LINEBURG


страница 1
(всего 20)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

Е. Г. Козлова




Сказки и подсказки

задачи для математического кружка

Издание второе

исправленное и дополненное




Москва
МЦНМО
2004
УДК 51(07)
ББК 22.1
К59




Козлова Е. Г.
К59 Сказки и подсказки (задачи для математического кружка).
Издание 2-е, испр. и доп. — М.: МЦНМО, 2004. — 165 с.
ISBN 5-94057-142-5
Настоящий сборник содержит 350 задач (с подсказками, решениями и отве-
тами), предлагавшихся на занятиях математических кружков и решенных детьми.
Книга будет интересна и полезна школьникам, их родителям, а также препо-
давателям математики и студентам математических факультетов педагогических
институтов.

ББК 22.1




Козлова Елена Георгиевна
СКАЗКИ И ПОДСКАЗКИ (задачи для математического кружка)
Редактор Котова А. Ю.
Дизайн обложки Соповой У. В.
Издательство Московского центра непрерывного математического образования. 119002,
Москва, Большой Власьевский пер., 11.
Лицензия ИД № 01335 от 24.03.2000 г. Подписано к печати 22.01.2004 г. Формат
60 ? 88/16. Печать офсетная. Объем 10.5 печ. л. Тираж 3000 экз. Заказ № .
Отпечатано с готовых диапозитивов в ФГУП «Полиграфические ресурсы».



© Козлова Е. Г., 2004.
© МЦНМО, 2004.
ISBN 5-94057-142-5
Дорогие ребята!
В этой книге вам предлагаются интересные математические задачи,
к которым даны подсказки, решения и ответы.
Не обязательно решать всё подряд. Если какая-нибудь задача по-
казалась вам слишком трудной или неинтересной — можете её пропу-
стить. Не огорчайтесь, если что-то не будет получаться, и не стреми-
тесь сразу заглянуть в решение или ответ. Лучше всего поступать так.
Сначала, конечно, подумайте. Может быть, вы всё же сможете само-
стоятельно решить задачу. Ну, а не сможете — посмотрите подсказку
и подумайте ещё. И уж если и после этого ничего не получится —
прочтите решение.
Надеемся, что, несмотря на все возможные трудности, эта книга
заинтересует вас и доставит вам удовольствие.
Пользуясь случаем, дадим пояснения к условиям некоторых задач.
1. Здесь довольно много задач про деньги. Когда рассматриваются
русские деньги, то имеется в виду денежная система 1961–1991 гг. То-
гда в ходу были монеты «медные» — 1, 2, 3, 5 коп., и «серебряные» —
10, 15, 20, 50 коп. Были и бумажные деньги — 1, 3, 5, 10, 25, 50,
100 руб.
2. Есть задачи и про шахматные турниры. Во всех этих турнирах
подсчёт очков ведётся так: за выигрыш — 1 очко, за проигрыш — 0,
за ничью — 1/2 очка.
Желаем удачи!
Задачи
1. Улитка ползёт вверх по столбу высотой 10 м. За день она подни-
мается на 5 м, а за ночь — опускается на 4 м. За какое время улитка
доберётся от подножья до вершины столба?
2. Кот в Сапогах поймал четырех щук и ещё половину улова. Сколь-
ко щук поймал Кот в Сапогах?
3. Кирпич весит 2 кг и ещё треть собственного веса. Сколько весит
кирпич?
4. Дедка вдвое сильнее Бабки, Бабка втрое сильнее Внучки, Внучка
вчетверо сильнее Жучки, Жучка впятеро сильнее Кошки, Кошка вше-
стеро сильнее Мышки. Дедка, Бабка, Внучка, Жучка и Кошка вместе
с Мышкой могут вытащить Репку, а без Мышки — не могут.
Сколько надо позвать Мышек, чтобы они смогли сами вытащить
Репку?
5. Три слога в слове. Первый слог —
Большой снеговика кусок.
Осуществляют слог второй
Слоны, придя на водопой.
А третий слог зовётся так,
Как прежде звался твёрдый знак.
Соедини все три как надо —
Получишь ЭВМ в награду!
6. В дремучем Муромском лесу из-под земли бьют десять источ-
ников мёртвой воды: от № 1 до № 10. Из первых девяти источников
мёртвую воду может взять каждый, но источник № 10 находится в пе-
щере Кощея, в которую никто, кроме самого Кощея, попасть не может.
На вкус и цвет мёртвая вода ничем не отличается от обыкновенной,
однако, если человек выпьет из какого-нибудь источника, он умрёт.
Спасти его может только одно: если он запьёт ядом из источника, номер
которого больше. Например, если он выпьет из седьмого источника,
то ему надо обязательно запить ядом № 8, № 9 или № 10. Если он
выпьет не седьмой яд, а девятый, ему может помочь только яд № 10.
А если он сразу выпьет десятый яд, то ему уже ничто не поможет.
4
::::::::::::::::::::::::::::::: :::::::::::::::::::::::::::::::
Задачи
::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::


Иванушка-дурачок вызвал Кощея на дуэль. Условия дуэли были
такие: каждый приносит с собой кружку с жидкостью и даёт её вы-
пить своему противнику. Кощей обрадовался: «Ура! Я дам яд № 10,
и Иванушка-дурачок не сможет спастись! А сам выпью яд, который
Иванушка-дурачок мне принесёт, запью его своим десятым и спасусь!»
В назначенный день оба противника встретились в условленном ме-
сте. Они честно обменялись кружками и выпили то, что в них было.
Каковы же были радость и удивление обитателей Муромского леса,
когда оказалось, что Кощей умер, а Иванушка-дурачок остался жив!
Только Василиса Премудрая догадалась, как удалось Иванушке по-
бедить Кощея. Попробуйте догадаться и вы.
7. Можно ли в тетрадном листке вырезать такую дырку, через ко-
торую пролез бы человек?
8. Три купчихи — Сосипатра Титовна, Олимпиада Карповна и По-
ликсена Уваровна — сели пить чай. Олимпиада Карповна и Сосипатра
Титовна выпили вдвоём 11 чашек, Поликсена Уваровна и Олимпиада
Карповна — 15, а Сосипатра Титовна и Поликсена Уваровна — 14.
Сколько чашек чая выпили все три купчихи вместе?
9. В книжном шкафу стоят по порядку четыре тома собрания со-
чинений Астрид Линдгрен, по 200 страниц в каждом томе. Червячок,
живущий в этом собрании, прогрыз путь от первой страницы первого
тома до последней страницы четвёртого тома. Сколько страниц прогрыз
червячок?
10. В озере растут лотосы. За сутки каждый лотос делится попо-
лам, и вместо одного лотоса появляются два. Ещё через сутки каждый
из получившихся лотосов делится пополам и так далее. Через 30 суток
озеро полностью покрылось лотосами. Через какое время озеро было
заполнено наполовину?
11. Имеются двое песочных часов — на 7 минут и на 11 минут. Яйцо
варится 15 минут. Как отмерить это время при помощи имеющихся
часов?
12. Зайцы пилят бревно. Они сделали 10 распилов. Сколько полу-
чилось чурбачков?
13. Зайцы распилили несколько брёвен. Они сделали 10 распилов
и получили 16 чурбачков. Сколько брёвен они распилили?
14. Бублик режут на сектора. Сделали 10 разрезов. Сколько полу-
чилось кусков?
15. Чем объяснить, что в задачах 12 и 14 ответы разные?
5
::::::::::::::::::::::::::::::: :::::::::::::::::::::::::::::::
Задачи
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::


16. На большом круглом торте сделали 10 разрезов так, что каждый
разрез идёт от края до края и проходит через центр торта. Сколько
получилось кусков?
17. У двух человек было два квадратных торта. Каждый сделал
на своём торте по 2 прямолинейных разреза от края до края. При этом
у одного получилось три куска, а у другого — четыре. Как это могло
быть?
18. Зайцы снова пилят бревно, но теперь уже оба конца бревна
закреплены. Десять средних чурбачков упали, а два крайних так и оста-
лись закреплёнными. Сколько распилов сделали зайцы?
19. Как разделить блинчик тремя прямолинейными разрезами на 4,
5, 6, 7 частей?
20. На прямоугольном торте лежит круглая шоколадка. Как разре-
зать торт на две равные части так, чтобы и шоколадка тоже разделилась
ровно пополам?
21. Можно ли испечь такой торт, который может быть разделён
одним прямолинейным разрезом на 4 части?
22. На какое максимальное число кусков можно разделить круглый
блинчик при помощи трех прямолинейных разрезов?
23. Во сколько раз лестница на четвёртый этаж дома длиннее, чем
лестница на второй этаж этого же дома?
24. Отличник Поликарп и двоечник Колька составляли максималь-
ное 5-значное число, которое состоит из различных нечётных цифр.
Поликарп своё число составил правильно, а Колька ошибся — он
не заметил в условии слово «различных», и очень радовался, что его
число оказалось больше, чем число Поликарпа. Какие числа составили
Поликарп и Колька?
25. Отличник Поликарп и двоечник Колька составляли минималь-
ное 5-значное число, которое состоит из различных чётных цифр. По-
ликарп своё число составил правильно, а Колька ошибся. Однако ока-
залось, что разность между Колькиным числом и правильным ответом
меньше 100. Какие числа составили Поликарп и Колька?
26. Отличник Поликарп заполнил клетки таблицы цифрами так, что
сумма цифр, стоящих в любых трех соседних клетках, равнялась 15,
а двоечник Колька стёр почти все цифры. Сможете ли вы восстановить
таблицу?
6 4

6
::::::::::::::::::::::::::::::: :::::::::::::::::::::::::::::::
Задачи
::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::


27. Отличник Поликарп составил огромное число, выписав подряд
натуральные числа от 1 до 500: 123 . .. 10111213 ... 499500. Двоечник
Колька стёр у этого числа первые 500 цифр. Как вы думаете, с какой
цифры начинается оставшееся число?
АБ + 8 = ЗВ
28. Расшифруйте ребус, изображённый на схеме.
29. Чук и Гек вместе с мамой наряжали елку. ? ? ?
Чтобы они не подрались, мама выделила каждому ГД + В = ГВ
из братьев по одинаковому числу веточек и по оди- ГБ + 3 = АД
наковому числу игрушек. Чук попробовал на каждую
ветку повесить по одной игрушке, но ему не хвати-
ло для этого одной ветки. Гек попробовал на каждую ветку повесить
по две игрушки, но одна ветка у него оказалась пустой. Как вы думае-
те, сколько веток и сколько игрушек выделила мама сыновьям?
30. У Джузеппе есть лист фанеры, размером 22 ? 15. Джузеппе
хочет из него вырезать как можно больше прямоугольных заготовок
размером 3 ? 5. Как это сделать?
31. Это старинная задача, она была известна ещё в XVIII в.
Крестьянину надо перевезти через речку волка, козу и капусту. Лод-
ка вмещает одного человека, а с ним либо волка, либо козу, либо
капусту. Если без присмотра оставить козу и волка, волк съест ко-
зу. Если без присмотра оставить капусту и козу, коза съест капусту.
Как крестьянину перевезти свой груз через речку?
32. Найдите два следующих числа:
а) 2, 3, 4, 5, 6, 7 .. . г) 6, 9, 12, 15, 18 ...
б) 10, 9, 8, 7, 6, 5 . .. д) 8, 8, 6, 6, 4, 4 ...
в) 5, 10, 15, 20, 25 . ..

33. Найдите два следующих числа:
а) 3, 7, 11, 15, 19, 23 .. . г) 25, 25, 21, 21, 17, 17 ...
б) 9, 1, 7, 1, 5, 1 .. . д) 1, 2, 4, 8, 16, 32 .. .
в) 4, 5, 8, 9, 12, 13 . ..

34. АРФА, БАНТ, ВОЛКОДАВ, ГГГГ, СОУС. Из этих пяти «слов»
четыре составляют закономерность, а одно — лишнее. Попробуйте най-
ти это лишнее слово. Интересно, что задача имеет пять решений, т. е.
про каждое слово можно объяснить, почему именно оно лишнее, и ка-
кой закономерности подчиняются остальные четыре слова.
7
::::::::::::::::::::::::::::::: :::::::::::::::::::::::::::::::
Задачи
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::


35. В Волшебной Стране свои волшебные законы природы, один
из которых гласит: «Ковёр-самолёт будет летать только тогда, когда он
имеет прямоугольную форму».
У Ивана-царевича был ковёр-самолёт размером 9 ? 12. Как-то раз
Змей Горыныч подкрался и отрезал от этого ковра маленький ков-
рик размером 1 ? 8. Иван-царевич очень расстроился и хотел было
отрезать ещё кусочек 1 ? 4, чтобы получился прямоугольник 8 ? 12,
но Василиса Премудрая предложила поступить по-другому. Она раз-
резала ковёр на три части, из которых волшебными нитками сшила
квадратный ковёр-самолёт размером 10 ? 10.
Сможете ли вы догадаться, как Василиса Премудрая переделала
испорченный ковёр?
Р>О>К
36. Замените каждую букву на схеме циф-
? ? ?
рой от 1 до 9 так, чтобы выполнялись все
Е>М<П
неравенства, а затем расставьте буквы в по-
? ? ?
рядке возрастания их числовых значений.
Т>Ю>Ь
Какое слово у вас получилось?
37. Старый сапожник Карл сшил сапоги и послал своего сына Ганса
на базар — продать их за 25 талеров. На базаре к мальчику подошли
два инвалида (один без левой ноги, другой — без правой) и попро-
сили продать им по сапогу. Ганс согласился и продал каждый сапог
за 12,5 талера.
Когда мальчик пришёл домой и рассказал всё отцу, Карл решил, что
инвалидам надо было продать сапоги дешевле — каждому за 10 та-
леров. Он дал Гансу 5 талеров и велел вернуть каждому инвалиду
по 2,5 талера.
Пока мальчик искал на базаре инвалидов, он увидел, что продают
сладости, не смог удержаться и истратил 3 талера на конфеты. После
этого он нашёл инвалидов и отдал им оставшиеся деньги — каждому
по одному талеру.
Возвращаясь домой, Ганс понял, как нехорошо он поступил. Он рас-
сказал всё отцу и попросил прощения. Сапожник сильно рассердился
и наказал сына, посадив его в тёмный чулан. Сидя в чулане, Ганс заду-
мался. Получалось, что раз он вернул по одному талеру, то инвалиды
заплатили за каждый сапог по 11,5 талера: 12,5 ? 1 = 11,5.
Значит, сапоги стоили 23 талера: 11,5 + 11,5 = 23. И 3 талера Ганс
истратил на конфеты, следовательно, всего получается 26 талеров:
23 + 3 = 26.
Но ведь было-то 25 талеров! Откуда же взялся лишний талер?
8
::::::::::::::::::::::::::::::: :::::::::::::::::::::::::::::::
Задачи
::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::


38. Белоснежка вырезала из батиста большой квадрат и положила
его в сундук. Пришёл Первый Гном, достал квадрат, разрезал его на че-
тыре квадрата и положил все четыре снова в сундук. Потом пришёл
Второй Гном, достал один из квадратов, разрезал его на четыре квад-
рата и положил все четыре снова в сундук. Потом пришёл Третий Гном.
И он достал один из квадратов, разрезал его на четыре квадрата и по-
ложил все четыре снова в сундук. То же самое проделали все остальные
гномы.
Сколько квадратов лежало в сундуке после того, как ушёл Седьмой
Гном?
39. Какой должна быть следующая фигурка в ряду, изображённом
на рисунке?


...
40. — У меня зазвонил телефон.
— Кто говорит?
— Слон.
...А потом позвонил Крокодил...
...А потом позвонили Зайчатки...
...А потом позвонили Мартышки...
...А потом позвонил Медведь...
...А потом позвонили Цапли...
Итак, у Слона, Крокодила, Зайчаток, Мартышек, Медведя, Цапель
и у меня установлены телефоны. Каждые два телефонных аппарата
соединены проводом. Как сосчитать, сколько для этого понадобилось
проводов?
41. Когда Гулливер попал в Лилипутию, он обнаружил, что там все
вещи ровно в 12 раз короче, чем на его родине. Сможете ли вы сказать,
сколько лилипутских спичечных коробков поместится в спичечный ко-
робок Гулливера?
42. В токарном цехе вытачиваются детали из стальных заготовок,
из одной заготовки — деталь. Стружки, оставшиеся после обработки
трех заготовок, можно переплавить и получить ровно одну заготовку.
Сколько всего деталей можно сделать из 9-ти заготовок? А из 14-ти?
Сколько нужно взять заготовок, чтобы получить 40 деталей?
43. Дано трехзначное число ABB, произведение цифр которого —
двузначное число AC, произведение цифр этого числа равно C (здесь,
9
::::::::::::::::::::::::::::::: :::::::::::::::::::::::::::::::
Задачи
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::


как в математических ребусах, цифры в записи числа заменены буква-
ми; одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, разным —
разные). Определите исходное число.
44. Очень хитрый киоскёр получил для продажи несколько пачек
конвертов по 100 конвертов в каждой. 10 конвертов он отсчитывает
за 10 с. За сколько секунд он может отсчитать 60 конвертов? А 90?
45. Можно ли в квадрат со стороной 1 поместить несколько непе-
ресекающихся квадратов, сумма сторон которых равна 1992?
46. На каждом километре шоссе между сёлами Ёлкино и Палкино
стоит столб с табличкой, на одной стороне которой написано, сколько
километров до Ёлкина, а на другой — до Палкина. Вдумчивый На-
блюдатель заметил, что на каждом столбе сумма равна 13. Каково
расстояние от Ёлкина до Палкина?
47. Когда отцу было 27 лет, сыну было только три года, а сейчас
сыну в три раза меньше лет, чем отцу. Сколько лет сейчас каждому
из них?
48. Сможете ли вы найти два числа, идущих подряд, у первого
из которых сумма цифр равна 8, а второе — делится на 8?
49. Попробуйте найти все натуральные числа, которые больше сво-
ей последней цифры в 5 раз.
50. Имеются 12-литровый бочонок, наполненный квасом, и два пу-
стых бочонка — в 5 и 8 л. Попробуйте, пользуясь этими бочонками:
а) разделить квас на две части — 3 и 9 л; б) разделить квас на две
равные части.
51. Эта задача насчитывает много сотен лет, но до сих пор
поражает воображение своей красотой и неожиданностью.
Три брата получили в наследство от отца 17 верблюдов. Старше-
му отец завещал половину стада, среднему — треть, а младшему —
девятую часть.
Братья пытались поделить наследство и выяснили, что старшему
брату придётся взять 8 верблюдов и кусок верблюда, среднему — 5 вер-
блюдов и кусок верблюда, а младшему — верблюда и кусок верблюда.
Естественно, разрезать верблюдов не хотелось никому, и братья
решили попросить помощи у Мудреца, проезжавшего мимо них на вер-
блюде.
Мудрец спешился и присоединил своего верблюда к стаду братьев.
От нового стада из 18-ти верблюдов Мудрец отделил половину —
10
::::::::::::::::::::::::::::::: :::::::::::::::::::::::::::::::
Задачи
::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::


9 верблюдов для старшего брата, затем треть — 6 верблюдов для сред-
него брата, и, наконец, девятую часть — 2-х верблюдов для младшего
брата.
После успешной делёжки Мудрец сел на своего верблюда и про-
должил путь. А братья стали думать, почему же каждый из них получил
больше верблюдов, чем полагалось.
Сможете ли вы объяснить, что же произошло?
52. Яблоко тяжелее банана, а банан тяжелее киви. Что тяжелее —
киви или яблоко?
53. Мандарин легче груши, а апельсин тяжелее мандарина. Что тя-
желее — груша или апельсин?

страница 1
(всего 20)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

Copyright © Design by: Sunlight webdesign