LINEBURG


<< Пред. стр.

страница 2
(всего 10)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

буквам соответствуют одинаковые цифры, разным — разные.)
3. На острове живут рыцари, которые всегда говорят правду,
и лжецы, которые всегда лгут. Путник встретил троих островитян
и спросил каждого из них: «Сколько рыцарей среди твоих спут-
ников?». Первый ответил: «Ни одного». Второй сказал: «Один».
Что сказал третий?
4. Прямоугольник разрезан на несколько прямоугольников,
периметр каждого из которых — целое число метров. Верно ли,
что периметр исходного прямоугольни-
ка — тоже целое число метров?
5. В распоряжении юного паркетчи-
ка имеется 10 одинаковых плиток, каж-
дая из которых состоит из 4 квадратов
и имеет форму буквы Г (все плитки
ориентированы одинаково). Может ли
он составить из них прямоугольник раз-
мером 5 ? 8? (Плитки можно поворачивать, но нельзя перево-
рачивать. Например, на рисунке изображено неверное решение:
заштрихованная плитка неправильно ориентирована.)
6. На гранях кубика расставлены числа от 1 до 6. Кубик бро-
сили два раза. В первый раз сумма чисел на четырёх боковых

12
гранях оказалась равна 12, во второй — 15. Какое число написано
на грани, противоположной той, где написана цифра 3?

7 КЛАСС
1. Расставьте скобки и знаки арифметических действий так,
чтобы получилось верное равенство:
11 1
= 2003.
2 6 6009
2. Квадратную салфетку сложили пополам,
полученный прямоугольник сложили пополам ещё
раз (см. рисунок). Получившийся квадратик раз-
резали ножницами (по прямой). Могла ли салфет-
ка распасться а) на 2 части? б) на 3 части? в) на
4 части? г) на 5 частей? Если да — нарисуйте
такой разрез, если нет — напишите слово «нельзя».
3. Чтобы открыть сейф, нужно ввести код — число, состоящее
из семи цифр: двоек и троек. Сейф откроется, если двоек боль-
ше, чем троек, а код делится и на 3, и на 4. Придумайте код,
открывающий сейф.
4. Прямоугольник разрезали ше-
стью вертикальными и шестью гори-
зонтальными разрезами на 49 прямо-
угольников (см. рисунок). Оказалось,
что периметр каждого из получив-
шихся прямоугольников — целое чис-
ло метров. Обязательно ли периметр
исходного прямоугольника — целое
число метров?
5. В честь праздника 1 % солдат в полку получил новое обмун-
дирование. Солдаты расставлены в виде прямоугольника так, что
солдаты в новом обмундировании оказались не менее чем в 30 %
колонн и не менее чем в 40% шеренг. Какое наименьшее число
солдат могло быть в полку?
6. Куб размером 3 ? 3 ? 3 состоит из 27 единичных кубиков.
Можно ли побывать в каждом кубике по одному разу, двигаясь

13
следующим образом: из кубика можно пройти в любой кубик,
имеющий с ним общую грань, причём запрещено ходить два раза
подряд в одном направлении?


2002 год
6 КЛАСС
1. Решите ребус: БАО · БА · Б = 2002.
2. Незнайка разрезал фигуру на
трёхклеточные и четырёхклеточные
уголки, нарисованные справа от неё.
Сколько трёхклеточных уголков могло
получиться?
3. На доске были написаны 10 после-
довательных натуральных чисел. Когда
стёрли одно из них, то сумма девяти оставшихся оказалась равна
2002. Какие числа остались на доске?
4. Художник-авангардист Змий Клеточкин покрасил несколь-
ко клеток доски размером 7 ? 7, соблюдая правило: каждая сле-
дующая закрашиваемая клетка должна соседствовать по стороне
с предыдущей закрашенной клеткой, но не должна соседствовать
ни с одной другой ранее закрашенной клеткой. Ему удалось по-
красить 31 клетку.
Побейте его рекорд — закрасьте а) 32
клетки; б) 33 клетки.
5. Илье Муромцу, Добрыне Никитичу и
Алёше Поповичу за верную службу дали 6
монет: 3 золотых и 3 серебряных. Каждому
досталось по две монеты. Илья Муромец не
знает, какие монеты достались Добрыне, а
какие Алёше, но знает, какие монеты до-
стались ему самому. Придумайте вопрос, на
который Илья Муромец ответит «да», «нет» или «не знаю», и
по ответу на который Вы сможете понять, какие монеты ему
достались.

14
6. Айрат выписал подряд все числа месяца: 123456789101112. . .
и покрасил три дня (дни рождения своих друзей), никакие два
из которых не идут подряд. Оказалось, что все непокрашенные
участки состоят из одинакового количества цифр. Докажите, что
первое число месяца покрашено.

7 КЛАСС

1. 2002 год — год-палиндром, то есть одинаково читается
справа налево и слева направо. Предыдущий год-палиндром
был 11 лет назад (1991). Какое максимальное число годов-
непалиндромов может идти подряд (между 1000 и 9999 годами)?
2. См. задачу 2 для 6 класса.
3. В написанном на доске примере на умножение хулиган Петя
исправил две цифры. Получилось 4 · 5 · 4 · 5 · 4 = 2247. Вос-
становите исходный пример и объясните, как Вы это сделали.
4. У Васи есть пластмассовый угольник (без делений) с углами
30? , 60? и 90? . Ему нужно построить угол в 15? . Как это сделать,
не используя других инструментов?
5. Художник-авангардист Змий Кле-
точкин покрасил несколько клеток доски
размером 8?8, соблюдая правило: каждая
следующая закрашиваемая клетка долж-
на соседствовать по стороне с предыдущей
закрашенной клеткой, но не должна — ни с
одной другой ранее закрашенной клеткой.
Ему удалось покрасить 36 клеток. Побейте
его рекорд! (Жюри умеет закрашивать 42
клетки!)
6. В шахматном турнире на звание мастера спорта участво-
вало 12 человек, каждый сыграл с каждым по одной партии.
За победу в партии даётся 1 очко, за ничью — 0,5 очка, за по-
ражение — 0 очков. По итогам турнира звание мастера спорта
присваивали, если участник набрал более 70 % от числа очков,
получаемых в случае выигрыша всех партий. Могли ли получить
звание мастера спорта а) 7 участников; б) 8 участников?

15
2001 год
6 КЛАСС
1. Решите ребус: АХ · УХ = 2001.
2. Офеня1 купил на оптовом рынке партию ручек и предла-
гает покупателям либо одну ручку за 5 рублей, либо три ручки за
10 рублей. От каждого покупателя Офеня получает одинаковую
прибыль. Какова оптовая цена ручки?
3. Наташа и Инна купили по одинаковой коробке чая в па-
кетиках. Известно, что одного пакетика хватает на две или три
чашки чая. Этой коробки Наташе хватило на 41 чашку чая, а
Инне — на 58. Сколько пакетиков было в коробке?
4. Расставьте по кругу 6 различных чисел так, чтобы каждое
из них равнялось произведению двух соседних.
5. Вифсла, Тофсла и Хемуль играли в снежки. Первый
снежок бросил Тофсла. Затем в ответ на каждый попавший в
него снежок Вифсла бросал 6 снежков, Хемуль — 5, а Тофсла — 4.
Через некоторое время игра закончилась. Найдите, в кого сколько
снежков попало, если мимо цели пролетели 13 снежков. (В себя
самого снежками не кидаются и один снежок не может попасть в
двоих.)
6. Поля клетчатой доски размером 8 ? 8 будем по очереди
закрашивать в красный цвет так, чтобы после закрашивания каж-
дой следующей клетки фигура, состоящая из закрашенных кле-
ток, имела ось симметрии. Покажите, как можно, соблюдая это
условие, закрасить
а) 26; б) 28 клеток.
(В качестве ответа расставьте на тех клетках, которые должны
быть закрашены, числа от 1 до 26 или до 28 в том порядке, в
котором проводилось закрашивание.)

7 КЛАСС
1. В книге рекордов Гиннесса написано, что наибольшее из-
вестное простое число равно 23021377 ? 1. Не опечатка ли это?
1
Продавец вразнос, коробейник.


16
2. Приходя в тир, игрок вносит в кассу 100 рублей. После
каждого удачного выстрела количество его денег увеличивается
на 10 %, а после каждого промаха — уменьшается на 10 %. Могло
ли после нескольких выстрелов у него оказаться 80 рублей 19
копеек?
3. Для постройки типового дома не хватало места. Архи-
тектор изменил проект: убрал 2 подъезда и добавил 3 этажа.
При этом количество квартир увеличилось. Он обрадовался и
решил убрать ещё 2 подъезда и добавить ещё 3 этажа. Могло
ли при этом квартир стать даже меньше, чем в типовом проекте?
(В каждом подъезде одинаковое число этажей и на всех этажах
во всех подъездах одинаковое число квартир.)
c?IUAO
4. В стене имеется маленькая дырка (точ-
?AO??EA
ка). У хозяина есть флажок следующей формы
(см. рисунок).
Покажите на рисунке все точки, в которые
можно вбить гвоздь, так чтобы флажок закры-
вал дырку.
5. Отметьте на доске 8 ? 8 несколько кле-
ток так, чтобы любая (в том числе и любая отмеченная) клетка
граничила по стороне ровно с одной отмеченной клеткой.


2000 год
6 КЛАСС
1. В записи ?1 ? 2 ? 4 ? 8 ? 16 ? 32 ? 64 = 27 вместо знаков «?»
поставьте знаки «+» или «?» так, чтобы равенство стало верным.
2. В квадрате 7 ? 7 клеток закрасьте некоторые клетки так,
чтобы в каждой строке и в каждом столбце оказалось ровно по
три закрашенных клетки.
3. Шифр кодового замка является двузначным числом. Бура-
тино забыл код, но помнит, что сумма цифр этого числа, сложен-
ная с их произведением, равна самому числу. Напишите все воз-
можные варианты кода, чтобы Буратино смог быстрее открыть
замок.

17
4. Зачеркните все 13 точек на рисунке пятью
отрезками, не отрывая карандаша от бумаги и не
проводя никакую линию дважды.
5. В одной из вершин куба ABCDEF GH
сидит заяц, но охотникам он не виден. Три
охотника стреляют залпом, при этом они могут
«поразить» любые три вершины куба. Если
F
они не попадают в зайца, то до следующего
залпа заяц перебегает в одну из трёх со- G
седних (по ребру) вершин куба. Укажите, E
H
как стрелять охотникам, чтобы обязательно
попасть в зайца за четыре залпа.
B C
(В решении достаточно написать четыре
тройки вершин, в которые последовательно A
D
стреляют охотники.)

7 КЛАСС

1. См. задачу 2 для 6 класса.
2. Карлсон написал дробь 10/97. Малыш может: 1) прибавлять
любое натуральное число к числителю и знаменателю одновре-
менно, 2) умножать числитель и знаменатель на одно и то же
натуральное число.
Сможет ли Малыш с помощью этих действий получить дробь,
а) равную 1/2? б) равную 1?
3. Дан прямоугольный треугольник (см. рисунок). Приложи-
те к нему какой-нибудь треугольник (эти треугольники долж-
ны иметь общую сторону, но не должны перекрываться даже
частично) так, чтобы получился треугольник
с двумя равными сторонами.
Укажите (нарисуйте!) несколько различ-
ных решений. Каждое новое решение — до-
полнительный балл.
4. Может ли произведение двух последовательных натураль-
ных чисел равняться произведению двух последовательных чёт-
ных чисел?

18
F
5. В вершинах куба ABCDEF GH
расставлены натуральные числа так, что G
числа в соседних (по ребру) вершинах
E H
отличаются не более чем на единицу. До-
кажите, что обязательно найдутся две диа-
B C
метрально противоположные вершины, чис-
ла в которых отличаются не более чем на A
единицу. D
(Пары диаметрально противоположных
вершин куба: A и G, B и H, C и E, D и F .)


1999 год
6 КЛАСС
1. На прямой отметили несколько точек. После этого между
каждыми двумя соседними точками отметили ещё по точке. Такое
«уплотнение» повторили ещё дважды (всего 3 раза). В результате
на прямой оказалось отмечено 113 точек. Сколько точек было
отмечено первоначально?
2. Укажите пять целых положительных чисел, сумма которых
равна 20, а произведение — 420.
3. Квадрат 4 ? 4 разделён на 16 клеток. Раскрасьте эти клетки
в чёрный и белый цвета так, чтобы у каждой чёрной клетки бы-
ло три белых соседа, а у каждой белой клетки был ровно один
чёрный сосед. (Соседними считаются клетки, имеющие общую
сторону.)
4. Из Москвы вылетел вертолёт, который пролетел 300 км на
юг, потом 300 км на запад, 300 км на север и 300 км на восток,
после чего приземлился. Оказался ли он южнее Москвы, севернее
её или на той же широте? Оказался ли он восточнее Москвы,
западнее Москвы или на той же долготе?
5. Нарисуйте на клетчатой бумаге треугольник с вершинами в
углах клеток, две медианы которого перпендикулярны. (Медиана
соединяет вершину треугольника с серединой противоположной
стороны.)

19
6. На плоскости нарисован чёрный квадрат. Имеется семь
квадратных плиток того же размера. Нужно положить их на
плоскость так, чтобы они не перекрывались и чтобы каждая
плитка покрывала хотя бы часть чёрного квадрата (хотя бы одну
точку внутри него). Как это сделать?

7 КЛАСС
1. Числитель и знаменатель дроби — целые положительные
числа, дающие в сумме 101. Известно, что дробь не превосходит
1/3. Укажите наибольшее возможное значение такой дроби.
2. Разрежьте фигуру (по границам клеток) на три равные
(одинаковые по форме и величине) части.
3. См. задачу 4 для 6 класса.
4. Два пешехода вышли на рассвете.
Каждый шёл с постоянной скоростью. Один
шёл из A в B, другой — из B в A. Они
встретились в полдень и, не прекращая дви-
жения, пришли: один — в B в 4 часа вечера,
а другой — в A в 9 часов вечера. В котором
часу в тот день был рассвет?
5. См. задачу 5 для 6 класс.
6. Квадрат разбили на 100 прямоугольников девятью верти-
кальными и девятью горизонтальными прямыми (параллельными
его сторонам). Среди этих прямоугольников оказалось ровно 9
квадратов. Докажите, что два из этих квадратов имеют одинако-
вый размер.


1998 год
6 КЛАСС
1. На глобусе проведены 17 параллелей и 24 меридиана. На
сколько частей разделена поверхность глобуса? Меридиан — это
дуга, соединяющая Северный полюс с Южным. Параллель — это
окружность, параллельная экватору (экватор тоже является па-
раллелью).

20
2. Три ёжика делили три кусочка сыра
массами 5 г, 8 г и 11 г. Лиса стала им по-
могать. Она может от любых двух кусочков
одновременно отрезать и съесть по 1 г сыра.
Сможет ли лиса оставить ёжикам равные
кусочки сыра?
3. Расположите в кружочках (вершинах
правильного десятиугольника) числа от 1 до
10 так, чтобы для любых двух соседних чи-
сел их сумма была равна сумме двух чисел, им противоположных
(симметричных относительно центра окружности).
4. Разрежьте фигуру, изоб-
ражённую на рисунке, на две ча-
сти, из которых можно сложить
треугольник.
5. На кольцевой дороге рас-
положены четыре бензоколонки:
A, B, C и D. Расстояние между
A и B — 50 км, между A и C —
40 км, между C и D — 25 км,
между D и A — 35 км (все расстояния измеряются вдоль кольце-
вой дороги в кратчайшую сторону).
а) Приведите пример расположения бензоколонок (с указани-
ем расстояний между ними), удовлетворяющий условию задачи.
б) Найдите расстояние между B и C (укажите все возможно-
сти).
6. Расставьте на шахматной доске 32 коня так, чтобы каждый
из них бил ровно двух других.

7 КЛАСС

1. См. задачу 1 для 6 класса.
2. В банановой республике прошли выборы в парламент, в
котором участвовали все жители. Все голосовавшие за партию
«Мандарин» любят мандарины. Среди голосовавших за другие
партии 90 % не любят мандарины. Сколько процентов голосов на-

21
брала партия «Мандарин» на выборах, если ровно 46 % жителей
любят мандарины?
3. См. задачу 5 для 6 класса.
4. На острове Контрастов живут и рыцари, и лжецы. Рыцари
всегда говорят правду, лжецы всегда лгут. Некоторые жители за-
явили, что на острове чётное число рыцарей, а остальные заявили,
что на острове нечётное число лжецов. Может ли число жителей
острова быть нечётным?
5. На Луне имеют хождение монеты достоинством в 1, 15
и 50 фертингов. Незнайка отдал за покупку несколько монет и
получил сдачу на одну монету больше. Какую наименьшую сумму
могла стоить покупка?
6. Из квадрата 5?5 вырезали центральную клетку. Разрежьте
получившуюся фигуру на две части, в которые можно завернуть
куб 2 ? 2 ? 2.


1997 год
6 КЛАСС

+ 314159
1. Витя выложил из карточек с цифрами пример
291828
на сложение и затем поменял местами две карточки.
Как видите, равенство нарушилось. Какие карточки
585787
переставил Витя?
2. В папирусе Ринда (Древний Египет) среди прочих сведений
содержатся разложения дробей в сумму дробей с числителем 1,
например,

<< Пред. стр.

страница 2
(всего 10)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

Copyright © Design by: Sunlight webdesign