LINEBURG


страница 1
(всего 10)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

И. В. Ященко




ПРИГЛАШЕНИЕ
НА
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ПРАЗДНИК




Москва
Издательство МЦНМО
2005
УДК 51
ББК 22.1, 74.200.58
Я97



Ященко И. В.
Я97 Приглашение на Математический праздник. — 2-е изд.,
доп. — М.: МЦНМО, 2005. — 104 с. — ISBN 5-94057-182-4.
В книге приводятся все задания Математического праздника —
самой массовой олимпиады по математике для учеников 6–7 классов
города Москвы. Почти ко всем заданиям даны ответы, указания и
решения.
Книга, рассчитанная на школьников 5–8 классов, будет полезна
также их учителям, родителям, руководителям кружков и всем, кто
любит решать занимательные задачи.
Первое издание книги увидело свет в 1998 году, настоящее (второе)
издание включает материалы всех Математических праздников с 1990
по 2004 год.

ББК 22.1, 74.200.58


Издание осуществлено при поддержке Департамента Образования
г. Москвы, Московского института открытого образования, корпорации
«Boeing», Научно-методического центра «Школа нового поколения».


Иван Валериевич Ященко
Приглашение на Математический праздник
Лицензия ИД № 01335 от 24.03.2000 г. Подписано в печать 04.12.2004 г.
Формат 60 ? 90 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Печ. л. 6,5.
Тираж 10000 экз. Заказ №
Издательство Московского центра
непрерывного математического образования
119002, Москва, Большой Власьевский пер., 11. Тел. 241-05-00.
Отпечатано с готовых диапозитивов в ФГУП «Полиграфические ресурсы».


c Ященко И. В., 1998, 2005
c МЦНМО, 2005
ISBN 5-94057-182-4
Памяти Димы Ботина,
замечательного человека,
учителя и организатора олимпиад
посвящается эта книга




ДОРОГОЙ ЧИТАТЕЛЬ!

Книжка, которую ты сейчас держишь в руках, — это при-
глашение учащимся 6–7 классов принять участие в Математи-
ческом празднике. Он традиционно проходит каждый год в одно
из воскресений февраля в Главном здании Московского государ-
ственного университета на Воробьёвых горах. В этот день сот-
ни школьников 6–7 классов приходят, чтобы решать интересные
задачи.

ЧТО ТАКОЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ПРАЗДНИК
И КАК ОН ПРОХОДИТ?

Начинается праздник в 10:00 (конечно, прийти лучше минут на
10–15 раньше). Сначала участников рассаживают по аудиториям
и объясняют «правила игры», ведь для многих это первое в их
жизни математическое соревнование.
А правила достаточно просты. Надо постараться решить как
можно больше задач, причём самому — разговаривать с соседями
не разрешается. (Играть надо честно!)
Решение записывайте аккуратно, на специальных бланках,
чтобы проверяющие могли это прочитать и понять! При этом
писать надо не только ответ, но и решение (обоснование). Не
бойтесь приступать к записи, особенно если вроде всё ясно, но
непонятно, с чего начать. Задачи на олимпиаде нестандартные,
и, в отличие от школьной контрольной, здесь нет специальных
правил оформления решений. Кроме того, никто не будет снижать
вам оценку за помарки, простят описку (если она не повлияла на
ход решения). Главное, чтобы была видна идея и были понятны

3
ваши мысли. Даже если задачу не удалось решить полностью,
запишите то, что удалось сделать — может быть, вы остановились
в одном шаге от цели, и это обязательно будет отмечено. Помните,
что просто верный ответ во многих задачах ценится ниже, чем
хорошее решение, но с опиской в конце.
Если задача не поддаётся, стоит перейти к следующей, а потом
вернуться ещё раз. Полученное решение лучше сразу записать, а
через некоторое время прочитать «свежим» взглядом.
На решение задач даётся 2 часа. Пока ребята решают задачи,
родители встречаются с представителями оргкомитета, руковод-
ством мехмата МГУ, руководителями кружков, учителями веду-
щих школ города.
Потом перерыв, во время которого можно послушать разбор
задач, посетить интересную лекцию по математике и перекусить.
В 14:00 начинается культурная программа (обычно это показ
мультфильмов). В 17:00–17:30 происходит награждение победите-
лей. После награждения — показ работ.
Информация о том, когда состоится математический празд-
ник, задачи прошлых лет, статистика всегда доступны на сайте
Московского центра непрерывного математического образования
(www.mccme.ru).
Ждём тебя на следующем Математическом празднике и Мос-
ковской математической олимпиаде!

ИЗ ИСТОРИИ ПРАЗДНИКА

Математический праздник впервые был проведён в 1990 году
по инициативе преподавателей математического кружка при МГУ
(Малого мехмата) Димы Ботина (памяти которого посвящает-
ся эта книга), Саши Спивака и автора этих строк. На первом
празднике было около 200 ребят — в основном из математических
кружков. С 1990 года Математический праздник стал ежегодным.
Число участников неуклонно росло. В 2004 году их уже было
около 2000. Многие участники приехали из других городов. С
1994 года Праздник является частью Московской математической
олимпиады.

4
За эти годы из небольшого соревнования для кружковцев Ма-
тематический праздник превратился в яркий праздник для сотен
ребят. Многие его участники (не только победители!), окунувшись
в атмосферу математики, впоследствии успешно занимались в
кружках, специализированных школах, окончили ведущие вузы,
прежде всего МГУ.
Математический праздник проводится силами сотен энтузиа-
стов — студентов и аспирантов мехмата, руководителей кружков,
преподавателей вузов, учителей и школьников старших классов
ведущих математических школ — низкий им всем поклон. Без
них Праздника бы не было... Размер этой книги не позволяет пе-
речислить всех, кто вложил часть своей души в Математический
праздник за прошедшие 15 лет, упомянем лишь тех, кто много
лет вносил большой вклад в работу оргкомитета и методической
комиссии: Л. Д. Альтшуллер, Н. Н. Андреев, В. Д. Арнольд,
А. Д. Блинков, Д. Ботин , В. Бугаенко, Т. Галкина, Б. П. Гейдман,
Ю. Герман, Т. Голенищева-Кутузова, Д. Григоренко, В. Гуровиц,
Б. М. Давидович, С. А. Дориченко, Е. Ю. Иванова, А. Н. Кар-
пов, А. К. Ковальджи, В. Клепцын, В. Крюков, Ю. Кудряшов,
Р. Кузнец, Н. Кулакова, А. Кулыгин, С. Маркелов, А. Митягин,
М. Панов, М. Потанин, В. Радионов, А. В. Спивак, Р. Фёдо-
ров, В. Фурин, А. Хачатурян, В. П. Хованский, П. В. Чулков,
С. Шалунов, И. Ф. Шарыгин , А. Шень, В. В. Ященко.
Праздник был бы невозможен без поддержки со стороны ру-
ководства и сотрудников Московского государственного универ-
ситета (в первую очередь ректората и механико-математического
факультета): в этот день б?льшая часть комплекса МГУ на Во-
о
робьёвых Горах — в распоряжении участников этого соревнова-
ния.
С 1994 года Математический праздник поддерживается Де-
партаментом образования и Московским институтом открытого
образования. Все последние годы эта работа идёт в рамках Мос-
ковской программы «Одарённые дети».
И конечно, у математического праздника не было бы участни-
ков, если бы учителя, руководители кружков, родители не зани-
мались бы с детьми математикой.

5
ОБ ЭТОЙ КНИГЕ


Вы держите в руках второе (дополненное) издание. Первое
издание вышло в 1998 году.
В первой части книги приведены условия задач Математи-
ческих праздников 1990–2004 годов. Можно просто решать те
задачи, которые вам понравятся, а можно иногда и поиграть
в олимпиаду — попытаться решить как можно больше задач
одной олимпиады за 2 часа. Обычно (но не всегда!) первые две
задачи попроще, последние посложнее, причём все задачи на
разные темы, так что 2–3 решённые задачи — это уже очень
неплохой результат! Иногда (особенно в задачах первых празд-
ников, в которых участвовали в основном кружковцы) могут
встретиться задачи, использующие знания, которые формально
выходят за рамки школьной программы соответствующего клас-
са. Впрочем, сейчас, с распространением огромного числа аль-
тернативных учебников, тяжело определить, что, собственно, в
эту программу входит. В то же время, если у вас достаточно
сообразительности и интуиции, нащупать путь решения всегда
можно!
После того как задача решена, загляните во вторую часть
книги и проверьте свой ответ. Также очень советуем сверить своё
решение с приведённым в четвёртой части книги — кроме провер-
ки правильности своего решения (даже если у вас совпал ответ,
решение может быть неверным!) вы можете узнать другие подхо-
ды к задаче, прочитать интересные комментарии.
Если задача не поддаётся, стоит заглянуть в третью часть
книги — там может содержаться подсказка или даже идея ре-
шения. Но не спешите — не лишайте себя радости маленького
математического открытия! С помощью этих подсказок учитель
может помочь ученику на кружке (но не на олимпиаде!).
В тематическом указателе в конце книги задачи сгруппи-
рованы по тематике, по основным идеям решения. Это помо-
жет школьнику попрактиковаться в определённых методах ре-
шения, а учителю — подобрать задачи для математического
кружка.

6
Много других задач, интересных материалов для кружков
и самостоятельных занятий — в частности, задачи большин-
ства математических соревнований (www.mccme.ru/olympiads),
замечательные книги от старинной «Арифметики» Л. Ф. Маг-
ницкого до современных изданий (www.mccme.ru/ilib), архивы
журнала «Квант» (kvant.mccme.ru), — можно найти на сайте
Московского центра непрерывного математического образования
(www.mccme.ru) и в проекте «Задачи» (www.problems.ru).

БЛАГОДАРНОСТИ

При подготовке данной книги, кроме архивов автора, исполь-
зовались сборники задач и решений, которые ежегодно издаются
оргкомитетом, книга «Московские математические олимпиады 60
лет спустя» (составители А. Я. Канель-Белов, А. К. Ковальд-
жи, под ред. Ю. С. Ильяшенко и В. М. Тихомирова) и матери-
алы, предоставленные Д. Ботиным, В. Бугаенко, А. К. Коваль-
джи, А. В. Спиваком, Р. Фёдоровым. Внимательно прочитали
рукопись и сделали много полезных замечаний В. Д. Арнольд,
Д. и М. Вельтищевы, Т. Караваева, Ю. Кудряшов, А. В. Семёнов,
В. В. Ященко.
Отдельная благодарность В. Радионову, который не только
подготовил оригинал-макет и иллюстрации, но и исправил ряд
неточностей.
И. Ященко
02.12.04




7
АВТОРЫ ЗАДАЧ

Задачи, несомненно, определяют лицо Математического
праздника. Окончательные условия задач и сами варианты
рождаются после долгих раздумий и обсуждений. И в ре-
зультате зачастую трудно установить, кто же конкретно яв-
ляется автором той или иной задачи. Кто-то бросил идею,
другой придумал красивую формулировку. Тем не менее, мы
решились привести список авторов задач — в тех случаях,
где это «удалось установить». Приносим свои извинения за
возможные неточности. Будем рады любым замечаниям и ис-
правлениям.

1990 год. 6 класс: И. Ященко (1), Д. Ботин (3), А. Спивак (5).
7 класс: А. Спивак (1), И. Шарыгин (2), Д. Ботин (3), И. Шарыгин (6).
1991 год. 6 класс: И. Ященко (2, 6), Д. Ботин (4), А. Спивак (5).
7 класс: Д. Ботин (3–5).
1992 год. 6 класс: Д. Ботин (2), И. Ященко (4). 7 класс: Д. Ботин
(2, 3).
1993 год. 6 класс: А. Спивак (1, 4, 7), Д. Ботин (2, 3, 6), Е. Ива-
нова (5). 7 класс: А. Спивак (1, 3), И. Ященко (1, 5), И. Шарыгин (4),
Д. Ботин (5, 6).
1994 год. 6 класс: Д. Ботин (1–6, 8), С. Токарев (7). 7 класс:
А. Спивак (1), И. Ященко (2, 3, 5), Д. Ботин (4), А. Ковальджи (6).
1995 год. 6 класс: Д. Ботин (2), И. Шарыгин (3, 5), Е. Пронина (4),
В. Ковальджи (6). 7 класс: Р. Фёдоров (1), Д. Ботин (2), И. Шары-
гин (3), И. Ященко (4), А. Спивак (5), С. Маркелов (6).
1996 год. 6 класс: И. Шарыгин (2), Н. Васильев (3), А. Спивак
(4, 6), Д. Ботин (5). 7 класс: А. Галочкин (1), А. Ковальджи (3, 5),
С. Токарев (6).
1997 год. 6 класс: В. Замков (1), А. Спивак (2, 4, 5), А. Галоч-
кин (3). 7 класс: С. Дориченко (1), И. Ященко (2, 5), А. Ковальджи (3),
А. Галочкин (4), А. Спивак (5), А. Шень (6).
1998 год. 6 класс: М. Семёнова (1), А. Ковальджи (2), И. Ящен-
ко (5), М. Евдокимов (6). 7 класс: М. Семёнова (1), Р. Фёдоров (2),
И. Ященко (3), В. Произволов (4), А. Шаповалов (5), С. Токарев (6).
1999 год. 6 класс: Д. Калинин (1, 2), А. Митягин (3), Р. Гордин (5),
В. Гуровиц (6). 7 класс: Р. Фёдоров (1), Д. Калинин (2), Р. Гордин (5),
В. Произволов (6).

8
2000 год. 6 класс: А. Митягин (1, 2, 3), В. Клепцын (3), А. Спи-
вак (5). 7 класс: А. Митягин (1), В. Клепцын (2), А. Шень (3), В. Про-
изволов (4), Г. Гальперин (5).
2001 год. 6 класс: А. Блинков (1), А. Саблин (2), А. Спивак,
И. Ященко (3), А. Митягин (4), Т. Голенищева-Кутузова, В. Клеп-
цын (5), И. Акулич (6). 7 класс: С. Маркелов (1), И. Ященко (2),
Т. Голенищева-Кутузова, В. Гуровиц, П. Кожевников, И. Ященко (3),
А. Шень (4), А. Спивак (5).
2002 год. 6 класс: А. Блинков, А. Хачатурян (1), А. Митягин (2),
В. Произволов (3), И. Акулич (4), А. Чеботарёв (5), И. Григорьева (6).
7 класс: Г. Гальперин, Д. Григоренко (1), А. Митягин (2), И. Ященко (3),
М. Панов (4), И. Акулич (5), Е. Иванова (6).
2003 год. 6 класс: С. Токарев (1–3), А. Хачатурян (2), А. Спивак
(4, 5), А. Кустарёв (6). 7 класс: Т. Голенищева-Кутузова, И. Ященко (1)
А. Чеботарёв (2), О. Карпенков (3), В. Произволов (4), Р. Фёдоров (5),
Ю. Игнатов, С. Токарев (6).
2004 год. 6 класс: А. Хачатурян (2, 4), Т. Голенищева-Кутузова (3),
А. Шень (5). 7 класс: И. Ященко (1, 6), Т. Голенищева-Кутузова (2, 3),
Ю. Кудряшов (2), А. Шень (4), А. Хачатурян (5).




9
2004 год
6 КЛАСС

1. Кузнечик прыгает вдоль прямой вперёд на 80 см или назад
на 50 см. Может ли он менее чем за 7 прыжков удалиться от
начальной точки ровно на 1 м 70 см?
2. Килограмм говядины с костями стоит 78 рублей, килограмм
говядины без костей — 90 рублей, а килограмм костей — 15 руб-
лей. Сколько граммов костей в килограмме говядины?
3. a) Придумайте три правильные несократимые дроби, сумма
которых — целое число, а если каждую из этих дробей «перевер-
нуть» (т. е. заменить на обратную), то сумма полученных дробей
тоже будет целым числом.
б) То же, но числители дробей — не равные друг другу нату-
ральные числа.
4. Сложите из фигур, изображённых на рисунке,
а) квадрат размером 9 ? 9 с вырезанным в его центре
квадратом 3 ? 3; б) прямоугольник размером 9 ? 12.
(Фигуры можно не только поворачивать, но и пе-
реворачивать.)
5. Вадик написал название сво- Таблица 1 Таблица 2
его родного города и все его цик-
МОСКВА АМОСКВ
лические сдвиги (перестановки по АМОСКВ ВАМОСК
кругу), получив таблицу 1. Затем, ВАМОСК КВАМОС
упорядочив эти «слова» по алфави- КВАМОС МОСКВА
СКВАМО ОСКВАМ
ту, он составил таблицу 2 и выпи-
ОСКВАМ СКВАМО
сал её последний столбец: ВКСАМО.
Саша сделал то же самое с на-
званием своего родного города и получил «слово» МТТЛАРАЕКИС.
Что это за город, если его название начинается с буквы С?

10
7 КЛАСС

1. Ваня задумал простое трёхзначное число, все цифры кото-
рого различны. На какую цифру оно может оканчиваться, если
его последняя цифра равна сумме первых двух?
2. Кролик, готовясь к приходу гостей, повесил в трёх углах
своей многоугольной норы по лампочке. Пришедшие к нему
Винни-Пух и Пятачок увидели, что не все горшочки с мёдом
освещены. Когда они полезли за мёдом, две лампочки разбились.
Кролик перевесил оставшуюся лампочку в некоторый угол так,
что вся нора оказалась освещена. Могло ли такое быть? (Если да,
нарисуйте пример, если нет, обоснуйте ответ.)
3. На доске написаны три правильные несократимые дроби,
дающие в сумме единицу, причём их числители — различные на-
туральные числа. Оказалось, что если каждую из этих дробей
«перевернуть» (т. е. заменить на обратную), то сумма получен-
ных дробей будет натуральным числом. Приведите пример таких
дробей.
4. Таня написала название сво- Таблица 1 Таблица 2
его родного города и все его цик-
МОСКВА АМОСКВ
лические сдвиги (перестановки по АМОСКВ ВАМОСК
кругу), получив таблицу 1. Затем, ВАМОСК КВАМОС
упорядочив эти «слова» по алфави- КВАМОС МОСКВА
СКВАМО ОСКВАМ
ту, она составила таблицу 2 и выпи-
ОСКВАМ СКВАМО
сала её последний столбец: ВКСАМО.
Валера сделал то же самое с на-
званием своего родного города и получил «слово» ОССНГСОРОК.
Что это за город, если его название заканчивается на букву К?
5. См. задачу 4 а) для 6 класса.
6. Из Цветочного города в Солнечный ведёт шоссе длиной
12 км. На втором километре этого шоссе расположен железно-
дорожный переезд, который три минуты закрыт и три минуты
открыт и т. д., а на четвёртом и на шестом километрах распо-
ложены светофоры, которые две минуты горят красным светом
и три минуты — зелёным и т. д. Незнайка выезжает из Цветоч-
ного города в Солнечный в тот момент, когда переезд только что

11
закрылся, а оба светофора только что переключились на красный.
За какое наименьшее время (в минутах) он сможет доехать до
Солнечного города, не нарушая правил, если его электромобиль
едет по шоссе с постоянной скоростью (Незнайка не умеет ни
тормозить, ни увеличивать скорость)?


2003 год
6 КЛАСС
1. Один мальчик 16 февраля 2003 года сказал: «Разность меж-
ду числами прожитых мною (полных) месяцев и прожитых (пол-
ных) лет сегодня впервые стала равна 111». Когда он родился?
2. Найдите наименьшее четырёхзначное число СЕЕМ, для кото-
рого существует решение ребуса МЫ + РОЖЬ = СЕЕМ. (Одинаковым

страница 1
(всего 10)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

Copyright © Design by: Sunlight webdesign