LINEBURG


<< Пред. стр.

страница 4
(всего 20)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

набрали разное количество очков. Шахматист, занявший 2-е место, на-
брал столько же очков, сколько четыре последних вместе. Как сыграли
между собой шахматисты, занявшие 3-е и 7-е места (см. сноску к за-
даче 185)?
188. Можно ли таблицу 5 на 5 заполнить числами так, чтобы сум-
ма чисел в любой строке была положительной, а сумма чисел в любом
столбце — отрицательной? Если да, нарисуйте таблицу, если нет, объ-
ясните почему.
189. Можно ли расположить фишки в клетках шахматной доски
8 ? 8 (в каждой клетке — не более одной фишки), чтобы во всех
1 За выигранную партию шахматист получает одно очко, за проигранную — нуль,
за ничью оба играющих получают по половине очка.

27
::::::::::::::::::::::::::::::: :::::::::::::::::::::::::::::::
Задачи
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::


вертикалях фишек было поровну, а в любых двух горизонталях —
не поровну?
190. В клетках таблицы 5 ? 5 стоят ненулевые цифры. В каждой
строке и в каждом столбце из всех стоящих там цифр составлены десять
5-значных чисел. Может ли оказаться, что из всех этих чисел ровно
одно не делится на 3?
191. Напишите в строку пять чисел, чтобы сумма любых двух со-
седних чисел была отрицательна, а сумма всех чисел — положительна.
192. Расстояние между Атосом и Арамисом, скачущими по дороге,
равно 20 лье. За час Атос покрывает 4 лье, а Арамис — 5 лье. Какое
расстояние будет между ними через час?
193. Я иду от дома до школы 30 мин, а мой брат — 40 мин. Че-
рез сколько минут я догоню брата, если он вышел из дома на 5 мин
раньше меня?
194. На какую цифру оканчивается число 19891989 ? А на какие циф-
ры оканчиваются числа 19891992 , 19921989 , 19921992 ?
195. Из набора гирек с массами 1, 2, ... , 101 г потерялась гирька
массой 19 г. Можно ли оставшиеся 100 гирек разложить на две кучки
по 50 гирек в каждой так, чтобы массы обеих кучек были одинаковы?
196. Буратино и Пьеро бежали наперегонки. Пьеро весь путь бежал
с одной и той же скоростью, а Буратино первую половину пути бежал
вдвое быстрее, чем Пьеро, а вторую половину — вдвое медленней, чем
Пьеро. Кто победил?
197. У Буратино и Пьеро был велосипед, на котором они отправи-
лись в соседнюю деревню. Ехали по очереди, но всякий раз, когда один
ехал, другой шёл пешком, а не бежал. При этом они ухитрились при-
быть в деревню почти в 2 раза быстрее, чем если бы оба шли пешком.
Как им это удалось?
198. Буратино сел в поезд. Проехав половину всего пути, он лёг
спать и спал до тех пор, пока не осталось проехать половину того пути,
который он проспал. Какую часть всего пути Буратино проехал бодр-
ствующим?
199. Трое туристов должны перебраться с одного берега реки
на другой. В их распоряжении старая лодка, которая может выдержать
нагрузку всего в 100 кг. Вес одного из туристов 45 кг, второго — 50 кг,
третьего — 80 кг. Как должны они действовать, чтобы перебраться
на другой берег?
28
::::::::::::::::::::::::::::::: :::::::::::::::::::::::::::::::
Задачи
::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::


200. Саша гостил у бабушки. В субботу он сел в поезд и приехал
домой в понедельник. Саша заметил, что в этот понедельник число сов-
пало с номером вагона, в котором он ехал, что номер его места в вагоне
был меньше номера вагона и что в ту субботу, когда он садился в по-
езд, число было больше номера вагона. Какими были номера вагона
и места?
201. Попробуйте расшифровать отрывок из книги «Алиса в Зазер-
калье»:
«— БЕРПИ Э ЙДЕМГОКВЭЫ БИБЕО-ЖАКЙПЧ
ЗВЕЛЕ, — ЗБИСИВ ФИВМИУ-КЕВМИУ
ПЕЛЕВЧЖЕ ДГОСГАМОВЧЖЕ, — ЕЖЕ ЕСЖИЬИОМ
МЕВЧБЕ МЕ, ЬМЕ Э ЦЕЬЙ, ЬМЕКЮ ЕЖЕ
ЕСЖИЬИВЕ, — ЖА КЕВЧФО, ЖА ТОЖЧФО».
Текст зашифрован так: десять букв («а», «е», «и», «й», «о», «у»,
«ы», «э», «ю», «я») разбиты на пары, и каждая из этих букв в тексте
заменена второй из пары. Все остальные буквы точно так же разбиты
на пары.
202. Найдите ключ к «тарабарской грамоте» — тайнописи, приме-
нявшейся ранее в России для дипломатической переписки: «Пайцике
тсюг т „камащамлтой чмароке“ — кайпонили, нмирепяшвейля мапее ш
Моллии цся цинсоракигелтой неменилти».
203. Вдоль правой стороны дороги припарковано 100 машин. Среди
них — 30 красных, 20 жёлтых и 20 розовых мерседесов. Известно, что
никакие два мерседеса разного цвета не стоят рядом. Докажите, что
тогда какие-то три мерседеса, стоящие подряд, одного цвета.
204. Одним пакетиком чая можно заварить два или три стакана
чая. Мила и Таня разделили коробку чайных пакетиков поровну. Мила
заварила 57 стаканов чая, а Таня — 83 стакана. Сколько пакетиков
могло быть в коробке?
205. В детский сад завезли карточки для обучения чтению: на неко-
торых написано «МА», на остальных — «НЯ». Каждый ребёнок взял
три карточки и стал составлять из них слова. Оказалось, что слово
«МАМА» могут сложить из своих карточек 20 детей, слово «НЯНЯ» —
30 детей, а слово «МАНЯ» — 40 детей. У скольких ребят все три кар-
точки одинаковы?
206. На линейке длиной 9 см нет делений. Нанесите на неё три про-
межуточных деления так, чтобы ею можно было измерять расстояние
от 1 до 9 см с точностью до 1 см.
29
::::::::::::::::::::::::::::::: :::::::::::::::::::::::::::::::
Задачи
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::


207. Попробуйте составить квадрат из набора палочек: 6 шт.
по 1 см, 3 шт. по 2 см, 6 шт. по 3 см и 5 шт. по 4 см. Ломать палочки
и накладывать одну на другую нельзя.
208. Даны 16 чисел: 1, 11, 21, 31 и т. д. (каждое следующее на 10
больше предыдущего). Можно ли расставить их в таблице 4 ? 4 так,
чтобы разность любых двух чисел, стоящих в соседних по стороне клет-
ках, не делилась на 4?
209. Напишите вместо пропуска число (буквами, а не цифрами!),
чтобы получилось истинное предложение:
В ЭТОМ ПРЕДЛОЖЕНИИ ... БУКВ
(к последнему слову, возможно, придётся добавить окончание, чтобы
фраза правильно звучала по-русски).
210. Найдите наибольшее шестизначное число, у которого каждая
цифра, начиная с третьей, равна сумме двух предыдущих цифр.
211. Найдите наибольшее число, у которого каждая цифра, начиная
с третьей, равна сумме двух предыдущих цифр.
212. Расставьте в вершинах пятиугольника действительные числа
так, чтобы сумма чисел на концах некоторой стороны была равна 1,
на концах некоторой другой стороны была равна 2, ... на концах по-
следней стороны — равна 5.
213. Сколько фунтов зерна нужно смолоть, чтобы после оплаты
работы — 10% от помола — осталось ровно 100 фунтов муки? Потерь
при помоле нет.
214. Ванна заполняется холодной водой за 6 минут 40 секунд, го-
рячей — за 8 минут. Кроме того, если из полной ванны вынуть пробку,
вода вытечет за 13 минут 20 секунд. Сколько времени понадобится, что-
бы наполнить ванну полностью, при условии, что открыты оба крана,
но ванна не заткнута пробкой?
215. Попробуйте быстро найти сумму всех цифр в этой таблице:
782695476926213
328465634184897
647587381871567
463523729239543
149246929689595
961864181421515
216. Для перевозки почты из почтового отделения на аэродром был
выслан автомобиль «Москвич». Самолёт с почтой приземлился раньше
30
::::::::::::::::::::::::::::::: :::::::::::::::::::::::::::::::
Задачи
::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::


установленного срока, и привезённая почта была отправлена в почтовое
отделение на попутной грузовой машине. Через 30 мин езды грузо-
вая машина встретила на дороге «Москвич», который принял почту
и, не задерживаясь, повернул обратно. В почтовое отделение «Моск-
вич» прибыл на 20 мин раньше, чем обычно. На сколько минут раньше
установленного срока приземлился самолёт?
217. Группа восьмиклассников решила поехать во время каникул
на экскурсию в Углич. Ежемесячно каждый ученик вносил определён-
ное количество рублей (без копеек), одинаковое для всех, и в течение
пяти месяцев было собрано 49 685 руб. Сколько было в группе учени-
ков и какую сумму внёс каждый?
218. Первый вторник месяца Митя провёл в Смоленске, а первый
вторник после первого понедельника — в Вологде. В следующем ме-
сяце Митя первый вторник провёл во Пскове, а первый вторник после
первого понедельника — во Владимире. Сможете ли вы определить,
какого числа и какого месяца Митя был в каждом из городов?
219. Как-то раз Таня ехала в поезде. Чтобы не скучать, она стала
зашифровывать названия разных городов, заменяя буквы их порядко-
выми номерами в алфавите. Когда Таня зашифровала пункты прибытия
и отправления поезда, то с удивлением обнаружила, что они записыва-
ются с помощью всего лишь двух цифр: 21221–211221. Откуда и куда
шёл поезд?
220. Дорога от дома до школы занимает у Пети 20 мин. Однажды
по дороге в школу он вспомнил, что забыл дома ручку. Если теперь он
продолжит свой путь с той же скоростью, то придёт в школу за 3 мин
до звонка, а если вернётся домой за ручкой, то, идя с той же скоростью,
опоздает к началу урока на 7 мин. Какую часть пути он прошёл до того,
как вспомнил о ручке?
221. На почтовом ящике написано: «Выемка писем производится
пять раз в день с 7 до 19 ч». И действительно, первый раз почтальон
забирает почту в 7 ч утра, а последний — в 7 ч вечера. Через какие
интервалы времени вынимают письма из ящика?
222. Ковбой Билл зашёл в бар и попросил у бармена бутылку виски
за 3 доллара и шесть коробков непромокаемых спичек, цену кото-
рых он не знал. Бармен потребовал с него 11 долларов 80 центов
(1 доллар = 100 центов), и в ответ на это Билл вытащил револьвер.
Тогда бармен пересчитал стоимость покупки и исправил ошибку. Как
Билл догадался, что бармен пытался его обсчитать?
31
::::::::::::::::::::::::::::::: :::::::::::::::::::::::::::::::
Задачи
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::


223. Школьник сказал своему приятелю Вите Иванову:
— У нас в классе тридцать пять человек. И представь, каждый
из них дружит ровно с одиннадцатью одноклассниками...
— Не может этого быть, — сразу ответил Витя Иванов, победитель
математической олимпиады.
Почему он так решил?
224. Средний возраст одиннадцати игроков футбольной команды —
22 года. Во время матча один из игроков получил травму и ушёл с по-
ля. Средний возраст оставшихся на поле игроков стал равен 21 году.
Сколько лет футболисту, получившему травму?
225. В кабинете со звуконепроницаемыми стенами висят старинные
стенные часы, которые бьют каждые полчаса (один удар) и каждый час
(столько ударов, сколько показывает часовая стрелка). Однажды, от-
крыв дверь в кабинет, хозяин услышал один удар часов. Через полчаса
часы в кабинете пробили ещё раз — опять один удар. Спустя полча-
са — ещё один удар. Наконец, ещё через полчаса часы снова пробили
один раз.
Какое время показывали часы, когда хозяин входил в кабинет?
226. «То» да «это», да половина «того» да «этого» — сколько это
будет процентов от трех четвертей «того» да «этого»?
227. Лиса Алиса и Кот Базилио — фальшивомонетчики. Базилио
делает монеты тяжелее настоящих, а Алиса — легче. У Буратино есть
15 одинаковых по внешнему виду монет, но какая-то одна — фальши-
вая. Как двумя взвешиваниями на чашечных весах без гирь Буратино
может определить, кто сделал фальшивую монету — Кот Базилио или
Лиса Алиса?
228. Как известно, игры на кубок по футболу проводятся по олим-
пийской системе: проигравший выбывает, а в случае ничьей проводится
повторная игра. В тот год повторных игр не было, а в играх участвовало
75 команд. Сколько было сыграно матчей на кубок?
229. Найдите недостающие числа:
а) 4, 7, 12, 21, 38, . .. ; в) 10, 8, 11, 9, 12, 10, 13, ... , .. . ;
б) 2, 3, 5, 9, . .. , 33; г) 1, 5, 6, 11, ... , 28.
230. Однажды Алиса оказалась в какой-то из двух стран — А или
Я. Она знает, что все жители страны А всегда говорят правду, а все
жители страны Я — всегда лгут. Притом все они часто ездят в гости
друг к другу. Может ли Алиса, задав один-единственный вопрос пер-
вому встречному, узнать, в какой из стран она находится?
32
::::::::::::::::::::::::::::::: :::::::::::::::::::::::::::::::
Задачи
::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::


231. Вы вошли в тёмную комнату. В коробке у вас всего одна спич-
ка. В комнате находятся свеча, керосиновая лампа и готовая к растопке
печь. Что вы зажжёте в первую очередь?
232. Федя всегда говорит правду, а Вадим всегда лжёт. Какой во-
прос надо было бы им задать, чтобы они дали на него одинаковые
ответы?
233. Илья всегда говорит правду, но когда ему задали дважды один
и тот же вопрос, он дал на него разные ответы. Какой бы это мог быть
вопрос?
234. Дети держат в руках флажки. Тех, у кого в обеих руках поровну
флажков, в 5 раз меньше, чем тех, у кого не поровну. Когда каждый
ребёнок переложил по одному флажку из одной руки в другую, тех,
у кого в обеих руках поровну флажков, стало в 2 раза меньше, чем
тех, у кого не поровну. Могло ли быть так, что в начале более чем
у половины детей в одной руке было ровно на один флажок меньше,
чем в другой?
235. В чашке, стакане, кувшине и банке находятся молоко, ли-
монад, квас и вода. Известно, что вода и молоко не в чашке; сосуд
с лимонадом стоит между кувшином и сосудом с квасом; в банке не ли-
монад и не вода; стакан стоит около банки и сосуда с молоком. В какой
сосуд налита каждая из жидкостей?
236. Ира, Наташа, Алёша и Витя собирали грибы. Наташа собра-
ла больше всех, Ира не меньше всех, а Алёша — больше, чем Витя.
Верно ли, что девочки собрали грибов больше, чем мальчики?
237. Как-то в минуту отдыха друзья-мушкетёры — Атос, Портос,
Арамис и д’Артаньян решили померяться силой при перетягивании ка-
ната. Портос с д’Артаньяном легко перетянули Атоса с Арамисом.
Но когда Портос стал в паре с Атосом, то победа против Арамиса
с д’Артаньяном досталась им уже не так легко. Когда же Портос с Ара-
мисом оказались против Атоса с д’Артаньяном, то ни одна из этих пар
не смогла одолеть друг друга. Можете ли вы
1
определить, как мушкетёры распределяются по
силе?
23
238. Переложите пирамиду из 10 кубиков
456
(см. рисунок) так, чтобы её форма осталась преж-
ней, но каждый кубик соприкасался только с но- 7 8 9 10
выми кубиками.
33
::::::::::::::::::::::::::::::: :::::::::::::::::::::::::::::::
Задачи
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::


239. Девять одинаковых воробьёв склёвывают меньше, чем 1001
зёрнышко, а десять таких же воробьёв склёвывают больше, чем 1100
зёрнышек. По скольку зёрнышек склёвывает каждый воробей?
240. В равенстве 101 ? 102 = 1 передвиньте одну цифру так, чтобы
оно стало верным.
241. Сможете ли вы найти четыре целых числа, сумма и произве-
дение которых являются нечётными числами?
242. На прямой расположили несколько точек. Затем между каж-
дыми двумя соседними точками поставили ещё по точке, и так несколь-
ко раз. Докажите, что после каждой такой операции общее количество
точек будет нечётным.
243. На столе лежат три красные палочки разной длины, сумма
длин которых равняется 30 см, и пять синих палочек разной длины, сум-
ма длин которых тоже равняется 30 см. Можно ли распилить те и другие
палочки так, чтобы потом можно было расположить их парами, причём
в каждой паре палочки были бы одинаковой длины, но разного цвета?
244. Три бегуна — Антон, Серёжа и Толя — участвуют в беге
на 100 м. Когда Антон финишировал, Серёжа находился в десяти метрах
позади него, а когда финишировал Серёжа — Толя находился позади
него в десяти метрах. На каком расстоянии друг от друга находились
Толя и Антон, когда Антон финишировал? (Предполагается, что все
мальчики бегут с постоянными, но, конечно, не равными скоростями.)
245. Когда три подруги — Надя, Валя и Маша — вышли гулять,
на них были белое, красное и синее платья. Туфли их были тех же трех
цветов, но только у Нади цвета туфель и платья совпадали. При этом
у Вали ни платье, ни туфли не были синими, а Маша была в красных
туфлях. Определите цвет платьев и туфель каждой из подруг.
246. Обязательно ли среди двадцати пяти «медных» монет (т. е.
монет достоинством 1, 2, 3, 5 коп.) найдётся семь монет одинаково-
го достоинства?
247. Около каждой вершины треугольника напишите какие-нибудь
числа, возле каждой стороны треугольника напишите сумму чисел, сто-
ящих на концах этой стороны. Теперь каждое число, стоящее около
вершины, сложите с числом, стоящим около противоположной сторо-
ны. Как вы думаете, почему получились одинаковые суммы?
248. В каждой комнате особняка стояли букеты цветов. Всего было
30 букетов роз, 20 — гвоздик и 10 — хризантем, причём в каждой
комнате стоял хотя бы один букет.
34
::::::::::::::::::::::::::::::: :::::::::::::::::::::::::::::::
Задачи
::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::


При этом ровно в двух комнатах стояли одновременно и хризантемы,
и гвоздики, ровно в трех комнатах — и хризантемы, и розы, ровно
в четырех комнатах — и гвоздики, и розы. Могло ли в особняке быть
55 комнат?
249. Любую ли сумму из целого числа рублей, больше семи, можно
уплатить без сдачи денежными купюрами по 3 и 5 руб.? Почему?
250. Во время стоянки между двумя рейсами матросу исполнилось
20 лет. По этому случаю в кают-компании собрались все шесть членов
команды.
— Я вдвое старше юнги и на 6 лет старше машиниста, — сказал
рулевой.
— А я на столько же старше юнги, на сколько моложе машини-
ста, — заметил боцман. — Кроме того, я на 4 года старше матроса.
— Средний возраст команды — 28 лет, — дал справку капитан.
Сколько лет капитану?
251. В классе учится меньше 50 школьников. За контрольную ра-
боту седьмая часть учеников получила пятёрки, третья — четвёрки,
половина — тройки. Остальные работы были оценены как неудовле-
творительные. Сколько было таких работ?
252. Ковбоя Джо приговорили к смертной казни на электрическом
стуле. Ему известно, что из двух электрических стульев, стоящих в спе-
циальной камере, один неисправен. Кроме того, Джо известно, что если
он сядет на этот неисправный стул, казнь не повторится и он будет по-
милован. Ему известно также, что стражник, охраняющий стулья, через
день на все вопросы отвечает правду, а через день — ложь.
Приговорённому разрешается задать стражнику ровно один вопрос,
после чего надо выбрать, на какой электрический стул садиться. Какой
вопрос Джо может задать стражнику, чтобы наверняка выяснить, какой
стул неисправен?
253. И «бокал» (см. левый рисунок), • • • •
и «рюмка» (см. правый рисунок) состав-
лены из четырех спичек. Внутри каждого

«сосуда» — вишенка. Как нужно пере- • •
местить «бокал» и «рюмку», переложив

по две спички в каждом из них, чтобы ви-
шенки оказались снаружи?
254. Дама сдавала в багаж рюкзак, чемодан, саквояж и корзину.
Известно, что чемодан весит больше, чем рюкзак; саквояж и рюкзак
35
::::::::::::::::::::::::::::::: :::::::::::::::::::::::::::::::
Задачи
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::


весят больше, чем чемодан и корзина; корзина и саквояж весят столь-
ко же, сколько чемодан и рюкзак. Перечислите вещи дамы в порядке
убывания их веса.
255. На клетке b8 шахматной доски написано число ?1, а на всех
остальных клетках число +1. Разрешается одновременно менять знак
во всех клетках одной вертикали или одной горизонтали. Докажите, что
сколько бы раз мы это ни проделывали, невозможно добиться, чтобы
все числа в таблице стали положительными.
256. Чему равна площадь треугольника со сторонами 18, 17, 35?
257. Какую последнюю цифру имеет произведение всех нечётных
чисел от 1 до 99? А от 1 до 199?
258. Ваня и Вася — братья-близнецы. Один из них всегда говорит
правду, а другой всегда лжёт. Вы можете задать только один вопрос
одному из братьев, на который он ответит «да» или «нет». Попробуйте
выяснить, как зовут каждого из близнецов.
259. В 100-значном числе 12345678901234. ..7890, вычеркнули все
цифры, стоящие на нечётных местах; в полученном 50-значном чис-
ле вновь вычеркнули все цифры, стоящие на нечётных местах, и т. д.
Вычёркивание продолжалось до тех пор, пока было что вычёркивать.
Какая цифра была вычеркнута последней?
260. Население Китая составляет один миллиард человек. Каза-
лось бы, на карте Китая с масштабом 1 : 1 000 000 (1 см : 10 км) смо-
жет поместиться в миллион раз меньше людей, чем находится на всей
территории страны. Однако на самом деле не только 1000, но даже
100 человек не смогут разместиться на этой карте. Можете ли вы объ-
яснить это противоречие?
261. В обыкновенном наборе домино 28 косточек. Сколько косто-

<< Пред. стр.

страница 4
(всего 20)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

Copyright © Design by: Sunlight webdesign