LINEBURG


<< Пред. стр.

страница 11
(всего 20)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

150. Нет. Если у нас есть 9 кучек, в каждой из которых разное
количество шариков, то их должно быть не меньше, чем 1 + 2 + 3 + ...
.. . + 9 = 45. Итак, шариков должно быть не меньше 45, а у нас —
только 44.
151. Вырежем из круга два одинаковых маленьких кружка, один
с центром в отмеченной точке, а другой — с центром в центре круга
(нужно так подобрать их радиусы, чтобы в большом круге эти кружки
не пересекались), третий кусок — то, что осталось от большого круга.
Поменяв местами маленькие кружки, получим такой круг, как требова-
лось в условии.
152. Можно. См. рисунок справа.
153. Можно сначала удвоить число, потом за-
черкнуть последнюю цифру, а можно наоборот —
сначала зачеркнуть последнюю цифру, а потом удво-
ить число. На значение первой цифры результата это
почти не влияет. Поэтому можно, например, удваи-
вать число до тех пор, пока первая цифра результата
не станет равна 7; зачеркнуть все цифры, кроме первой; удвоить её. По-
лучим: 458, 916, 1832, 3664, 7328, 732, 73, 7, 14.
154. Равенство не может быть верным, потому что одной из букв
обязательно должна соответствовать цифра 7; тогда та часть равенства,
в которую входит эта буква, будет делиться на 7, а вторая часть равен-
ства — не будет. Значит, они не могут быть равны. Это рассуждение
справедливо и для цифры 5.
90
::::::::::::::::::::::::::::::: :::::::::::::::::::::::::::::::
Решения
::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::


155. Общее количество собранных грибов равно произведению
числа ребят на число грибов в каждой корзинке. Представим чис-
ло 289 в виде произведения двух сомножителей. Это можно сделать
двумя способами: 289 = 1 ? 289 либо 289 = 17 ? 17.
Случаи «1 ребёнок» или «1 гриб» не годятся, так как по условию
и грибов и детей было много. Значит, остаётся единственный вариант —
в лес ходили 17 детей, каждый из которых принёс 17 грибов.
156. Сумма цифр числа M не может быть больше, чем 1992 ? 9 =
= 17928, и кроме того, она должна делиться на 9, т. е. A — число,
состоящее не более чем из пяти знаков (разумеется, оно может состо-
ять из меньшего числа знаков, например, при M = 90 .. . 0 число A будет
однозначным). Но если A содержит не более пяти знаков, то B не мо-
жет быть больше 45 и при этом должно делиться на 9. Сумма цифр
всех таких чисел равна 9. Следовательно, C = 9 при любом возможном
значении M.
157. Путь в оба конца на автобусе занимает 30 мин, следовательно,
путь в один конец на автобусе займёт 15 мин. На дорогу в один конец
пешком понадобится 1,5 ч ? 15 мин, т. е. 1 ч 15 мин. Значит, на дорогу
пешком в оба конца Аня тратит 2,5 ч.
158. Если в будущем году Коле исполнится 13 лет, значит, в ны-
нешнем ему 12, а в прошлом году было 11 лет. Но поскольку позавчера
Коле было 10, то единственный день, когда ему могло успеть испол-
ниться 11 (в прошлом году) — это вчера, а именно 31 декабря. Значит,
сегодня 1 января, и 31 декабря этого года Коле исполнится 12 лет,
а в будущем году — 13.
159. Рассмотрим шесть самых маленьких натуральных чисел:
1, 2, . .., 6. Их сумма равна 21. Значит, наше исходное равенство будет
достигаться, если любое из чисел мы увеличим на 1. Но если мы
увеличим одно из чисел от 1 до 5, то среди наших чисел окажется два
равных. Это значит, что надо увеличить последнее число, т. е. вместо 6
взять 7. В результате получаем искомый набор — 1, 2, 3, 4, 5, 7.
160. У любого числа M всегда есть делители 1 и M. Если у M
M
есть делитель m, то есть и делитель . Значит, чтобы число M име-
m
M
ло три различных делителя, необходимо выполнение условий: m =
m
(т. е. M = m2) и m — простое число. Отсюда следует, что ровно по три
различных делителя имеют квадраты простых чисел.
162. Сразу напрашивающийся ответ «за 2 руб. 50 коп.» — неверен.
Обозначим через a первоначальную стоимость всех конфет 1-го сорта.
91
::::::::::::::::::::::::::::::: :::::::::::::::::::::::::::::::
Решения
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::


Тогда общая выручка за несмешанные конфеты 1-го и 2-го сорта со-
ставляла бы 2a рублей. При этом конфет 1-го сорта у купца было бы
a a
фунта, а конфет 2-го сорта фунта. Таким образом, за смесь, со-
3 2
a a
стоящую из + фунта, он должен выручить 2a рублей. Значит, цена
3 2
2a
смеси конфет должна быть равна рублей. Проведя несложные
aa
+
32
арифметические действия, определим, что смесь конфет надо прода-
вать по 2 руб. 40 коп. (а не по 2 руб. 50 коп.) за фунт.
A
163. Площадь открытых участков 1 ,
2
2 и 3 равна площади закрытых участ-
2
1
ков 1, 2 и 3 (см. рисунок). Значит, закры-
тая часть листка больше открытой на пло- 1 4
щадь закрытого участка 4.
B
164. С поляны улетели 5 ворон, 3
а остались 30. Поскольку при этом на бе- 3
рёзе их стало в два раза больше, чем
на ольхе, значит, на берёзе оказалось
20 ворон, а на ольхе — 10. Но до этого
на ольху с берёзы перелетели 5 ворон, следовательно, сначала на оль-
хе было 5 ворон. А с берёзы 5 ворон улетели на ольху и 5 ворон улетели
совсем, т. е. на берёзе было 30 ворон.
166. Перепишем условия задачи:
КУВШИН = БУТЫЛКА + СТАКАН;
ДВА КУВШИНА = СЕМЬ СТАКАНОВ;
БУТЫЛКА = ЧАШКА + ДВА СТАКАНА;
БУТЫЛКА = сколько ЧАШЕК?
Из 1-й и 3-й строк следует, что емкость кувшина равна емкости
чашки и трех стаканов. Сравнивая это равенство со 2-й строкой, полу-
чим, что в стакане содержится две чашки. Учитывая теперь 3-ю строку,
определяем, что емкость бутылки составляет пять чашек.
167. Все подобные задачи решаются одинаково. Используются
обычные свойства косточек домино. Например, в наборе домино обя-
зательно встречается косточка с парой любых чисел от 0 до 6, причём
ни одна такая пара не повторяется дважды. Косточки домино не могут
расположиться на нечётном числе клеток и т. д.
92
::::::::::::::::::::::::::::::: :::::::::::::::::::::::::::::::
Решения
::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::


Поскольку варианты предложены в порядке возрастания трудно-
сти, рассмотрим подробные решения только для первого — в силу его
наглядности и для последнего — в силу его сложности.
Вариант 1 (рис. 167.1):
1. Места всех дублей в этой раскладке определяются однозначно.
Отметим их Отсюда однозначно определяется местоположение
косточек 5–0, 5–3, 0–2, 3–4, 0–6, 2–5. Отметим теперь, что ес-
ли где-нибудь перечисленные пары цифр и стоят рядом, то они
не могут образовывать косточки. Полученная позиция изобра-
жена на рис. 167.2.
5 0 1 0 3 1 2 5 5 0 1 0 3 1 2 5
4 4 5 2 4 6 2 3 4 4 5 2 4 6 2 3
2 5 6 0 1 3 0 2 2 5 6 0 1 3 0 2
5 1 2 0 4 0 4 3 5 1 2 0 4 0 4 3
5 4 5 1 6 3 2 3 5 4 5 1 6 3 2 3
0 1 0 2 1 5 6 6 0 1 0 2 1 5 6 6
6 1 3 6 4 6 3 4 6 1 3 6 4 6 3 4
Рис. 167.1 Рис. 167.2
2. Отсюда однозначно определяется местоположение косточек 2–4
и 0–3. Отметив, что эти косточки не могут находиться на других
местах, получим расположение косточек (позиция на рис. 167.3).
3. И снова обратим внимание на то, что, если где-нибудь пере-
численные пары цифр и стоят рядом, они не могут образовывать
косточки. Отсюда уже можно однозначно восстановить всю рас-
кладку (рис. 167.4).
5 0 1 0 3 1 2 5 5 0 1 0 3 1 2 5
4 4 5 2 4 6 2 3 4 4 5 2 4 6 2 3
2 5 6 0 1 3 0 2 2 5 6 0 1 3 0 2
5 1 2 0 4 0 4 3 5 1 2 0 4 0 4 3
5 4 5 1 6 3 2 3 5 4 5 1 6 3 2 3
0 1 0 2 1 5 6 6 0 1 0 2 1 5 6 6
6 1 3 6 4 6 3 4 6 1 3 6 4 6 3 4
Рис. 167.3 Рис. 167.4
Вариант 4 (рис. 167.5):
1. Единственная косточка, расположение которой можно опреде-
лить однозначно, это 4–2 (нигде больше 4 и 2 не стоят рядом).
93
::::::::::::::::::::::::::::::: :::::::::::::::::::::::::::::::
Решения
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::


2. Во второй строке не может находиться косточка 0–1 (иначе по-
лучим две одинаковые косточки 0–1 в первой и второй строках).
По тем же соображениям во второй строке не может находиться
косточка 5–6, а в шестой — косточки 4–6 и 0–2. Отметим это
(рис. 167.6).
0 1 2 5 1 4 5 6 0 1 2 5 1 4 5 6
0 1 2 5 1 4 5 6 0 1 2 5 1 4 5 6
5 2 6 3 3 0 4 1 5 2 6 3 3 0 4 1
5 2 6 3 3 0 4 1 5 2 6 3 3 0 4 1
3 3 4 4 2 2 3 3 3 3 4 4 2 2 3 3
4 6 0 0 6 6 0 2 4 6 0 0 6 6 0 2
4 6 1 1 5 5 0 2 4 6 1 1 5 5 0 2
Рис. 167.5 Рис. 167.6
3. В первой строке не может лежать косточка 1–2 (иначе цифра 1,
стоящая на пересечении второй строки и второго столбца, будет
образовывать ещё одну косточку 1–2). По аналогии, в первой
строке не может лежать косточка 4–5.
4. Аналогично тому, как это уже делалось в пункте 2, определим,
что косточки 2–5 и 1–4 не могут лежать во второй строке. От-
метим это (рис. 167.7).
0 1 2 5 1 4 5 6 0 1 2 5 1 4 5 6
0 1 2 5 1 4 5 6 0 1 2 5 1 4 5 6
5 2 6 3 3 0 4 1 5 2 6 3 3 0 4 1
5 2 6 3 3 0 4 1 5 2 6 3 3 0 4 1
3 3 4 4 2 2 3 3 3 3 4 4 2 2 3 3
4 6 0 0 6 6 0 2 4 6 0 0 6 6 0 2
4 6 1 1 5 5 0 2 4 6 1 1 5 5 0 2
Рис. 167.7 Рис. 167.8
5. Теперь очевидно, что косточка 1–1 не может стоять во втором
столбце (иначе негде расположить косточку 1–2). По аналогии,
5–5 не может находиться в седьмом столбце (иначе нет места для
косточки 4–5). Отсюда можно однозначно восстановить распо-
ложение косточек 0–1, 0–5, 5–6 и 6–1. Отметив, что в других
местах эти косточки располагаться не могут, получим однознач-
ную возможность расположить косточки 1–1 и 5–5. Отметим,
94
::::::::::::::::::::::::::::::: :::::::::::::::::::::::::::::::
Решения
::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::


что иное их расположение невозможно. Таким образом получаем
расположение косточек, изображённое на рис. 167.8.
6. 0 и 6 трижды встречаются рядом, и все три раза — в шестом
строке. Однако только та пара, которая лежит точно под ко-
сточкой 4–2, может образовывать косточку 0–6 (в противном
случае получим две косточки 0–6). Отсюда однозначно опреде-
ляется положение косточек 4–0 и 2–6. Отметим невозможность
расположения этих косточек в других местах (рис. 167.9).
0 1 2 5 1 4 5 6 0 1 2 5 1 4 5 6
0 1 2 5 1 4 5 6 0 1 2 5 1 4 5 6
5 2 6 3 3 0 4 1 5 2 6 3 3 0 4 1
5 2 6 3 3 0 4 1 5 2 6 3 3 0 4 1
3 3 4 4 2 2 3 3 3 3 4 4 2 2 3 3
4 6 0 0 6 6 0 2 4 6 0 0 6 6 0 2
4 6 1 1 5 5 0 2 4 6 1 1 5 5 0 2
Рис. 167.9 Рис. 167.10
7. Обратим внимание на то, что ни в третьей, ни в четвёртой стро-
ках не могут находиться косточки 6–3 и 3–0; отсюда определяем
расположение косточек 6–6 и 0–0. Далее, косточка 3–3 не мо-
жет находиться ни в третьей строке, ни в четвёртом или пятом
столбцах. Отсюда определяем расположение косточек 3–3, 5–3
и 1–3. Отметив, что эти косточки нигде в других местах рас-
полагаться не могут, получим однозначное расположение всех
косточек домино (рис. 167.10).
168. Рассмотрим рисунок. aaabbcc
1. Поскольку на рисунке не хватает дубля d d e e e e c c
ddaaccf f
b–b, значит, b = 0.
2. По виду последней строки ясно, что a — g g g g b b f f
чётное число: все буквы, кроме a, встре- e e f f g g d d
чаются по два раза, а сумма чисел в стро- f f a a e e b b
ddccgga
ке чётная (равна 24), т. е. a = 2, 4 или 6.
3. Из вида первой строки следует, что a = 2
(при a = 2 будет c = 9, что невозможно). Поэтому возможны все-
го два варианта: a = 6, c = 3 или a = 4, c = 6.
4. Рассмотрим третью строку. Если c = 6, a = 4, то d + f = 2, что
невозможно. Отсюда получаем единственные возможные значе-
ния a и c: a = 6, c = 3.
95
::::::::::::::::::::::::::::::: :::::::::::::::::::::::::::::::
Решения
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::


5. Из той же третьей строки находим, что d + f = 3, т. е. либо d = 1,
f = 2, либо d = 2, f = 1.
6. Рассмотрим вторую строку, подставив в неё c = 3. Получим
2d + 4e = 18. При d = 2 получаем e = 3,5, что невозможно. При
d = 1 получаем e = 4, f = 2. Значит, g = 5 (просто все другие
значения уже заняты).
6660033
7. Проверяем, действительно ли при найден-
11444433
ных значениях переменных сумма чисел
11663322
во всех строках равна 24. Убедившись,
55550022
что это так, можем записать: a = 6, b = 0,
44225511
c = 3, d = 1, e = 4, f = 2, g = 5. Оконча-
22664400
тельное расположение косточек домино
1133556
показано на рисунке справа.
169. Да. Все числа отрицательными быть не могут. Выберем любое
положительное число, а остальные 24 числа любым способом разобьём
на 6 наборов по 4 числа в каждом. Сумма выбранного числа и 6-ти
наборов будет, с одной стороны, положительна, с другой — равна сумме
всех чисел.
170. Нет, неверно. Вот пример: 24 числа равны ?1, а одно число
равно 5. Тогда условие задачи выполняется, а общая сумма равна ?19.
Обратите внимание! Хотя задача очень похожа на предыдущую,
ответ прямо противоположный.
171. Поскольку среди двух любых шаров один синий, то двух крас-
ных шаров в комнате быть не может. Значит, в комнате находятся
84 синих воздушных шара и 1 красный.
172. Да. Первая цифра этого числа — 1, последняя цифра — 8,
а между ними 2001 раз повторяется цифра 0. Сумма цифр равна 9,
значит, число делится на 9.
173. Да, делится, поскольку
1 + 1998 = 2 + 1997 = . .. = 999 + 1000 = 1999,
т. е. эта сумма равна 1999 ? 999.
174. Между 12-ю флажками 11 «расстояний». Между 4-мя флаж-
ками 3 «расстояния». На пробег одного «расстояния» требуется 4 с.
Значит, всего потребуется 44 с.
175. Всего между 300 и 700 заключено 399 чисел, причём чётных
на 1 меньше, чем нечётных. Значит, нечётных чисел 200.
176. Поскольку 3 удара часы отбивают в течение 12 с, интервал
между двумя последовательными ударами составляет 6 с. От первого
96
::::::::::::::::::::::::::::::: :::::::::::::::::::::::::::::::
Решения
::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::


удара до второго — 6 с и от второго до третьего — тоже 6 с. Шесть же
ударов раздаются с 5-ю интервалами. Следовательно, 6 ударов часы
пробьют за 5 ? 6 = 30 с.
178. Если половина от половины (т. е. четверть) данного числа рав-
на 0,5, то само число равно 0,5 ? 4 = 2.
179. В одном кубическом километре миллиард кубических метров
(1000 в длину, 1000 в ширину и 1000 в высоту). Если все их выложить
в ряд, то получится полоса длиной в миллиард метров, т. е. в миллион
километров.
180. Ошибаются и Иван, и Прохор. На каждого едока пришлось
по 4 лепёшки, следовательно, Иван съел все свои лепёшки сам, а Про-
хор половину своих лепёшек отдал охотнику. Это означает, что все
60 коп. должен получить Прохор.
181. Ключ показывает, какие именно стрелки отходят из того места,
где стоит буква, которую мы должны выбрать. В результате прочиты-
вается слово КОМПЬЮТЕР.
182. Поскольку общий объём жидкости в стакане не изменился,
значит, сколько из него вылили чая, ровно столько же добавили сливок.
Следовательно, чая в кувшине со сливками оказалось ровно столь-
ко же, сколько сливок в стакане чая.
183. Поскольку во дворце султана 4 наружных стены, по длине
каждой из которых располагаются 10 комнат, и 18 внутренних перего-
родок (9 продольных и 9 поперечных), каждая также длиной 10 комнат,
можно определить число окон (10 ? 4 = 40) и дверей (10 ? 18 = 180).
184.
1. В первом кружке стрелку надо, безусловно, поставить на бук-
ву Б — ибо на остальные буквы (Ъ и Ь) ни одно слово не на-
чинается.
2. Во втором кружке стрелку надо поставить на букву А, так как
из всех букв всех кружков это единственная гласная, а слов без
гласных в русском языке не бывает.
3. Таким образом, найдены первые две буквы слова — БА. Для
подбора двух последних букв существует 9 возможностей: каж-
дой из трех букв на 3-е место соответствуют три возможные
буквы на 4-е место. Перебрав все эти возможности, получим
единственное осмысленное слово — БАНК.
185. Каждый шахматист сыграл по 5 партий (по одной партии
с каждым участником турнира, естественно, кроме себя). Но сказать,
что эти шесть шахматистов сыграли между собой 30 партий (т. е.
97
::::::::::::::::::::::::::::::: :::::::::::::::::::::::::::::::
Решения
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::


каждый из шести шахматистов по 5), будет неверно, потому что тогда
каждую партию мы сосчитаем дважды: во-первых, как партию, сыг-
ранную первым партнёром, а во-вторых — вторым. Так что всего было
сыграно (6 ? 5) : 2 = 15 партий.
Интересно, что как бы ни сыграл каждый конкретный участник тур-
нира, общая сумма очков будет постоянной, поскольку она зависит
только от количества игр. В каждой игре в сумме набирается одно очко
(либо 1 + 0; либо 0,5 + 0,5; либо 0 + 1). Таким образом, всего в 15-ти
партиях будет набрано 15 очков.
186. Для удобства перечислим все условия: а) каждый игрок сыграл
с остальными по одной партии и все набрали разное количество очков;
.....
б) занявший 1-е место не сделал ни одной ......... 1 2 3 4 5
.........
....
ничьей; в) занявший 2-е место не проиг- ......... .........
.....
1 ......... 0 1
рал ни одной партии; г) занявший 4-е место .........
.... .....
.........
не выиграл ни одной партии.
1 .........
2 .........
Из условий б) и в) следует, что партия .... .....
.........
.........
между первым и вторым игроками закончи- 3 .........
.... .....
лась победой второго. А из условий б) и г) .........
.........
4 0 .........
следует, что партия между первым и четвёр- .... .....
.........
.........
тым закончилась победой первого. Можно 5 .........
....
заполнить часть турнирной таблицы.
Из этой таблицы видно, что первый игрок не может набрать больше
3 очков. А это значит, что второй игрок не может набрать больше чем
2,5 очка. Но он не может набрать и меньше чем 2,5 очка, поскольку
.....
за каждую из партий с третьим, четвёр- ......... 1 2 3 4 5
.........
....

<< Пред. стр.

страница 11
(всего 20)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

Copyright © Design by: Sunlight webdesign