LINEBURG


<< Пред. стр.

страница 12
(всего 20)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

тым и пятым игроками он должен набрать ......... .........
.....
1 ......... 0 1 1 1
не менее 0,5 очка. Всё это возможно толь- .........
.... .....
ко в случае, когда эти три игры (2–3, 2–4, .........
1 ......... 0,5 0,5 0,5
2 .........
2–5) закончились с ничейным результатом. .... .....
.........
0 0,5 .........
Итак, второй игрок набрал 2,5 очка. От- 3 .........
.... .....
сюда следует, что первый игрок набрал 3 оч- .........
.........
0 0,5
4 .........
ка, т. е. выиграл все партии, кроме партии .... .....
.........
.........
со вторым игроком. Заполним ещё часть 0 0,5
5 .........
....
таблицы.
Третий игрок не может набрать больше 2 очков (так как второй
набрал 2,5), но он не может набрать и меньше 2 очков, поскольку даже
если третий наберёт 1,5 очка, четвёртый — 1 очко и пятый — 0,5 очка,
всё равно в сумме очков будет набрано слишком мало. Поскольку всего
должно быть набрано 10 очков (см. решение задачи 52), а первые два
98
::::::::::::::::::::::::::::::: :::::::::::::::::::::::::::::::
Решения
::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::


игрока набрали 5,5 очка, то оставшиеся три игрока должны в сумме
набрать 4,5 очка. Значит, третий игрок набрал 2 очка.
Если третий набрал 2 очка, то на долю четвёртого и пятого остаётся
2,5 очка. Это возможно только в том случае, когда четвёртый набрал
1,5 очка, а пятый — 1 очко.
Третий игрок набрал в двух играх 1,5 очка (т. е. всего он набрал 2 оч-
ка, а в играх со вторым и первым — в сумме 0,5 очка). Это возможно,
только если в одной из этих игр он набрал 1 очко, а в другой — 0,5.
Пятый игрок в двух играх набрал 0,5 очка. Это возможно, только
если в одной игре он набрал 0,5 очка, а в другой — 0. Что же касается
четвёртого игрока, то он должен в двух играх набрать 1 очко, т. е. ли-
бо 1 и 0, либо 0,5 и 0,5. Но ведь, согласно условию, четвёртый игрок
не выиграл ни одной партии, значит, случай «1 и 0» невозможен.
.....
Итак, за две игры третий игрок набрал 1 ......... 1 2 3 4 5
.........
....
и 0,5 очка; четвёртый игрок — 0,5 и 0,5 очка; ......... .........
.....
1 ......... 0
пятый игрок — 0,5 и 0 очков. Это возможно, 1 1 1
.........
.... .....
........
только если третий выиграл у пятого, а все .
1 ......... 0,5 0,5 0,5
2 .........
остальные игры закончились вничью. Те- .... .....
.........
0 0,5 ......... 0,5 1
перь можно составить окончательную таб- 3 .........
.... .....
лицу. .........
....
0,5 0,5 ......... 0,5
4 0 .....
.... .....
187. Четыре последних игрока сыграли .........
0 0,5 0 0,5 .........
5
между собой 6 игр и набрали в этих иг- .........
....
рах 6 очков. Это значит, что второй игрок
не может получить меньше 6 очков. Но он не может набрать и боль-
ше 6 очков, потому что тогда будет нарушено условие, что все набрали
разное число очков. Если у второго 6,5 очка, значит, у первого не мо-
жет быть 6,5. Однако у него не может быть и 7 очков, так как это
означало бы, что первый игрок выиграл у всех, в том числе и у второго.
Но тогда второй получит меньше, чем 6,5 очка.
Итак, второй игрок набрал ровно 6 очков. Это в свою очередь озна-
чает, что последние четыре игрока все очки набрали в играх между
собой, следовательно, любой из последних четырех игроков проиграл
каждому из первых четырех. А это уже означает, что игра между тре-
тьим и седьмым игроками закончилась победой третьего.
188. Нет, нельзя. Если бы это было возможно, то сумма всех чи-
сел таблицы, подсчитанная «по строкам», была бы положительной,
а «по столбцам» — отрицательной, что невозможно.
189. Как ни странно, можно.

99
::::::::::::::::::::::::::::::: :::::::::::::::::::::::::::::::
Решения
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::


Вот некоторые соображения: раз во всех • • • • • • • •
вертикалях фишек поровну, то общее чис- • • • • • • •
ло фишек кратно 8. Если в любых двух • • • • • •
горизонталях разное число фишек, то фи- • • • • •
шек не меньше, чем 0 + 1 + 2 + . .. + 7 = 28. •
Наименьшее число, отвечающее обоим тре- ••
бованиям, будет 32, т. е. в каждой вертика- •••
ли по 4 фишки. После небольшого перебора
можно получить ответ (см. рисунок).
190. Нет, так быть не может. Если число делится на 3, то сумма
его цифр делится на 3. Пусть, для определённости, не делящееся на 3
число стоит в верхней строке. Сумма всех цифр в каждом столбце де-
лится на 3. Значит, сумма всех цифр в таблице делится на 3. Вычтем
из этой суммы сумму цифр 4-х чисел, стоящих в строках 2–5. Эта сум-
ма делится на 3, поскольку все слагаемые (вычитаемые) делятся на 3.
Но, с другой стороны, это и есть сумма цифр, стоящих в верхней строке.
Пришли к противоречию, значит, предположение неверно.
191. Вот пример: +3, ?4, +3, ?4, +3. Хитрость в том, что сумма
«немного отрицательна», а крайние числа «сильно положительны».
192. Эта задача допускает четыре разных ответа, которые зависят
от расположения всадников в первый момент. Мушкетёры могли ехать:
а) в разные стороны, навстречу друг другу; б) в разные стороны, уда-
ляясь друг от друга; в) в одну сторону — Атос за Арамисом; г) в одну
сторону — Арамис за Атосом. Соответственно и ответы: а) 11 лье;
б) 29 лье; в) 21 лье; г) 19 лье.
193. За 5 мин брат пройдёт 1/8 пути. За каждую минуту я
прохожу 1/30 пути, а брат — 1/40, т. е. за минуту я навёрстываю
(1/30 ? 1/40) = 1/120 часть пути. А 1/8 я наверстаю, соответственно,
за (1/8) : (1/120) = 15 мин, т.е ровно на полпути до школы.
194. Поскольку нас интересуют только последние цифры резуль-
татов, то достаточно определить, каковы последние цифры у чи-
сел 91989 , 91992 , 21989 и 21992 .
1. Число 9 при возведении в степень даёт два варианта последних
цифр — 9 (если степень нечётная) и 1 (если степень чётная). Это
значит, что 91989 имеет последнюю цифру 9, а 91992 — цифру 1.
2. Число 2 при возведении в степень может давать следующие по-
следние цифры: 2, 4, 8, 6. Если показатель степени при делении
на 4 даёт остаток 1 — последняя цифра будет 2; если остаток
2 — последняя цифра будет 4; остаток 3 — последняя цифра 8;
100
::::::::::::::::::::::::::::::: :::::::::::::::::::::::::::::::
Решения
::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::


без остатка — последняя цифра 6. Это значит, что 21989 имеет
последнюю цифру 2, а 21992 — цифру 6.

195. Положим в первую кучку две гирьки массой 101 г и 1 г,
а во вторую — 100 г и 2 г; затем в первую две гирьки — 99 г и 3 г,
а во вторую — 98 г и 4 г. Так будем действовать, пока не положим
во вторую кучку гирьки в 84 г и 18 г. К этому моменту в каждой кучке
будет лежать по 18 гирек. Теперь положим в первую кучку две гирьки
массой 83 г и 20 г, а во вторую — 82 г и 21 г.
Так будем продолжать до тех пор, пока во вторую кучку не придётся
положить последнюю пару гирек массой 52 г и 51 г.
196. На вторую половину пути Буратино потратил ровно столько
времени, сколько Пьеро на весь путь. А ведь сколько-то времени у Бу-
ратино ушло и на первую половину пути. Так что победил Пьеро.
197. Буратино проехал на велосипеде полдороги, слез с него и даль-
ше пошёл пешком. А Пьеро первую половину пути прошёл пешком,
затем дошёл до велосипеда, сел на него и поехал. Таким образом они
и сэкономили время.
198. Обозначим через s отрезок пути, который Буратино проехал
от того момента, как проснулся, до конца. Тогда путь, который Буратино
проспал, составит 2s. Всего же от момента, как Буратино заснул, он
проехал путь 2s + s = 3s. Но известно, что это — половина всего пути.
Значит, длина всего пути 6s. Поскольку же бодрствующим Буратино
проехал путь 4s, то по отношению ко всему пути эта часть составит
4s 2
=.
6s 3
199. Туристы могут действовать так: 1) два с меньшим весом са-
дятся в лодку и переправляются на противоположный берег; 2) один
из них пригоняет лодку обратно; 3) наиболее тяжёлый турист садится
в лодку и переправляется; 4) второй лёгкий садится в лодку и пригоняет
её назад; 5) два лёгких садятся в лодку и окончательно переправляются
на нужную сторону.
200. Поскольку номер одного и того же вагона в субботу был мень-
ше числа, а в понедельник равен ему, то очевидно, что суббота и поне-
дельник принадлежат разным месяцам, т. е. понедельник — первое или
второе число, а номер вагона — 1 или 2. Но номер вагона не может
быть равен 1, поскольку номер места меньше номера вагона. Значит,
Саша ехал в вагоне № 2 на месте № 1.
101
::::::::::::::::::::::::::::::: :::::::::::::::::::::::::::::::
Решения
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::


201. Для расшифровки этого отрывка можно воспользоваться ме-
тодом, которым пользовался Шерлок Холмс, расшифровывая «пляшу-
щих человечков».
1. В Алисиной записи буква а встречается 4 раза, е — 24, и — 11,
й — 3, о — 8, у — 2, ы — 1, э — 3, ю — 1, я — 0. Отсюда,
следуя методу Шерлока Холмса, можно предположить, что е —
это О, и — это А. Значит, о — это Е, а — это И. Заменив эти
буквы в тексте, получим:
«— бОрпА э йдОмгЕквэы, бАбОЕ-жикйпч
звОлО, — збАсАв фАвмАу-кОвмАу
пОлОвчжО дгЕсгИмЕвчжО, — ОжО ОсжАьАЕм
мОвчбО мО, ьмО э цОьй, ьмОкю ОжО
ОсжАьАвО, — жИ кОвчфЕ, жИ тЕжчфЕ».
Здесь для удобства разгаданные буквы показаны заглавными,
а зашифрованные строчными.
2. Из слова бАбОЕ первой строки сразу видно, что б — это К,
а к — это Б.
3. Слово ОжО в третьей и четвёртой строках может быть толь-
коОНО, ОБО или ОКО, при всех других значениях «ж» полу-
чаем бессмысленный набор букв. Но К и Б мы уже определили,
так что единственная возможность для ж — это Н.
4. Заменим текст с учётом полученных пар Б — К и Ж — Н:
«— КОрпА э йдОмгЕБвэы, КАКОЕ-НиБйпч
звОлО, — зКАсАв фАвмАу-бОвмАу
пОлОвчНО дгЕсгИмЕвчНО, — ОНО оснАьАЕм
мОвчКО мО, ьмО э цОьй, ьмОБю ОНО
ОсНАьАвО, — НИ БОвчфЕ, НИ тЕнчфЕ».
5. Из последнего слова первой строки определяем сразу три пары
букв Й — У, П — Д, Ч — Ь.
6. Слово мО в четвёртой строке может означать только ДО, НО,
ПО или ТО. Но для букв Д, Н, П уже определены пары, значит,
м может быть только Т.
7. Снова заменим текст с учётом пар Й — У, П — Д, Ч — Ь,
М — Т.
«— КОрДА э УПОТгЕБвэы, КАКОЕ-НИБУДЬ
звОлО, — зКАсАв фАвТАЙ-бОвтАй
ДОлОвЬНО ПгЕсгИТЕвЬНО, — ОНО ОсНАЧАЕТ
ТОвЬКО ТО, ЧТО э цОЧУ, ЧТОБю ОНО
ОсНАЧАвО, — НИ БОвЬфЕ, НИ МЕНЬфе».

102
::::::::::::::::::::::::::::::: :::::::::::::::::::::::::::::::
Решения
::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::


8. Из первого слова первой строки сразу определяется пара Р — Г.
9. Из первого слова четвёртой строки — пара В — Л.
10. Из последнего замечания с учётом первого слова второй строки
получаем пару 3 — С.
11. Подставив пары Р — Г, В — Л и С — 3 в текст, получаем:
«— КОГДА э УПОТРЕБЛэы, КАКОЕ-НИБУДЬ
СЛОВО, — СКАЗАЛ фАЛТАЙ-БОЛТАЙ
ДОВОЛЬНО ПРЕЗРИТЕЛЬНО, — ОНО ОЗНАЧАЕТ
ТОЛЬКО ТО, ЧТО э цОЧУ, ЧТОБю ОНО
ОЗНАЧАЛО, — НИ БОЛЬфЕ, НИ меньфе».
12. Из этого текста уже совсем легко определяются пары Э — Я,
Ы — Ю, Ф — Ш, Ц — X, а весь текст полностью выглядит так:
«— КОГДА Я УПОТРЕБЛЯЮ, КАКОЕ-НИБУДЬ
СЛОВО, — СКАЗАЛ ШАЛТАЙ-БОЛТАЙ
ДОВОЛЬНО ПРЕЗРИТЕЛЬНО, — ОНО ОЗНАЧАЕТ
ТОЛЬКО ТО, ЧТО Я ХОЧУ, ЧТОБЫ ОНО
ОЗНАЧАЛО, — НИ БОЛЬШЕ, НИ МЕНЬШЕ».
202. Известный венгерский математик Д. Пойа в таких случаях
предлагал смотреть на условие задачи до тех пор, пока решение само
не придёт в голову.
Последовав этому методу и присмотревшись к напечатанному усло-
вию задачи, можно заметить, что в зашифрованной фразе и фразе, пред-
шествовавшей ей, все гласные буквы совпадают, а согласные — рас-
пределены по парам и каждая буква из пары заменяет другую из той же
пары. Это значит, что здесь зашифрована первая фраза условия задачи.
203. У нас есть 70 мерседесов и 30 других машин. По условию,
рядом с мерседесом может стоять либо мерседес того же цвета, ли-
бо другая машина. Чем больше мерседесов будут стоять парами, тем
меньше понадобится других машин. Но пар мерседесов 35, а на их
«окружение» понадобится 33 другие машины. Если мерседесы стоят
не обязательно парами, то других понадобится ещё больше. Но других
машин по условию всего 30, значит, поставить можно только 32 пары.
То есть должны рядом стоять три одинаковых мерседеса.
204. Для того чтобы заварить 57 стаканов, необходимо иметь
не меньше чем (57 : 3) и не больше чем (57 : 2) пакетиков, т. е. не мень-
ше 19 и не больше 28 пакетиков. Для того чтобы заварить 83 стакана,
необходимо иметь не меньше чем (83 : 3) и не больше чем (83 : 2)
пакетиков, т. е. не меньше 28 и не больше 42 пакетиков. Поскольку
103
::::::::::::::::::::::::::::::: :::::::::::::::::::::::::::::::
Решения
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::


пакетиков было одинаковое количество, то единственный возможный
ответ: 28 пакетиков.
205. Поскольку у каждого ребёнка по 3 карточки, а надписей все-
го 2, то обязательно 2 надписи должны совпадать, т. е. каждый может
написать либо МАМА (таких детей 20), либо НЯНЯ (таких детей 30).
Значит, всего детей 50. Но если у ребёнка все три карточки одинаковы,
то он не сможет написать слово МАНЯ (а таких было 40). Значит, три
одинаковые карточки у 50 ? 40 = 10 детей.
206. Достаточно нанести промежуточные деления в точках 1 см,
3 см, 7 см. Тогда у нас образуются 4 отрезка: 1 см, 2 шт. по 2 см и 4 см.
Нетрудно убедиться, что такой линейкой можно измерять расстояния
от 1 до 9 см с точностью до 1 см.
207. Такой квадрат составить нельзя, поскольку его периметр дол-
жен быть 50 см, т. е. стороны не являются целыми числами.
208. Это сделать можно. Один из вари- 1 11 21 31
антов ответа приведён в таблице. 51 41 71 61
209. Сейчас в предложении двадцать 81 91 101 111
131 121 151 141
букв. Это значит, что мы должны вставить
число не менее 20, что добавит, как ми-
нимум, 8 букв. Но если мы вставим числа 28 или 29, предложение
не станет истинным. Значит, искомое число не менее 30, что добавляет,
как минимум, те же 8 букв. Перебрав все числа от 31 до 39 (и не забы-
вая об окончании), получим единственный ответ «В этом предложении
тридцать две буквы».
210. Если первая буква была a, а вторая — b, то третья будет
(a + b), четвёртая — (a + 2b), пятая — (2a + 3b), шестая — (3a + 5b).
Нам надо подобрать максимальное возможное значение a, чтобы при
этом шестая цифра оставалась «цифрой», т. е. чтобы выполнялось
неравенство 3a + 5b < 10. Это возможно при a = 3, b = 0, т. е. искомое
число будет 303 369.
211. Казалось бы, эта задача очень похожа на предыдущую, однако
решение совсем другое. Число будет тем больше, чем больше в нём
цифр. А всего цифр будет тем больше, чем меньше первые две цифры.
Проверим. Если первые цифры 1 и 0, то получаем 10 112 358. Если
первые цифры будут 1 и 1, то получим 112 358, если 2 и 0, то получим
202 246. Итак, искомое число 10 112 358.
212. Поставим в 1-й вершине число x, во 2-й поставим 1 ? x, в 3-й
поставим 1 + x, в 4-й поставим 2 ? x, в 5-й поставим 2 + x. Тогда при
104
::::::::::::::::::::::::::::::: :::::::::::::::::::::::::::::::
Решения
::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::


любых значения x суммы чисел на четырех сторонах составят, соответ-
ственно, 1, 2, 3, 4. Чтобы сумма чисел на 5-й стороне была равна 5,
надо подобрать x из условия x + (2 + x) = 5. Отсюда x = 1,5. Следо-
вательно, в вершинах надо поставить, соответственно, числа 1,5; ?0,5;
2,5; 0,5; 3,5.
213. Те 100 фунтов, которые остались, составляют (100 ? 10)%,
т. е. 90%. Значит, 100 ф. есть 9/10. Отсюда можно найти исход-
ное количество зёрна A. A = 100 ф.?10/9. Отсюда A = 1000/9 ф.
или 111 + 1/9 ф. Действительно, (9/10) ? (111 + 1/9) ф. = (9/10) ?
? (1000/9) ф. = 100 ф.
214. Сначала заменим время в секундах временем в минутах: 6 ми-
нут 40 секунд заменим на 6 + 2/3, или 20/3, а 13 минут 20 секунд
заменим на 13 + 1/3, или 40/3. Тогда за одну минуту холодной водой
заполнится 3/20 ванны, горячей — 1/8 ванны, а вытечет 3/40 ванны.
Следовательно, за одну минуту наполнится (3/20) + (1/8) ? (3/40), т. е.
(1/5) ванны. Значит, вся ванна наполнится за 5 минут.
215. Рассмотрим суммы чисел не по строкам, а по столбцам. Две
последовательные цифры в столбцах дают в сумме 10, значит, сумма
цифр в любом столбце будет 30. А всего столбцов 15. Значит, сумма
всех цифр равна 450.
216. Поскольку на всю поездку (туда и обратно) «Москвич» потра-
тил на 20 мин меньше, то на путь только в одну сторону он потратил
на 10 мин меньше. Значит, встреча «Москвича» с грузовиком состоя-
лась за 10 мин до предполагавшегося по расписанию времени посадки
самолёта. Самолёт же приземлился за 30 мин до встречи грузовика
с «Москвичом», т. е. на 40 мин раньше установленного в расписании
времени.
217. За один месяц ребята собрали денег в пять раз меньше, чем
за пять месяцев, т. е. 9937 р. Эта сумма является произведением чис-
ла учеников на ежемесячный взнос каждого из них. Число 9937 может
быть представлено в виде двух сомножителей только двумя способа-
ми: 9937 = 9937 ? 1 = 19 ? 523. Но учеников не может быть ни 9937,
ни 523, ни 1. Следовательно, единственный вариант ответа: 19 школь-
ников ежемесячно вносили по 523 р.
218. Поскольку Митя не мог провести один и тот же день и в Смо-
ленске и в Вологде, значит, месяц начинался во вторник (ведь иначе
первый вторник и первый вторник после первого понедельника совпа-
ли бы). Аналогично заключаем, что и второй месяц должен начинать-
ся во вторник. Это возможно только в случае, когда один месяц —
105
::::::::::::::::::::::::::::::: :::::::::::::::::::::::::::::::
Решения
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::


февраль, а другой — март, причём год не високосный. Отсюда уже
легко получить, что в Смоленске Митя был 1 февраля, в Вологде —
8 февраля, во Пскове — 1 марта, во Владимире — 8 марта.
219. На примере расшифровки названия первого города покажем
способ рассуждений:
1. Первая буква либо Б (2), либо У (21).
2. Варианты для вторых букв: БА (21), БК (212), УБ (212), УФА
(21221). Итак, возможный ответ — УФА, проверим, нет ли
других.
3. Варианты для третьих букв: БАБ (212), БАФА (21221), БКБА
(21221), БКУ (21221), УБУ (21221), УББА (21221).
4. Следующие варианты: БАББА, БАБУ.
Таким образом, мы выяснили, что поезд идёт из Уфы, а куда —
вы сможете определить сами, рассуждая аналогично. При этом должно
получиться название города БАКУ.
220. Если Петя вернётся домой за ручкой, то на весь путь он по-
тратит на 3 + 7 = 10 мин больше, чем потратил бы, если бы не возвра-
щался. Это значит, что путь от того места, где он вспомнил про ручку,
до дома и обратно занимает 10 мин. Следовательно, Петя вспомнил про
1
ручку в 5 мин ходьбы от дома, т. е. он прошёл пути.
4
221. Если письма вынимают 5 раз в течение указанного времени,
то интервалов будет 4, т. е. продолжительность одного интервала со-
ставит 3 часа.
222. Сколько бы ни стоили спички, общая сумма, которую должен
заплатить Билл, должна делиться на 3: цена бутылки делится на 3,
и цена шести коробков спичек тоже делится на 3, даже если цена од-
ного коробка на 3 не делится. Бармен, однако, назвал общую сумму,
не кратную 3. Значит, сумма была подсчитана неверно.

<< Пред. стр.

страница 12
(всего 20)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

Copyright © Design by: Sunlight webdesign