LINEBURG


<< Пред. стр.

страница 5
(всего 6)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

б) постройте центр данной окружности.
38. Задача Аполлония. Постройте окружность, касающуюся трех
данных окружностей.


Стереометрия
1. Докажите, что если две пересекающиеся плоскости параллель-
ны некоторой прямой, то прямая их пересечения параллельна этой же
прямой.
2. Основание пирамиды SABCD — параллелограмм ABCD. Какая
фигура получится в сечении этой пирамиды плоскостью ABM , где M —
точка на ребре SC?
3. Может ли в сечении параллелепипеда плоскостью получиться пра-
вильный пятиугольник?
4. Докажите, что отрезки, соединяющие середины противополож-
ных ребер тетраэдра, пересекаются в одной точке.
5. Через данную точку пространства проведите прямую, пересекаю-
щую две данные скрещивающиеся прямые.
6. На диагонали AC1 параллелепипеда ABCDA1 B1 C1 D1 взята точ-
ка M , а на прямой B1 C — точка N так, что отрезки M N и BD парал-
лельны. Найдите отношение длин этих отрезков.
7. Основание пирамиды SABCD — произвольный четырехугольник
ABCD. Постройте прямую пересечения плоскостей ABS и CDS.
40 Часть 2. Избранные задачи и теоремы элементарной геометрии

8. Докажите, что выпуклый четырехгранный угол можно пересечь
плоскостью так, чтобы в сечении получился параллелограмм.
9. Дан произвольный трехгранный угол. Рассматриваются три плос-
кости, каждая из которых проведена через ребро и биссектрису про-
тиволежащей грани. Верно ли, что эти три плоскости пересекаются
по одной прямой?
10. Пусть A, B, C и D — четыре точки, не лежащие в одной плоско-
сти. В каком отношении плоскость, проходящая через точки пересече-
ния медиан треугольников ABC, ABD и BCD, делит отрезок BD?
11. Точка M — середина ребра AD тетраэдра ABCD. Точка N лежит
на продолжении ребра AB за точку B, точка K — на продолжении
ребра AC за точку C, причем BN = AB и CK = 2AC. Постройте сечение
тетраэдра плоскостью M N K. В каком отношении эта плоскость делит
ребра DB и DC?
12. В параллелепипеде ABCDA1 B1 C1 D1 на прямых AC и BA1 взя-
ты точки K и M так, что KM DB1 . Найдите отношение KM : DB1 .
13. Дан тетраэдр ABCD. Точки M , N и K лежат на ребрах AD,
BC и DC соответственно, причем AM : M D = 1 : 3, BN : N C = 1 : 1
и CK : KD = 1 : 2. Постройте сечение тетраэдра плоскостью M N K.
В каком отношении эта плоскость делит ребро AB?
14. Дан параллелепипед ABCDA1 B1 C1 D1 . Точки M , N и K — сере-
дины ребер AB, BC и DD1 соответственно. Постройте сечение парал-
лелепипеда плоскостью M N K. В каком отношении эта плоскость делит
ребро CC1 и диагональ DB1 ?
15. Дана четырехугольная пирамида SABCD, основание которой —
трапеция ABCD. Отношение оснований AD и BC этой трапеции рав-
но 2. Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точ-
ку D и середины ребер SA и SB. В каком отношении эта плоскость
делит ребро SC?
16. Дана четырехугольная пирамида SABCD, основание кото-
рой — параллелограмм ABCD. Точки M , N и K лежат на ребрах
AS, BS и CS соответственно, причем AM : M S = 1 : 2, BN : N S = 1 : 3,
CK : KS = 1 : 1. Постройте сечение пирамиды плоскостью M N K. В ка-
ком отношении эта плоскость делит ребро SD?
17. Дан параллелепипед ABCDA1 B1 C1 D1 . Точки M , N и K лежат
на ребрах AB, CC1 и A1 D1 соответственно. Постройте сечение парал-
лелепипеда плоскостью M N K.
18. На плоскости даны три луча с общим началом. Они делят плос-
кость на три части, в которых взято по точке. С помощью циркуля
и линейки постройте треугольник, вершины которого лежат на данных
лучах, а стороны проходят через данные точки.
Стереометрия 41

19. В основании четырехугольной пирамиды SABCD, лежит парал-
лелограмм ABCD. Через середину ребра AB проведите плоскость, па-
раллельную прямым AC и SD. В каком отношении эта плоскость делит
ребро SB?
20. Через середины M и N ребер AD и CC1 параллелепипеда
ABCDA1 B1 C1 D1 проведена плоскость параллельно диагонали DB1 .
Постройте сечение параллелепипеда этой плоскостью. В каком отноше-
нии она делит ребро BB1 ?
21. Плоскость пересекает ребра AB, AC, DC и DB тетраэдра
ABCD в точках M , N , P и Q соответственно, причем AM : M B = m,
AN : N C = n, DP : P C = p. Найдите отношение DQ : QB.
22. В призме ABCA1 B1 C1 медианы оснований ABC и A1 B1 C1 пере-
секаются соответственно в точках O и O1 . Через середину отрезка OO1
проведена прямая, параллельная прямой CA1 . Найдите длину отрезка
этой прямой, лежащего внутри призмы, если CA1 = a.
23. Дан куб ABCDA1 B1 C1 D1 . Найдите углы между прямыми
а) AA1 и BD1 ; б) BD1 и DC1 ; в) AD1 и DC1 .
24. На прямой l в пространстве последовательно расположены точ-
ки A, B и C так, что AB = 10 и BC = 22. Найдите расстояние между
прямыми l и m, если расстояния от точек A, B и C до прямой m рав-
ны 12, 13 и 20 соответственно.
25. Докажите, что для любых четырех точек пространства верно ра-
венство > > > > > >
AB · CD + AC · DB + AD · BC = 0.
26. Формула Лейбница. Пусть M — точка пересечения медиан тре-
угольника ABC, O — произвольная точка пространства. Докажите, что
1 1
OM 2 = (OA2 + OB 2 + OC 2 ) ? (AB 2 + BC 2 + AC 2 ).
3 9
27. Основание пирамиды — прямоугольный треугольник с гипоте-
нузой, равной c, и углом в 30? . Боковые ребра пирамиды наклонены
к плоскости основания под углом в 45? . Найдите объем пирамиды.
28. В трехгранный угол с вершиной S вписана сфера с центром O.
Докажите, что плоскость, проходящая через точки касания сферы
с гранями, перпендикулярна прямой OS.
29. Докажите, что сумма квадратов длин проекций всех ребер куба
с ребром a на любую плоскость не зависит от взаимного расположения
куба и плоскости и равна 8a2 .
30. Докажите, что сумма квадратов длин проекций всех ребер пра-
вильного тетраэдра с ребром a на любую плоскость не зависит от вза-
имного расположения тетраэдра и плоскости и равна 4a2 .
42 Часть 2. Избранные задачи и теоремы элементарной геометрии

31. Каждая из боковых граней треугольной пирамиды образует
с плоскостью основания угол в 60? . Стороны основания равны 10, 10
и 12. Найдите объем пирамиды.
32. Основание пирамиды — прямоугольник со сторонами 6 и 8. Од-
но из боковых ребер перпендикулярно плоскости основания и равно 6.
Найдите расстояние между этим ребром и скрещивающейся с ним диа-
гональю основания, а также боковую поверхность пирамиды.
33. Дан куб ABCDA1 B1 C1 D1 с ребром, равным a. Найдите рас-
стояние между прямыми а) AA1 и BD1 ; б) BD1 и DC1 ; в) A1 D
и D1 C. В каждом случае постройте общий перпендикуляр к указанным
прямым.
34. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1 B1 C1 D1 . Через
прямую BD1 проведена плоскость, параллельная прямой AC. Найдите
угол между этой плоскостью и плоскостью основания параллелепипеда,
если AB = a, BC = b, CC1 = c.
35. Основанием пирамиды SABCD является равнобедренная трапе-
ция ABCD, в которой AB = BC = a, AD = 2a. Плоскости граней SAB
и SCD перпендикулярны плоскости основания пирамиды. Найдите вы-
соту пирамиды, если высота грани SAD, проведенная из вершины S,
равна 2a.
36. На сфере радиуса 11 расположены точки A, A1 , B, B1 , C и C1 .
Прямые AA1 , BB1 и CC1 взаимно перпендикулярны и v пересекаются
в точке M , отстоящей от центра сферы на расстояние 59. Найдите
длину отрезка AA1 , если известно, что длина отрезка BB1 равна 18,
v v
а точка M делит отрезок CC1 в отношении (8 + 2) : (8 ? 2).
37. Дан куб ABCDA1 B1 C1 D1 с ребром, равным a. Точка E — сере-
дина ребра AD. Вершины M и N правильного тетраэдра M N P Q лежат
на прямой ED1 , а вершины P и Q — на прямой, проходящей через точ-
ку A1 и пересекающей прямую BC в точке R. Найдите
а) отношение BR : BC;
б) расстояние между серединами отрезков M N и P Q.
38. В основании призмы лежит равносторонний треугольник ABC
v
со стороной 3. Боковые ребра AD, BE и CF перпендикулярны осно-
ванию. Сфера радиуса 7/2 касается плоскости ABC и продолжений
отрезков AE, BF и CD за точки A, B и C соответственно. Найдите
длину боковых ребер призмы.
39. Катеты прямоугольного треугольника расположены в гранях
некоторого острого двугранного угла и образуют с его ребром углы ?
и ? соответственно. Найдите величину двугранного угла.
Стереометрия 43

40. Прямоугольные проекции плоского четырехугольника на две
взаимно перпендикулярные плоскости являются квадратами со сторо-
нами, равными 2. Найдите периметр четырехугольника, зная, что одна
v
из его сторон равна 5.
41. В треугольной пирамиде все плоские углы при вершине прямые.
Докажите, что вершина пирамиды, точка пересечения медиан и центр
описанного около пирамиды шара лежат на одной прямой.
42. В тетраэдре ABCD известно, что AD ? BC. Докажите, что вы-
соты тетраэдра, проведенные из вершин B и C, пересекаются, причем
точка их пересечения лежит на общем перпендикуляре скрещивающих-
ся прямых AD и BC.
43. Известно, что в тетраэдре ABCD ребро AB перпендикулярно
ребру CD, а ребро BC перпендикулярно ребру AD. Докажите, что реб-
ро AC перпендикулярно ребру BD.
44. Докажите, что если в тетраэдре противоположные ребра попарно
перпендикулярны, то

AB 2 + CD2 = AC 2 + BD2 = AD2 + BC 2 .

Верно ли обратное?
45. Высота треугольной пирамиды ABCD, опущенная из верши-
ны D, проходит через точку пересечения высот треугольника ABC.
Кроме того, известно, что DB = b, DC = c, ?BDC = 90? . Найдите
отношение площадей граней ADB и ADC.
46. Высоты, проведенные из вершин B и C тетраэдра ABCD, пере-
секаются. Докажите, что AD ? BC.
47. Тетраэдр называется ортоцентрическим, если его высоты (или
их продолжения) пересекаются в одной точке. Докажите, что тетра-
эдр ABCD ортоцентрический тогда и только тогда, когда две па-
ры его противоположных ребер перпендикулярны, т. е. AB ? CD
и AD ? BC (в этом случае ребра третьей пары также перпендику-
лярны, т. е. AC ? BD).
48. Противоположные ребра тетраэдра попарно перпендикулярны.
Докажите, что общие перпендикуляры каждой пары противоположных
ребер пересекаются в одной точке.
49. Докажите, что в ортоцентрическом тетраэдре общие перпенди-
куляры каждой пары противоположных ребер пересекаются в одной
точке.
50. Докажите, что в ортоцентрическом тетраэдре точки пересечения
медиан, высот и центр описанной сферы лежат на одной прямой (пря-
мая Эйлера ортоцентрического тетраэдра).
44 Часть 2. Избранные задачи и теоремы элементарной геометрии

51. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна a,
боковое ребро образует с плоскостью основания угол 45? . Найдите:
а) объем пирамиды;
б) угол боковой грани с основанием;
в) расстояние между скрещивающимися ребрами;
г) угол между боковыми гранями;
д) радиус описанного шара;
е) радиус вписанного шара;
ж) угол апофемы с соседней боковой гранью.
52. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды рав-
на a, боковая грань образует с плоскостью основания угол 60? . Найдите:
а) объем пирамиды;
б) угол бокового ребра с основанием;
в) расстояние между диагональю основания и скрещивающимся
с ней боковым ребром;
г) угол между противоположными боковыми гранями;
д) угол между соседними боковыми гранями;
е) радиус вписанного шара;
ж) радиус описанного шара;
з) угол апофемы с соседней боковой гранью.
53. Сторона основания и высота правильной шестиугольной пирами-
ды равны a. Найдите:
а) угол бокового ребра с основанием;
б) угол боковой грани с основанием;
в) плоский угол при вершине пирамиды;
г) угол между соседними боковыми гранями;
д) радиус вписанного шара;
е) радиус описанного шара.
54. Пусть ABCDA1 B1 C1 D1 — единичный куб. Найдите объем общей
части пирамид ACB1 D1 и A1 C1 BD.
55. Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды равно b,
а плоский угол при вершине равен ?. Найдите радиус сферы, описанной
около пирамиды.
56. Найдите радиус шара, касающегося всех ребер правильного тет-
раэдра с ребром, равным a.
57. Из точки в пространстве выходят четыре луча, образующие друг
с другом равные углы. Найдите эти углы.
58. Двугранный угол при основании правильной n-угольной пира-
миды равен ?. Найдите двугранный угол между соседними боковыми
гранями.
Стереометрия 45

59. Сторона основания ABCD правильной пирамиды SABCD рав-
на a, боковые ребра равны 2a. Рассматриваются отрезки с концами
на ребрах AD и SC, параллельные плоскости SAB.
а) Один из этих отрезков проведен через точку M ребра AD такую,
что AM : AD = 3 : 4. Найдите его длину.
б) Найдите наименьшую длину рассматриваемых отрезков.
60. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD угол между
боковым ребром SA и плоскостью основания ABCD равен углу между
ребром SA и плоскостью SBC. Найдите этот угол.
61. Все грани параллелепипеда — равные ромбы со стороной, рав-
ной a, и острым углом 60? . Найдите объем параллелепипеда.
62. Рассматривается фигура, полученная в пересечении правильно-
го тетраэдра с его образом при центральной симметрии относительно
середины высоты. Найдите объем этой фигуры, если ребро тетраэдра
равно a.
63. В правильном тетраэдре точки M и N — середины противопо-
ложных ребер. Ортогональной проекцией тетраэдра на плоскость, па-
раллельную прямой M N , является четырехугольник площади S, один
из углов которого равен 60? . Найдите площадь поверхности тетраэдра.
64. Две противоположные вершины единичного куба совпадают
с центрами оснований цилиндра, а остальные вершины расположены
на боковой поверхности цилиндра. Найдите высоту и радиус основания
цилиндра.
65. Даны скрещивающиеся прямые a и b и плоскость ?, перпен-
дикулярная прямой a и пересекающая ее в точке A. Докажите, что
расстояние между прямыми a и b равно расстоянию от точки A до ор-
тогональной проекции b прямой b на плоскость ?, а угол между пря-
мыми b и b дополняет до 90? угол между прямыми a и b.
66. Дан единичный куб ABCDA1 B1 C1 D1 , M — середина BB1 . Най-
дите угол и расстояние между прямыми AB1 и CM . В каком отношении
общий перпендикуляр этих прямых делит отрезок CM ?
67. В правильном тетраэдре ABCD с ребром, равным 1, M — середи-
на AB, N — середина BC. Найдите угол и расстояние между прямыми
CM и DN . В каком отношении общий перпендикуляр этих прямых де-
лит отрезок DN ?
68. Дан единичный куб ABCDA1 B1 C1 D1 . Прямая l, параллельная
его диагонали AC1 , равноудалена от прямых BD, A1 D1 и CB1 . Найдите
расстояния от прямой l до этих прямых.
69. Докажите, что около пирамиды можно описать сферу тогда
и только тогда, когда около основания этой пирамиды можно описать
окружность.
46 Часть 2. Избранные задачи и теоремы элементарной геометрии

70. Дан куб ABCDA1 B1 C1 D1 с ребром, равным a. Точки M и K —
середины ребер AB и CD соответственно. Найдите радиус сферы, про-
ходящей через точки M , K, A1 и C1 .
71. Известно, что в некоторую пирамиду можно вписать шар. До-
кажите, что объем пирамиды равен 1/3 произведения радиуса шара
на полную поверхность пирамиды.
72. Две грани треугольной пирамиды — равносторонние треугольни-
ки со стороной, равной a. Две другие грани — равнобедренные прямо-
угольные треугольники. Найдите радиус вписанного в пирамиду шара.
73. Шар радиуса r касается всех боковых граней треугольной пира-
миды в серединах сторон ее основания. Отрезок, соединяющий вершину
пирамиды с центром шара, делится пополам точкой пересечения с осно-
ванием пирамиды. Найдите объем пирамиды.
74. В треугольной пирамиде SABC боковое ребро SC равно ребру
AB и наклонено к плоскости основания ABC под углом 60? . Известно,
что вершины A, B, C и середины боковых ребер пирамиды расположены
на сфере радиуса 1. Докажите, что центр этой сферы лежит на ребре
AB и найдите высоту пирамиды.
75. В треугольной пирамиде P ABC боковое ребро P B перпендику-
v v
лярно плоскости основания ABC, P B = 6, AB = BC = 15, AC = 2 3.
Сфера, центр O которой лежит на грани ABP , касается плоскостей
остальных граней пирамиды. Найдите расстояние от центра O сферы
до ребра AC.
76. Дан куб ABCDA1 B1 C1 D1 . Сфера касается прямых AC, B1 C,
AB1 и продолжения ребра BB1 за точку B. Найдите радиус сферы, если
длины ребер куба равны 1, а точка касания с прямой AC принадлежит
грани куба.
77. Четырехугольная пирамида SABCD вписана в сферу, центр ко-
торой лежит в плоскости основания ABCD. Диагонали AC и BD осно-
вания пересекаются в точке H, причем SH — высота пирамиды. Най-
дите CS и CD, если CH = 4, AS = 3,75, AD = 3, AB = BS.
78. Сфера касается ребер AS, BS, BC и AC треугольной пирами-
ды SABC в точках K, L, M и N соответственно. Найдите KL, если
v
M N = 7, N K = 5, LN = 2 29 и KL = LM .
79. Сфера радиуса 3/8 вписана в четырехугольную пирамиду
SABCD, у которой основанием служит ромб ABCD такой, что
?BAD = 60? ; высота пирамиды, равная 1, проходит через точку K
пересечения диагоналей ромба. Докажите, что существует единствен-
ная плоскость, пересекающая ребраv основания AB и AD в некоторых
точках M и N таких, что M N = 4 3/5, касающаяся сферы в точке,
удаленной на равные расстояния от точек M и N , и пересекающая
Стереометрия 47

продолжение отрезка SK за точку K в некоторой точке E. Найдите
длину отрезка SE.
80. Основание четырехугольной пирамиды SABCD — прямоуголь-
ник ABCD. Известно, что AS = 7, BS = 2, CS = 6, ?SAD = ?SBD =
= ?SCD. Найдите ребро DS.
81. Через вершину нижнего основания единичного куба проведена
плоскость, касающаяся вписанного в куб шара. Эта плоскость отсека-
ет от верхнего основания треугольник площади S. Найдите площадь
сечения куба этой плоскостью.
82. Боковые ребра треугольной пирамиды попарно перпендикуляр-
ны и равны a, b и c. Найдите радиус описанной сферы.
83. Пусть V — объем тетраэдра, a и b — его противоположные реб-
ра, c — расстояние между ними, ? — угол между ними. Докажите, что
1
abc · sin ?.
V=
6
84. В треугольной пирамиде ABCD известно, что CD = a, а перпен-
дикуляр, опущенный из середины ребра AB на CD, равен b и образует
равные углы ? с гранями ACD и BCD. Найдите объем пирамиды.
85. Сферы с центрами в точках O1 и O2 радиусов 3 и 1 соответствен-
но касаются друг друга. Через точку M , удаленную от O2 на расстоя-
ние 3, проведены две прямые, каждая из которых касается обеих сфер,
причем точки касания лежат на прямых по одну сторону от точки M .
Найдите угол между касательными, если известно, что одна из них об-
разует с прямой O1 O2 угол 45? .
86. В треугольной пирамиде противоположные ребра попарно рав-
ны. Докажите, что центры описанной и вписанной сфер совпадают.
87. Докажите, что все грани тетраэдра равны тогда и только тогда,
когда выполняется одно из следующих условий:
а) отрезки, соединяющие середины противоположных ребер, попар-
но перпендикулярны;
б) площади всех граней равны;
в) точка пересечения медиан и центр описанной сферы совпадают.
88. Дана треугольная пирамида ABCD. Скрещивающиеся ребра AC
и BD этой пирамиды перпендикулярны. Также перпендикулярны скре-
щивающиеся ребра AD и BC, а AB = CD. Все ребра этой пирамиды
касаются шара радиуса r. Найдите площадь грани ABC.
89. Сфера с центром в точке O проходит через вершины A, B
и C треугольной пирамиды ABCD и пересекает прямые AD, BD
и CD в точках K, L и M соответственно. Известно, что AD = 10,
48 Часть 2. Избранные задачи и теоремы элементарной геометрии
v
BC : BD = 3 : 2 и AB : CD = 4 3 : 11. Проекциями точки O на плос-
кости ABD, BCD и CAD являются середины ребер AB, BC и AC
соответственно. Расстояние между серединами ребер AB и CD рав-
но 13. Найти периметр треугольника KLM .
90. Ребро правильного тетраэдра равно a. Через вершину тетраэдра
проведено сечение, являющееся треугольником. Докажите, что пери-
метр P сечения удовлетворяет неравенствам
2a < P 3a.
91. В треугольной пирамиде SABC суммы трех плоских углов при
каждой из вершин B и C равны 180? и SA = CB. Найдите объем пи-
рамиды, если площадь грани SBC равна 100, а расстояние от центра
описанного шара до плоскости основания ABC равно 3.
92. Дан куб ABCDA1 B1 C1 D1 с ребром, равным 4. На середине ребра
BC взята точка M , а на ребре A1 D1 на расстоянии 1 от вершины A1
взята точка N . Найдите длину кратчайшего пути между точками M
и N по поверхности куба.
93. Если поверхность тетраэдра ABCD разрезать вдоль ребер AD,
BD и CD, то его разверткой на плоскость ABC будет квадрат со сто-
роной, равной a. Найдите объем тетраэдра.
94. Основание пирамиды ABCS — равносторонний треугольник
v
ABC со стороной 4 2. Боковое ребро SC перпендикулярно плоскости
основания и равно 2. Найдите угол и расстояние между скрещиваю-
щимися прямыми, одна из которых проходит через точку S и середину
ребра BC, а другая проходит через точку C и середину ребра AB.
95. Основание пирамиды SABCD — параллелограмм ABCD. В ка-
ком отношении плоскость, проведенная через прямую AD и середину
ребра SC, делит объем этой пирамиды?
96. На ребре DC треугольной пирамиды ABCD взята точка N , при-

<< Пред. стр.

страница 5
(всего 6)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

Copyright © Design by: Sunlight webdesign