LINEBURG


<< Пред. стр.

страница 5
(всего 10)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>


7 КЛАСС
1. Да. 2. а) да; б) нет; в) нет. 3. 9. 4. 2,8. 5. 1 166 666. 6. Да,
см. рисунок.




К задаче 1993-6-3 К задаче 1993-7-6 К задаче 1992-5/6-3


1992 год
5–6 К Л А С С Ы
1. 15 ям. 2. 13. 3. См. рисунок. 4. Если скорости ребят как
минимум вдвое больше скорости эскалатора, то они добегут до
шапки одновременно. Иначе первым придёт Витя.

7 КЛАСС
1. 10 ям. 2. В январе. 3. Нет. 4. а, б) Да, может. 5. См.
ответ задачи 4 для 5–6 классов.

44
1991 год
5–6 К Л А С С Ы
1. Да. 2. 60 секунд. 3. Надо провести
разрез через центры обоих квадратов. 5. 0;
18. 6. См. рисунок.
К задаче 1991-6-6
7 КЛАСС
1. См. ответ задачи 1 для 5–6 классов. 3. Цена на гаечки
не изменится, и они окажутся самыми дорогими, а винтики и
шпунтики будут стоить по 75 коп. 4. Второго. 5. а) Удвоенная
сумма цифр; б) 18.


1990 год
5 КЛАСС
2. Не обязательно. 3. 25 минут. 4. Замостим плоскость оди-
наковыми квадратиками (лист в «клеточку»), а теперь разобьём
каждый квадратик на два одинаковых пятиугольника (пункт а)
или семиугольника (пункт б), как показано на рисунке. 5. См.
рисунок.




К задаче 1990-5-4 К задаче 1990-5-5



6–7 К Л А С С Ы
1. На белом листе бумаги проведём синей ручкой две пересека-
ющиеся прямые, а их точку пересечения отметим чёрной ручкой.

45
2. См. рисунок. а) Фигура, ограниченная данной полуокружно-
стью и двумя полуокружностями, построенными на половинках
диаметра исходной «внутри» неё. б) Квадрат, вершинами кото-
рого являются середины сторон данного квадрата. 3. Нельзя. 4.
а) 5, 11, 17, 23, 29; б) 7, 37, 67, 97, 127, 157. 5. Если есть хотя бы
один философ или математик, то философов больше.




К задаче 1990-6/7-2




46
2004 год
6 КЛАСС
1. По условию не обязательно двигаться вперёд!
3. а) Подберите три дроби с числителями, равными 1. б) Най-
дите сначала три дроби с разными знаменателями, дающие в сум-
ме 1.
4. Не забудьте, что фигурки можно переворачивать.
5. В последнем столбце таблицы 2 стоят все буквы Сашиного
города, В первом столбце таблицы 2 идут все буквы Сашиного
города по алфавиту. В названии Сашиного города после буквы,
стоящей в последнем столбце этой таблицы, идёт буква, стоящая
первой в той же строчке.
7 КЛАСС
1. Воспользуйтесь признаками делимости на 2, 5, 3.
6. Незнайка не может проезжать переезд, расположенный
на втором километре шоссе, пока не истекут три минуты, а
также на седьмой, восьмой и девятой минутах, на тринадцатой–
пятнадцатой минутах и т. д. Графически это означает, что график
движения Незнайки (прямая) не может пересекать выделенные
отрезки.




?AOAAUA


К задаче 2004-7-6
3 6 9 12 15 18 21 24




47
2003 год
6 КЛАСС
1. Пусть мальчик прожил x лет и ещё y месяцев (y < 12). Тогда
он прожил всего 12x + y месяцев и поэтому 12x + y ? x = 111.
2. С > Р, в частности, С > 1.
4. 1/3 + 2/3 = 1.
6. Сумма чисел на всех гранях кубика равна 21.

7 КЛАСС
1. 2003 : 6009 = 1/3.
2. Если разрез «подвинуть» в пределах одной и той же сто-
роны, то число частей не изменится. Когда разрез пройдёт через
угол или перейдёт на соседнюю сторону, число частей может из-
мениться.
3. Воспользуйтесь признаком делимости на 3.
4. Заштрихуйте прямоугольники, стоящие на диагонали (как
в турнирной таблице).
5. Самое «экономное» — поставить солдат, как показано на
рисунке.
30




12
10



5


1
1 5 10 12 40 К задаче 2003-7-5

6. Выйдя из углового кубика, через ход обязательно попадёшь
в центр грани.

48
2002 год
6 КЛАСС
1. 2002 = 2 · 7 · 11 · 13.
2. Заметьте, что число трёхклеточных уголков чётно.
4. Не стремитесь закрасить целиком стороны, оставьте сере-
дины сторон незакрашенными.
6. Если наименьшее из покрашенных чисел двузначное, то
первый из непокрашенных участков состоит из 9 + 2n, т. е. из
нечётного числа цифр.
7 КЛАСС
2. См. указание к задаче 2 для 6 класса.
3. В исходном примере хотя бы один сомножитель чётный.
6. Подсчитайте, сколько очков набрали в сумме игроки, полу-
чившие звание мастера спорта.

2001 год
6 КЛАСС
1. Разложите число 2001 на множители.
3. Если пакетиков с чаем меньше 20, то Инне их не хватит.
5. Пользуясь тем, что число попавших снежков на 13 меньше
числа брошенных, составьте уравнение.
7 КЛАСС
1. Какая последняя цифра у числа 23021377 ? 1?
2. 8019 = 9 · 9 · 9 · 11.
4. Нарисуйте, куда нужно вешать флажок, чтобы его углы
попали точно на дырку.
5. Решайте задачу на шахматной доске.

2000 год
6 КЛАСС
1. Найти требуемое расположение знаков легко, если расстав-
лять знаки справа налево.
Попробуйте сами доказать, что

49
а) при любой расстановке знаков в левой части равенства по-
лучается нечётное число;
б) выбором знаков можно получить любое нечётное число
между числами ?128 и 128, причём единственным способом.
4. Выйдите за пределы фигуры!
5. Покрасьте вершины A, C, F , H в чёрный цвет.
7 КЛАСС
2. а) К числу 77 приводит уравнение 2(10 + x) = 97 + x.
б) Малыш не может из неравных числителя и знаменателя
сделать равные.
3. Одна из двух полученных «равных» сторон может быть
«составной».
5. Возьмите вершину, в которой стоит наименьшее из этих
чисел, и посмотрите на соседние вершины.

1999 год
6 КЛАСС
1. Найдите, сколько точек было перед последним уплотнени-
ем, т. е. решайте задачу «с конца».
2. Разложите 420 на множители.
3. Белых клеток втрое больше, чем чёрных.
4. Меридианы примерно одинаковы по длине, а параллели чем
ближе к северу, тем короче.
5. Удобно сначала нарисовать перпендикулярные медианы
треугольника, а потом уже вершины.
6. Задачу решить легче, если сначала понять, как поплотнее
уложить плитки, а потом уже смотреть, где разместить чёрный
квадрат.
7 КЛАСС
3. См. указание к задаче 4 для 6 класса.
4. После полудня первый пешеход прошёл столько же, сколько
второй до полудня.
3. См. указание к задаче 5 для 6 класса.
6. Если два квадрата стоят в одной строке, то они одинаковы.

50
1998 год
6 КЛАСС
1. Решите задачу для двух параллелей (0? и 180? ) и одной
параллели (экватора).
5. Выясните сначала, как расположены бензоколонки A, C
и D.
6. В квадрате 3?3 можно обойти ходом коня все клетки, кроме
центральной, и вернуться в исходную клетку.

7 КЛАСС
1. См. указание к задаче 1 для 6 класса.
2. Найдите двумя способами, сколько человек любят манда-
рины.
4. Если два жителя острова сказали одно и то же, то они либо
оба лжецы, либо оба рыцари.
5. Остаток от деления 1, 15 и 50 на 7 равен 1.

1997 год
6 КЛАСС
1. Проверьте пример «справа налево».
3. Рыжиков не больше 19.
4. Разрежьте доску пополам по вертикали.
6. Вроде очевидно, что быстрее всего будет получаться, если
фонарик всё время будет носить обратно папа. Но это неверно, и
такой путь «тупиковый». Дайте разочек отнести фонарик обрат-
но маме (хотя это и невоспитанность). И пустите вместе самых
медленных — бабушку с малышом.

7 КЛАСС
1. Если периметр прямоугольника равен 1996, то сумма длин
его соседних сторон равна 998.
2. б) Если каждый день «отдыхает» не более одного автомо-
биля, то всего автомобилей не более 7.
4. См. указание к задаче 3 для 6 класса.

51
5. Двоечник мог ошибиться только в тех вопросах, на которые
отвечал наугад.

1996 год
6 КЛАСС
3. Сравните количество пятизначных чисел, делящихся на
пять, и количество пятизначных чисел, у которых хотя бы одна
из первых двух цифр слева — пятёрка.
5. б) Каждая сторона пятиугольника содержит сторону одного
из треугольников. Все углы правильного пятиугольника тупые.
6. Скажем, что часть клеток раскрашена правильно, если их
раскраска не противоречит условию задачи. Есть такие клетки,
что если их раскрасить правильно, то правильная раскраска
остальных клеток восстанавливается однозначно (одна за дру-
гой).
7 КЛАСС
1. В наших числах каждая цифра появляется ровно по одному
разу в каждом из разрядов — сотен, десятков и единиц.
2. Попробуйте проследить «с конца», сколько у какого пирата
было монет после каждой игры.
3. Заметив, что x = 2, y = 2 — решение, попробуйте найти ещё
одно в виде x = 2k , y = 2n .
4. Запишите каждый путь последовательностью нулей и еди-
ниц.
5. Подсчитайте двумя способами количество границ белых
лоскутков с чёрными.
6. Посмотрите, сколько раз входит каждое число от 2 до 100
в наше произведение.

1995 год
6 КЛАСС
3. Сторона самого большого квадрата равна сумме сторон
двух квадратов: следующего за ним по часовой стрелке и самого
маленького.

52
5. Упорядочим наших борцов по силе и присвоим каждому
«рейтинг» от 9 до 1: 9 — самому сильному и т. д. Тогда сумма
рейтингов всех борцов равна 45. Постарайтесь составить команды
так, чтобы суммы рейтингов борцов в командах были равны.

7 КЛАСС
1. Разложите число 1995 на простые множители.
3. См. решение задачи 3 для 6 класса.
5. Разность между числом и суммой его цифр делится на 9.

1994 год
6 КЛАСС
2. 2 = 1 · 2; 6 = 2 · 3.
3. 1001 = 7 · 11 · 13, причём это разложение единственно.

7 КЛАСС
1. Если объём выпускаемой продукции снизился на 51%, зна-
чит, он составил 49% от исходного, а 49 — это 7 в квадрате.
2. 105 = 3 · 5 · 7, причём это разложение единственно.
3. Заметим, что Ё = 1, далее действуем подбором (решений
много!). Попробуйте найти несколько решений!
5. Проведите (за Ваню) сначала среднюю фишку.
6. Посмотрите на самого «активного» школьника.

1993 год
5–6 К Л А С С Ы
1. Разбейте «следующее» высказывание пополам и сравните с
«предыдущим».
2. Метр туннеля, выкопанный «быстрым» землекопом, обхо-
дится дешевле.
3. Внутренний центральный кубик граничит только с цен-
тральными кубиками граней.
4. Если a < b, то наименьшее число с суммой цифр a будет
меньше, чем наименьшее число с суммой цифр b.

53
5. Матроскин и до пересадки был крайним слева.
6. DL = BF .
7. Заметьте, что прямоугольник m ? n можно
обойти «змейкой», проходя каждую клетку по од-
ному разу (см. рисунок для прямоугольника 4?4).
Кроме того, «усложните» задачу, запретив Али-
Бабе класть монету в клетку, где монета уже есть
К задаче
(то есть при ходе в клетку, где уже есть монета, 1993-6-7
он будет обязан её забрать). Заметьте, что если
Али-Баба будет следовать этому правилу, то ни в какой клетке не
может оказаться две монеты!
8. Рассмотрите все пары толстяков, которые не должны ока-
заться в одной команде. Кроме того, можно считать, что все 100
толстяков разного веса.

7 КЛАСС
2. Разложите левую часть на множители.
3. Упрощайте уравнение «снаружи», а не изнутри.
4. Примените неравенство треугольника: каждая из сторон
треугольника меньше суммы двух других сторон, но больше их
разности.
5. Ведите расчёты в «твёрдой» валюте — пустых бутылках.
Тогда не будет инфляции!


1992 год
5–6 К Л А С С Ы
1. Посчитайте сначала, сколько ям выкопают 6 землекопов за
2 часа.
2. За 5 крон дают два талера, значит, за одну крону дают 2/5
талера или (2/5) · (10/3) рупии.
4. Два встречных эскалатора можно представить себе, как
движущееся с постоянной скоростью кольцо, относительно кото-
рого шапка неподвижна. Посмотрите на происходящее с точки
зрения шапки.

54
7 КЛАСС
1. Посчитайте сначала, сколько ям выкопают 6 землекопов за
3 часа.
3. Подсчитайте двумя способами число подписей под всеми
ДВУсторонними соглашениями. И подумайте, может ли оно быть
нечётным?

1991 год
5–6 К Л А С С Ы
2. Если после замены одной лампочки гирлянда не загорелась,
то мы заменили исправную лампочку.
3. Любая прямая, проходящая через центр квадрата, делит его
пополам.
4. Сумма любого числа чётных чисел чётная, а нечётного чис-
ла нечётных — нечётная.
5. Если первая цифра двузначного числа равна a, а вторая
равна b, то само число равно 10a + b.
6. Не забудьте, что бывают кольцевые линии.
7 КЛАСС
4. Если бы они ответили одинаково, то Знайка никак не мог
бы их различить.

1990 год
5 КЛАСС
1. Сумма двух чисел и их разность имеют одну чётность.
2. Попробуйте разные варианты равенства углов и сторон.
3. Сначала решите задачу для четырёх кузнецов и пяти лоша-
дей.
4. Попробуйте разбить квадрат на два одинаковых пятиуголь-
ника или семиугольника.
6–7 К Л А С С Ы
1. Нарисуйте две пересекающиеся прямые.

55
3. Раскрасьте в белый и чёрный цвет в шахматном порядке
маленькие кубики 1 ? 1 ? 1, из которых состоят куб и кирпичи.
5. Рассмотрите людей, являющихся математиками и филосо-
фами одновременно.
6. Строгого решения этой задачи не требуется. Достаточно ин-

<< Пред. стр.

страница 5
(всего 10)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

Copyright © Design by: Sunlight webdesign