LINEBURG


<< Пред. стр.

страница 3
(всего 19)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

, (8)
p? = 3 = 3?
? ? = 2?? ? , ?1 ? ? ? ? 1 . (4) ?
( )
?m
? 2 3 + µ?
2
?
? ?
В этом случае все множество НС заполняет прямоугольник
µ? = µ? sign? m , p? = p? sign? m , sign? m = 1 (m=1), sign? m = ?1 (m=3).
{?1 ? ? ? ? 1; ? 1 ? µ? ? 1;} , (5)
?k = 0
Решая уравнение с использованием (6), (8) относительно, напри-
который можно определить как поле НС, отображающее в системе ? ? , µ?
мер, ? ? , получаем связь между ?? µ? на границах I, II (m=1, линия T1 P
и
бесконечное множество НС на плоскость.
Поле (5) можно разбить по некоторым признакам на зоны, связанные с на рис. 1) и III, IV (m=3, линия CN 3 на рис.1) классов:
определенными классами НС. Так, если ввести в анализ, как и в работе [1],
понятие наибольшего по модулю главного нормального напряжения ? m и
( )
? 2 3+ µ 2 ?
2
? ? = arcсtg ? ( 3 ? sign? m ? µ? ) ? .
?
безразмерные главные напряжения ? 1 ? m , ? 2 ? m , ? 3 ? m , то индекс (9)
( )
? 9?µ 2 ?
?
? ?
?
? ?
m=1,3. Тогда для индекса другого главного нормального напряжения k =1,3,
k ? m произведение ? m ? ? k для фиксированного значения m может быть Условие ? 1 ? 3 = ?? 3 ? 1 на основе (6), (8) определяет линию раздела
? m ? ? k ? 0 или ? m ? ? k ? 0 . Отсюда – четыре основные класса НС (табл. 1) между областями II , III (линия V1 V3 на рис. 1):

( )?.
? 2 3+ µ 2
Табл. 1. Признаки классов НС. 2
? ? = arcсtg ? ?
?
(10)
? ?
? µ?
I класс II класс III класс IV класс
? ?
? ?
? 1 ?0 ? 1 ?0
? 3 ?0 ? 3 ?0
На рис. 1 кроме поля НС показаны на основе (6)-(8) графики изменения
?3 < 0
? 1 >0
безразмерных напряжений для двух крайних значений µ? = ±1 в зависимости
m=1, k=3 m=3, k=1
от параметра ? ? .
Границами раздела зон (классов) в поле НС (5) являются линии
? ? = ? ? ( µ? ) для ? k ? m = 0 , причем при разграничении I и II классов m=1,
k=3, а для III и IV классов m=3, k=1. Граница раздела II и III зон определяет-
ся условием ? 1 ? 3 = ?? 3 ? 1 . По определению модуль ? m , т. е. ? m >0.
Для аналитического представления указанных выше границ между харак-
терными зонами поля НС, воспользуемся формулами (9), (10) из работы [1]
для определения главных напряжений, отнесенных к модулю ? m , где вместо


23 24
Чем ближе точка, изображающая данное НС в координатах ? ? , µ? , к ли-
?k ?m
µ? = +1
нии ? ? = 1 , соответствующей равномерному трехосному растяжению, тем
1
-0,5 ? 1 = ? 2 больше вероятность реализации хрупкого состояния при прочих равных ус-
??
-0,4
-0,8 0,8 1
-1 0,4
ловиях нагружения.
-0,5 ? 3 Можно ввести более тонкую градацию НС, если дополнительно восполь-
-1 зоваться тремя основными видами НС (растяжение, сдвиг, сжатие) по фор-
µ?
V1 мальной классификации видов НС, предложенной Г. А. Смирновым-
T1
С
1
Аляевым [2]. Указанным трем видам соответствуют следующие диапазоны
0,5
IV III II I
изменения µ? [3]:
-1 ??
1
-0,8
?1 ? µ? < ? µ? 0 (растяжение),
30 T0 ?
0
-60 N0 -30
-90 60 90
3,
-0,5
? µ? 0 < µ? <µ? 0 (сдвиг), µ? 0 =
(11)
?1=0 ?1= ?3 ?3=0 2+ 3
-1
N3 P
V3 ?k ?m µ? = ?1 µ? < µ? ? 1 (сжатие).
1 0
?1 0,5 В этом случае в каждом классе выделяются по три подкласса. Схематиче-
??
-0,8 0,4 -0,8
-0,4 1
-1
ское разбиение на классы и подклассы с использованием кусочно линейной
?2 = ?3 -0,5 аппроксимации разграничительных линий Т1Р1 V1V3 и СN3 показано на рис. 2,
-1
что упрощает и ускоряет анализ НС.
µ?
Рис. 1. – Особенности построения поля напряженных состояний.
С 1,0 V1 Т1
В табл. 2 приведены параметры напряженных состояний в характерных
точках разграничительных линий между классами.
0,8
Табл. 2. Анализ параметров НС в характерных точках пересечения линий, раз- IV3 III3 II3 I3
0,6
{? , µ } µ?0
граничивающих классы НС в поле ? ?
0,4
IV2 III2 II2 I2
0,2
Параметры напряженных состояний в характерных точках.
1 ??
0,6 0,8
0 0,2 0,4
-0,8 -0,6 -0,4 -0,2
-1
?° m k ?1 ? m ?3 ?m
?? µ? ?2 ?m p?
ctg?
Точка
Т0
N0
IV2 III2 II2 I2
-0,2
35,26
Р 0,392 -1 13 1 0 0 1
2
63
50,77
Т0 0,564 0 13 1 0,5 0 1,5 -0,4
µ?0
22
54,74 +1
Т1 0,608 13 1 1 0 2 -0,6
IV1 III1 II1 I1
-35,26
С -0,392 +1 31 0 0 -1 -1
-2
-0,8
- 63
-50,77
N0 -0,564 0 31 0 -0,5 -1 -1,5
-1 P
N3
- 22
-54,74
N3 -0,608 -1 31 0 -1 -1 -2 V3
-22,21
V3 -0,246 -1 1 -1 -1 -1
-6 Рис. 2. – Схема разбиения напряженных состояний на классы (I, II, III, IV)
и подклассы (I1, II2, III3, … IV4).
22,21
V1 0,246 +1 1 1 -1 +1
6
0
0 0 0 0 1 0 -1 0


25 26
Аналогичная процедура используется для определения опасности данного
Список литературы
НС по лучу в ДМС В.В. Новожилова и Ю.И. Кадашевича [2] с использовани-
1. Багмутов В.П. Аналитическое и графическое описание напряженных со-
ем безразмерных ? экв,2 и с точностью до множителя – ? J – интенсивности
стояний с использованием безразмерных инвариантных характеристик / Статья
в настоящем сборнике.
нормальных напряжений, отнесенных к некоторым величинам, определен-
2. Смирнов-Аляев Г.А. Сопротивление материалов пластическому деформи-
ным из эксперимента и связанных со степенной функцией повреждения.
рованию. – Л.: Машиностроение, 1978. – 368 с.
В ДМС Г. Шнадта [1] опасность данного НС, представленного точкой в
3. Писаренко Г.С., Лебедев А.А. Сопротивление материалов деформирова-
координатной системе ( ? 1 , П = ? J ? 1 ), где ? 1 – наибольшее по модулю
нию и разрушению при сложном напряженном состоянии. – Киев: Наук. Дум-
?J
ка, 1969. – 209 с. главное напряжение, – интенсивность нормальных напряжений,
0 ? П ? 2 , определяется местом положения указанной точки в областях,
выделенных сеткой характерных линий А, R, J0NR и других (в обозначениях
УДК 579.4 работы [1]).
К ВЫБОРУ КООРДИНАТНОЙ СИСТЕМЫ ДЛЯ ПОСТРОЕНИЯ Линия А-гиперболическая кривая начала пластических деформаций, опи-
ДИАГРАММЫ МЕХАНИЧЕСКОГО СОСТОЯНИЯ МАТЕРИАЛОВ
сываемая уравнением П ? ? т,п = ? т,1 , что по сути – условие текучести Губе-
Багмутов В.П.
? т,п , ? т,1 – пределы текучести, соответст-
ра-Мезиса – Генки. Здесь Здесь
и П=1 ( ? т,1 = ? т - обычный предел текуче-
Схемы или диаграммы механического состояния (ДМС) имеют важное вующие текущему значению П
значение для науки о прочности и расчетной инженерной практики потому,
сти).
что позволяют прогнозировать наступление предельного состояния, имея в
Линия R- кривая разрушения от среза. Г. Шнадт различает три типа ли-
виду прежде всего два основных вида: возникновение пластической дефор-
ний R, соответствующие трем характерным НС: ? 2 = ( ? 1 + ? 2 ) 2 ;
мации и разрушения. В известных ДМС, представленных, например, в рабо-
? 2 = ? 3 ; ? 2 = ? 1 . Ограничивающая их снизу на ДМС линия J0NR определя-
тах [1,2] в той или иной степени реализована идея отразить факторы, влияю-
щие на характер поведения (пластическое, хрупкое) и разрушение материала
ет разрушение от отрыва, происходящего после предварительной пластиче-
(срезом или отрывом): скорость нагружения, температура, тип напряженного
ской деформации. Вид линии и крайние точки J0 на линии А и NR и на линии
состояния (НС) и др.
R определяются из эксперимента.
Учет типа НС, определяющего при прочих равных условиях деформиро-
Таким образом, в координатных системах ДМС, рассмотренных выше,
вания (часть из них обозначена выше) особенность поведения и разрушения
непосредственно не использованы инвариантные параметры НС, характери-
материала, производится в разных ДМС на основе разных подходов. Так в
зующие “жесткость” тензора напряжения и его девиатора, существенным
известных ДМС Я. Б.Фридмана [1] данное НС определяется в координатной
образом определяющие состояние материала (пластическое, хрупкое) и осо-
(? экв, , ) ? max = ? max ? экв ,2 . Здесь ? max –
? max
системой параметром бенности разрушения. Это затрудняет анализ различных схем деформирова-
2

ния, так как учет типа НС производится косвенно через призму принятых
? экв,2 – эквивалентное (приведен-
максимальное касательное напряжение,
критериев прочности, имеющих к тому же определенные ограничения на об-
ное) напряжение по второй теории прочности (Бойля-Мариотта) наибольших ласть их использования.
удлинений. В общем случае ? экв формируется на основе выбранного крите- Поэтому предпочтительны координатные системы, описываемые с помо-
щью тех или иных инвариантов НС, например, октоэдрических нормальных
рия пластичности (прочности) и позволяет сравнить НС любого типа с на-
? 0 и касательных ? 0 напряжений и параметра Лоде – Надий µ? , что и было
пряжением одноосного растяжения. Степень близости данного НС к одной из
использовано в ДМС работы [3,4], где:
предельных линий ДМС (линия текучести ? max = ? т , линия среза ? max = ? к ,
(? 1 ? ? 2 ) + (? 2 ? ? 3 ) + (? 1 ? ? 3 )
2 2 2
? J = 3? 0
? экв,2 2=
, ? max = 0 ), оп-
=? ,
ломаная линия отрыва, проходящая через точку от
? 0 = (? 1 + ? 2 + ? 3 ) 3
ределяется по лучу (как траектории простого нагружения из начала коорди-
(1)
нат), проходящему через точку – образ данного НС в координатной системе
( ? экв,2 , ? max ) до пересечения с предельными линиями. µ? = ( 2? 2 ? ? 1 ? ? 3 ) (? 1 ? ? 3 ) , ?1 ? µ? ? 1 .

28
27
Другой отличительной чертой ДМС В.П. Багмутова, Е.П. Богданова явля- образ историй простого или сложного нагружения при одновременной или
выборочной вариации параметров “жесткости” НС ? ? и вида девиатора на-
ется формирование предельных кривых начала пластического деформирова-
ния и разрушения и тем самым сетки линий состояний данного поликристал-
µ?
пряжений .
лического материала при µ? = const на основе статистических критериев
Система (3) позволяет использовать для ДМС любые критерии, корректно
пластичности, прочности, учитывающих тип кристаллической структуры.
описывающие форму предельных поверхностей, соответствующих пластиче-
(? 0 , ? 0 ) µ? = const
Заметим координатные системы при или в более об- скому и хрупкому состояниям данного материала.
(? 0 ,? 0 , µ? ) Предлагаемую для ДМС систему (3) можно совместно (совмещая оси
щем виде часто используются для наглядного представления
? экв ? m ? m ? ? ), или параллельно рассматривать с координатной сис-
и
геометрического образа критериев прочности [5], а также траекторий просто-
(? ? ? , ? ? , µ? ) ,
го или сложного нагружения [6]. Неудобства рассматриваемой координатной темой что позволяет определить как соотношение
m
(? 0 ,? 0 , µ? )
системы связаны как с бесконечностью интервала изменения
?m
? m ?? между наибольшим по модулю главным напряжением для ка-
?0 , так и относительной трудностью количественного сопоставления раз-
ждого НС и опасным (предельным) для данного состояния (пластичного или
личных критериев между собой, с опытными данными и рассматриваемым хрупкого) напряжением одноосного растяжения ? ? , так и величину, обрат-
НС, т. к. требует оценки близости указанных объектов, пригодных для любых
? экв ? m
ную к .
НС.
Эти обстоятельства учтены при построении координатной системы
? экв
Для обоснования этого рассмотрим с использованием понятия урав-
(? = ? ? = arctg (? 0 ? 0 ) , ? экв ? m , µ? ), предложенной для анализа
? экв = ?? ,
нение предельного состояния материала в форме или
критериев пластичности, прочности изотропных и анизотропных материалов
? экв ? m = ? ? ? m
[7, 8] с разными в общем случае пределами текучести (прочности) на растя- , которое можно трактовать как предельную поверх-
жении и сжатии. Удобство использования инвариантов ? m , µ? ,? или ность в системе (3). Его перезапись в несколько ином виде, а именно,
? = ?? = arcctg (? 0 ? 0 ) , или ? экв ? m
? = 1, (5)
? m ??
? ? ? 2?? ? , ? 1 ? ? ? ? 1 (2)

?m ?? ? экв ? m
при анализе НС представлены в статьях настоящего сборника [9, 10]. определяет отношение как величину, обратную к .
Здесь ? m – наибольшее по абсолютной величине главное нормальное Если использовать один и тот же критерий (иначе одну и ту же форму
? экв ) для описания разных предельных состояний (например, пластического
?1 ? ? 2 ? ?3
?m >0,
напряжение, m=1 или 3 , модуль – сравнение по ал-
и хрупкого) с соответствующими предельными напряжениями одноосного
гебраической величине.
растяжения ? ? и ? ?? , то введя величину отношения
Таким образом, безразмерная координатная система

(? ? m ,? ? , µ? ) к = ? ?? ? ?
(3) (6)
экв

можно обобщить уравнение (5) до вида
в соответствии с (1), (2) имеют конечную область определения функций
? экв ? m в форме прямоугольника
? экв ? m
? =к, (7)
? m ??
{?1 ? ? ? ? 1; ? 1 ? µ? ? 1} (4)
т. к. при к=1 (? ? =? ?? ) получаем из (7) уравнение(5).
и простой способ измерения степени отклонения предельных поверхностей
друг от друга, а также экспериментальных и расчетных точек функции Тогда в дополнительной координатной системе
? экв ? m вдоль вертикальной оси ее изменения. Кроме того, в координат-
(? ? m , ? m ?? ) , (8)
экв
ной системе (3) можно достаточно просто и наглядно дать геометрический
29 30
которая по сути является обобщением координатной системы ДМС Г. Шнад- В соответствии с работой [10] поле НС в форме прямоугольника (4) раз-
та, получим геометрический образ двух предельных состояний в виде двух бито схематически на классы линиями T1 T0P; V1V3; CN0N3 и линиями
( ) , на подклассы, позволяющие по величине
гипербол, как и в ДМС Г. Шнадта, где использовался для этих состояний
µ? = 3 2 + 3
µ? = ± µ? ,
критерий Губера-Мизеса-Генки . Заметим что для расширения возможности 0
0

системы (8) по непосредственному дифференцированному анализу влияния ? экв ? m и другим характерным параметрам оценить опасность данного
параметров ? ? , µ? на поведение материала, ее нужно совместить или рас-
НС.
сматривать одновременно с базовой системой (3).
Пример анализа предельной поверхности в системе координат (3), по- Список литературы
строенной на основе критерия Губера- Мизеса-Генки, когда ? экв = ? J , дан 1. Филин А.П. Прикладная механика твердого деформируемого тела. – М.:
на рис. 1. Наука, т.1, 1975, 832 с.
2. Новожилов В.В., Кадашевич Ю.И. Микронапряжения в конструкционных
2
материалах. – Л.: Машиностроение, 1990. – 223 с.
3. Багмутов В.П., Богданов Е.П. Микронеоднородное деформироавание и
статистические критерии прочности и пластичности: монография/ ВолгГТУ. –
Волгоград, 2003. – 358 с.
? экв ? m 4. Багмутов В.П., Богданов Е.П. Диаграммы механического состояния мате-
риала и статистические критерии пластичности и прочности // Новые перспек-
2
тивные материалы и технологии их получения. – 2004: Сб. науч. тр. межд.
конференции. В 2-х т. Том2/ Волгоград. гос. техн. ун-т, Волгоград, 2004. – С.
1,8
50 – 51.
1
1,6 5. Филоненко-Бородич М.М. Механические теории прочности. М.: Изд.
МГУ, 1961. – 91 с.
2
6. Важенцев Ю.Г., Мидуков В.З., Седоков Л.М. Основы методики исследова-
ния механических свойств материалов при трехосном напряженном состоянии
1,2
/ Прочность материалов и элементов конструкций при сложном напряженном
состоянии. Сб. трудов. Киев: Наукова думка, 1978, – С. 41 – 51.
1
7. Багмутов В.П. Анализ напряженных состояний в системе безразмерных
µ? октаэдрических координат / Металловедение и прочность материалов. – Волго-
0,8
град, политехн. институт, 1970. – с. 104 – 110.
T1
V1
C
0,6 1 8. Багмутов В.П. К методике анализа предельных сложнонапряженных со-
0,8 стояний изотропных и анизотропных материалов// Проблемы прочности, 1986,
1 0,4 № 7. – С. 39 – 43.
0,6
9. Багмутов В.П. Аналитическое и графическое описание напряженных со-
µ?0
0,2 0,4
1,8 стояний с использованием безразмерных инвариантных характеристик / Статья
0,2
N0 T0 в настоящем сборнике.
-1 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0,4 0,6 0,8 1 ??
-0,2 0,2 10. Багмутов В.П. Анализ и классификация напряженных состояний с исполь-
зованием безразмерных параметров вида тензора и девиатора напряжений /
-0,4 -µ?0 статья в настоящем сборнике.
-0,6
-0,8
-1
N3 V3 P

<< Пред. стр.

страница 3
(всего 19)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

Copyright © Design by: Sunlight webdesign