LINEBURG


<< Пред. стр.

страница 3
(всего 10)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

2 1 1 1 1
= + + +.
73 60 219 292 x
Один из знаменателей здесь заменён буквой x. Найдите этот зна-
менатель.
3. В корзине лежат 30 грибов — рыжиков и груздей. Известно,
что среди любых 12 грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди
любых 20 грибов — хотя бы один груздь. Сколько рыжиков и
сколько груздей в корзине?

22
4. Разрежьте изображённую на рисунке
доску на 4 одинаковые части, чтобы каждая
из них содержала 3 заштрихованные клетки.
5. Придумайте раскраску граней кубика,
чтобы в трёх различных положениях он вы-
глядел, как показано на рисунке. (Укажите,
как раскрасить невидимые грани, или нари-
суйте развёртку.)




6. Семья ночью подошла к мосту. Папа может перейти его за
1 минуту, мама — за 2, малыш — за 5, а бабушка — за 10 минут. У
них есть один фонарик. Мост выдерживает только двоих. Как им
перейти мост за 17 минут? (Если переходят двое, то они идут с
меньшей из их скоростей. Двигаться по мосту без фонарика нель-
зя. Светить издали нельзя. Носить друг друга на руках нельзя.)



7 КЛАСС

1. Каких прямоугольников с целыми сторонами больше: с пе-
риметром 1996 или с периметром 1998? (Прямоугольники a ? b и
b ? a считаются одинаковыми.)
2. В Мексике экологи добились принятия закона, по кото-
рому каждый автомобиль хотя бы один день в неделю не дол-
жен ездить (владелец сообщает полиции номер автомобиля и «вы-
ходной» день недели этого автомобиля). В некоторой семье все
взрослые желают ездить ежедневно (каждый — по своим делам!).
Сколько автомобилей (как минимум) должно быть в семье, если
взрослых в ней а) 5 человек? б) 8 человек?

23
3. Четырёхугольник с длинами сто-
рон 1, 1, 1 и 2 имеет две параллельные
стороны и разбит на четыре одинако-
вые фигуры (см. рисунок). В результате
верхняя сторона разделилась на четыре
отрезка. Найдите отношение длины большего отрезка к мень-
шему.
4. См. задачу 3 для 6 класса.
5. В тесте к каждому вопросу указаны 5 вариантов ответа.
Отличник отвечает на все вопросы правильно. Когда двоечни-
ку удаётся списать, он отвечает правильно, а в противном слу-
чае — наугад (то есть среди несписанных вопросов он правильно
отвечает на 1/5 часть). Всего двоечник правильно ответил на
половину вопросов. Какую долю ответов ему
удалось списать?
6. Если смотреть на аквариум спереди, то
рыбка проплыла, как показано на левом рисун-
ке. А если справа — то как на правом рисунке.
Нарисуйте вид сверху.


1996 год
6 КЛАСС
1. В двух кошельках лежат две монеты, причём в одном
кошельке монет вдвое больше, чем в другом. Как такое может
быть?
2. Алик, Боря и Вася собирали грибы. Боря собрал грибов на
20 % больше, чем Алик, но на 20 % меньше, чем Вася. На сколько
процентов больше Алика собрал грибов Вася?
3. Каких пятизначных чисел больше: не делящихся на 5 или
тех, у которых ни первая, ни вторая цифра слева — не пятёрка?
4. Три человека A, B, C пересчитали кучу шариков четырёх
цветов. При этом каждый из них правильно различал какие-то
два цвета, а два других мог путать: один путал красный и оран-
жевый, другой — оранжевый и жёлтый, а третий — жёлтый и

24
зелёный. Результаты их подсчётов приведены в таблице. Сколько
каких шариков было на самом деле?

красный оранжевый жёлтый зелёный
A 2 5 7 9
B 2 4 9 8
C 4 2 8 9
5. Можно ли разрезать на четыре остро-
угольных треугольника а) какой-нибудь выпук-
лый пятиугольник, б) правильный пятиуголь-
ник.
6. Покрасьте клетки доски 5?5 в пять цветов
так, чтобы в каждом горизонтальном ряду, в
каждом вертикальном ряду и в каждом выде-
ленном блоке встречались все цвета.

7 КЛАСС
1. По кругу расставлены цифры 1, 2, 3, . . . , 9 в произвольном
порядке. Каждые три цифры, стоящие подряд по часовой стрелке,
образуют трёхзначное число. Найдите сумму всех девяти таких
чисел. Зависит ли она от порядка, в котором записаны циф-
ры?
2. Два пирата играли на золотые монеты. Сначала первый
проиграл половину своих монет (отдал второму), потом второй
проиграл половину своих, потом снова первый проиграл половину
своих. В результате у первого оказалось 15 монет, а у второго —
33. Сколько монет было у первого пирата до начала игры?
3. Найдите хотя бы две пары натуральных
чисел, для которых верно равенство 2x3 = y 4 .
КРОНА К
4. Сколькими способами можно прочи-
РОНА КО
тать в таблице слово а) КРОНА, б) КОРЕНЬ, на-
чиная с буквы «к» и двигаясь вправо или О Н А КОР
НА КОРЕ
вниз?
5. Футбольный мяч сшит из 32 лоскутков: А КОРЕН
КОРЕНЬ
белых шестиугольников и чёрных пятиуголь-

25
ников. Каждый чёрный лоскут граничит только с белыми, а
каждый белый — с тремя чёрными и тремя белыми. Сколько
лоскутков белого цвета?
6. Произведение последовательных чисел от 1 до n называется
n-факториал и обозначается n! (1 · 2 · 3 · . . . · n = n!). Можно ли
вычеркнуть из произведения 1! · 2! · 3! · . . . · 100! один из факториа-
лов так, чтобы произведение оставшихся было квадратом целого
числа?
1995 год
6 КЛАСС
1. После того, как Наташа съела половину персиков из бан-
ки, уровень компота понизился на одну треть. На какую часть
(от полученного уровня) понизится уровень компота, если съесть
половину оставшихся персиков?
2. Разрежьте изображённую на левом рисунке фигуру на две
одинаковые части.




3. Прямоугольник составлен из шести квадратов (см. правый
рисунок). Найдите сторону самого большого квадрата, если сто-
рона самого маленького равна 1.
4. Заменить разные буквы разными цифрами,
одинаковые — одинаковыми, а звёздочки — лю- 1995
? ???
быми так, чтобы получился правильный пример.
5. Есть 9 борцов разной силы. В поединке лю-
бых двух из них всегда побеждает сильнейший. + ?????
?ГОД
Можно ли разбить их на три команды по три борца
СВИНЬИ
так, чтобы во встречах команд по системе «каж-

26
дый с каждым» первая команда по числу побед одержала верх
над второй, вторая — над третьей, а третья — над первой?
6. В квадрате 6 ? 6 отмечают несколько клеток так, что из
любой отмеченной можно пройти в любую другую отмеченную,
переходя только через общие стороны отмеченных клеток. Отме-
ченную клетку называют концевой, если она граничит по стороне
ровно с одной отмеченной. Отметьте несколько клеток так, чтобы
получилось а) 10, б) 11, в) 12 концевых клеток.

7 КЛАСС
1. Натуральное число умножили последовательно на каждую
из его цифр. Получилось 1995. Найдите исходное число.
2. Один сапфир и два топаза
ценней, чем изумруд, в три раза.
А семь сапфиров и топаз
его ценнее в восемь раз.
Определить мы просим Вас,
сапфир ценнее иль топаз?
3. Фигура на рисунке составлена из
квадратов. Найдите сторону левого нижне-
го, если сторона самого маленького равна 1.
4. Расставьте скобки так, чтобы получи-
лось верное равенство:

1 ? 2 · 3 + 4 + 5 · 6 · 7 + 8 · 9 = 1995.

5. Из натурального числа вычли сумму
его цифр, из полученного числа снова вычли
сумму его (полученного числа) цифр и т. д.
После одиннадцати таких вычитаний полу-
чился нуль. С какого числа начинали?
6. Разрежьте изображённую фигуру на
две части, из которых можно сложить це-
лый квадрат 8 ? 8.

27
1994 год
6 КЛАСС
1. Среди четырёх людей нет трёх с одинаковым именем, или с
одинаковым отчеством, или с одинаковой фамилией, но у каждых
двух совпадает или имя, или отчество, или фамилия. Может ли
такое быть?
2. Найдите в последовательности 2, 6, 12, 20, 30, . . . число,
стоящее а) на 6-м; б) на 1994-м месте. Ответ объясните.
3. Несколько одинаковых по численности бригад сторожей
спали одинаковое число ночей. Каждый сторож проспал больше
ночей, чем сторожей в бригаде, но меньше, чем число бригад.
Сколько сторожей в бригаде, если все сторожа вместе проспали
1001 человеко-ночь?
4. Составьте куб 3 ? 3 ? 3 из красных, жёлтых и зелёных
кубиков 1 ? 1 ? 1 так, чтобы в любом бруске 3 ? 1 ? 1 были кубики
всех трёх цветов.
5. Разрежьте квадрат на три части, из которых можно сло-
жить треугольник с тремя острыми углами и тремя различными
сторонами.
6. Вся семья выпила по полной чашке кофе с молоком, причём
Катя выпила четверть всего молока и шестую часть всего кофе.
Сколько человек в семье?
7. Среди любых десяти из шестидесяти школьников найдёт-
ся три одноклассника. Обязательно ли среди всех шестидесяти
школьников найдётся а) 15 одноклассников; б) 16 одноклассни-
ков?
8. Пешеход обошёл шесть улиц одного города, пройдя каждую
ровно два раза, но не смог обойти их, пройдя каждую лишь раз.
Могло ли это быть?

7 КЛАСС
1. За два года завод снизил объём выпускаемой продукции
на 51 %. При этом каждый год объём выпускаемой продукции
снижался на одно и то же число процентов. На сколько?

28
2. Во всех подъездах дома одинаковое число этажей, а на
каждом этаже одинаковое число квартир. При этом число этажей
в доме больше числа квартир на этаже, число квартир на эта-
же больше числа подъездов, а число подъездов больше одного.
Сколько этажей в доме, если всего в нём 105 квартир?
а) Найдите хотя бы одно решение.
б) Найдите все решения и докажите, что других нет.
3. Когда Незнайку попросили придумать задачу для
математической олимпиады в Солнечном городе, он + АБВ
ГДЕ
написал ребус (см. рисунок). Можно ли его решить?
(Разным буквам должны соответствовать разные циф- ЁЖЗИ
ры.)
4. Имеется много красных, жёлтых и зелёных кубиков 1?1?1.
Можно ли сложить из них куб 3?3?3 так, чтобы в каждом блоке
3 ? 1 ? 1 присутствовали все три цвета?
5. На доске 4?6 клеток стоят две чёрные фишки
(Вани) и две белые фишки (Серёжи, см. рисунок
справа). Ваня и Серёжа по очереди двигают
любую из своих фишек на одну клетку вперёд
(по вертикали). Начинает Ваня. Если после хода
любого из ребят чёрная фишка окажется между
двумя белыми по горизонтали или по диагонали
(как на рисунках ниже), она считается «убитой» и
снимается с доски. Ваня хочет провести обе свои фишки с верхней
горизонтали доски на нижнюю. Может ли Серёжа ему помешать?




6. В одной из школ 20 раз проводился кружок по астроно-
мии. На каждом занятии присутствовало ровно пять школьников,
причём никакие два школьника не встречались на кружке более
одного раза. Докажите, что всего на кружке побывало не менее
20 школьников.

29
1993 год
5–6 К Л А С С Ы

1. Инопланетянин со звезды Тау Кита, прилетев на Землю в
понедельник, воскликнул: А!“ . Во вторник он воскликнул: АУ!“ ,
” ”
в среду — АУУА!“ , в четверг — АУУАУААУ!“ . Что он воскликнет
” ”
в субботу?
2. Мосметрострой нанял двух землекопов для рытья туннеля.
Один из них может за час прокопать вдвое больше, чем другой,
а платят по договору каждому одинаково за каждый час работы.
Что обойдётся дешевле — совместная работа землекопов с двух
сторон до встречи или поочерёдное рытьё половины туннеля каж-
дым из землекопов?
3. Как из семи «уголков», каждый из которых склеен из трёх
кубиков 1 ? 1 ? 1, и шести отдельных кубиков 1 ? 1 ? 1 составить
большой куб 3 ? 3 ? 3?
Можно ли это сделать так, чтобы все отдельные кубики ока-
зались в серединах граней большого куба?
4. Если у числа x подсчитать сумму цифр и с полученным
числом повторить это ещё два раза, то получится ещё три чис-
ла. Найдите самое маленькое x, для которого все четыре числа
различны, а последнее из них равно 2.
5. Дядя Фёдор, кот Матроскин, Шарик и почтальон Печкин
сидят на скамейке. Если Шарик, сидящий справа от всех, сядет
между дядей Фёдором и котом, то кот станет крайним слева. В
каком порядке они сидят?
6. Квадрат ABCD со стороной 2 и квадрат DEF K со сторо-
ной 1 стоят рядом на верхней стороне AK квадрата AKLM со
стороной 3. Между парами точек A и E, B и F , C и K, D и L
натянуты паутинки. Паук поднимается снизу вверх по маршруту
AEF B и спускается по маршруту CKDL. Какой маршрут ко-
роче?
7. Али-Баба стоит с большим мешком монет в углу пустой
прямоугольной пещеры размером m ? n клеток, раскрашенных в
шахматном порядке. Из любой клетки он может сделать шаг в

30
любую из четырёх соседних клеток (вверх, вниз, вправо или вле-
во). При этом он должен либо положить 1 монету в этой клетке,
либо забрать из неё 1 монету, если, конечно, она не пуста. Может
ли после прогулки Али-Бабы по пещере оказаться, что на чёрных
клетках лежит ровно по 1 монете, а на белых монет нет?
8. В спортклубе тренируются 100 толстяков весом от 1 до
100 кг. На какое наименьшее число команд их можно разделить
так, чтобы ни в одной команде не было двух толстяков, один из
которых весит вдвое больше другого?

7 КЛАСС
1. Можно ли в центры 16 клеток шахматной доски 8 ? 8 вбить
гвозди так, чтобы никакие три гвоздя не лежали на одной пря-
мой?
2. Зная, что число 1993 простое, выясните, существуют ли
такие натуральные числа x и y, что
а) x2 ? y 2 = 1993;
б) x3 ? y 3 = 1993;
в) x4 ? y 4 = 1993?
3. Решите уравнение:

1993 = 1 + 8 : (1 + 8 : (1 ? 8 : (1 + 4 : (1 ? 4 : (1 ? 8 : x))))).

4. В результате измерения четырёх сторон и одной из диаго-
налей некоторого четырёхугольника получились числа: 1; 2; 2,8;
5; 7,5. Чему равна длина измеренной диагонали?
5. Гулливер попал в страну лилипутов, имея 7 000 000 рублей.
На все деньги он сразу купил кефир в бутылках по цене 7 рублей
за бутылку (пустая бутылка стоила в то время 1 рубль). Выпив
весь кефир, он сдал бутылки и на все вырученные деньги сразу
купил кефир. При этом он заметил, что и стоимость кефира, и
стоимость пустой бутылки выросли в два раза. Затем он снова
выпил весь кефир, сдал бутылки, на все вырученные деньги снова
купил кефир и т. д. При этом между каждыми двумя посещени-
ями магазина и стоимость кефира, и стоимость пустой бутылки
возрастали в два раза. Сколько бутылок кефира выпил Гулливер?

31
6. Из кубика Рубика 3 ? 3 ? 3 удалили централь-
ный шарнир и восемь угловых кубиков. Можно ли
оставшуюся фигуру из 18 кубиков составить из ше-
сти брусков размером 3 ? 1 ? 1?


1992 год
5–6 К Л А С С Ы
1. Три землекопа за два часа выкопали три ямы. Сколько ям
выкопают шесть землекопов за пять часов?
2. На Нью-Васюковской валютной бирже за 11 тугриков дают
14 динаров, за 22 рупии — 21 динар, за 10 рупий — 3 талера,
а за 5 крон — 2 талера. Сколько тугриков можно выменять за
13 крон?
3. Как, не отрывая карандаша от бумаги, провести шесть от-
резков таким образом, чтобы оказались зачёркнутыми 16 точек,
расположенных в вершинах квадратной сетки 4 на 4?
4. Петя и Витя ехали вниз по эскалатору. Посередине эскалато-
ра хулиган Витя сорвал с Пети шапку и бросил её на встречный
эскалатор. Пострадавший Петя побежал обратно вверх по эска-
латору, чтобы затем спуститься вниз и вернуть шапку. Хитрый
Витя побежал по эскалатору вниз, чтобы затем подняться вверх
и успеть раньше Пети. Кто успеет раньше, если скорости ребят
относительно эскалатора постоянны и не зависят от направления
движения?

7 КЛАСС
1. Три землекопа за три часа выкопали три ямы. Сколько ям
выкопают шесть землекопов за пять часов?
2. В январе на 1 доллар можно было купить 40 винтиков или
60 шпунтиков. В феврале винтики и шпунтики стали продавать
наборами из 25 винтиков и 25 шпунтиков по цене 1 доллар за на-
бор. Для сборки трактора необходимо 600 винтиков и 600 шпунти-
ков. В каком месяце сборка трактора стоила дороже, если другие
затраты не изменились?

32
3. Резидент одной иностранной разведки сообщил в центр о
готовящемся подписании ряда двусторонних соглашений между
пятнадцатью бывшими республиками СССР. Согласно его доне-
сению, каждая из них заключит договор ровно с тремя другими.
Заслуживает ли резидент доверия?
4. Может ли горящая в комнате2 свеча не освещать полностью
ни одну из её стен, если в комнате а) 10 стен, б) 6 стен?
5. См. задачу 4 для 5–6 классов.


1991 год
5–6 К Л А С С Ы

1. Автобусный билет будем считать счастливым, если между
его цифрами можно в нужных местах расставить знаки четырёх
арифметических действий и скобки так, чтобы значение получен-
ного выражения равнялось 100. Является ли счастливым билет
№123456 ?

<< Пред. стр.

страница 3
(всего 10)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

Copyright © Design by: Sunlight webdesign