число. Поэтому сумма обоих произведений будет иметь ту же
чётность, что и второе произведение, которое в свою очередь будет
иметь ту же чётность, что и монета в правой руке.

<< Пред. стр.

страница 8
(всего 20)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

Copyright © Design by: Sunlight webdesign