LINEBURG


страница 1
(всего 2)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

«Золотое сечение»
40

Тема урока: «ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ»
(8 – 9 класс, 2 часа)
Содержание
«Золотое сечение», «золотой треугольник», «золотой прямоугольник»,
«золотая спираль». Числовое значение золотого отношения. Деление отрезка в
золотом отношении.
Цель изучения
1. Расширить кругозор учащихся, способствовать развитию познавательно-
го интереса.
2. Показать школьникам общеинтеллектуальное значение математики.
Способствовать познанию законов красоты и гармонии окружающего мира.
Прогнозируемый результат
1. Знать понятия «золотое сечение», «золотой треугольник», «золотой пря-
моугольник».
2. Знать числовое значение золотого отношения.
3. Уметь делить отрезок в золотом отношении.
План урока
1. Вступительное слово учителя.
2. «Золотое сечение» в математике: постановка задачи, аналитическое и
геометрическое решение пропорции
а х
= .
х а?х
3. «Золотое сечение» в природе, технике, искусстве (сообщения учащихся).
4. Подведение итога урока.
5. Домашнее задание.
Оборудование
Чертежные инструменты.
1.
Плакат «Золотое сечение» в природе.
2.
Гербарии.
3.
«Раскладушка»: пентаграмма, лотарингский крест, закон углов, деление
4.
отрезка в золотом отношении, работы Фидия …
Эпиграф урока
«…Геометрия владеет двумя сокровищами – теоремой Пифагора и золо-
тым сечением, и если первое из них можно сравнить с мерой золота, то второе –
с драгоценным камнем…».
Иоганн Кеплер
Ход урока
«Золотое сечение» 41

Окружающий нас мир многообразен…
Вы, наверное, обращали внимание, что мы неодинаково относимся к
предметам и явлениям окружающей действительности. Беспорядочность, бес-
форменность, несоразмерность воспринимаются нами как безобразное и произ-
водят отталкивающее впечатление. А предметы и явления, которым свойствен-
на мера, целесообразность и гармония воспринимаются как красивое и вызы-
вают у нас чувство восхищения, радости, поднимают настроение.
Людей с давних времён волновал вопрос, подчиняются ли такие неуло-
вимые вещи как красота и гармония, каким-либо математическим расчётам.
Можно ли «проверить алгеброй гармонию?» – как сказал А.С. Пушкин.
Конечно, все законы красоты невозможно вместить в несколько формул,
но, изучая математику, мы можем открыть некоторые слагаемые прекрасного.
Сегодня на уроке я познакомлю вас с одним из таких математических со-
отношений, там, где оно присутствует, ощущается гармония и красота.

Тема сегодняшнего урока «Золотое сечение и гармония форм природы и
искусства». Откройте тетради, запишите число … и тему урока …

Эпиграфом урока будут слова немецкого астронома и математика Иоган-
на Кеплера: «…Геометрия владеет двумя сокровищами – теоремой Пифагора
и золотым сечением, и если первое из них можно сравнить с мерой золота, то
второе – с драгоценным камнем…».
Теорему Пифагора знают многие люди, а вот что такое «золотое сечение»
– далеко не все. Сегодня на уроке я познакомлю вас с этим понятием, научу де-
лить отрезок в золотом отношении, увидим, где оно встречается в природе, как
используется в технике и произведениях искусства.

Что же такое золотое сечение?

Рассмотрим отрезок АВ.

• • •
А С В

Его можно разделить точкой С на две части бесконечным множеством
способов, но говорят что точка С производит золотое сечение отрезка АВ, если
выполняется пропорция: длина меньшего отрезка так относится к длине боль-
шего, как больший отрезок относится к длине всего отрезка, т.е.
СВ АС
= . (1)
АС АВ
Термин золотое сечение ввёл в XVI веке великий художник, учёный и изо-
бретатель Леонардо да Винчи. В истории утвердились три варианта назва-
«Золотое сечение»
42

ния: золотое сечение, золотая пропорция и третье – деление отрезка в среднем и
крайнем отношениях. Кроме того, золотое сечение награждали эпитетами «бо-
жественное», «чудесное», «превосходнейшее», потому что-то, где оно присут-
ствует, вызывает у нас ощущение красоты и гармонии. Об этом поговорим чуть
позже.
Чтобы и вы смогли увидеть золотое сечение в природе, в произведениях
искусства, я научу вас сейчас делить отрезок в среднем и крайнем отношениях,
т.е. делить отрезок в золотом отношении.

Деление отрезка в золотом отношении
l
Д а н о: П о с т р о е н и е. ?D
отрезок АВ. (не мельчите!)

П о с т р о и т ь: E
золотое сечение отрезка АВ, т.е. ?
точку С так, чтобы
СВ АС
= .
АС АВ

? ? ?
A C B
1) l ? AB, B? l;
Построим прямоугольный треугольник,
2) BD = 2 AB, D ? l;
1
у которого один катет в два раза больше другого.
Для этого восстановим в точке В перпендикуляр 3) AD;
4) DE = BD, E ? AD;
к прямой АВ и на нём отложим отрезок BD = 2 AB.
1

5) AC = AE, C ? AB;
Далее, соединив точки А и D, отложим от-
резок DЕ = ВD, и наконец, АС = АЕ. 6) Точка С – искомая.
Точка С является искомой, она производит
золотое сечение отрезка АВ.

Д о к а з а т е л ь с т в о.
? ABD – прямоугольный по построению. По теореме Пифагора
AD2 = AB2 + BD2,
так как отрезок AD равен сумме отрезков AE и ED, то равенство перепишем в
виде:
(AE + ED)2 = AB2 + BD2,
¦ ¦ ¦
1 1
AC 2 AB AB
2
AB)2 = AB2 + ( 2 AB)2,
1 1
(AC + 2
«Золотое сечение» 43

AC2 + 2· 2 AC·AB + 4 AB2 = AB2 + AB2,
1 1 1
4
AC2 + AC·AB = AB2, AC2 = AB2 – AC·AB, AC2 = (AB – AC) ·AB,
СВ
СВ АС
=
2
AC = CB·AB, .
АС АВ
И с с л е д о в а н и е. Задача имеет единственное решение.
Ч. т. д.
Деление отрезка в золотом отношении – это очень древняя задача. Она
присутствует в «Началах» Евклида, который решил её другим способом. С этим
решением вы можете познакомиться после урока, прочитав материалы «раскла-
душки».
Золотое сечение записывается с помощью пропорции. Пропорция – это
равенство двух отношений. Вам, я думаю, интересно узнать численное значе-
ние этих отношений. Сейчас мы его найдём.
Для удобства длину отрезка АВ обозначим за а, а длину отрезка АС – за
х, то длина отрезка СВ будет а – х.
х а–х
• • •
А С В
a
a?x x
= . (2)
Пропорция (1) примет вид
x a
(Отношение длины меньшего отрезка а – х к длине большего отрезка х
равно отношению большего отрезка х к длине всего отрезка а).
Так как отношения составляющие пропорцию равны, то найдём числен-
х
ное значение, например, отношения а .
По свойству пропорции: произведение средних членов равно произведе-
нию крайних членов. Равенство (2) перепишется в виде
х 2 = а ? (а ? х ) .
Раскроем скобки и все слагаемые перенесём в левую часть:
х 2 = а 2 ? ах,
х 2 + ах ? а 2 = 0 .
Решать получившееся квадратное уравнение относительно х к доске пой-
дёт …
D = а 2 ? 4 ? 1? ( ?а 2 ) = а 2 + 4а 2 = 5а 2 .
Так как, а – это длина отрезка, поэтому D > 0, уравнение имеет 2 корня.
? a ± 5a 2 ? a ± a 5 ? a ± a 5
= = =
x1,2 ;
2 2 2
«Золотое сечение»
44

?a?a 5 ?a+a 5
x1 = x2 =
; .
2 2
x
Напоминаю, что мы находим значение .
a
Получилось два значения х, но х – это длина отрезка, т.е. число положи-
тельное.
Проверим, удовлетворяет ли x1 этому условию? ( x1 не удовлетворяет
условию, так как меньше нуля).
Удовлетворяет ли x 2 этому условию?
( )
a 5 ?a 5 ?1 ?a
x2 = = ;
2 2
5 ?1
> 0, а > 0.
5 > 1,
2
Значит, x 2 > 0.
Находим отношение
( )
5 ?1 ?a 5 ?1
x
= = .
a 2a 2
Чтобы вы лучше представили это число, вычислите значение этого выра-
жения с помощью микрокалькулятора с точностью до сотых.
5 ?1
? 0,62 = ?.
2
Следовательно, отношение длины меньшего отрезка к длине большего
отрезка и отношение большего к длине всего отрезка равно 0,62. Такое отно-
шение и будет золотым. Полученное число обозначается буквой ?. Это первая
буква в имени великого древнегреческого скульптора Фидия, жившего в V в до
н.э., который часто использовал золотое отношение в своих произведениях.
О творениях Фидия будет рассказано чуть позже.
Итак, вы узнали, что такое золотое сечение и как разделить произвольный
отрезок в золотом отношении.
Так когда же некоторая точка С производит золотое сечение отрезка AD?
(Точка С производит золотое сечение отрезка АВ, если выполняется пропор-
ция: длина меньшего отрезка так относится к длине большего, как больший
отрезок относится к длине всего отрезка, т.е.
СВ АС
= .
АС АВ
На уроках геометрии мы изучили равнобедренный треугольник, равно-
сторонний треугольник, оказывается, существует ещё так называемый золотой
треугольник.
«Золотое сечение» 45

Золотым называется такой равнобедренный треугольник, основание
и боковая сторона которого находятся в золотом отношении:
В




АС
=?
АВ




А С
А сейчас проведём психологический опыт.
Начертите на альбомном листе любой прямоугольник, но какой вам
больше нравиться(!).
Найдите отношение ширины прямоугольника к его длине. (Учитель про-
ходит между рядами.)
Чему равно получившееся отношение?
Результаты показали, что у большинства из вас отношение сторон оказа-
лось близким к числу ?. И это не случайно, так как многим людям кажутся кра-
сивыми и гармоничными именно те фигуры, в которых есть элементы, связан-
ные друг с другом золотым отношением.
Прямоугольник, стороны которого находятся в золотом отношении, т.е.
отношение ширины к длине даёт число ?, называется золотым прямоуголь-
ником.
Давайте начертим такой прямоугольник в тетради. Для этого мы не будем
новый отрезок делить в золотом отношении, а воспользуемся результатом зада-
чи на построение. Ширину прямоугольника возьмём равную отрезку СВ, а дли-
ну – АС. Прямые углы начертим с помощью чертёжного треугольника.
L M

KL
=?
KN

K N
Окружающие нас предметы дают примеры золотого прямоугольника: об-
ложки многих книг, журналов, тетрадей, открытки, картины, крышки столов,
экраны телевизоров и т.д. близки по размерам к золотому прямоугольнику.
«Золотое сечение»
46

Возьмём, например, наш учебник геометрии. Найдите отношение шири-
ны к длине. Чему равно получившееся отношение?
? ? 0,666…
Какой можно сделать вывод? (Прямоугольник близок к золотому прямо-
угольнику.)
А теперь продолжим работу с золотым прямоугольником.
В нём построим квадрат со стороной, равной меньшей стороне прямоугольни-
ка, у которого с прямоугольником общий прямой угол. Оказывается, снова по-
лучим золотой прямоугольник меньших размеров. В этом прямоугольнике сно-
ва построим квадрат, у которого с прямоугольником общий угол, и со стороной
равной меньшей стороне прямоугольника. Снова получился золотой прямо-
угольник. Произведём несколько аналогичных построений.
Видим, что весь прямоугольник оказался составленным из вращающихся
квадратов. Соединим противолежащие вершины квадратов плавной кривой.
Сделаем это с помощью циркуля следующим образом…




Мы получили кривую, которая является золотой спиралью. Оказыва-
ется, в природе встречаются и золотое сечение и золотая спираль. Об этом нам
расскажет …
Сообщение
Интерес человека к природе привёл к открытию её физических и матема-
тических закономерностей. Красота природных форм рождается во взаимодей-
ствии двух физических сил – тяготении и инерции. Золотая пропорция – это
математический символ этого взаимодействия, поскольку выражает основные
моменты живого роста: стремительный взлёт юных побегов сменяется замед-
ленным ростом «по инерции» до момента цветения.
Рассматривая расположение листьев на общем стебле многих растений,
можно заметить, что между каждыми двумя парами листьев третья расположе-
на в месте золотого сечения. Точка С делит отрезок АВ в золотом отношении,
точка Е делит отрезок DA в золотом отношении и так далее.
Золотую спираль также можно заметить в созданиях природы.
Рассмотрим расположение семечек в корзине подсолнуха. Они выстраи-
ваются вдоль спиралей, которые закручиваются как слева направо, так и справа
налево. В одну сторону у среднего подсолнуха закручено 13 спиралей, в дру-
гую – 21. Отношение 13/21 равно ?. У более крупных соцветий подсолнуха
«Золотое сечение» 47

число соответствующих спиралей больше, но отношение числа спиралей, за-
кручивающихся в разных направлениях также равно числу ?.




Похожее спиральное расположение наблюдается у чешуек сосновых ши-
шек или ячеек ананаса. По золотой спирали свёрнуты раковины многих улиток
и моллюсков, некоторые пауки, сплетая паутину, закручивают нити вокруг цен-
тра по золотым спиралям. Рога архаров закручиваются по золотым спиралям.




Природа повторяет свои находки, как в малом, так и в большом. По золо-
тым спиралям закручиваются многие галактики, в частности и галактика Сол-
нечной системы.
«Золотое сечение»
48

Из всего сказанного можно сделать выводы:
во-первых, золотое сечение – это один из основных основополагающих
принципов природы;
во-вторых, человеческое представление о красивом явно сформировалось
под влиянием того, какой порядок и гармонию человек видит в природе.

Учитель. Человек – венец творения природы… Установлено, что золо-
тые отношения можно найти и в пропорциях человеческого тела. Кроме того,
человек сам является творцом, создаёт замечательные произведения искусства,
в которых просматривается золотая пропорция. Об этом нам расскажет…

Сообщение
Начну с пропорции головы человека.
Оказывается, что у большинства людей, верхняя точка уха, на рисунке
это точка В, делит высоту головы вместе с шеей, т.е. отрезок АС, в золотом от-
ношении.




Нижняя точка уха, точка D, делит в золотом отношении расстояние ВС,
т.е. расстояние от верхней части уха до основания шеи.
Подбородок делит расстояние от нижней точки уха до основания шеи в
золотом отношении, т.е. точка Е делит в золотом отношении отрезок DC.
Перейду к пропорциям тела.
Измерения нескольких тысяч человеческих тел позволили обнаружить,
что пупок делит высоту человека в золотом отношении.
«Золотое сечение» 49

Основание шеи делит расстояние от макушки до пупка в золотом отно-
шении.




АПОЛЛОН
БЕЛЬВЕДЕРСКИЙ
Эти пропорции я показал(а) на изображении знаменитой скульптуры
Аполлона Бельведерского. Аполлон считается образцом мужской красоты.
На досуге, вы можете найти пропорции своей головы, тела и узнать,
близки ли вы к эталону красоты.

Но не только создатель Аполлона, но и скульптор Фидий, как уже гово-

страница 1
(всего 2)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

Copyright © Design by: Sunlight webdesign