LINEBURG


страница 1
(всего 2)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

«Теорема Пифагора»
22


Тема урока: «ТЕОРЕМА ПИФАГОРА»
(8 класс)
Содержание
Теорема Пифагора. Применение теоремы Пифагора к решению задач.

Цель изучения
1. Существенно расширить круг геометрических задач, решаемых школьни-
ками.
2. Познакомить учащихся с основными этапами жизни и деятельности Пи-
фагора.
3. Осуществление межпредметной связи геометрии с алгеброй, географией,
историей, биологией, литературой.

Прогнозируемый результат
1. Знать зависимость между сторонами прямоугольного треугольника.
2. Уметь доказывать теорему Пифагора.
3. Уметь применять теорему Пифагора для решения задач.

План урока
Организационный момент.
1.
Актуализация знаний.
2.
Сообщение учащегося о жизни Пифагора Самосского.
3.
Историческая справка о теореме Пифагора.
4.
Работа над теоремой.
5.
Решение задач с применением теоремы.
6.
Подведение итога урока.
7.
Домашнее задание.
8.

Оборудование
Чертежные инструменты.
1.
Портрет Пифагора.
2.
Гербарии.
3.
Карта «Завоевания Александра Македонского».
4.
«Раскладушка»: легенды о Пифагоре, нравственные заповеди пифагорей-
5.
цев, пентаграмма, исторические задачи, пифагорова головоломка, пифа-
горовы тройки …
6. Стенд с различными доказательствами теоремы Пифагора.
7. Рисунки к устным задачам.
Ход урока
«Теорема Пифагора» 23

… Прежде, чем приступить к изучению нового материала, вспомним оп-
ределение косинуса угла и решим несколько устных задач.
— Дайте определение косинуса острого угла прямоугольного треугольни-
ка.
— Чему равен cos A на рисунке 1?
— Чему равен cos В на рисунке 2?
— Чему равны косинусы острых углов ? CDE на рисунке 3?

Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3
В
соs А = ? соs В = ? соs С = ?
соs D = ? С
С
7
15 13 5


С АВ А Е
2 17 D 12
2 15 5 12
cos A = cos B = cos C = , cos D =
7 17 13 13
Сегодня на уроке мы приступает к изучению одной из важнейших теорем
геометрии – теоремы Пифагора. Она является основой решения множества гео-
метрических задач и базой изучения теоретического материала в дальнейшем.
Докажем эту теорему и решим несколько задач с её применением, но сначала
послушаем рассказ о математике, именем которого она названа, его подгото-
вил(а) …
ПИФАГОР САМОССКИЙ
(ок. 580 – ок. 500 г. до н.э.)

О жизни Пифагора известно немного. Он родил-
ся в 580 г. до н.э. в Древней Греции на острове Самос,
который находится в Эгейском море у берегов Малой
Азии, поэтому его называют Пифагором Самосским.
Родился Пифагор в семье резчика по камню, ко-
торый сыскал скорее славу, чем богатство. Ещё в дет-
стве он проявлял незаурядные способности, и когда
подрос, неугомонному воображению юноши стало
тесно на маленьком острове.
Пифагор перебрался в город Милеет и стал учеником Фалеса, которому в
то время шёл восьмой десяток. Мудрый учёный посоветовал юноше отпра-
виться в Египет, где сам, когда-то изучал науки.
«Теорема Пифагора»
24

Перед Пифагором открылась неизвестная страна. Его поразило то, что в
родной Греции боги были в образе людей, а египетские боги – в образе полу-
людей-полуживотных. Знания были сосредоточены в храмах, доступ в которые
был ограничен. Пифагору потребовались годы, чтобы глубоко изучить египет-
скую культуру прежде, чем, ему было разрешено познакомиться с многовеко-
выми достижениями египетской науки.
Когда Пифагор постиг науку египетских жрецов, то засобирался домой,
чтобы там создать свою школу. Жрецы, не желавшие распространения своих
знаний за пределы храмов, не хотели его отпускать. С большим трудом ему
удалось преодолеть эту преграду.
Однако по дороге домой, Пифагор попал в плен и оказался в Вавилоне.
Вавилоняне ценили умных людей, поэтому он нашёл своё место среди вавилон-
ских мудрецов. Наука Вавилона была более развитой, нежели египетская. Наи-
более поразительными были успехи алгебры. Вавилоняне изобрели и применя-
ли при сёте позиционную систему счисления, умели решать линейные, квад-
ратные и некоторые виды кубических уравнений.
Пифагор прожил в Вавилоне около десяти лет и в сорокалетнем возрасте
вернулся на родину. Но на острове Самос он оставался недолго. В знак протес-
та против тирана Поликрата, который тогда правил островом, поселился в од-
ной из греческих колоний Южной Италии в городе Кротоне.
Там Пифагор организовал тайный союз молодёжи из представителей ари-
стократии. В этот союз принимались с большими церемониями после долгих
испытаний. Каждый вступающий отрекался от своего имущества и давал клят-
ву хранить в тайне учения основателя. Пифагорейцы, как их позднее стали на-
зывать, занимались математикой, философией, естественными науками. В шко-
ле существовал декрет, по которому авторство всех математических работ при-
писывалось учителю.
Пифагорейцами было сделано много важных открытий в арифметике и
геометрии, в том числе:
1) теорема о сумме внутренних углов треугольника;
2) построение правильных многоугольников и деление плоскости на неко-
торые из них;
3) геометрические способы решения квадратных уравнений;
4) деление чисел на чётные и нечётные, простые и составные; введение фи-
гурных, совершенных и дружественных чисел;
5) доказательство того, что 2 не является рациональным числом;
6) создание математической теории музыки и учения об арифметических,
геометрических и гармонических пропорциях и многое другое.
Известно также, что кроме духовного и нравственного развития учеников
Пифагора заботило их физическое развитие. Он не только сам участвовал в
Олимпийских играх и два раза побеждал в кулачных боях, но и воспитал плея-
ду великих олимпийцев.
«Теорема Пифагора» 25

Около сорока лет учёный посвятил созданной им школе и, по одной из
версий, в возрасте восьмидесяти лет Пифагор был убит в уличной схватке во
время народного восстания.
После его смерти ученики окружили имя своего учителя множеством ле-
генд.
Из рассказа вы узнали, что союз пифагорейцев был тайным. Эмблемой
или опознавательным знаком союза являлась пентаграмма (рис. 4) – пятиконеч-
ная звезда. Пентаграмме присваивалась способность защищать человека от
злых духов.
Рис. 4




У немецкого поэта Гёте в трагедии «Фауст», которую вы будете изучать
на уроках литературы, описывается случай, когда дьявол Мефистофель проник
в жилище учёного Фауста, потому что пентаграмма на его доме была плохо на-
черчена, и промежуток в уголке остался. Зачитаю вам эпизод.
Мефистофель: Нет, трудновато выйти мне теперь,
Тут кое-что мешает мне немного:
Волшебный знак у вашего порога.
Фауст: Не пентаграмма ль этому виной?
Но как же, бес, пробрался ты за мной?
Каким путем впросак попался?
Мефистофель: Изволили ее вы плохо начертить,
И промежуток в уголку остался,
Там, у дверей, - и я свободно мог вскочить.
Этот пятиугольник обладает интересным геометрическим свойством: по-
воротной симметрией пятого порядка, т.е. имеет пять осей симметрии, которые
совмещаются при каждом повороте на 72о. Именно это тип симметрии наибо-
лее распространён в живой природе у цветков незабудки, гвоздики, колоколь-
чика, шиповника, лапчатки гусиной, вишни (рис. 5), груши, яблони, малины,
«Теорема Пифагора»
26

рябины и т.д. Поворотная симметрия пятого порядка встречается и в живот-
ном мире, например, у морской звезды (рис. 6) и панциря морского ежа.

Рис. 5 Рис. 6




Пифагор сделал много важных открытий, но наибольшую славу учёному
принесла доказанная им теорема, которая сейчас носит его имя.
Откройте тетради, запишите число … и тему урока «Теорема Пифагора».
? Ребята, может быть, вы что-нибудь слышали о теореме Пифагора? (…)
? А ещё? (Пифагоровы штаны во все стороны равны.)
Действительно, это шуточная формулировка теоремы.
В современных учебниках теорема сформулирована так: «В прямоуголь-
ном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов».
? Как записать терему Пифагора для прямоугольного треугольника
? АВС с катетами а, b и гипотенузой с (рис. 7)?
Рис. 7
А


c
b


C B
a
c2 = a2 + b2
Предполагают, что во времена Пифагора теорема звучала по-другому:
«Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника,
равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах». Действительно,
с2 – площадь квадрата, построенного на гипотенузе, а2 и b2 – площади квадра-
тов, построенных на катетах (рис. 8).
«Теорема Пифагора» 27

Рис. 8



c2
А
c
b2 b

a
C B

a2




c2 = a2 + b2
Вероятно, факт, изложенный в теореме Пифагора, был сначала установ-
лен для равнобедренных прямоугольных треугольников. Квадрат, построенный
на гипотенузе, содержит четыре треугольника. А на каждом катете построен
квадрат, содержащий два треугольника. Из рисунка 9 видно, что площадь квад-
рата, построенного на гипотенузе равна сумме площадей квадратов, построен-
ных на катетах.
Рис. 9




a

b
c
«Теорема Пифагора»
28

Смотрите, а вот и «Пифагоровы штаны во все стороны равны» (рис. 10).
Рис. 10




Такие стишки придумывали учащиеся средних веков при изучении тео-
ремы; рисовали шаржи. Вот, например, такие (рис. 11, рис. 12):
Рис. 11 Рис. 12




Интересна история теоремы Пифагора. Хотя эта теорема и связывается с
именем Пифагора, она была известна задолго до него. В вавилонских текстах
она встречается за 1200 лет до Пифагора. По-видимому, он первым нашёл её
доказательство. Сохранилось древнее предание, что в честь своего открытия
Пифагор принёс в жертву богам быка, по другим свидетельствам – даже сто
быков. Это, однако, противоречит сведениям о моральных и религиозных воз-
зрениях Пифагора. В литературных источниках можно прочитать, что он «за-
«Теорема Пифагора» 29

прещал даже убивать животных, а тем более ими кормиться, ибо животные
имеют душу, как и мы». В связи с этим более правдоподобной можно считать
следующую запись: «… когда он открыл, что в прямоугольном треугольнике
гипотенуза имеет соответствие с катетами, он принес в жертву быка, сделанно-
го из пшеничного теста».
На протяжении последующих веков были найдены другие доказательства
теоремы Пифагора. В настоящее время их насчитывается более ста.
Большинство способов её доказательства сводятся к разбиению квадратов
на более мелкие части. На стенде вы можете познакомиться с двадцатью тремя
такими доказательствами.
А сейчас докажем теорему Пифагора в современной формулировке:
«В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме
квадратов катетов».
Начертите треугольник АВС с прямым углом С (рис. 13).
С
Рис. 13
Д а н о: ? АВС, ? С = 90о.

Д о к а з а т ь: АВ2 = АС2 + ВС2.

A D B
Д о к а з а т е л ь с т в о.
Проведём высоту CD из вершины прямого угла С.
Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отно-
шение прилежащего катета к гипотенузе, поэтому
AD AC
в ? ACD cos A = , а в ? АВС cos А = .
AC AB
Так как равны левые части этих равенств, то равны и правые, следова-
AD AC
тельно, . Отсюда по свойству пропорции получаем:
=
AC AB
АС2 = AD ? АВ. (1)
BD BC
Аналогично, в ? ВCD cos В = , а в ? АВС cos В = . Так как
BC AB
BD BC
равны левые части этих равенств, то равны и правые, следовательно, = .
BC AB
Отсюда по свойству пропорции получаем:
ВС2 = ВD ? АВ. (2)
Сложим почленно равенства (1) и (2), и вынесем общий множитель за
скобки:
АС2 + ВС2 = AD ? AB + BD ? AB = AB ? (AD + BD) = AB ? AB = AB2.

AB
«Теорема Пифагора»
30
Получили, что
АВ2 = АС2 + ВС2.
Итак,
Если дан нам треугольник
И притом с прямым углом,
То квадрат гипотенузы
Мы всегда легко найдём:
Катеты в квадрат возводим,
Сумму степеней находим –
И таким простым путём
К результату мы придём.
Ч. т. д.
Приближается зачёт по геометрии, а на зачётах и экзаменах иногда быва-
ют случаи, когда ученики, вытянув билет, помнят формулировку теоремы, но
забывают с чего начать доказательство. Чтобы этого не произошло с вами,
предлагаю рисунок?опорный сигнал (рис. 14) и, думаю, он надолго останется в
вашей памяти.
Рис. 14
АС2 + ВС2 = АВ2



AC2+BC2 = AB?(AD+DB)
АВ=AD+DB


AC2 = AD?AB BC2 = DB?AB

cos A = AD = AC cos B = DB = BC
AC AB BC AB




C




A D B




Отрубил Иван-царевич дракону голову, а у него две новые выросли. На
«Теорема Пифагора» 31

математическом языке это означает: провели в ? АВС высоту CD и образова-
лось два новых прямоугольных треугольника ADC и BDC.
Вспомнив этот рисунок, вы вспомните дополнительное построение и на-
чало доказательства теоремы.
Теорема Пифагора – одна из главных теорем геометрии, потому что с её
помощью можно доказать много других теорем и решить множество задач.
Особенностью теоремы Пифагора является то, что она неочевидна. На-
пример, свойства равнобедренного треугольника можно увидеть непосредст-
венно на чертеже. Но сколько ни смотри на прямоугольный треугольник, никак
не увидишь, что его стороны находятся в соотношении с2 = а2 + b2.
Решим устно несколько задач.
Задача № 1
Рис. 15
А Р е ш е н и е.
? АВС ? прямоугольный с гипотенузой АВ,
по теореме Пифагора: АВ2 = АС2 + ВС2,
АВ2 = 82 + 62,
АВ2 = 64 + 36,
8 ?
АВ2 = 100,
АВ = 100 ,
АВ = 10.
С В
6
З а м е ч а н и е. Из курса алгебры известно, что уравнение АВ2 = 100

страница 1
(всего 2)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

Copyright © Design by: Sunlight webdesign