LINEBURG


<< Пред. стр.

страница 4
(всего 6)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

AC 2 + BD2 = AD2 + BC 2 .

75. Даны две окружности с центрами O1 и O2 . Геометрическое ме-
сто точек M , для которых касательные к данным окружностям равны,
есть прямая, перпендикулярная O1 O2 , или часть такой прямой. В каких
случаях искомым геометрическим местом является вся прямая?
76. В треугольнике ABC, стороны AC и BC которого не равны,
биссектриса угла C делит пополам угол между медианой и высотой,
проведенными из вершины C, тогда и только тогда, когда ?C = 90? .
77. Найдите углы треугольника, если известно, что биссектриса, ме-
диана и высота, проведенные из одной вершины, делят угол треуголь-
ника на четыре равные части.
78. В любом треугольнике ABC середина стороны BC лежит на от-
резке, соединяющем точку пересечения высот с точкой окружности,
описанной около этого треугольника, диаметрально противоположной
вершине A, и делит этот отрезок пополам.
79. Свойства точки пересечения высот (ортоцентра) треугольника.
а) Высоты треугольника ABC пересекаются в точке H. Тогда ради-
усы окружностей, описанных около треугольников ABC, AHB, BHC
и AHC, равны между собой.
б) Если H — точка пересечения высот треугольника ABC, а O —
центр описанной окружности, то
> > > >
OH = OA + OB + OC.

в) Если H — точка пересечения высот треугольника ABC, то рассто-
яние между серединами отрезков BC и AH равно радиусу описанной
окружности треугольника ABC.
г) Расстояние от ортоцентра до вершины треугольника вдвое больше
расстояния от центра описанной окружности до стороны, противопо-
ложной этой вершине.
Планиметрия 31

д) Точка, симметричная ортоцентру относительно прямой, содержа-
щей сторону треугольника, лежит на описанной окружности треуголь-
ника.
80. Три окружности равных радиусов пересекаются в точке O и, кро-
ме того, попарно пересекаются в точках A, B и C. Тогда
а) окружность, описанная около треугольника ABC, имеет тот же
радиус;
б) три прямые, каждая из которых соединяет центр одной окружно-
сти с точкой пересечения двух других, пересекаются в одной точке;
в) точка O — ортоцентр треугольника ABC.
81. Пусть O — центр описанной окружности треугольника ABC,
H — точка пересечения высот. Тогда ?HAB = ?OAC.
82. Если BM и CN — высоты треугольника ABC, а O — центр опи-
санной окружности треугольника, то OA ? M N .
83. а) В остроугольном треугольнике ABC известно, что CH = AB,
где H — точка пересечения высот. Найдите угол C.
б) В остроугольном треугольнике ABC известно, что CH = R,
где H — точка пересечения высот, а R — радиус описанного круга.
Найдите угол C.
84. Каждое из оснований высот треугольника проецируется на его
стороны. Докажите, что длина отрезка, соединяющего проекции, не за-
висит от выбора высоты.
85. Отрезки AB и CD — диаметры одной окружности. Из точки M
этой окружности опущены перпендикуляры M P и M Q на прямые AB
и CD. Докажите, что длина отрезка P Q не зависит от положения точ-
ки M .
86. Из вершины C остроугольного треугольника ABC опущена вы-
сота CH, а из точки H опущены перпендикуляры HM и HN на стороны
BC и AC соответственно. Докажите, что треугольники M N C и ABC
подобны.
87. Продолжения высот AM и CN остроугольного треугольника
ABC пересекают описанную около него окружность в точках P и Q.
Найдите радиус описанной окружности, если AC = a, P Q = 6a/5.
88. Точки K и P симметричны основанию H высоты BH треуголь-
ника ABC относительно его сторон AB и BC. Докажите, что точки
пересечения отрезка KP со сторонами AB и BC (или их продолжени-
ями) — основания высот треугольника ABC.
89. Свойства ортотреугольника (т. е. треугольника с вершинами
в основаниях высот данного).
а) Высоты остроугольного треугольника являются биссектрисами
углов его ортотреугольника.
32 Часть 2. Избранные задачи и теоремы элементарной геометрии

б) Если точки A1 , B1 и C1 на сторонах соответственно BC, AC и AB
остроугольного треугольника ABC таковы, что

?BA1 C1 = ?CA1 B1 , ?CB1 A1 = ?AB1 C1 и ?AC1 B1 = ?BC1 A1 ,

то A1 B1 C1 — ортотреугольник треугольника ABC.
в) Точки касания вписанного в данный треугольник круга соедине-
ны отрезками, и в полученном треугольнике проведены высоты. Дока-
жите, что прямые, соединяющие основания этих высот, параллельны
сторонам исходного треугольника.
г) Задача Фаньяно. Треугольник наименьшего возможного перимет-
ра с вершинами на сторонах данного остроугольного треугольника —
это ортотреугольник данного треугольника.
90. Отрезки, соединяющие основания высот остроугольного тре-
угольника, равны 8, 15 и 17. Найдите радиус описанной около тре-
угольника окружности.
91. Окружность девяти точек. В любом треугольнике девять точек —
середины сторон, основания высот и середины отрезков от вершин
до ортоцентра — лежат на одной окружности.
92. Окружность касается стороны BC треугольника ABC в точ-
ке M , а продолжений сторон AB и AC — в точках N и P соответственно.
Вписанная окружность этого треугольника касается стороны BC в точ-
ке K, а стороны AB — в точке L. Тогда
а) отрезок AN равен полупериметру треугольника ABC;
б) отрезок AL равен разности полупериметра и стороны BC;
в) BK = CM ; г) N L = BC.
93. На сторонах BC, CA, и AB треугольника ABC взяты со-
ответственно точки A1 , B1 и C1 , причем AC1 = AB1 , BA1 = BC1
и CA1 = CB1 . Тогда A1 , B1 и C1 — точки касания вписанной окружно-
сти со сторонами треугольника.
94. Три окружности радиусов 1, 2 и 3 касаются друг друга внешним
образом. Тогда радиус окружности, проходящей через точки касания
этих окружностей, равен 1.
95. Пусть p — полупериметр, а S — площадь треугольника.
а) Если r1 — радиус вневписанной окружности треугольника, каса-
S
ющейся стороны, равной a, то r1 = .
p?a
б) Если r — радиус вписанной окружности треугольника, а r1 , r2 ,
r3 — радиусы вневписанных окружностей, то
v
1 1 1 1
r · r 1 · r2 · r 3 .
= + +, S=
r r 1 r 2 r3
Планиметрия 33

96. Если окружность, вписанная в треугольник ABC, касается сто-
роны BC в точке M , то окружности, вписанные в треугольники ABM
и ACM , касаются отрезка AM в одной точке.
97. Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехуголь-
ника равны, то в такой четырехугольник можно вписать окружность.
98. Если AD — биссектриса треугольника ABC, то
2AB · AC cos(?BAC/2)
а) AD = ,
AB + AC
б) AD2 = AB · AC ? BD · CD.
99. Теорема Штейнера—Лемуса. Если две биссектрисы треугольника
равны, то он равнобедренный.
100. Свойства вписанного четырехугольника со взаимно перпендику-
лярными диагоналями. Четырехугольник ABCD вписан в окружность
радиуса R с центром O. Его диагонали AC и BD взаимно перпендику-
лярны и пересекаются в точке P . Тогда
а) медиана треугольника AP B перпендикулярна стороне CD;
б) ломаная AOC делит четырехугольник ABCD на две равновели-
кие фигуры;
в) AB 2 + CD2 = 4R2 ;
г) AP 2 + BP 2 + CP 2 + DP 2 = 4R2 и AB 2 + BC 2 + CD2 + AD2 = 8R2 ;
д) расстояние от центра окружности до стороны четырехугольника
вдвое меньше противоположной стороны.
е) если перпендикуляры, опущенные на сторону AD из вершин B
и C, пересекают диагонали AC и BD в точках E и F , то BCF E —
ромб;
ж) четырехугольник, вершины которого — проекции точки P на сто-
роны четырехугольника ABCD, — и вписанный, и описанный;
з) четырехугольник, образованный касательными к описанной ок-
ружности четырехугольника ABCD, проведенными в его вершинах,
можно вписать в окружность.
101. Если a, b, c, d — последовательные стороны четырехугольника,
а S — его площадь, то S (ac + bd)/2, причем равенство имеет место
только для вписанного четырехугольника, диагонали которого взаимно
перпендикулярны.
102. Формула Брахмагупты. Если стороны вписанного четырех-
угольника равны сторон a, b, c и d, то его площадь S может быть
вычислена по формуле

(p ? a)(p ? b)(p ? c)(p ? d),
S=

где p = (a + b + c + d)/2 — полупериметр четырехугольника.
34 Часть 2. Избранные задачи и теоремы элементарной геометрии

103. Если четырехугольник со сторонами a, b, c, d можно вписать
v
и около него можно описать окружность, то его площадь равна abcd.
104. Две окружности пересекаются в точках A и B. В каждой из этих
окружностей проведены хорды AC и AD так, что хорда одной окруж-
v
ности касается другой окружности. Тогда AB = CB · DB.
105. Окружность и прямая касаются в точке M . Из точек A и B
этой окружности опущены перпендикуляры на прямую, равные a и b v
соответственно. Тогда расстояние от точки M до прямой AB равно ab.
106. Из точки M , лежащей вне окружности, проведены к этой
окружности две касательные. Если расстояния от точки C, лежащей
на окружности, до касательных равны a и b, тоv расстояние от точки C
до прямой AB (A и B — точки касания) равно ab.
107. Пятиугольник ABCDE вписан в окружность. Расстояния от
точки A до прямых BC, DC и DE равны соответственно a, b, c. То-
гда расстояние от вершины A до прямой BE равно ac/b.
108. Прямая Симсона. Докажите, что основания перпендикуляров,
опущенных из произвольной точки описанной окружности на стороны
треугольника (или их продолжения), лежат на одной прямой.
109. Докажите, что прямая, проходящая через точки пересечения
двух окружностей, делит пополам общую касательную к ним.
110. Две окружности радиусов R и r пересекаются в точках A и B
и касаются прямой в точках C и D; N — точка пересечения прямых AB
и CD (B между A и N ). Найдите
а) радиус окружности, описанной около треугольника ACD;
б) отношение высот треугольников N AC и N AD, опущенных из вер-
шины N .
111. В выпуклом четырехугольнике ABCD проведены диагонали
AC и BD. Известно, что AD = 2, ?ABD = ?ACD = 90? , и расстоя-
ние между центрами окружностей, вписанных в треугольники ABD
v
и ACD, равно 2. Найдите BC.
112. Теорема Стюарта. Точка D расположена на стороне BC тре-
угольника ABC. Тогда

AB 2 · DC + AC 2 · BD ? AD2 · BC = BC · DC · BD.

113. Точка P расположена внутри квадрата ABCD, причем ?P AB=
= ?P BA = 15? . Тогда треугольник DP C — равносторонний.
114. Докажите, что если для вписанного четырехугольника ABCD
выполнено равенство CD = AD + BC, то биссектрисы его углов A и B
пересекаются на стороне CD.
Планиметрия 35

115. Вписанная окружность касается сторон AB и AC треугольника
ABC в точках M и N . Пусть P — точка пересечения прямой M N и бис-
сектрисы угла B (или ее продолжения). Докажите, что ?BP C = 90? .
116. Из точки A проведены к окружности две касательные AP и AQ
(P и Q — точки касания) и секущая AKL (точка K между A и L).
Пусть M — середина отрезка KL. Докажите, что ?AM P = ?AM Q.
117. На продолжении хорды KL окружности с центром O взята точ-
ка A, и из нее проведены касательные AP и AQ; M — середина отрезка
P Q. Докажите, что ?M KO = ?M LO.
118. Продолжения противоположных сторон AB и CD вписанного
четырехугольника ABCD пересекаются в точке M , а сторон AD и BC —
в точке N . Тогда
а) биссектрисы углов AM D и DN C взаимно перпендикулярны;
б) прямые M Q и N Q пересекают стороны четырехугольника в вер-
шинах ромба;
в) точка пересечения Q этих биссектрис лежит на отрезке, соединя-
ющем середины диагоналей четырехугольника ABCD.
119. Продолжения противоположных сторон четырехугольника,
вписанного в окружность, пересекаются в точках P и Q. Найдите
P Q, если касательные к окружности, проведенные из точек P и Q,
равны a и b.
120. Окружность с центром O на стороне BC равностороннего тре-
угольника ABC касается сторон AB и AC в точках P и Q соответствен-
но. Касательная к окружности пересекает эти стороны в точках M и N ,
а отрезки OM и ON пересекают отрезок P Q в точках E и F . Тогда
EF = M N/2.
121. Задача о бабочке. Через середину C произвольной хорды AB
окружности проведены две хорды KL и M N (точки K и M лежат
по одну сторону от AB). Отрезок KN пересекает AB в точке P . Отрезок
LM пересекает AB в точке Q. Докажите, что P C = QC.
122. В любом треугольнике радиус описанной окружности не меньше
удвоенного радиуса вписанной окружности, причем равенство достига-
ется тогда и только тогда, когда треугольник равносторонний.
123. Окружность Аполлония. Геометрическое место точек, расстоя-
ния от каждой из которых до двух данных точек относятся как m : n
(m = n), есть окружность.
124. Теорема Птолемея. Сумма произведений двух пар противопо-
ложных сторон вписанного четырехугольника равна произведению его
диагоналей.
125. На отрезке AC взята точка B и на отрезках AB, BC и AC по-
строены как на диаметрах полуокружности S1 , S2 и S3 по одну сторону
36 Часть 2. Избранные задачи и теоремы элементарной геометрии

от AC. Пусть D — точка на S3 , проекция которой на AC совпадает
с точкой B. Общая касательная к S1 и S2 касается этих полуокружно-
стей в точках E и F соответственно.
а) Докажите, что прямая EF параллельна касательной к S3 , прове-
денной через точку D.
б) Докажите, что BF DE — прямоугольник.
в) Найдите радиус окружности, касающейся всех трех полуокруж-
ностей, если известно, что ее центр удален от прямой AC на расстоя-
ние a.
г) Задача об арбелосе Архимеда. Докажите, что радиус окружности,
касающейся S1 , S3 и отрезка BD, равен радиусу окружности, касаю-
щейся S2 , S3 и отрезка BD.
126. Теорема Ньютона. Во всяком описанном четырехугольнике се-
редины диагоналей и центр вписанной окружности расположены на од-
ной прямой.
127. Если M — точка пересечения медиан треугольника ABC, а O —
произвольная точка, то
1
> > > >
OM = (OA + OB + OC).
3

128. Теорема Монжа. Прямые, проведенные через середины сторон
вписанного четырехугольника перпендикулярно противоположным сто-
ронам, пересекаются в одной точке.
129. а) Композиция симметрий относительно двух прямых, пересе-
кающихся под углом ?, есть поворот на угол 2? относительно точки
пересечения прямых.
б) Композиция двух поворотов на углы, в сумме не кратные 360? ,
является поворотом. В какой точке находится его центр и чему равен
угол поворота? Исследуйте также случай, когда сумма углов поворотов
кратна 360? .
130. Треугольник Наполеона. Центры правильных треугольников,
построенных внешним (внутренним) образом на сторонах произволь-
ного треугольника, образуют правильный треугольник.
131. Две касающиеся окружности гомотетичны относительно их точ-
ки касания.
132. Теорема Шаля. Всякое движение плоскости есть либо парал-
лельный перенос, либо поворот, либо осевая симметрия, либо скользя-
щая симметрия (композиция осевой симметрии и параллельного пере-
носа в направлении, параллельном оси симметрии).
Планиметрия 37

133. Теорема Гаусса. Если продолжения сторон AB, AC и BC тре-
угольника ABC пересекают прямую l в точках C1 , B1 и A1 , то середины
отрезков AA1 , BB1 и CC1 лежат на одной прямой.

Задачи на построение
1. Постройте треугольник по трем медианам.
2. Постройте общие касательные к двум данным окружностям.
3. Постройте равносторонний треугольник ABC так, чтобы его вер-
шины лежали на трех данных параллельных прямых.
4. Постройте треугольник по двум углам A, B и периметру P .
5. Постройте точки X и Y на сторонах AB и BC треугольника ABC
так, что AX = BY и XY AC.
6. Постройте треугольник по стороне, противолежащему углу и сум-
ме двух других сторон.
7. Впишите в угол окружность, проходящую через данную точку.
8. Постройте отрезок, равный и параллельный данному, так, чтобы
его концы лежали на двух данных окружностях.
9. Точки A и B лежат по разные стороны от прямой l. Постройте
на этой прямой точку M так, чтобы прямая l делила угол AM B по-
полам.
10. Точки M и N расположены по одну сторону от прямой l. По-
стройте на прямой l такую точку K, чтобы
а) сумма M K + N K была наименьшей;
б) угол между прямыми M K и l был вдвое меньше угла между пря-
мыми N K и l.
11. В каком месте нужно построить мост через реку с параллельны-
ми берегами так, чтобы путь из деревни A в деревню B, расположенную
на другом берегу реки, был минимальным? Мост строится перпендику-
лярно берегу.
12. Даны две параллельные прямые. С помощью одной линейки
а) разделите пополам отрезок, расположенный на одной из них;
б) проведите через данную точку M прямую, параллельную этим
прямым.
13. Даны две параллельные прямые, отрезок на одной из них и сере-
дина этого отрезка. С помощью одной линейки проведите через данную
точку M прямую, параллельную этим прямым.
14. С помощью одной линейки опустите перпендикуляр из данной
точки на данный диаметр данной окружности.
15. С помощью одной линейки опустите перпендикуляр на данную
прямую из центра данной окружности.
38 Часть 2. Избранные задачи и теоремы элементарной геометрии

16. Опишите около данного треугольника треугольник, равный дру-
гому данному треугольнику, т. е. через вершины данного треугольника
проведите прямые, которые пересекаются в вершинах треугольника,
равного другому данному треугольнику.
17. В данный треугольник впишите треугольник, равный другому
данному треугольнику, т. е. на сторонах данного треугольника построй-
те вершины треугольника, равного другому данному треугольнику.
18. Через данную точку проведите прямую, отсекающую от данного
угла треугольник
а) заданного периметра;
б) наименьшего периметра;
в) наименьшей площади.
19. Постройте (2n ? 1)-угольник по серединам его сторон.
20. Постройте треугольник по точкам пересечения с описанной
окружностью продолжений его высоты, медианы и биссектрисы, про-
веденных из одной вершины.
21. Постройте треугольник по трем точкам, симметричным центру
описанной окружности относительно сторон треугольника.
22. Постройте треугольник по основаниям его высот.
23. Даны две пересекающиеся окружности. Проведите через точку
их пересечения прямую так, чтобы отрезок этой прямой, заключенный
между окружностями,
а) делился этой точкой пополам;
б) был равен заданному отрезку.
24. Даны две окружности. Проведите через данную точку прямую
так, чтобы
а) отрезок этой прямой, заключенный между окружностями, делил-
ся этой точкой пополам;
б) она высекала на окружностях равные хорды.
25. Даны две окружности. Проведите прямую, параллельную дан-
ной так, чтобы
а) она высекала на окружностях равные хорды;
б) сумма хорд, высекаемых ею на окружностях, была равна задан-
ному отрезку.
26. A и B — фиксированные точки окружности, C — произвольная
точка окружности. Постройте геометрическое место точек пересечения
а) биссектрис; б) высот треугольника ABC. v
27. Даны отрезки a и b. Постройте отрезок, равный 4 a4 + b4 .
28. Постройте окружность, касающуюся данной окружности и дан-
ной прямой в данной на ней точке.
Стереометрия 39

29. Постройте окружность, касающуюся данной прямой и данной
окружности в данной на ней точке.
30. Постройте окружность, проходящую через две данные точки
и касающуюся данной прямой.
31. Постройте окружность, проходящую через две данные точки
и касающуюся данной окружности.
32. Через данную точку проведите окружность, касающуюся данной
прямой и данной окружности.
33. Постройте треугольник по трем высотам.
34. Постройте треугольник по центрам вписанной, описанной и од-
ной из вневписанных окружностей.
35. Постройте геометрическое место точек, расположенных внутри
данного угла, сумма расстояний от которых до сторон этого угла имеет
данную величину.
36. Восстановите квадрат по четырем точкам, лежащим на его сто-
ронах.
37. С помощью одного циркуля а) разделите отрезок пополам;

<< Пред. стр.

страница 4
(всего 6)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

Copyright © Design by: Sunlight webdesign