LINEBURG


<< Пред. стр.

страница 14
(всего 20)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>


из которого легко определяем, что x = 10. Отсюда, кстати, видно, что
для определения задуманного числа (которое мы обозначили через x)
нужно с полученным Лёней числом (т. е. с 2) проделать обратные дей-
ствия в обратном порядке.
266. Возьмём монеты достоинством 1, 1, 3, 5, 10, 10, 20, 50 коп.
Покажем, как при помощи этих монет можно заплатить сумму от 1
до 10 коп.: 1 = 1; 2 = 1 + 1; 3 = 3; 4 = 3 + 1; 5 = 5; 6 = 5 + 1; 7 = 5 + 1 +
+ 1; 8 = 5 + 3; 9 = 5 + 3 + 1; 10 = 5 + 3 + 1 + 1. Теперь покажем, как
заплатить 10, 20, .. ., 100 коп.: 10 = 10; 20 = 20; 30 = 20 + 10; 40 = 20 +
+ 10 + 10; 50 = 50; 60 = 50 + 10; 70 = 50 + 20; 80 = 50 + 20 + 10; 90 =
= 50 + 20 + 10 + 10; 100 = 50 + 20 + 10 + 10 + 5 + 3 + 1 + 1. Следова-
тельно, располагая указанным набором монет, можно заплатить любую
сумму от 1 коп. до 100 коп. Например, чтобы заплатить 78 коп., надо
отдельно использовать возможность заплатить 70 коп. и 8 коп.
267. Таких чисел девять: 19, 28, 37, ... 91.
268. Первая цифра телефона равна количеству букв в фамилии,
а три оставшихся — порядковым номерам в алфавите первой и по-
следней букв фамилии. Отсюда следует, что телефон Огнева — 5163.
269. Делаем два взвешивания. Первое — на одной чашке весов
монеты в 2 коп. и 3 коп., на другой — в 5 коп. Второе — на одной
чашке весов монеты в 1 коп. и 2 коп., на другой — в 3 коп. При этом
возможны четыре варианта.
115
::::::::::::::::::::::::::::::: :::::::::::::::::::::::::::::::
Решения
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::


1. Если вдруг все монеты небракованные — весы оба раза будут
в равновесии.
2. Если бракованной окажется монета в 1 коп. — при первом взве-
шивании весы будут в равновесии, при втором — нет.
3. Если бракованной окажется монета в 5 коп. — второй раз весы
будут в равновесии, первый раз — нет.
4. Если оба раза весы не будут в равновесии, то бракованной ока-
жется монета либо в 2 коп., либо в 3 коп. Тогда результат первого
взвешивания покажет нам, тяжелее или легче бракованная мо-
нета, чем настоящие, а результат второго взвешивания определит
эту монету.
270. Отвешиваем 12 кг гвоздей и откладываем их в сторону.
От оставшихся 12 кг отвешиваем 6 кг и откладываем их в другую
сторону. От оставшихся 6 кг отвешиваем 3 кг и соединяем их с отло-
женными 6 кг. Получаем искомые 9 кг гвоздей.
271. Вес бидона равен разности между удвоенным весом бидона,
наполненного до половины (т. е. вес содержимого + удвоенный вес би-
дона), и весом полного бидона (т. е. вес бидона + вес содержимого).
Значит, вес бидона 1 кг.
272. Женя сможет определить цвет своей шапки, только если
и на Лёве и на Грише будут надеты белые шапки. Поскольку он не на-
звал цвет своей шапки, значит, на Лёве и Грише либо обе шапки
чёрные, либо — одна белая, другая чёрная. Если бы на Грише была
белая шапка, то Лёва, услышав ответ Жени, мог бы точно сказать, что
на нём — чёрная. А раз он этого не сказал, значит, Гриша может быть
уверен, что на нём надета чёрная шапка.
273. Из 100 л молока получится 15 кг сливок, а из 15 кг сливок —
4,5 кг масла.
274. Чисел, содержащих не более трех цифр, — 999 (от 1 до 999).
Из них 99 содержат менее трех цифр, а остальные 999 ? 99 = 900 —
ровно три цифры.
275. Разрежем квадрат по диагонали. Один из тре-
угольников отложим в сторону. Теперь на какие бы тре-
угольники мы ни разрезали второй треугольник, условие
задачи будет выполнено. Один из возможных вариантов
приведён на рисунке.
276. Если бы кормили только собак, понадобилось бы 10 ? 6 = 60
галет. Лишние 4 галеты понадобились бы потому, что собака съедает
116
::::::::::::::::::::::::::::::: :::::::::::::::::::::::::::::::
Решения
::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::


на одну галету больше, чем кошка. Это значит, что кошек было 4, а со-
бак, соответственно, 6.
277. Один из двоих — Дима или Андрей — явно говорит неправду
(их слова противоречат друг другу). И Игорь тоже говорит неправду,
так как в противном случае неправду говорили бы трое (Никита, Глеб
и либо Дима, либо Андрей), а по условию задачи неправду говорят
только двое. Это означает, что и Никита и Глеб оба сказали правду.
Следовательно, пирог испёк Игорь.
278. Очевидно, что чем больше флажков справа от первоклассни-
ка, тем «левее» его место в шеренге. Справа от Максима кто-то стоит
(иначе справа от него не было бы флажков). Но все, кроме Даши, на-
верняка стоят левее Максима. Значит, справа от Максима стоит Даша
и держит 8 флажков.
279. Сумма написанных чисел нечётна (она равна 21). За каждый
ход эта сумма увеличивается на 2, т. е. всегда остаётся нечётной. А сум-
ма шести равных чисел всегда чётна. Это значит, что сделать числа
равными невозможно.
280. Из того, сколько заплатил первый ковбой, можно узнать,
сколько стоят 8 сандвичей, 2 чашки кофе и 20 пончиков. А из того,
сколько заплатил второй ковбой, можно узнать, сколько стоят 9 санд-
вичей, 3 чашки кофе и 21 пончик. Разность этих сумм даст как раз
стоимость сандвича, чашки кофе и пончика, а именно 40 центов.
281. Ни 1, ни 2, ни 3 января не могут приходиться ни на понедель-
ник, ни на пятницу, поскольку в противном случае 29, 30 или 31 января
получатся пятой пятницей или пятым понедельником в месяце. Наше
условие может быть выполнено, только если 1, 2 и 3 января придут-
ся, соответственно, на вторник, среду и четверг. Значит, 1 января —
вторник.
282. Если бы в каждом месяце родилось не более трех учеников
этого класса, то в классе не могло бы учиться больше, чем 3 ? 12 = 36
учеников, а их по условию 38.
1
283. Если от шнурка отрезать , останется как раз 50 см. Действи-
4
2 2 1 1
? ? =.
тельно,
3 3 4 2
284. Когда 8 белых одуванчиков облетели, на лужайке осталось
27 одуванчиков — 18 жёлтых и 9 белых. Значит, вначале на лужай-
ке росли 18 + 2 = 20 жёлтых и 9 + 8 ? 2 = 15 белых одуванчиков.
285. Все семьи города можно условно представить в виде цепочек,
в которых после каждой семьи будет стоять та, в дом которой семья
117
::::::::::::::::::::::::::::::: :::::::::::::::::::::::::::::::
Решения
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::


переехала. Все эти цепочки будут замкнутые (может быть, будет всего
одна цепочка). В цепочках, в которых представлено чётное число семей,
будем красить дома попеременно в синий и зелёный цвета — тогда
каждая семья переедет из синего дома в зелёный или наоборот. А в тех
цепочках, где число семей нечётно, покрасим один дом в красный цвет,
а оставшееся чётное число домов — попеременно в синий и зелёный.
Тогда все дома будут покрашены с выполнением требований задачи.
286. В первой табличке на каждой строке в первом столбце сто-
ит основание степени, в третьем — показатель степени, во втором —
результат возведения в степень. Таким образом, недостающее число 49.
Вторая табличка построена по-другому: в ней собраны пары равных
чисел, но один раз число записано в виде десятичной дроби, другой
5
раз — в виде обыкновенной. Таким образом, здесь лишнее число .
13
287. Поскольку суммы любых трех, последовательно записанных
по кругу чисел равны между собой, то каждые третьи числа равны
между собой. Рассмотрим два случая: а) количество записанных чисел
не кратно 3; б) количество записанных чисел кратно 3.
В первом случае все числа будут равны между собой, а во втором —
сумма их будет кратна 3. Второй случай невозможен, так как 37 на 3
не делится. В первом случае единственная возможность — записать
по кругу 37 единиц.
288. Черноволосым был не мастер (так как мастер подтвердил его
слова). Это значит, что черноволосый — Рыжов. Седов тогда может
быть только рыжим, а кандидат в мастера Чернов — седым.
289. Заранее было определено 5 выстрелов, остальные 12 Гена за-
служил попаданиями в цель — по 2 выстрела за каждое. Значит, по-
паданий было 6.
290. Номер билета — 99999. Если бы в билете были хотя бы две
неравные цифры, то их можно было бы поменять местами и сосед
не смог бы наверняка решить задачу. Если же все цифры равны,
но меньше 9, всегда есть возможность одну цифру увеличить на 1,
другую — уменьшить, т. е. имеется дополнительный вариант решения.
И только в случае, когда соседу 45 лет и номер билета 99999, — ре-
шение получается единственным.
291. Разложим число 203 на множители и получим: 203 = 7 ? 29.
Значит, в нашем случае все остальные сомножители должны быть пред-
ставлены единицами. Поскольку сумма всех этих сомножителей также
118
::::::::::::::::::::::::::::::: :::::::::::::::::::::::::::::::
Решения
::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::


будет 203, то в произведении должно быть 203 ? (7 + 29) = 167 единиц:
203 = 7 ? 29 ? 1 ? 1 ? ... ? 1 = 7 + 29 + 1 + 1 + .. . + 1.
292. Число 13 на 2 меньше 15. Значит, при одном и том же част-
ном n остаток от деления на 15 на 2n больше, чем остаток от деления
на 13, т. е. 2n = 8. Отсюда делимое m равно 15 ? 4 = 13 ? 4 + 8 = 60.
293. Возраст младшего ребёнка не может быть чётным числом, так
как иначе возрасты старших детей не будут простыми числами. Он
не может оканчиваться на 1, 3, 7, 9 — иначе возраст одного из старших
детей будет делиться на 5. Единственное простое число, удовлетво-
ряющее этим условиям, — 5. Проверка показывает, что если возраст
младшего ребёнка будет равен 5 годам, возрасты всех старших будут
выражаться простыми числами.
294. Поскольку в зелёном платье — не Ася, не Катя и не Нина,
остаётся Галя. Катя не в зелёном платье, не в белом и не в розовом,
значит, в голубом. Итак: Галя стоит между Катей и Ниной, а значит,
и Ася тоже стоит между Катей и Ниной. То есть девочки стоят так:
Галя (в зелёном), Катя (в голубом), Ася, Нина. Отсюда и из условия,
что девочка в белом платье стоит между девочкой в розовом платье
и Катей, следует, что Ася в белом платье, а Нина — в розовом.
295. Искомая точка находится ровно посередине между нанесён-
ными двумя, поскольку среднее арифметическое любых двух чисел
на столько же меньше большего числа, на сколько больше меньшего.
296. Да, конечно. Возьмём, например, произведение любых двух
положительных чисел, меньших 1, или возьмём одно число произволь-
?
ным отрицательным, а другое — положительным, большим 1.
297. Число, которое в 5 раз больше суммы своих цифр, должно
делиться на 5. Значит, оно оканчивается на 0 или на 5. Однако на 0
оно оканчиваться не может, ибо в этом случае будет в 10 раз больше
суммы своих цифр. Итак, искомое число можно записать в виде 10a + 5.
Сумма цифр этого чиста равна a + 5. Значит, можно составить урав-
нение
10a + 5 = 5(a + 5).
Решив его, получим: a = 4, искомое же число 45.
298. В течение каждых 6 с часы бьют 4 раза: на 2-й, 3-й, 4-й и 6-й
секундах. Значит, 13 раз они ударят, когда пройдёт три раза по 6 с, ещё
один удар, т. е. — на 20-й секунде. Поскольку первый удар раздался
на 2-й секунде, пауза между первым и последним ударами составляет
18 с.
119
::::::::::::::::::::::::::::::: :::::::::::::::::::::::::::::::
Решения
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::


299. Из того, как выложились тетради в первый раз, следует, что
в исходной стопке серая тетрадь не могла лежать выше жёлтой, а жёл-
тая — выше красной. Из второй же раскладки видно, что красная
тетрадь не могла лежать выше коричневой, а синяя — выше жёлтой
и серой. Таким образом, единственная возможная последовательность
тетрадей в стопке: коричневая, красная, жёлтая, серая, синяя.
A
300. Поскольку среди слагаемых в ребусе есть одно
двузначное и два однозначных числа, а сумма — число + B B
A
трехзначное, то это трехзначное число должно начинать-
ся с 1, а двузначное число начинается не менее чем с 8. C C C
Итак, C = 1, B = 8 или 9. Если бы B было равно 8, то C
при любом A должно было бы быть чётным (см. последний столбец).
Но C = 1, значит, B = 9. Зная B и C, определяем, что A = 6. Итак,
при замене букв цифрами получаем: 6 + 99 + 6 = 111.
301. Предположим, что Роман не физик, тогда (по условию 2) Пётр
математик, но если Пётр математик, то Сергей (по условию 1) не фи-
зик — получилось явное противоречие. Значит, Роман — физик. Тогда
Сергей математик — иначе (по условию 3) Роман был бы химиком.
Значит, Пётр — химик. Итак: Пётр — химик, Роман — физик, Сер-
гей — математик.
302. В четвёртом пенале должны лежать предметы, которые уже
встречаются в первых трех пеналах, но только по одному разу. Это
синяя ручка, оранжевый карандаш и красный ластик.
303. Поскольку пропавшие пять многоугольников
являются выпуклыми, то ни один из них не может иметь
с восьмиугольником границу больше чем по одной сто-
роне. А это значит, что как минимум три стороны вось-
миугольника принадлежат квадрату. Это соображение
позволяет однозначно восстановить размеры квадрата;
длина его стороны равна расстоянию между противопо-
ложными сторонами восьмиугольника.
Интересно, что хотя мы и можем восстановить размеры квадрата,
но не можем точно сказать, из каких многоугольников он состоит. Толь-
ко 4 многоугольника можно восстановить — это восьмиугольник и три
угловых треугольника. А про два последних многоугольника известно
только то, что они образуют четвёртый угловой треугольник. Мы даже
не можем точно восстановить количество сторон каждого — это могут
быть треугольник и четырехугольник, или два треугольника (см. ри-
сунок).
120
::::::::::::::::::::::::::::::: :::::::::::::::::::::::::::::::
Решения
::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::


304. Запишем наши условия в виде системы уравнений:

Б + 20В = 3Б;
19Б + Н + 15,5В = 20Б + 8В,

здесь Б, В, Н — бочка, ведро, насадка.
Требуется узнать, сколько насадок помещается в бочке.
Из первого уравнения следует, что емкость бочки 10 вёдер, а из вто-
рого — что в бочку помещаются 7,5 ведра и насадка. Значит, 1 насадка
вмещает 2,5 ведра, или четверть бочки, т. е. в бочке 4 насадки.
305. Для удобства повторим условия: 1) Вика стоит впереди Сони,
но после Аллы; 2) Боря и Алла не стоят рядом; 3) Денис не находится
рядом ни с Аллой, ни с Викой, ни с Борей. Из условия 1 следует, что
девочки стоят в таком порядке: Алла, Вика, Соня. Поскольку ни Денис,
ни Боря не стоят рядом с Аллой (условия 2 и 3), значит, Алла стоит
первой, а Вика второй. Из условия 3 следует, что Денис может стоять
только с краю — рядом с Соней. А из условий 2 и 3 следует, что
Боря может стоять только между Викой и Соней. Итак, дети стоят
в следующем порядке: Алла, Вика, Боря, Соня, Денис.
306. Поскольку делимое в 6 раз больше делителя, значит, частное
равно 6. А так как делитель в 6 раз больше частного, значит, он равен
36, а делимое, соответственно, равно 216.
307. Пусть приписана цифра a. Тогда полученное число записыва-
ется в виде a10a. Поскольку это число делится на 12, то оно должно
делиться и на 4, и на 3. Это в свою очередь означает, что a делится
на 4, а (2a + 1) делится на 3. Это возможно лишь при a = 4, значит,
приписать надо цифру 4, а число получается 4104.
308. Два года назад Лиза тоже была на 8 лет старше Насти. А если
при этом она ещё была старше в 3 раза, то Насте было 4 года, а Лизе
12. Значит, сейчас Лизе 14 лет.
309. Попробуем найти такие числа. Обозначим их A, B, C, при-
чём A > B > C. Условие задачи равносильно условию, что сумма любых
двух из этих чисел делится на третье, т. е.
?
?A + B = cC;
?
A + C = bB;
?
?
B + C = aA,

здесь a, b, c — натуральные числа.
121
::::::::::::::::::::::::::::::: :::::::::::::::::::::::::::::::
Решения
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::


Поскольку B < A и C < A, то B + C < 2A, т. е. последнее из трех
равенств может выполняться только при a = 1. Значит, A = B + C.
Сделаем замену переменных в двух верхних уравнениях:

2B + C = cC;
B + 2C = bB.

Последнее равенство может выполняться только при b = 2, так как
B + 2C < 3B и C = 0. Значит, B = 2C, A = 3C. Таким образом, если
в качестве слагаемых взять числа C, 2C и 3C (где C — произвольное
натуральное число), то сумма, равная 6C, будет делиться на каждое
из слагаемых.
310. Простое число, большее 3, при делении на 6 не может давать
остатки 0, 2, 3, 4 — в любом из этих случаев оно будет составным.
Возможны только остатки 1 и 5. Следовательно, простое число можно
записать как 6n + 1 или 6n + 5, но 6n + 5 = 6(n + 1) ? 1.
311. Будильник прозвенит, как только часовая стрелка первый раз
после завода встанет на цифру 9, т. е. в 9 ч вечера. Это значит, что
мальчик проспит всего 2 ч.
312. Да, делится, так как последняя цифра произведения 1, а по-
следняя цифра разности 0.
313. При таком переливании во втором баке должно было быть
больше 26 л бензина, а в первом — ещё больше, чем во втором. Сле-
довательно, даже если надо было бы наполнить только эти два бака,
всё равно на это не хватило бы 50 л. Значит, разделить бензин так, как
требуется в условии, невозможно.
314. Если остаток был равен нулю, никаких изменений не произой-
дёт. Действительно, пусть наш пример был AB : A = B. Тогда новый
пример будет 3AB : 3A = B.
Если же остаток не был равен нулю, то при увеличении и де-
лимого и делителя в 3 раза частное не изменится, а остаток уве-
личится втрое. Действительно, пусть первоначальный пример был
такой — (AB + a) : A = B (остаток a < A); тогда новый пример будет
(3AB + 3a) : 3A = B (остаток 3a).
315. Если за решение каждой задачи все три девочки вместе полу-
чали 7 конфет (первая — 4, вторая — 2, третья — 1 конфету), значит,
сумма всех полученных ими конфет должна обязательно делиться на 7,
но 60 на 7 не делится. Следовательно, девочки ошиблись.
122
::::::::::::::::::::::::::::::: :::::::::::::::::::::::::::::::
Решения
::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::


317. Обозначим через x возраст короля «тогда», а через y — воз-
раст королевы «тогда». Отсюда получаем: возраст короля «теперь» —
2y, возраст королевы «теперь» — x, а «будет» королеве 2y лет, т. е.
от «тогда» до «будет» прошло y лет, значит, королю «будет» (x + y) лет.
Составим систему из двух уравнений:
y + (x + y) = 63;
2y ? x = x ? y.
Первое уравнение означает, что «им вместе будет 63 года», а вто-
рое — что разность возрастов короля и королевы постоянна и «теперь»,
и «тогда», и «всегда». Решив эту систему уравнений, определим, что
«сейчас» королю 28 лет, а королеве — 21 год.
Можно эту задачу решить и не составляя системы уравнений. Обо-
значим через t разницу возрастов короля и королевы «сейчас», «тогда»
и «всегда». Поскольку «сейчас» королеве столько же лет, сколько бы-
ло королю «тогда», значит, от «тогда» до «сейчас» прошло тоже t лет.
Разница между возрастом короля «сейчас» и королевы «тогда» рав-
на сумме двух чисел — разницы этих возрастов «всегда» и отрезка
от «тогда» до «сейчас». Эта сумма — 2t лет. Значит, возраст короле-
вы «тогда» — 2t лет, а возраст короля «сейчас» — 4t лет. «Сейчас»
королеве — 3t лет, и королю «было» — 3t лет.
Когда королеве станет 4t лет, королю будет 5t лет. И все вместе
эти 9t составят 63 года. Отсюда t = 7. Итак, «сейчас» королю 28 лет,
а королеве — 21 год.
1
318. В каждый бидон перелито по объёма бака. Значит, объём
3
11 2 12 1
= =
бака, объём второго —
первого бидона равен : :
32 3 33 2
13 4
= бака, и все эти количества —
бака, а объём третьего — :
34 9
2
целые числа. Чтобы некоторого целого числа являлись тоже целым,
3
это число (вместимость бака) должно быть кратно 3. Аналогично, для
второго и третьего бидонов оно должно быть кратно 2 и 9. Наименьшее
общее кратное чисел 3, 2 и 9 — это 18. Значит, минимальная вмести-
мость бака 18 л.
319. Составим систему уравнений:
?
?x + y = xy;
x
?xy = . y

123

<< Пред. стр.

страница 14
(всего 20)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

Copyright © Design by: Sunlight webdesign