LINEBURG


<< Пред. стр.

страница 6
(всего 6)

ОГЛАВЛЕНИЕ

чем CN = 2DN . На продолжении ребра CA за точку A и на продолже-
нии ребра CB за точку B расположены точки K и M соответственно,
причем AC = 2AK и BM = 2BC. В каком отношении плоскость M N K
делит объем пирамиды ABCD?
97. Основание пирамиды SABCD — параллелограмм ABCD. Точ-
ка N — середина ребра AS, точка K — середина медианы SP треуголь-
ника BSC, точка M расположена на ребре SB, причем SM = 5M B.
В каком отношении плоскость M N K делит объем пирамиды ABCD?
98. На ребрах BC и DC треугольной пирамиды ABCD расположе-
ны точки N и K соответственно, причем CN = 2BN и DK : KC = 3 : 2;
M — точка пересечения медиан треугольника ABD. В каком отношении
плоскость M N K делит объем пирамиды ABCD?
Стереометрия 49

99. Основание пирамиды SABCD — параллелограмм ABCD. На
ребрах AB и SC расположены точки K и M соответственно, причем
AK : KB = CM : M S = 1 : 2. В каком отношении плоскость, проходящая
через точки K и M параллельно прямой BD, делит объем пирамиды
SABCD?
100. Докажите, что из боковых граней четырехугольной пирамиды,
основание которой является параллелограммом, можно составить тре-
угольную пирамиду, причем ее объем вдвое меньше объема исходной
пирамиды.
101. Докажите, что биссекторная плоскость двугранного угла при
ребре тетраэдра делит противолежащее ребро на отрезки, пропорцио-
нальные площадям граней, образующих этот угол.
102. Докажите, что плоскость, проходящая через середины двух про-
тивоположных ребер треугольной пирамиды, делит ее объем пополам.
103. Точки M и N — середины соответственно ребер AA1 и CC1
параллелепипеда ABCDA1 B1 C1 D1 . Прямые A1 C, B1 M и BN попар-
но перпендикулярны. Найдите объем параллелепипеда, если A1 C = a,
B1 M = b, BN = c.
104. Дан параллелепипед ABCDA1 B1 C1 D1 . На продолжении его ре-
бер AB, AA1 , AD за точки B, A1 и D соответственно отложены отрезки
BP , A1 Q и DR, равные 3AB/2, 3AA1 /2 и 3AD/2. В каком отношении
плоскость P QR делит объем параллелепипеда?
105. В каком отношении делит объем куба плоскость, перпендику-
лярная его диагонали и делящая диагональ в отношении а) 2 : 1, б) 3 : 1?
106. Две плоскости, параллельные противоположным ребрам AB
и CD тетраэдра ABCD, делят ребро BC на три равные части. Какая
часть объема тетраэдра заключена между этими плоскостями?
107. Отношение длин двух скрещивающихся ребер тетраэдра рав-
но k. Параллельно этим ребрам проведена плоскость, причем в сечении
получился ромб. В каком отношении эта плоскость делит объем тетра-
эдра?
108. Три шара попарно касаются друг друга внешним образом,
а также касаются некоторой плоскости в вершинах прямоугольного
треугольника с катетом, равным 1, и противолежащим углом в 30? .
Найдите радиусы шаров.
109. Сфера радиуса r касается всех ребер треугольной пирамиды,
центр этой сферы лежит на высоте пирамиды. Докажите, что пирами-
да правильная, и найдите ее высоту, если известно, что центр сферы
v
удален от вершины пирамиды на расстояние r 3.
110. В трехгранный угол, все плоские углы которого равны ?, поме-
щена сфера так, что она касается всех ребер трехгранного угла. Грани
50 Часть 2. Избранные задачи и теоремы элементарной геометрии

трехгранного угла пересекают сферу по окружностям радиуса R. Най-
дите радиус сферы.
111. Докажите, что в параллелепипед можно вписать сферу тогда
и только тогда, когда все грани параллелепипеда равновелики.
112. Три конуса, радиусы оснований которых равны R и составля-
ют 3/4 их высоты, расположены по одну сторону от плоскости ?, а их
основания лежат в этой плоскости. Окружности оснований каждых
двух из этих конусов касаются. Найдите радиус шара, лежащего между
конусами и касающегося как плоскости ?, так и боковых поверхностей
всех трех конусов.
113. В правильной пирамиде SABC сторона основания ABC рав-
на a, боковое ребро — 2a. Точки S, B и C лежат на боковой поверхности
конуса, имеющего вершину в точке A. Найдите угол при вершине осе-
вого сечения конуса.
114. Все вершины правильной пирамиды SABCD лежат на боковой
поверхности цилиндра, ось которого перпендикулярна плоскости SAB.
Найдите радиус основания цилиндра, если AB = a.
115. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD сторона
основания равна a, боковое ребро — 5a/2. Одно основание цилиндра
лежит в плоскости SAB, другое вписано в сечение пирамиды. Найдите
площадь боковой поверхности цилиндра.
116. Высота цилиндра равна 3r. Внутри цилиндра расположены три
сферы радиуса r так, что каждая сфера касается двух других и боковой
поверхности цилиндра. Две сферы касаются нижнего основания цилин-
дра, а третья сфера — верхнего основания. Найдите радиус основания
цилиндра.
117. В правильной призме ABCA1 B1 C1 длина каждого ребра рав-
на a. Вершины A и A1 лежат на боковой поверхности цилиндра, плос-
кость BCC1 касается этой поверхности. Ось цилиндра параллельна пря-
мой B1 C. Найдите радиус основания цилиндра.
118. На сфере, радиус которой равен 2, расположены три окружно-
сти радиуса 1, каждая из которых касается двух других. Найти радиус
окружности меньшей, чем данная, которая также расположена на дан-
ной сфере и касается каждой из данных окружностей.
119. Одна вершина правильного тетраэдра расположена на оси ци-
линдра, а другие вершины — на боковой поверхности этого цилиндра.
Найдите ребро тетраэдра, если радиус основания равен R.
Стереометрия 51

120. Вершина A основания ABCD правильной пирамиды SABCD
совпадает с вершиной конуса, вершины B, D лежат на его боковой по-
верхности, вершина S — на окружности основания этого конуса, а вер-
шина C — в плоскости его основания. Найдите отношение объема конуса
к объему пирамиды.
121. Угол при вершине осевого сечения конуса равен 60? . Внутри
конуса расположены три сферы радиуса 1. Каждая сфера касается двух
других, основания конуса и его боковой поверхности. Найдите радиус
основания конуса.
122. Четыре сферы радиуса 1 попарно касаются друг друга. Най-
дите:
а) радиус сферы, касающейся всех четырех сфер;
б) высоту цилиндра, содержащего эти сферы так, что три из них ка-
саются одного основания и боковой поверхности, а четвертая — другого
основания цилиндра;
в) высоту конуса, содержащего эти сферы так, что все они касаются
боковой поверхности, а три из них — основания конуса.
123. В конус помещены пять равных шаров. Четыре из них лежат
на основании конуса, причем каждый из этих четырех шаров касается
двух других, лежащих на основании, и боковой поверхности конуса.
Пятый шар касается боковой поверхности конуса и остальных четырех
шаров. Найдите объем конуса, если радиус каждого шара равен r.
124. Можно ли точку в пространстве заслонить четырьмя шарами?
125. Найдите угол при вершине осевого сечения конуса, если извест-
но, что на его поверхности можно провести три попарно перпендику-
лярные образующие.
126. Два равных конуса с общей вершиной, с высотами, равными 2,
и радиусами оснований, равными 1, касаются по некоторой образующей,
а также касаются боковой поверхностью некоторой плоскости. Пусть l —
прямая, по которой пересекаются плоскости основания конусов. Найди-
те угол между прямой l и плоскостью ?.
127. Два равных конуса имеют общую вершину и касаются по об-
щей образующей. Угол в осевом сечении каждого из конусов равен 60? .
Найдите угол между двумя плоскостями, каждая из которых касается
конусов, но не проходит через общую образующую.
128. На плоскости лежат три равных конуса с общей вершиной. Каж-
дый из них касается двух рядом лежащих. Найдите угол при вершине
каждого конуса.
129. Два равных конуса с общей вершиной D расположены по раз-
ные стороны от плоскости ? и касаются этой плоскости по образующим
DE и DF соответственно. Известно, что угол DEF равен ?, а угол
52 Часть 2. Избранные задачи и теоремы элементарной геометрии

между прямой пересечения оснований конусов и плоскостью ? равен ?.
Найдите угол между высотой и образующей каждого конуса.
130. Два конуса имеют общую вершину, и образующая первого кону-
са является высотой второго. Угол при вершине осевого сечения первого
конуса равен arccos(1/3), а второго — 2?/3. Найдите угол между обра-
зующими, по которым пересекаются боковые поверхности конусов.
131. Три равных конуса с углом ? (? < 2?/3) при вершине осевого
сечения имеют общую вершину и касаются друг друга внешним образом
по образующим k, l, m. Найдите угол между l и k.
132. В правильной четырехугольной пирамиде расположены два
одинаковых шара радиуса r, центры которых находятся на оси симмет-
рии пирамиды. Один из шаров касается всех боковых граней пирамиды,
а второй — основания пирамиды и первого шара. Найдите высоту пи-
рамиды, при которой объем пирамиды наименьший.
133. Сторона основания ABC правильной пирамиды P ABC равна a,
боковое ребро равно b. На каком расстоянии от прямой BC следует
провести сечение пирамиды, параллельное ребрам BC и P A, чтобы пло-
щадь его была наибольшей из возможных?
134. Ребро AB тетраэдра ABCD является диагональю основания
четырехугольной пирамиды, ребро CD параллельно другой диагонали
этого основания, и концы его лежат на боковых ребрах пирамиды. Най-
дите наименьший возможный объем пирамиды, если объем тетраэдра
равен V .
135. Дана правильная призма ABCDA1 B1 C1 D1 . Сторона ее основа-
ния ABCD имеет длину 2a, боковое ребро — длину a. Рассматриваются
отрезки с концами на диагонали AD1 грани AA1 D1 D и диагонали DB1
призмы, параллельные плоскости AA1 B1 B.
а) Один из таких отрезков проведен через точку M диагонали AD1
такую, что AM : AD1 = 2 : 3. Найдите его длину.
б) Найдите наименьшую длину всех рассматриваемых отрезков.
136. Докажите, что площадь любой грани тетраэдра меньше суммы
площадей трех остальных его граней.
137. Докажите, что проекция правильного тетраэдра на плоскость
будет иметь наибольшую площадь, когда эта плоскость параллельна
двум скрещивающимся ребрам тетраэдра.
138. Докажите, что сумма углов пространственного четырехуголь-
ника не превосходит 360? .
139. Докажите, что сумма внутренних двугранных углов трехгран-
ного угла больше ? и меньше 3?.
Стереометрия 53

140. Теорема косинусов для трехгранного угла. Если ?, ?, ? — плос-
кие углы трехгранного угла, а A, B, C — противолежащие им двугран-
ные углы, то
cos ? ? cos ? cos ?
cos A = .
sin ? sin ?
141. Пусть M C — перпендикуляр к плоскости треугольника ABC.
Верно ли, что ?AM B < ?ACB?
142. Докажите, что сумма плоских углов выпуклого многогранного
угла меньше 360? .
143. Теорема косинусов для тетраэдра. Квадрат площади каждой
грани тетраэдра равен сумме квадратов площадей трех остальных гра-
ней без удвоенных попарных произведений площадей этих граней на ко-
синусы двугранных углов между этими плоскостями, т. е.
2 2 2 2
S0 = S1 + S2 + S3 ? 2S1 S2 cos ?12 ? 2S1 S3 cos ?13 ? 2S2 S3 cos ?23 .
144. В тетраэдре ABCD все плоские углы при вершине A равны 60? .
Докажите, что AB + AC + AD BC + CD + DB.
145. Основание пирамиды ABCD — правильный треугольник ABC.
Известно, что ?BAD = ?CBD = ?ACD. Докажите, что пирамида —
правильная.
146. Принцип Кавальери. Если два геометрических тела можно раз-
местить в пространстве так, что в сечении этих тел любой плоскостью,
параллельной некоторой фиксированной плоскости, получаются рав-
новеликие плоские фигуры, то данные тела равновелики. Выведите
с помощью принципа Кавальери формулу объема шара.
147. Один выпуклый многогранник лежит внутри другого. Докажи-
те, что площадь поверхности внешнего многогранника больше площади
поверхности внутреннего.
148. Докажите, что сферическая поверхность шарового слоя (части
шара, заключенной между двумя параллельными секущими плоско-
стями) равна 2?Rh, где R — радиус шара, h — высота шарового слоя
(расстояние между секущими плоскостями).
Оглавление

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Часть 1. Основные сведения из школьной геометрии . . . . . . . . 5
Планиметрия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Задачи на построение с помощью циркуля и линейки . . . . . 14
Стереометрия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Факты, непосредственно связанные с аксиомами . . . . . . . . 15
Параллельность в пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Скрещивающиеся прямые . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Параллельное проектирование . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Координаты и векторы в пространстве . . . . . . . . . . . . . . 17
Перпендикулярность прямой и плоскости . . . . . . . . . . . . 19
Двугранный угол . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Многогранные углы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Сфера. Касательная плоскость. Касающиеся сферы . . . . . . 20
Правильная пирамида . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Площадь поверхности многогранника . . . . . . . . . . . . . . . 22
Объемы многогранников . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Объемы и поверхности круглых тел . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Часть 2. Избранные задачи и теоремы элементарной геометрии . . 24
Планиметрия . . . . . . . . . . . . . . . ............... . . 24
Задачи на построение . . . . . . . ............... . . 37
Стереометрия . . . . . . . . . . . . . . ............... . . 39
Издательство МЦНМО предлагает
следующие книги для школьников
В. Г. Болтянский, А. П. Савин. Беседы о математике. Дискретные объ-
екты. — 2002. — 368 с.
Книга вводит читателя в круг идей современной математики. В попу-
лярной форме рассказывается о теории множеств, комбинаторике, теории
графов, теории вероятностей и других вопросах.
Издание будет интересно учителям математики. Специальная глава по-
священа вопросам, связанным с поиском учащимися решений задач.
В то же время эта книга может служить основой курса математики для
студентов гуманитарных специальностей, такой курс был прочитан авторами
для психологов.
Учащиеся и учителя математических школ, лицеев и гимназий могут ис-
пользовать издание в качестве учебного пособия.
Р. Курант, Г. Роббинс. Что такое математика? — 3-e изд., испр. и доп.
— 2001. — 568 с.
Эта книга, написаная одним из ведущих математиков XX века Р. Ку-
рантом вместе с Г. Роббинсом, — одна из лучших научно-популярных книг
по математике. Ее замысел выражен в предисловии: «Нет ничего невозмож-
ного в том, чтобы, начиная от первооснов, добраться до таких возвышенных
точек, с которых можно ясно обозреть самую сущность и движущие силы
современной математики».
Многочисленные упражнения разбросаны по всей книге; дополнительное
собрание упражнений в конце облегчает ее использование в школьной об-
становке. Большинство упражнений не носит чисто формального характера,
более трудные отмечены звездочкой. Не надо слишком огорчаться, если вы
не сумеете выполнить некоторые из них.
Мы надеемся, что и специалист обнаружит кое-что интересное в элемен-
тарных рассуждениях, содержащих в себе зерно более широких идей.
С. Г. Гиндикин. Рассказы о физиках и математиках. — 3-е изд., расши-
ренное. — 2001. — 576 c.
В книге рассказывается о жизни и творчестве двенадцати замечательных
математиков и физиков, работы которых в значительной мере определили
лицо современной математической науки.
Книга написана на основе статей, публиковавшихся в журнале «Квант»
в течение ряда лет. Этим объясняется некоторый элемент случайности в вы-
боре людей и событий, которым посвящены рассказы в книге. Однако нам
кажется, что в книге идет речь о принципиальных явлениях в истории на-
уки, достойных внимания любителей математики и физики. Хотя эта книга
не дает систематической картины развития математики, она содержит зна-
чительный материал для размышления.
Эта книга для всех: от старшеклассников до взрослых. Увлекательно из-
ложенные биографии великих ученых могут заинтересовать самые широкие
круги читателей. А те из читателей, кто интересуется математикой, получат
удовольствие и пользу от знакомства с конкретными научными достижения-
ми героев книги.
Настоящее издание более чем вдвое расширено по сравнению с предыду-
щим, вышедшим в 1985 году и успевшим стать библиографической редко-
стью.
Хотя эта книга не дает систематической картины развития математики,
она содержит значительный материал для размышления. Непознанные зако-
ны управляют математической модой!

В. В. Прасолов. Задачи по планиметрии. — 4-е изд., доп. — 2001. — 584 с.
В книгу включены нестандартные геометрические задачи несколько по-
вышенного по сравнению со школьными задачами уровня. Сборник содержит
около 1500 задач с полными решениями и около 150 задач для самостоятель-
ного решения.
Настоящее издание дополнено по сравнению с предыдущим (3-е изд. —
1995).
Для школьников, преподавателей математики, руководителей математи-
ческих кружков, студентов пединститутов.

Н. Б. Васильев, В. Л. Гутенмахер. Прямые и кривые. — 2000. — 128 с.
Не нуждается в специальном представлении книга, ставшая классикой
литературы для школьников, интересующихся математикой. Данное издание
представляет собой переиздание брошюры серии «Библиотека физико-мате-
матического кружка», давно ставшей библиографической редкостью.

<< Пред. стр.

страница 6
(всего 6)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Copyright © Design by: Sunlight webdesign