LINEBURG


<< Пред. стр.

страница 10
(всего 10)

ОГЛАВЛЕНИЕ

4. б) См. рисунок.
5. См. решение задачи 4 для 5–6 классов.


1991 год
5–6 К Л А С С Ы
1. 1 + (2 + 3 + 4) · (5 + 6) = 100. Есть и другие решения
(попробуйте найти ещё хотя бы одно).
2. Предположим, что мы не заменяли какие-то две лампоч-
ки. Тогда, если нам не повезло и одна из них — перегоревшая,
то мы не сможем определить, какая именно. Значит, для того,
чтобы заведомо определить перегоревшую лампочку, необходимо
вывинтить хотя бы три из них (30 секунд) и завинтить на их место
какие-то другие (ещё 30 секунд).
Покажем, что 60 секунд всегда хватит. Вывинтим первую лам-
почку и завинтим на её место запасную (прошло 20 секунд). Если
гирлянда загорелась, то нам повезло и хватило даже 20 секунд.
Если же гирлянда не загорелась, значит, единственная неисправ-
ная лампочка ещё в гирлянде, а у нас в руках опять исправная.
Теперь вывинтим вторую и завинтим на её место бывшую первую
(в сумме прошло 40 секунд). Если нам опять не повезло, то вы-
винчиваем третью лампочку, а на её место завинчиваем бывшую
вторую (в сумме прошло 60 секунд). Если гирлянда всё ещё не

97
горит, то, значит, неисправна последняя лампочка. Решение за-
считывалось и тем школьникам, которые добавляли ещё 20 секунд
на замену последней лампочки.
3. Любая прямая, проходящая через центр квадрата, делит
его пополам. Поэтому надо провести разрез через центры обоих
квадратов.
4. Сумма любого числа чётных чисел чётная, а нечётного чис-
ла нечётных — нечётная. Значит, исходная сумма денег (сумма
какого-то числа 50-рублёвых и 100-рублёвых купюр) — чётная,
а полученная сумма денег (сумма 1991 купюры по 1, 3, 5 или
25 рублей) — нечётная.
5. Легко заметить, что однозначных чисел, больших нуля, с
требуемым свойством нет. Попробуем найти решение среди дву-
значных чисел. Если первая цифра двузначного числа равна a,
а вторая равна b, то само число равно 10a + b. Имеем 10a + b =
= 2(a + b). Отсюда 8a = b, то есть a = 1, b = 8.
Можно показать, что других решений нет (идея: самое малень-
кое трёхзначное число — 100, а самая большая сумма трёх цифр
9 + 9 + 9 = 27). Но это на олимпиаде не требовалось.

7 КЛАСС

1. См. решение задачи 1 для 5–6 классов.
2. См. решение задачи 4 для 5–6 классов.
4. Если бы они ответили одинаково, то Знайка никак не мог
бы их различить. Значит, второй ответил: нет“ . Теперь, если бы

Винтиком был первый, то получилось бы, что оба сказали правду.
А это противоречит условию. Значит, Винтик — второй, и они оба
солгали (что условием не запрещено).
5. а) Закон можно угадать, заметив, например, что пока число
однозначное, оно удваивается, а потом — вроде нет. А то, что 10
переходит в 2, наводит на мысль, что удваивается не само число,
а сумма его цифр. Итак, искомый закон обнаружен: «Удвоенная
сумма цифр».
Конечно, это не доказательство в строгом математическом
смысле этого слова. Например, так можно «доказать», что число

98
шестьдесят делится на все числа. Действительно, 60 делится на
1, на 2, на 3, на 4, на 5, на 6 . . . Однако для решения задачи
требуется только найти «достаточно простое» правило, следуя
которому можно получить такую последовательность. А уме-
ние увидеть, почувствовать закономерность (что требовалось в
данной задаче) не менее важно для математика, чем умение
строго рассуждать! Если вы найдёте какой-нибудь другой (но
тоже «достаточно простой») закон, дающий две последователь-
ности 2, 4, 8, 16, 14, 10, 2 и 3, 6, 12, напишите, пожалуйста,
нам (а на олимпиаде такое решение тоже было бы засчита-
но!).
б) См. решение задачи 5 для 5–6 классов.
в) Заметим, что если число не меньше, чем трёхзначное, то его
сумма цифр меньше самого числа. Значит, число будет умень-
шаться, пока не станет двузначным или однозначным. Остаёт-
ся единственная опасность: попасть в «неподвижную точку» —
18. Но это в нашем случае невозможно, так как исходное число
не делилось на 9 (докажите строго следующее свойство нашего
закона получения одних чисел из других: если некоторое число
делится на 9, то и число, из которого оно получено, тоже делится
на 9).


1990 год
5 КЛАСС
1. Общее число депутатов в обеих палатах чётное. Так как в
голосовании приняли участие все депутаты и не было воздержав-
шихся, то сумма голосов «за» и «против» равна общему числу
депутатов и поэтому чётная. Значит, и разность голосов «за» и
«против» тоже должна быть чётной, ведь она отличается от сум-
мы на удвоенное число голосов «против» (a + b = a ? b + 2b). Но
число 23 нечётно. Противоречие.
2. Не обязательно. Возьмём треугольник со сторонами 8 см,
12 см и 18 см и увеличим его в полтора раза. Получится треуголь-
ник с такими же углами, а стороны у него будут равны 12 см, 18 см

99
и 27 см. (Возможны и другие примеры неравных треугольников,
удовлетворяющих условиям задачи.)
Утверждение о том, что если у двух треугольников пропор-
циональны стороны, то их углы равны, строго доказать не так
просто. Для этого нужно знать преобразование подобия. На олим-
пиаде достаточно было сослаться на этот факт как на интуитивно
очевидный.
3. Задача состоит из двух частей: доказать, что за 25 минут
управиться можно, и доказать, что быстрее выполнить работу
нельзя. Начнём со второй части.
Всего у 60 лошадей 240 копыт. Если бы всю работу делал один
кузнец, то ему бы потребовалось 240 ? 5 = 1200 минут. Значит, 48
кузнецов никак не смогут выполнить всю работу быстрее, чем за
1200 : 48 = 25 минут.
Покажем теперь, как можно подковать всех лошадей за 25
минут. Разобьём кузнецов на 12 бригад по 4 кузнеца в каждой и
выделим каждой бригаде по 5 лошадей. Каждая бригада сможет
подковать «своих» лошадей за 25 минут следующим образом. Ор-
ганизуем конвейер, назначив каждого кузнеца «ответственным»
за определённую ногу лошади.
Первые пять минут первый кузнец подковывает переднюю
правую ногу первой лошади, второй — переднюю левую второй
лошади, третий — заднюю правую третьей, четвёртый — заднюю
левую четвёртой, а пятая лошадь отдыхает.
Затем сдвигаем лошадей «по кругу». Вторые пять минут пер-
вый кузнец подковывает переднюю правую ногу пятой лошади,
второй — переднюю левую первой лошади, третий — заднюю пра-
вую второй, четвёртый — заднюю левую третьей, а четвёртая
лошадь отдыхает.
Третьи пять минут первый кузнец подковывает переднюю пра-
вую ногу четвёртой лошади, второй — переднюю левую пятой
лошади, третий — заднюю правую первой, четвёртый — заднюю
левую второй, а третья лошадь отдыхает.
Продолжив работу по этой схеме, каждая бригада подкуёт
«своих» лошадей за 25 минут, а, значит, 48 кузнецов подкуют
60 лошадей за 25 минут.

100
5. Нарисуем равносторонний треугольник со сто-
роной 1 и сдвинем его «вверх» (или в любую другую
сторону, только не под углом 60? к стороне) на 1 (см.
рисунок). Вершины этих двух треугольников мы и
отмечаем: они удовлетворяют условию задачи.
Догадаться до этого решения можно так. Сделаем
из проволоки два равносторонних треугольника со
стороной 1. Расположим их в пространстве один над
другим на расстоянии 1 и соединим соответствующие вершины
проволокой (получается так называемая треугольная призма).
Теперь «аккуратно положим» этот проволочный каркас на плос-
кость.

6–7 К Л А С С Ы

3. Раскрасим в белый и чёрный цвет в шахматном порядке
маленькие кубики 1 ? 1 ? 1, из которых состоят куб и кирпичи.
В 13 кирпичах поровну (по 13) чёрных и белых кубиков, а в кубе
3 ? 3 ? 3 без центра одних — 12, а других — 14.
4. «Просеем» все числа от 1 до 200 через «решето Эрато-
сфена». Для этого зачеркнём сначала все числа, делящиеся на
2, потом — делящиеся на 3 (на 4 не надо! Почему?), потом —
делящиеся на 5 и т. д. Останутся незачеркнутыми только про-
стые числа (объясните, почему!). Такой метод выписывания всех
простых чисел и называется решетом Эратосфена.
Теперь найти нужные последовательности не так уж и слож-
но.
Поиск упростится, если заметить следующую закономерность.
Пусть есть три простых числа с одинаковой разностью между
ними, тогда эта разность — чётная (почему?). Если таких простых
чисел четыре, то разность делится ещё и на 3, а значит, уже и
на 6. (Подсказка: посмотрите на остатки от деления на 3). А
если таких простых чисел шесть, то разность делится ещё и на 5!
Доказать строго это не очень просто. Но нам не нужно в данной
задаче это доказывать — а интуитивное ощущение, что такой
факт верен, может очень ускорить поиск.

101
5. Обозначим через x число людей, являющихся математика-
ми и философами одновременно. Тогда число математиков рав-
но 7x, а число философов — 9x.
Если x = 0, то философов больше. А что значит, что x = 0?
Это значит, что ни тех, ни других нет вообще, то есть их «поров-
ну». Это правильный ответ, формально удовлетворяющий усло-
вию задачи. И те, кто его указал, вдвойне молодцы! Хотя решение
засчитывалось и тем, кто разобрал только случай, когда матема-
тики всё-таки есть.
6. Если маленький квадрат сдвинуть (без вращения) так, что-
бы его центр совпал с центром большого квадрата, то середины
всех четырёх отрезков AK, BM , CX и DY сдвинутся (одинаково!)
на половину длины сдвига маленького квадрата. Поэтому, если
они стали вершинами некоторого квадрата, то и до сдвига они
были вершинами некоторого квадрата. Осталось заметить, что
если центры квадратов совпадают, то вся «картинка» переходит
в себя при поворотах на 90? , 180? и 270? .




102
Тематический указатель
АРИФМЕТИКА И АЛГЕБРА
Доли и дроби: 04-6-3, 04-7-2, 03-6-4, 01-6-4, 00-7-2, 99-7-1, 97-6-2, 97-7-5, 96-7-2,
95-6-1, 94-6-6, 92-6-2
Проценты: 03-7-5, 01-7-2, 98-7-2, 96-6-2, 94-7-1, 91-7-3
Чётность: 02-7-3, 96-7-3, 90-5-1
Делимость, остатки, последние цифры: 04-7-1, 03-7-3, 02-6-3, 01-7-1, 98-7-5,
96-6-3, 95-7-5, 91-6-4
Разложение на множители, простые числа: 02-6-1, 01-6-1, 01-7-2, 99-6-2, 95-7-1,
94-6-3, 94-7-2, 93-7-2, 90-6-4
Уравнения и неравенства в целых числах: 03-6-1, 03-6-6, 02-6-2, 02-6-3, 02-7-1,
01-6-3, 01-6-5, 00-6-3, 00-7-4, 99-6-3
Формулы сокращённого умножения: 93-7-2
Последовательности: 94-6-2, 91-7-5
Конструкции с целыми числами: 04-6-1, 04-7-4, 01-7-3, 98-6-3, 96-7-1, 96-7-3,
93-6-4, 92-7-2, 91-6-5
Задачи на движение и работу: 04-7-6, 99-7-4, 93-6-2, 92-6-1, 92-6-4, 92-7-1,
Задачи на стоимость: 04-6-2, 01-6-2, 95-7-2, 93-7-5, 92-7-2

ЛОГИКА
Задачи-шутки: 96-6-1
Ребусы: 03-6-2, 02-6-1, 01-6-1, 97-6-1, 95-6-4, 94-7-3
Расстановки знаков, счастливые билеты: 03-7-1, 00-6-1, 95-7-4, 91-6-1
Рыцари и лжецы, «хитрые вопросы» 03-6-3, 02-6-5, 98-7-4, 96-6-4, 91-7-4
Турниры: 00-7-6
Игры: 94-7-5
Графы: 94-6-8, 93-6-8, 92-7-3, 91-6-6
Логика (разное): 04-6-5, 02-6-6, 02-7-3, 01-6-4, 00-6-5, 99-7-6, 98-6-2, 98-6-5,
98-7-2, 97-6-3, 97-6-6, 97-7-1, 97-7-2, 96-6-3, 96-7-4, 95-6-5, 94-6-1, 94-6-7,
94-7-6, 93-6-1, 93-6-5, 93-6-8, 93-7-5, 92-6-2, 92-6-4, 91-6-2, 90-5-3, 90-6-5
Принцип крайнего: 00-7-5
Вспомогательная раскраска: 03-7-6, 00-6-5
Доказательство от противного: 00-7-4
Обратный ход: 99-6-1, 96-7-2, 93-7-3

ГЕОМЕТРИЯ
Разрезания: 04-6-4, 03-6-5, 03-7-2, 99-7-2, 98-6-4, 97-6-4, 95-6-2, 95-7-6, 94-6-5
Геометрические конструкции
на плоскости: 04-7-2, 03-7-4, 03-7-5, 02-7-4, 01-7-4, 00-6-4, 00-7-3, 99-6-5,
99-6-6, 99-7-6, 98-6-1, 97-7-3, 96-6-5, 95-6-3, 95-7-3, 93-6-6, 93-7-4, 92-6-3,
92-7-4, 91-6-3, 90-5-2, 90-5-4, 90-5-5, 90-6-1, 90-6-2, 90-6-6
в пространстве: 97-7-6, 98-7-6, 97-6-5, 94-6-4, 94-7-4, 93-6-3, 93-7-6, 90-6-3
на шахматной доске: 02-6-4, 02-7-5, 01-6-6, 01-7-5, 00-6-2, 99-6-3, 98-6-6,
96-6-6, 95-6-6, 93-6-7, 93-7-1


103
Оглавление
О т а в т о р а ................................................ 3
А в т о р ы з а д а ч .......................................... 8
2004 год
Условия (10). Ответы (36). Указания (47). Решения (57)
2003 год
Условия (12). Ответы (37). Указания (48). Решения (59)
2002 год
Условия (14). Ответы (37). Указания (49). Решения (63)
2001 год
Условия (16). Ответы (38). Указания (49). Решения (67)
2000 год
Условия (17). Ответы (39). Указания (49). Решения (69)
1999 год
Условия (19). Ответы (40). Указания (50). Решения (70)
1998 год
Условия (20). Ответы (40). Указания (51). Решения (72)
1997 год
Условия (22). Ответы (41). Указания (51). Решения (74)
1996 год
Условия (24). Ответы (42). Указания (52). Решения (78)
1995 год
Условия (26). Ответы (43). Указания (52). Решения (83)
1994 год
Условия (28). Ответы (43). Указания (53). Решения (88)
1993 год
Условия (30). Ответы (44). Указания (53). Решения (92)
1992 год
Условия (32). Ответы (44). Указания (54). Решения (96)
1991 год
Условия (33). Ответы (45). Указания (55). Решения (97)
1990 год
Условия (35). Ответы (45). Указания (55). Решения (99)

Т е м а т и ч е с к и й у к а з а т е л ь . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

<< Пред. стр.

страница 10
(всего 10)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Copyright © Design by: Sunlight webdesign