LINEBURG


<< Пред. стр.

страница 3
(всего 6)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

ме квадратов трех его измерений (длин трех ребер с общей вершиной).

Сфера. Касательная плоскость. Касающиеся сферы
68. Сечение сферы плоскостью, удаленной от центра сферы на рас-
стояние, меньшее радиуса, есть окружность. Основание перпендикуля-
ра, опущенного из центра сферы на секущую плоскость, есть центр этой
окружности.
69. Касательная плоскость к сфере (плоскость, имеющая со сферой
единственную общую точку) перпендикулярна радиусу сферы, прове-
денному в точку касания.
Стереометрия 21

70. Касательная прямая к сфере (прямая, имеющая со сферой един-
ственную общую точку) перпендикулярна радиусу сферы, проведенно-
му в точку касания.
71. Центр сферы, вписанной в двугранный угол, лежит в биссектор-
ной плоскости этого угла.
72. Отрезки касательных прямых, проведенных к сфере из одной
точки, равны между собой.
73. Линия центров касающихся сфер (имеющих единственную об-
щую точку) проходит через их точку касания.
74. Если две различные сферы имеют более одной общей точки,
то они пересекаются по окружности. Плоскость этой окружности пер-
пендикулярна линии центров данных сфер.

Правильная пирамида
75. Если ABCD — правильная треугольная пирамида с вершиной D,
высотой DM и стороной основания a, а A1 , B1 и C1 — середины сторон
соответственно BC, AC и AB, то
а) ?DAM = ?DBM = ?DCM — угол бокового ребра с плоскостью
основания;
б) ?DA1 M = ?DB1 M = ?DC1 M — линейный угол двугранного угла
боковой грани с плоскостью основания;
в) ?AF B (где F — основание перпендикуляра, опущенного из вер-
шины A основания на боковое ребро DC) — линейный угол между
боковыми гранями пирамиды;v
г) AA1 = BB1 = CC1 = a 3/2 — высота треугольника основания;
v v
д) AM = BM = CM = 2AA1 /3 = a/ 3 = (a 3)/3 — ортогональная
проекция бокового ребра на плоскость основания;
v v
е) A1 M = B1 M = C1 M = AA1 /3 = a/(2 3) = a 3/6 — ортогональная
проекция апофемы на плоскость основания;
ж) C1 F — общий перпендикуляр противоположных ребер AB и CD.
76. Противоположные ребра правильной треугольной пирамиды по-
парно перпендикулярны.
77. Высота правильного тетраэдра с ребром a равна a 2/3.
78. Если P ABCD — правильная четырехугольная пирамида с вер-
шиной P , высотой P M и стороной основания a, а A1 , B1 , C1 и D1 —
середины сторон соответственно AB, BC, CD и AD, то
а) ?P AM = ?P BM = ?P CM = ?P DM — угол бокового ребра с
плоскостью основания;
б) ?P A1 M = ?P B1 M = ?P C1 M = ?P D1 M — линейный угол дву-
гранного угла боковой грани с плоскостью основания;
22 Часть 1. Основные сведения из школьной геометрии

в) ?BF D (где F — основание перпендикуляра, опущенного из вер-
шины B основания на боковое ребро AP ) — линейный угол между
соседними боковыми гранями пирамиды;
г) ?A1 P C1 = ?B1 P D1 — линейный угол двугранного угла между
противоположными боковыми гранями; v v
д) AM = BM = CM = DM = DB/2 = (a 2)/2 = a/ 2 — ортогональ-
ная проекция бокового ребра на плоскость основания;
е) A1 M = B1 M = C1 M = D1 M = a/2 — ортогональная проекция апо-
фемы на плоскость основания;
ж) F M — общий перпендикуляр диагонали BD основания и скре-
щивающегося с ней бокового ребра AP .
79. Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды перпен-
дикулярно скрещивающейся с ним диагонали основания.

Площадь поверхности многогранника
80. Боковая поверхность призмы равна произведению периметра
перпендикулярного сечения призмы на боковое ребро.
81. Боковая поверхность правильной пирамиды равна площади ее
основания, деленной на косинус угла боковой грани с плоскостью осно-
вания.

Объемы многогранников
82. Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению
трех его измерений.
83. Объем наклонной призмы равен произведению площади перпен-
дикулярного сечения на боковое ребро.
84. Объем призмы равен произведению площади основания на вы-
соту.
85. Объем треугольной призмы равен половине произведения пло-
щади боковой грани на расстояние между этой гранью и противолежа-
щим ей боковым ребром.
86. Объем пирамиды равен трети произведения площади основания
на высоту.
87. Пирамиды с равными высотами и равновеликими основаниями
равновелики.
88. Плоскость, проходящая через вершину пирамиды и прямую, ле-
жащую в основании, делит объем пирамиды в том же отношении, в ко-
тором прямая делит площадь основания.
89. Если точки A1 , B1 и C1 лежат на боковых ребрах соответственно
DA, DB и DC треугольной пирамиды ABCD или на их продолжениях,
Стереометрия 23

то объем пирамиды A1 B1 C1 D1 относится к объему пирамиды ABCD
DA1 DB1 DC1
· ·
как произведение отношений .
DA DB DC
90. Отношение объемов подобных многогранников равно кубу коэф-
фициента подобия.
91. Произведение площади основания на высоту тетраэдра посто-
янно.
92. Объем тетраэдра V равен шестой части произведения длин двух
противоположных ребер a и b на расстояние между ними c и на синус
1
угла ? между ними, т. е. V = abc · sin ?.
6
93. Объем тетраэдра V равен двум третям произведения площадей
двух граней P и Q на синус угла ? между ними, деленному на их общее
2 P · Q · sin ?
ребро a, т. е. V = .
3 a
94. а) Объем тетраэдра равен трети произведения его полной поверх-
ности на радиус вписанной сферы.
б) Объем многогранника, в который можно вписать сферу, равен
одной третьей произведения полной поверхности многогранника на ра-
диус сферы.

Объемы и поверхности круглых тел
95. Объем цилиндра равен произведению площади его основания
на высоту.
96. Объем конуса равен трети произведения площади его основания
на высоту.
97. Объем шара радиуса R равен 4?R3 /3.
98. Oбъем шарового сегмента высотой h шара радиуса R равен
2
?h (R ? h/3).
99. Боковая поверхность цилиндра с высотой h и радиусом основа-
ния r равна 2?rh.
100. Боковая поверхность конуса с образующей l и радиусом основа-
ния r равна ?rl.
101. Поверхность сферы радиуса R равна 4?R2 .
102. Сферическая поверхность шарового сегмента высотой h шара
радиуса R равна 2?Rh.
Часть 2. Избранные задачи и теоремы
элементарной геометрии

Планиметрия

1. Сумма расстояний от произвольной точки основания равнобед-
ренного треугольника до боковых сторон постоянна.
2. Если три медианы одного треугольника соответственно равны
трем медианам другого треугольника, то треугольники равны.
3. Медиана треугольника ABC, проведенная из вершины A, меньше
полусуммы сторон AB и AC, но больше их полуразности.
4. Сумма трех медиан треугольника меньше периметра, но больше
трех четвертей периметра треугольника.
5. Cумма диагоналей выпуклого четырехугольника больше суммы
его двух противоположных сторон.
6. Отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой, лежащей
на противоположной стороне, меньше большей из двух других сторон.
7. Расстояние между любыми двумя точками, взятыми на сторонах
треугольника, не больше наибольшей из его сторон.
8. а) Если треугольники ABC и A1 B1 C1 таковы, что AB = A1 B1 ,
AC = A1 C1 и ?BAC > ?B1 A1 C1 , то BC > B1 C1 .
б) Если треугольники ABC и A1 B1 C1 таковы, что AB = A1 B1 ,
AC = A1 C1 и BC > B1 C1 , то ?BAC > ?B1 A1 C1 .
9. Пусть AA1 — медиана треугольника ABC. Угол A острый тогда
и только тогда, когда AA1 > BC/2.
10. Сумма расстояний от любой точки внутри треугольника до трех
его вершин больше полупериметра, но меньше периметра треугольника.
11. Две окружности радиусов r и R (r < R) пересекаются тогда
и только тогда, когда расстояние между их центрами меньше, чем
r + R, но больше, чем R ? r.
12. Если отрезки, соединяющие середины противоположных сторон
четырехугольника,
а) равны, то диагонали четырехугольника перпендикулярны;
б) перпендикулярны, то диагонали четырехугольника равны.
Планиметрия 25

13. Точки K, L, M и N — середины сторон соответственно AB, BC,
CD и DE пятиугольника ABCDE, а точки P и Q — середины отрезков
соответственно KM и LN . Тогда P Q AE и P Q = AE/4.
14. Два равносторонних треугольника ABC и CDE (вершины пере-
числены против часовой стрелки) расположены по одну сторону от пря-
мой AE и имеют единственную общую точку C. Пусть M , N и K —
середины отрезков BD, AC и CE соответственно. Тогда треугольник
M N K — равносторонний.
15. Биссектрисы углов при боковой стороне трапеции пересекаются
на ее средней линии.
16. Стороны параллелограмма равны a и b. Тогда диагонали четы-
рехугольника, образованного пересечениями биссектрис углов паралле-
лограмма, равны |a ? b|.
17. Если сумма углов при одном из оснований трапеции равна 90? ,
то отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, равен их по-
луразности.
18. На сторонах AB и AD параллелограмма ABCD взяты точки M
и N так, что прямые M C и N C делят параллелограмм на три равнове-
ликие части. Найдите M N , если BD = d.
19. Диагонали трапеции равны 3 и 5, а отрезок, соединяющий сере-
дины оснований, равен 2. Найдите площадь трапеции.
20. Отрезок прямой, параллельной основаниям трапеции, заключен-
ный внутри трапеции, разбивается ее диагоналями на три части. Тогда
отрезки, прилегающие к боковым сторонам, равны между собой.
21. Через точку пересечения диагоналей трапеции с основаниями a
и b проведена прямая, параллельная основаниям. Отрезок этой прямой,
2ab
заключенный между боковыми сторонами трапеции, равен .
a+b
22. Трапеция разделена прямой, параллельной ее основаниям, рав-
ным a и b, на две равновеликие трапеции. Тогда отрезок этой прямой,
заключенный между боковыми сторонами, равен (a2 + b2 )/2.
23. Точка M — середина отрезка AB. Точки A1 , M1 и B1 — про-
екции точек A, M и B на некоторую прямую. Тогда M1 — середина
отрезка A1 B1 .
24. В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты BD
и CE. Если BF и CG — перпендикуляры, опущенные из вершин B и C
на прямую ED, то EF = DG.
25. На отрезке AB взята точка C. Прямая, проходящая через точ-
ку C, пересекает окружности с диаметрами AC и BC в точках K
и L, а также окружность с диаметром AB — в точках M и N . Тогда
KM = LN .
26 Часть 2. Избранные задачи и теоремы элементарной геометрии

26. Пусть ?, ? и ? — углы треугольника, причем ? ? ?. Тогда
? 60? , ? 60? , 0? < ? < 90? .
27. На двух сторонах треугольника вне его построены квадраты. То-
гда отрезок, соединяющий концы сторон квадратов, выходящих из од-
ной вершины треугольника, в два раза больше медианы треугольника,
выходящей из той же вершины.
28. Обобщенная теорема Пифагора. Пусть CD — высота прямоуголь-
ного треугольника ABC, проведенная из вершины прямого угла. Тогда
треугольники ABC, CBD и ACD подобны. Если l, m и n — соответ-
ствующие линейные элементы этих треугольников, то

l 2 = m2 + n 2 .

29. Высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу,
делит этот треугольник на два треугольника. Расстояние между цен-
трами вписанных окружностей этих треугольников равно 1. Найдите
радиус вписанной окружности исходного треугольника.
30. Две окружности пересекаются в точках A и B. Продолжения
хорд AC и BD первой окружности пересекают вторую окружность
в точках E и F . Тогда прямые CD и EF параллельны.
31. Через точку касания двух окружностей проведена секущая. То-
гда касательные, проведенные к окружностям через концы образовав-
шихся хорд, параллельны.
32. Теорема Коперника. По неподвижной окружности, касаясь ее
изнутри, катится без скольжения окружность вдвое меньшего радиу-
са. Тогда фиксированная точка K подвижной окружности движется
по диаметру неподвижной окружности.
33. Продолжения биссектрис остроугольного треугольника ABC
пересекают описанную окружность этого треугольника в точках A1 ,
B1 , C1 . Тогда высоты треугольника A1 B1 C1 лежат на прямых AA1 ,
BB1 , CC1 .
34. Продолжения высот остроугольного треугольника ABC пере-
секают описанную окружность этого треугольника в точках A1 , B1 ,
C1 . Тогда биссектрисы треугольника A1 B1 C1 лежат на прямых AA1 ,
BB1 , CC1 .
35. Если выполняется одно из следующих условий, то четыре точ-
ки A, B, C и D лежат на одной окружности.
а) ?CAD = ?CBD = 90? .
б) Точки A и B лежат по одну сторону от прямой CD и ?CAD =
= ?CBD.
в) Прямые AC и BD пересекаются в точке O и OA · OC = OB · OD.
Планиметрия 27

36. На гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC с катета-
ми BC = a и AC = b во внешнюю сторону построен квадрат ABKM .v
Тогда расстояние от точки C до центра квадрата равно (a + b)/ 2.
37. На гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC во внеш-
нюю сторону построен квадрат с центром в точке O. Докажите, что CO
есть биссектриса прямого угла.
38. В треугольнике ABC угол B равен 60? , биссектрисы AD и CE
пересекаются в точке O. Докажите, что OD = OE.
39. а) Три прямые, проходящие через точку O, образуют друг с дру-
гом углы в 60? . Тогда проекции произвольной точки, отличной от O,
на эти прямые являются вершинами правильного треугольника.
б) Проекции произвольной точки на высоты треугольника являются
вершинами треугольника, подобного данному.
40. Через вершину C равностороннего треугольника ABC прове-
дена произвольная прямая, K и M — проекции точек A и B на эту
прямую, P — середина AB. Докажите, что треугольник KM P — рав-
носторонний.
41. Основание каждой высоты треугольника проектируется на бо-
ковые стороны треугольника. Докажите, что шесть полученных точек
лежат на одной окружности.
42. Задача Архимеда. В дугу AB окружности вписана ломаная
AM B из двух отрезков (AM > M B). Докажите, что основание перпен-
дикуляра KH, опущенного из середины K дуги AB на отрезок AM ,
делит ломаную пополам, т. е. AH = HM + M B.
43. Около равностороннего треугольника ABC описана окружность,
и на дуге BC взята произвольная точка M . Тогда AM = BM + CM .
44. Точка Торричелли. На сторонах треугольника ABC построены
вне треугольника равносторонние треугольники BCA1 , CAB1 , ABC1 ,
и проведены отрезки AA1 , BB1 и CC1 . Тогда
а) эти отрезки равны;
б) эти отрезки пересекаются в одной точке;
в) если эта точка находится внутри треугольника ABC, то сумма ее
расстояний до трех вершин треугольника равна каждому из отрезков
AA1 , BB1 , CC1 .
45. Задача Ферма. Внутри остроугольного треугольника найдите
точку, сумма расстояний от которой до вершин минимальна.
46. Если прямая, проходящая через точку A и центр O вписан-
ной окружности треугольника ABC, вторично пересекает описанную
окружность этого треугольника в точке M , то треугольники BOM
и COM равнобедренные.
28 Часть 2. Избранные задачи и теоремы элементарной геометрии

47. Теорема Мансиона. Докажите, что отрезок, соединяющий цен-
тры вписанной и вневписанной окружностей треугольника, делится
описанной окружностью пополам.
48. Формула Эйлера. Если O1 , O2 — центры вписанной и описанной
окружностей треугольника ABC, а r и R — радиусы этих окружностей,
v
то O1 O2 = R2 ? 2rR.
49. Четыре круга, построенных на сторонах выпуклого четырех-
угольника как на диаметрах, покрывают весь четырехугольник.
50. Два противоположных угла выпуклого четырехугольника —
тупые. Докажите, что диагональ, соединяющая вершины этих углов,
меньше другой диагонали.
51. Две окружности касаются внутренним образом в точке M . Пусть
AB — хорда большей окружности, касающаяся меньшей окружности
в точке T . Докажите, что M T — биссектриса угла AM B.
52. Общие хорды трех попарно пересекающихся окружностей или
их продолжения проходят через одну точку, либо параллельны, либо
лежат на одной прямой.
53. Точка M находится на продолжении хорды AB. Если точ-
ка C окружности такова, что M C 2 = M A · M B, то M C — касательная
к окружности.
54. Центры квадратов, построенных на сторонах параллелограмма
вне его, сами образуют квадрат.
55. Если в треугольнике один угол равен 120? , то треугольник, об-
разованный основаниями его биссектрис, прямоугольный.
56. Если в треугольнике ABC с углом B, равным 120? , биссектрисы
AE, BD и CM пересекаются в точке O, то ?DM O = 30? .
57. Даны прямая (окружность) и на ней точки A и B. Найдите
геометрическое место точек касания окружностей, одна из которых ка-
сается данной прямой (окружности) в точке A, а другая — в точке B.
58. Прямая Эйлера. В любом треугольнике точка H пересечения вы-
сот (ортоцентр), центр O описанной окружности и точка M пересечения
медиан (центр тяжести) лежат на одной прямой, причем точка M рас-
положена между точками O и H, и M H = 2M O.
59. Теорема Менелая. Дан треугольник ABC. Некоторая прямая
пересекает его стороны AB, BC и продолжение стороны AC в точ-
ках C1 , A1 , B1 соответственно. Тогда
BA1 CB1 AC1
· · = 1.
A1 C B1 A C1 B
60. Теорема Чевы. Пусть точки A1 , B1 и C1 принадлежат соответ-
ственно сторонам BC, AC и AB треугольника ABC. Отрезки AA1 , BB1 ,
Планиметрия 29

CC1 пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда
AB1 CA1 BC1
· · = 1.
B1 C A1 B C1 A
61. а) Точка Жергонна. В треугольник вписана окружность. Точки
касания со сторонами треугольника соединены с противоположными
вершинами. Тогда три полученных отрезка пересекаются в одной точке.
б) Точка Нагеля. В любом треугольнике отрезки, соединяющие вер-
шины с точками касания вневписанных окружностей с противополож-
ными сторонами, пересекаются в одной точке.
62. Через точку M на высоте AD произвольного треугольника ABC
проводятся прямые BM и CM , которые пересекают стороны AC и AB
в точках P и Q соответственно. Тогда AD — биссектриса угла P DQ.
63. Прямая, соединяющая точку P пересечения диагоналей четы-
рехугольника ABCD с точкой Q пересечения прямых AB и CD, делит
сторону AD пополам. Тогда она делит пополам и сторону BC.
64. Если на стороне BC треугольника ABC как на диаметре постро-
ена окружность, пересекающая стороны AB и AC в точках M и N ,
то S(AM N ) = S(ABC) cos2 ?.
65. Площади треугольников, образованных отрезками диагоналей
трапеции и ее основаниями, равны S1 и S2 . Найдите площадь трапеции.
66. Если площадь треугольника ABC равна S, то площадь тре-
угольника, стороны которого равны медианам треугольника ABC,
равна 3S/4.
67. Через некоторую точку, взятую внутри треугольника, проведены
три прямые, параллельные сторонам. Эти прямые разбивают треуголь-
ник на шесть частей, три из которых — треугольники с площадями S1 ,
S2 , S3 . Тогда площадь данного треугольника равна
S3 )2 .
( S1 + S2 +
68. Каждая сторона выпуклого четырехугольника поделена на три
равные части. Соответствующие точки деления на противоположных
сторонах соединены отрезками. Тогда эти отрезки делят друг друга
на три равные части.
69. Две прямые делят каждую из двух противоположных сторон вы-
пуклого четырехугольника на три равные части. Тогда между этими
прямыми заключена треть площади четырехугольника.
70. Теорема Паскаля. Точки пересечения продолжений противопо-
ложных сторон вписанного шестиугольника лежат на одной прямой.
71. Теорема Брианшона. Диагонали описанного шестиугольника, со-
единяющие противоположные вершины, пересекаются в одной точке.
30 Часть 2. Избранные задачи и теоремы элементарной геометрии

72. Если в четырехугольник можно вписать окружность, то отре-
зок, соединяющий точки, в которых вписанная окружность касается
противоположных сторон четырехугольника, проходит через точку пе-
ресечения диагоналей.
73. Геометрическое место точек, разность квадратов расстояний
от которых до точек A и B постоянна, есть прямая, перпендикуляр-
ная AB.
74. Прямые AB и CD перпендикулярны тогда и только тогда, когда

<< Пред. стр.

страница 3
(всего 6)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

Copyright © Design by: Sunlight webdesign