LINEBURG


<< Пред. стр.

страница 2
(всего 2)

ОГЛАВЛЕНИЕ

имеет два корня: АВ = ± 100 . АВ = ? 10 не удовлетворяет условию задачи,
так как длина стороны треугольника всегда положительна. Значит АВ = 10. Да-
вайте договоримся, что в дальнейшем, при решении уравнений в подобных за-
дачах, будем ограничиваться только положительными корнями и каждый раз не
будем пояснять, почему отрицательные корни отбрасываются.
Задача № 2
Рис. 16
Р е ш е н и е.
C
DC = ?
? DCE ? прямоугольный с гипотенузой
3 DE (рис. 16), по теореме Пифагора:
DE2 = DС2 + CE2,
DC2 = DE2 ? CE2,
DC2 = 52 ? 32,
5
D E
DC2 = 25 ? 9,
DC2 = 16,
DC = 4.
«Теорема Пифагора»
32

Получили прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4 и 5 ед. Это
единственный прямоугольный треугольник, стороны которого равны трём по-
следовательным натуральным числам. Его часто называют египетским тре-
угольником, так как он был известен ещё древним египтянам. Они использова-
ли этот треугольник в «правиле верёвки» для построения прямых углов при за-
кладке зданий, храмов, алтарей… Об этом вы прочитаете дома в п. 64 и в мате-
риалах «раскладушки».
Задача № 3
Рис. 17
Р е ш е н и е.
KM = ?
? KLM вписан в окружность и опирается на
M диаметр KM (рис. 17). Так как вписанные углы, опи-
12
L
рающиеся на диаметр, прямые, то ? KLM ? прямой.
Значит, ? KLM – прямоугольный.

5 O По теореме Пифагора для прямоугольного
треугольника KLM с гипотенузой КМ:
KM2 = KL2 + KM2,
K
KM2 = 52 + 122,
KM = 25 + 144 ,
KM = 169 ,
KM = 13.
А теперь письменно решим следующую задачу.
Задача. Высота, опущенная из вершины В ? АВС, делит сторону АС на
отрезки, равные 16 см и 9 см. Найдите сторону ВС, если сторона АВ равна
20 см (рис. 18).
Рис. 18
B
Д а н о: ? АВС, BD ? АС,
АВ = 20 см,
20 ?
AD = 16 см,
DC = 9 см.
Н а й т и: ВС.
D 9C
16
A
Р е ш е н и е.
1) По условию задачи BD ? АС, значит, ? ABD и ? CBD – прямоуголь-
ные.
2) По теореме Пифагора для ? ABD: АВ2 = AD2 + BD2, отсюда
BD2 = AB2 – AD2,
BD2 = 202 – 162,
BD2 = 400 – 256,
BD2 = 144,
«Теорема Пифагора» 33

BD = 144 ,
BD = 12 см.
3) По теореме Пифагора для ? СBD: ВС2 = ВD2 + DС2, отсюда
BC2 = 122 + 92,
BC2 = 144 + 81,
BC2 = 225,
BC = 225 ,
BC = 15 см.
О т в е т: ВС = 15 см.
З а м е ч а н и е. На втором этапе решения достаточно было найти BD2 и
подставить его значение в равенство ВС2 = ВD2 + DС2.
Итак, сегодня на уроке мы познакомились с одной из главных теорем
геометрии ? теоремой Пифагора и её доказательством, с некоторыми сведения-
ми из жизни учёного, имя которого она носит, решили несколько простейших
задач.
Значение теоремы Пифагора состоит в том, что из нее или с ее помощью
можно вывести большинство теорем геометрии и решить множество задач. К
следующему уроку вы должны выучить теорему Пифагора с доказательством,
так как мы будем учиться применять её к решению более сложных задач.
Популярность теоремы столь велика, что её доказательства встречаются
даже в художественной литературе, например в рассказе известного английско-
го писателя Хаксли «Юный Архимед». Такое же доказательство, но для частно-
го случая равнобедренного прямоугольного треугольника приводится в диалоге
Платона «Менон». Этой теореме даже посвящены стихи.
О теореме Пифагора
Суть истины вся в том, что нам она – навечно,
Когда хоть раз в прозрении её увидим свет,
И теорема Пифагора через столько лет
Для нас. Как для него, бесспорна, безупречна…
(Отрывок из стихотворения А. Шамиссо)
Для тех, кто желает больше узнать о Пифагоре, прочитать о нём легенды,
выяснить, почему союз пифагорейцев был тайным, почему авторство работ
приписывалось учителю и о многом другом, советую прочитать книгу А.В. Во-
лошинова «Пифагор», которая имеется в нашей школьной библиотеке.
А познакомившись с материалами «раскладушки», вы можете узнать о
нравственных заповедях пифагорейцев, прочитать несколько легенд, связанных
с именем Пифагора, попробовать решить несколько исторических задач и раз-
гадать пифагорову головоломку.
Запишите домашнее задание: выучить материалы п. 63, 64, ответить
на контрольный вопрос № 3 на стр. 113, решить задачи № 4, 7 на стр. 114.
«Теорема Пифагора»
34

Приложение № 1
«ЛЕГЕНДЫ, СВЯЗАННЫЕ С ИМЕНЕМ ПИФАГОРА»
По одной из легенд отцом Пифагора был сириец Мнесарх. Однажды по
торговым делам он прибыл из своего родного Тира на остров Самос. Год был
неурожайным, население голодало, и Мнесарх устроил бесплатную раздачу
хлеба народу. В благодарность его удостоили самосского гражданства.
По словам историка Апулея «Мнесарх славился среди мастеров своим
искусством вырезать геммы, но стяжал скорее славу, чем богатство». Сохра-
нилось предание, согласно которому Мнесарх вместе со своим учеником выре-
зал перстень дивной красоты. Этот перстень перешёл к правителю острова Са-
мос Поликрату и ценился им превыше всего на свете.
Однажды египетский фараон Амасис, состоящий с самосским тираном в
дружеских отношениях, встревожился его великим преуспеванием и написал
Поликрату письмо, в котором говорил так: «приятно узнать, что друг мой счаст-
лив. Но всё те твои успехи не радуют меня, так я знаю, сколь ревниво божество
к человеческому счастью. Поэтому я желал бы, чтобы и у меня самого, и моих
друзей одно удавалось, а другое ? нет, чтобы лучше на своём веку мне не-
пременно сопутствовали успехи и неудачи, чем быть счастливому всегда.
Ведь мне не приходилось слышать ещё ни об одном человеке, кому бы всё уда-
валось, а в конце концов он не кончил плохо. Поэтому послушайся моего сове-
та теперь и ради своего счастья поступи так: обдумай, что тебе дороже всего на
свете и потеря чего может больше всего огорчить тебя. Эту вещь ты закинь
так, чтобы она не попадалась никому в руки. И если и тогда успехи у тебя не
будут сменяться неудачами, то и впредь применяй то же средство по моему со-
вету». Поликрат нашёл совет Амасиса мудрым. «Посадив людей на корабль,
он сам поднялся на борт и приказал затем выйти в море. Когда корабль отошёл
далеко от острова, Поликрат снял перстень и на глазах у всех своих спутников
бросил в море. После этого, опечаленный потерей, он вернулся во дворец.
А спустя пять или шесть дней какой-то рыбак поймал большую красивую
рыбу и решил, что это достойный подарок Поликрату. Он принёс рыбу во дво-
рец, а слуги, выпотрошив её, нашли в брюхе тот Поликратов перстень. По-
ликрат понял тогда, что это божественное знамение, и написал Амасису обо
всём.
Амасис же, прочтя послание Поликрата, убедился, что ни один человек не
может уберечь другого от предречённой ему участи и что Поликрат не кончит
добром, так как он преуспевает во всём и даже находит то, что забросил».
Пророчество Амасиса сбылось. Опасаясь владычества Поликрата на
море, персы хитростью выманили Поликрата из Самоса, и зверски убили его.
Легенда о Поликратовом перстне, в котором нашла отражение вечная тема
непостоянства земного счастья, стала популярным литературным сюжетом.
Вспомним «Поликратов перстень»Шиллера:
«Теорема Пифагора» 35

На кровле он стоял высоко
И на Самос богатый око
С весельем гордым преклонял.
«Сколь щедро взыскан я богами!
Сколь счастлив я между царями!»
Царю Египта он сказал.
Имя матери Пифагора не сохранилось. Некоторые называли её Пифаидой,
дочерью рода Анкея – основателя Самоса. Другие утверждали, будто бы сам
Мнесарх назвал жену Пифаидой, а сына – Пифагором в честь дельфийской
прорицательницы Пифии. Сделал же так Мнесарх после того, как получил от
Дельфийского оракула весть о том, что жена подарит ему необыкновенного
сына. Наконец, многие, имея на то основания, считали, что Пифагор – это не
имя, а прозвище. Поскольку мудрый учитель высказывал истину столь же
постоянно и авторитетно, как и дельфийская Пифия, он был прозван Пифаго-
ром.
Слово Пифагор можно перевести как вещающий (прорицающий) как
Пифия. Версия о том, что Пифагор это имя не собственное, а прозвище,
представляется наиболее правдоподобной. Ведь и знаменитый философ
Аристокл известен нам не по своему настоящему имени, а по прозвищу, ко-
торое он получил за свою мускулатуру гимнаста, – широкий, широкоплечий,
по-гречески Платон.
Приложение № 2
«ПИФАГОРОВЫ ЗАКОНЫ И НРАВСТВЕННЫЕ ПРАВИЛА»
Кротон... Здесь начинается самый славный период биографии Пифагора.
Сорок лет, возраст акме-вершина творческих сил человека ? стал и временем рас-
цвета философии Пифагора.
В Кротоне Пифагор учредил нечто вроде религиозно-этического братства
или тайного монашеского ордена, члены которого обязывались вести так назы-
ваемый пифагорейский образ жизни ? это был одновременно и религиозный со-
юз, и политический клуб, и научное общество. Он быстро завоевал широкую из-
вестность и стал ведущим центром духовной и общественной жизни.
Не только сила личности и мудрость Пифагора, но и высокая нравствен-
ность проповедуемых им идей и жизненных принципов притягивала к нему еди-
номышленников, которые и сегодня достойны подражания.
Система морально-этических правил, завещанная ученикам Пифагора,
была собрана в своеобразный моральный кодекс пифагорейцев ? «Золотые сти-
хи». Они переписывались и дополнялись па протяжении всей тысячелетней ис-
тории античности, а затем и в эпоху средневековья и Возрождения. В 18?19 в.в.
«Золотые стихи» были особенно популярны в России. В 1808 году в Санкт-
Петербурге вышла карманного формата книжечка «Пифагоровы законы и нрав-
ственные правила», начинавшаяся словами:
«Теорема Пифагора»
36

Зороастр был законодателем персов.
Ликург был законодателем спартанцев.
Солон был законодателем афинян.
Нума был законодателем римлян.
Пифагор есть законодатель всего человеческого рода.
Вот некоторые из 325 Пифагоровых заповедей:
Мысль – превыше всего между людьми.
Сыщи себе верного друга; имея его, ты можешь обойтись без богов.
Юноша! Если ты желаешь себе жизни долгоденственной, то воздержи себя
от пресыщения и всякого излишества.
Юные девицы! Помятуйте, что лицо лишь тогда бывает прекрасным, когда
оно изображает изящную душу.
Не гоняйся за счастьем: оно всегда находится в тебе самом.
Не пекись о скитании великого знания: из всех знаний нравственная наука,
может быть, есть самая нужнейшая, но ей не обучаются.
Делай лишь то, что впоследствии не омрачит тебя и не заставит раскаи-
ваться.
Не делай никогда того, чего не знаешь, но научись всему, что нужно знать.
Не пренебрегай здоровьем своего тела.
Научись жить просто и без роскоши.
Через весы не шагай – избегай алчности.
Не садись на хлебную меру – не живи праздно.
Либо молчи, либо говори то, что ценнее молчания.
Ласточек в доме не держи – не принимай гостей болтливых и не сдержанных
на язык.
Не закрывай глаза, когда хочешь спать, не разобравши всех своих поступков
за день.
По торной дороге не ходи – следуй не мнениям толпы, а мнениям немногих
понимающих.
Сегодня абсолютно невозможно сказать, какие из сотен подобных запо-
ведей восходят к самому Пифагору. Но совершенно очевидно, что все они выра-
жают вечные общечеловеческие ценности, которые остаются актуальными всегда,
покуда жив человек.
Пифагорейцы с равным усердием заботились и о духовном развитии, и о
физическом. У них был особый распорядок дня, в котором находилось время для
гимнастических упражнений. Не случайно среди дошедших до нас имён олим-
пийских победителей так много кротонцев: шестикратный победитель Олимпий-
ских игр среди борцов ученик Пифагора Милон; легендарный прыгун Фаилл. А
однажды в беге на одну дистанцию все семь победителей оказались кротонцами.
«Теорема Пифагора» 37

В те времена в ходу были поговорки: «Последний из кротонцев ? первый из ос-
тальных греков» или «Здоровье кротонца», что означало высшую степень физиче-
ского развития.
Но вместе с этими благородными истинами было в учении Пифагора и мно-
го мистического, туманного и просто смешного не только для наших современ-
ников, но и для современников Пифагора. Среди такого было учение о бессмер-
тии души, о переселении души человека в животных после смерти, «что всё рож-
дённое вновь рождается через промежутки времени, что ничего нового на свете
нет, и что всё живое должно считаться родственным друг другу». Из учения о
переселении душ следовали и предписания, запрещающие убивать животных и
питаться их мясом, так как в животном могла обитать душа умершего человека. Но
это табу Пифагора грекам приходилось не по душе, и они не упускали случая
вспомнить Пифагору его собственные прегрешения.
Многие историки видят в пифагорейском учении о переселении душ след
пребывания Пифагора в Египте, так как они первыми создали учение о посмерт-
ном круге души. Египетские влияния просматриваются и других сторонах жизни
пифагорейского братства. Как и египетские жрецы, пифагорейцы запрещали упот-
реблять в пищу бобы и даже прикасаться к ним, потому что по легенде бобы про-
изошли из капель крови растерзанного Диониса?Загрея.
Забота о чистоте духа не заслоняла для пифагорейцев заботу о чистоте тела.
Сам Пифагор всегда облачался в ослепительно белые одежды, подобно египет-
ским жрецам, и любил носить восточный тюрбан. Возможно, жреческой замкну-
тостью объясняется и тайных характер всего пифагорейского учения.
Поскольку учение Пифагора было тайным, то оно, видимо не записывалось.
Вот почему не сохранилось ни одной строчки трудов самого Пифагора, скорее
всего он их просто не писал. В силу этого, а также в силу существовавшей в ан-
тичности традиции приписывались результаты открытий учеников своему учите-
лю, поэтому сегодня невозможно определить, что сделал в науке сам Пифагор, а
что ? его ученики. Древние верили, что идеи, подобно вину, только улучшаются с
возрастом. Поэтому ученики щедро приписывали свои открытия учителям, кото-
рые чаще всего об этих открытиях и не подозревали. Споры по этому вопросу, на-
чатые Аристотелем, ведутся третье тысячелетие, однако общего мнения не суще-
ствует. Вот почему вместо слов «учение Пифагора» принято говорить «пифаго-
рейское учение».
Ритуал посвящения в члены пифагорейского братства был окружён множе-
ством таинств, разглашение которых сурово каралось. Попав в орден после стро-
гого отбора и испытательного периода, новички могли только из-за занавеса слу-
шать голос учителя, а видеть его разрешалось только после нескольких лет
очищения и аскетической жизни. Пифагорейский аскетизм для новичка сводим-
ся прежде всего к обету молчания. Обет молчания нашел своё отражение в сим-
воле ? «Бык за зубами», что на современный лад означает «Держи язык за зуба-
ми».
«Теорема Пифагора»
38

Приложение № 3 «ИСТОРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ»
Задача индийского математика XII века Бхаскары

«На берегу реки рос тополь одинокий.
Вдруг ветра порыв его ствол надломал.
Бедный тополь упал. И угол прямой
С теченьем реки его ствол составлял.
Запомни теперь, что в этом месте река
В четыре лишь фута была широка
Верхушка склонилась у края реки.
Осталось три фута всего от ствола,
Прошу тебя, скоро теперь мне скажи:
У тополя как велика высота?»

Задача из китайской «Математики в девяти книгах»

«Имеется водоем со стороной в
1 чжан = 10 чи. В центре его растет
камыш, который выступает над водой
на 1 чи. Если потянуть камыш к бере-
гу, то он как раз коснётся его. Спраши-
вается: какова глубина воды и какова
длина камыша?».


Задача из учебника «Арифметика» Леонтия Магницкого
A
«Случися некому человеку к стене лестницу
прибрати, стены же тоя высота есть
117 стоп. И обреете лестницу долготью
125 стоп. И ведати хочет, колико стоп сея
лестницы нижний конец от стены отстояти
имать.»


C B
«Теорема Пифагора» 39

Приложение № 4 «ПИФАГОРОВА ГОЛОВОЛОМКА»
Из семи частей квадрата составить снова квадрат, прямоугольник, равно-
бедренный треугольник, трапецию. Квадрат разрезается так: E, F, K, L ? сере-
дины сторон квадрата, О – центр квадрата, ОМ ? EF, NF ? EF.




ЛИТЕРАТУРА
1. Акимова С. Занимательная математика, серия «Нескучный учебник». –
Санкт-Петербург.: «Тригон», 1997.
2. Волошников А.В. Пифагор: союз истины, добра и красоты. – М.: Про-
свещение, 1993.
3. Газета «Математика» № 17, 1996.
4. Геометрия, 7?9: Учеб. для общеобразоват. учреждений / Л.С. Атанасян,
В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – 12-е изд. ? М. : Просвещение, 2002.
5. Глейзер Г.И. История математики в школе. – М.: Просвещение, 1981.
6. Еленьский Ш. По следам Пифагора. М., 1961.
7. Журнал «Квант» № 2, 1992.
8. Журнал «Математика в школе» № 4, 1991.
9. Литцман В. Теорема Пифагора. М., 1960.
10. Малыгин К.А. Элементы историзма в преподавании математики в сред-
ней школе. М., 1963.
11. Погорелов А.В. Геометрия: Учеб. для 7?11 кл. общеобразоват. учрежде-
ний. ? 5-е изд.– М.: Просвещение, 1995.
12. Скопец З.А. Геометрические миниатюры. М., 1990.
13. Чистяков В.Д. Старинные задачи по элементарной математике. Минск, 1978.
14. Энциклопедический словарь юного математика / Сост. А.П. Савин. – 3-е
изд., испр. и доп. ? М.: Педагогика–Пресс, 1997.
15. Энциклопедия для детей. Т.11. Математика / Глав. ред. М.Д. Аксёнова. ?
М.: Аванта+, 1998.
16. Я познаю мир: Детская энциклопедия: Математика. – М., 1997.

<< Пред. стр.

страница 2
(всего 2)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Copyright © Design by: Sunlight webdesign