LINEBURG


<< Пред. стр.

страница 2
(всего 6)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

2) Катет прямоугольного треугольника равен другому катету, умно-
женному на тангенс противолежащего или котангенс прилежащего
к этому катету острого угла.
65. Теорема Пифагора. Квадрат гипотенузы прямоугольного тре-
угольника равен сумме квадратов катетов.
66. Теорема, обратная теореме Пифагора. Если квадрат стороны тре-
угольника равен сумме квадратов двух других его сторон, то треуголь-
ник — прямоугольный.
67. Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике. Вы-
сота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого
угла, есть среднее пропорциональное проекций катетов на гипотену-
зу, а каждый катет есть среднее пропорциональное гипотенузы и своей
проекции на гипотенузу.
68. Если в трапецию можно вписать окружность, то радиус окруж-
ности есть среднее пропорциональное отрезков, на которые точка каса-
ния делит боковую сторону.
69. Отрезок общей внешней касательной к двум касающимся окруж-
ностям радиусов r и R равен отрезку общей внутренней касательной,
v
заключенному между общими внешними. Оба эти отрезка равны 2 Rr.
70. Метрические соотношения в треугольнике.
1) Теорема косинусов. Квадрат стороны треугольника равен сумме
квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон
на косинус угла между ними.
2) Следствие из теоремы косинусов. Сумма квадратов диагоналей
параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.
3) Формула для медианы треугольника. Если m — медиана треуголь-
v
ника, проведенная к стороне c, то m = 2a2 + 2b2 ? c2 /2, где a и b —
остальные стороны треугольника.
4) Теорема синусов. Стороны треугольника пропорциональны сину-
сам противолежащих углов.
5) Обобщенная теорема синусов. Отношение стороны треугольника
к синусу противолежащего угла равно диаметру окружности, описан-
ной около треугольника.
Планиметрия 13

71. Формулы площади треугольника.
1) Площадь треугольника равна половине произведения основания
на высоту.
2) Площадь треугольника равна половине произведения двух его
сторон на синус угла между ними.
3) Площадь треугольника равна произведению его полупериметра
на радиус вписанной окружности.
4) Площадь треугольника равна произведению трех его сторон, де-
ленному на учетверенный радиус описанной окружности.
5) Формула Герона.
72. Элементы равностороннего треугольника со стороной a. Пусть h,
S, r, R — высота, площадь, радиусы описанной и вписанной окружности
равностороннего треугольника со стороной a. Тогда
v v v v
a2 3
a3 a3 a3
h= , S= , R= , r= .
2 4 3 6

73. Формулы площади параллелограмма.
1) Площадь параллелограмма равна произведению основания на вы-
соту.
2) Площадь параллелограмма равна произведению его соседних сто-
рон на синус угла между ними.
3) Площадь прямоугольника равна произведению двух его соседних
сторон.
4) Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.
74. Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований
на высоту.
75. Площадь четырехугольника равна половине произведения его
диагоналей на синус угла между ними.
76. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату
коэффициента подобия.
77. Если в многоугольник можно вписать окружность, то его пло-
щадь равна произведению полупериметра многоугольника на радиус
этой окружности.
78. Если M — точка на стороне BC треугольника ABC, то

S(AM B) BM
= .
S(AM C) CM
14 Часть 1. Основные сведения из школьной геометрии

79. Если P и Q — точки на сторонах AB и AC (или на их продол-
жениях) треугольника ABC, то
S(AP Q) AP AQ
·
= .
S(ABC) AB AC
80. Длина окружности радиуса R равна 2?R.
81. Площадь круга радиуса R равна ?R2 .

Задачи на построение с помощью циркуля и линейки
1. Постройте треугольник по трем сторонам.
2. Постройте угол, равный данному.
3. Постройте треугольник по двум сторонам и углу между ними.
4. Постройте треугольник по стороне и двум прилежащим к ней
углам.
5. Разделите отрезок пополам.
6. Через данную точку проведите прямую, перпендикулярную
данной.
7. Через данную точку проведите прямую, параллельную данной.
8. Постройте биссектрису данного угла.
9. Постройте сумму (разность) двух данных отрезков.
10. Разделите отрезок на n равных частей.
11. Постройте окружность, описанную около данного треугольника.
12. Даны отрезки a, b и c. Постройте такой отрезок x, что x : a = b : c.
13. Постройте прямоугольный треугольник по двум катетам.
14. Постройте прямоугольный треугольник v катетуv гипотенузе.
по и v
2 + b2 , a2 ? b2 , ab.
15. Даны отрезки a и b. Постройте отрезки a
16. Постройте треугольник по серединам трех его сторон.
17. Постройте дугу, вмещающую данный угол.
18. Постройте окружность с данным центром, проходящую через
данную точку.
19. Постройте окружность данного радиуса, проходящую через две
данные точки.
20. Через данную точку проведите касательную к данной окруж-
ности.
21. Постройте трапецию по основаниям и боковым сторонам.
22. Постройте трапецию по основаниям и диагоналям.
23. Постройте треугольник по двум сторонам и медиане, проведен-
ной к третьей.
Стереометрия 15

24. Внутри произвольного угла взята точка M . Проведите через точ-
ку M прямую так, чтобы отрезок ее, заключенный между сторонами
угла, делился бы точкой M пополам.
25. Постройте треугольник по стороне, противолежащему углу и вы-
соте, проведенной из вершины этого угла.

Стереометрия
1. Аксиомы стереометрии.

Факты, непосредственно связанные с аксиомами
2. Через прямую и точку, не лежащую на этой прямой, проходит
единственная плоскость.
3. Через две параллельные прямые проходит единственная плос-
кость.
4. Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит единствен-
ная прямая, параллельная данной.

Параллельность в пространстве
5. Признак параллельности прямой и плоскости. Если прямая a па-
раллельна некоторой прямой плоскости ?, то прямая a параллельна
плоскости ?.
6. Если через прямую a, параллельную плоскости ?, провести плос-
кость, пересекающую плоскость ? по прямой b, то прямые a и b парал-
лельны.
7. Если прямые a и b параллельны, а плоскость, проходящая че-
рез прямую a, пересекается с плоскостью, проходящей через прямую b,
то прямая пересечения плоскостей параллельна прямым a и b.
8. Транзитивность параллельности прямых в пространстве. Если
прямая a параллельна прямой b, а прямая b параллельна прямой c,
то прямая a параллельна прямой c.
9. Признак параллельности плоскостей. Если две пересекающиеся
прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересека-
ющимся прямым другой плоскости, то плоскости параллельны.
10. Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то пря-
мые пересечения параллельны.
11. Транзитивность параллельности плоскостей. Если плоскость ?
параллельна плоскости ?, а плоскость ? параллельна плоскости ?,
то плоскость ? параллельна плоскости ?.
16 Часть 1. Основные сведения из школьной геометрии

12. Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллель-
ными плоскостями, равны.
13. Через точку, не лежащую в плоскости, проходит единственная
плоскость, параллельная данной.
14. Свойства граней и диагоналей параллелепипеда. Противополож-
ные грани параллелепипеда равны и параллельны. Диагонали паралле-
лепипеда пересекаются и делятся точкой пересечения пополам.
15. Теорема о медианах тетраэдра. Медианы тетраэдра (отрезки, со-
единяющие вершины тетраэдра с точками пересечения медиан противо-
лежащих граней) пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении
3 : 1, считая от вершины.
16. Диагональ AC1 параллелепипеда ABCDA1 B1 C1 D1 проходит че-
рез точку пересечения медиан треугольника A1 BD и делится ею в от-
ношении 1 : 2, считая от точки A.
17. Если пересечь пирамиду плоскостью, параллельной основанию,
то в сечении образуется многоугольник, подобный основанию.

Скрещивающиеся прямые
18. Признак скрещивающихся прямых. Если прямая a лежит в плос-
кости ?, а прямая b пересекает эту плоскость в точке, не лежащей
на прямой a, то a и b — скрещивающиеся прямые.
19. Через две скрещивающиеся прямые проходит единственная пара
параллельных плоскостей.
20. Геометрическое место середин отрезков с концами на двух скре-
щивающихся прямых есть плоскость, параллельная этим прямым и про-
ходящая через середину одного из таких отрезков.
21. Угол между скрещивающимися прямыми (угол между пересе-
кающимися в произвольной точке M прямыми, соответственно парал-
лельными данным) не зависит от выбора точки M .
22. Для любых двух скрещивающихся прямых существует един-
ственный общий перпендикуляр (отрезок с концами на этих прямых,
перпендикулярный обеим прямым).

Параллельное проектирование
23. Прямая, непараллельная проектирующей, переходит в прямую.
24. Пара параллельных прямых, непараллельных проектирующей,
переходит в пару параллельных прямых или в одну прямую.
25. При проектировании сохраняется отношение отрезков, лежащих
на одной прямой или на параллельных прямых.
Стереометрия 17

26. Наклонная пересекает плоскость в точке, лежащей на любой ее
параллельной проекции на эту плоскость.
27. Площадь ортогональной проекции плоского многоугольника на
плоскость равна произведению площади проектируемого многоугольни-
ка на косинус угла между плоскостью этого многоугольника и плоско-
стью проекций.

Координаты и векторы в пространстве
28. Координаты вектора равны разностям соответствующих коорди-
нат конца и начала данного вектора.
>
29. Для того, чтобы векторы > и b были коллинеарны, необходимо
a
>
и достаточно, чтобы выполнялось равенство > = k · b , где k — некоторое
a
число.
30. Для того, чтобы три вектора были компланарны, необходимо
и достаточно, чтобы один из них можно было представить в виде ли-
>
нейной комбинации двух других ( > = x · b + y · >, где x, y — некоторые
a c
числа).
31. Любой вектор можно единственным образом разложить по трем
некомпланарным векторам.
> > >
32. Если M — середина AB, то OM = (OA + OB)/2.
>
33. Если M — середина AB, а N — середина CD, то M N =
> >
= (AC + BD)/2.
34. Если M > точка пересечения медиан треугольника ABC, то

> > >
OM = (OA + OB + OC)/3.
35. Если M — точка > пересечения диагоналей параллелограмма
> > > >
ABCD, то OM = (OA + OB + OC + OD)/4.
36. Координаты середины отрезка равны средним арифметическим
координат его концов.
37. Свойства скалярного произведения векторов.
> >
а) > · b = b · >;
a a
>> >
б) ? a · b = ?( > · b );
a
> >
в) > · ( bv >) = > · b + > · >;
a +c a ac
> >2
г) | a | = a ;
> > >
д) ( > + b )2 = >2 + 2 · ( > · b ) + b 2 ;
a a a
> >
е) ( > · b )2 >2 · b 2 , причем равенство достигается тогда и только
a a
>
тогда, когда векторы > и b коллинеарны;
a
>
ж) ненулевые векторы > и b перпендикулярны тогда и только тогда,
a
когда их скалярное произведение равно нулю.
18 Часть 1. Основные сведения из школьной геометрии

38. Расстояние между точками A(x1 ; y1 ; z1 ) и B(x2 ; y2 ; z2 ) равно

(x2 ? x1 )2 + (y2 ? y2 )2 + (z2 ? z1 )2 .
39. Если ? — угол между ненулевыми векторами >(x1 ; y1 ; z1 ) и
a
>
b (x2 ; y2 ; z2 ), то
x1 x2 + y1 y2 + z1 z2
cos ? = .
x2 + y1 + z1 x2 + y2 + z2
2 2 2 2
1 2

40. Уравнение плоскости, проходящей через точку M0 (x0 ; y0 ; z0 )
перпендикулярно ненулевому вектору > b; c) (вектор нормали), име-
n(a;
ет вид:
a(x ? x0 ) + b(y ? y0 ) + c(z ? z0 ) = 0.
41. Параметрические уравнения прямой, проходящей через точку
>
M0 (x0 ; y0 ; z0 ) параллельно ненулевому вектору m(a; b; c) (направляю-
щий вектор), имеют вид: ?
? x ? x0 = at,
y ? y0 = bt,
z ? z0 = ct.
?

42. Прямая как пересечение двух плоскостей задается системой
A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0,
A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0,

где A2 + B1 + C1 = 0 и A2 + B2 + C2 = 0, а коэффициенты при соответ-
2 2 2 2
1 2
ствующих неизвестных непропорциональны.
43. Если ? — угол между плоскостями, заданными уравнениями
A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 и A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0, то
A1 A2 + B1 B2 + C1 C2
cos ? = .
A2 + B1 + C1
2 2 A2 + B2 + C2
2 2
1 2

44. Уравнение плоскости «в отрезках». Если плоскость пересекает
оси координат в точках A(p; 0; 0), B(0; q; 0) и C(0; 0; r) (p, q, r = 0), то ее
уравнение можно представить в виде
xyz
+ + = 1.
pqr
45. Если ? — расстояние от точки M0 (x0 ; y0 ; z0 ) до плоскости
Ax + By + Cz + D = 0, то
|Ax0 + By0 + Cz0 + D|
v
?= .
A2 + B 2 + C 2
Стереометрия 19


Перпендикулярность прямой и плоскости
46. Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Если прямая
перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости, то она пер-
пендикулярна этой плоскости.
47. Если две прямые перпендикулярны одной плоскости, то они па-
раллельны.
48. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плос-
кости, то вторая прямая также перпендикулярна этой плоскости.
49. Две плоскости, перпендикулярные одной прямой, параллельны.
50. Если прямая и плоскость перпендикулярны одной прямой, то они
параллельны.
51. Через данную точку проходит единственная плоскость, перпен-
дикулярная данной прямой.
52. Через данную точку проходит единственная прямая, перпенди-
кулярная данной плоскости.
53. Теорема о трех перпендикулярах. Прямая, лежащая в плоскости,
перпендикулярна наклонной к плоскости тогда и только тогда, когда
она перпендикулярна ортогональной проекции наклонной на эту плос-
кость.
54. Если из одной точки проведены к плоскости перпендикуляр и на-
клонные, то
а) перпендикуляр короче наклонных;
б) равные наклонные имеют равные ортогональные проекции;
в) большей наклонной соответствует большая ортогональная про-
екция;
г) из двух наклонных больше та, ортогональная проекция которой
больше.
55. Теорема об угле прямой с плоскостью. Угол между наклонной
и ее ортогональной проекцией на плоскость меньше угла между этой
наклонной и любой другой прямой плоскости.
56. Геометрическое место точек, равноудаленных от концов отрезка,
есть плоскость, перпендикулярная этому отрезку и проходящая через
его середину.
57. Геометрическое место точек, удаленных на данное расстояние
от данной плоскости, есть две параллельные плоскости.
58. Геометрическое место точек, равноудаленных от вершин тре-
угольника, есть прямая, проходящая через центр описанной окружно-
сти треугольника перпендикулярно его плоскости.
59. Если боковые ребра пирамиды равны, то ее высота проходит че-
рез центр окружности, описанной около основания.
20 Часть 1. Основные сведения из школьной геометрии


Двугранный угол
60. Линейный угол двугранного угла (сечение двугранного угла
плоскостью, перпендикулярной его ребру) не зависит от выбора точки
на ребре двугранного угла.
61. Геометрическое место внутренних точек двугранного угла, рав-
ноудаленных от его граней, есть биссекторная плоскость двугранного
угла.
62. Необходимое и достаточное условие перпендикулярности плоско-
стей. Две плоскости перпендикулярны (образуют прямой двугранный
угол) тогда и только тогда, когда одна из них проходит через перпен-
дикуляр к другой.
63. Если две пересекающиеся плоскости перпендикулярны третьей,
то они пересекаются по прямой, также перпендикулярной этой плос-
кости.
64. Если боковые грани треугольной пирамиды образуют равные
двугранные углы с плоскостью основания, то высота пирамиды про-
ходит либо через центр вписанной окружности, либо через центр одной
из вневписанных окружностей основания.

Многогранные углы
65. Плоский угол трехгранного угла меньше суммы двух других его
плоских углов.
66. Сумма плоских углов выпуклого многогранного угла меньше
360? .
67. Свойства диагоналей прямоугольного параллелепипеда.
а) Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны.
б) Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сум-

<< Пред. стр.

страница 2
(всего 6)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

Copyright © Design by: Sunlight webdesign