LINEBURG


страница 1
(всего 6)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

Р. К. Гордин




Это должен знать
каждый матшкольник




МЦНМО, 2003
УДК 514.112
ББК 22.151.0
Г89




Гордин Р. К.
Г89 Это должен знать каждый матшкольник. — 2-е изд., испр.
— М.: МЦНМО, 2003. — 56 с.
ISBN 5-94057-093-3
В этой книге в форме серии задач излагается практически вся элемен-
тарная геометрия. Книга состоит из двух частей: первую можно считать
базовым курсом геометрии, содержащим наиболее известные и часто ис-
пользуемые теоремы; во второй приводятся малоизвестные, но красивые
факты. Близкие по тематике задачи располагаются рядом, так чтобы бы-
ло удобно их решать.
В настоящем втором издании исправлены замеченные ошибки и опе-
чатки.
Книга будет полезна как школьникам математических классов («мат-
школьникам»), так и преподавателям. Кроме того, она доставит немало
приятных минут всем любителям геометрии.

ББК 22.151.0




Рафаил Калманович Гордин
ЭТО ДОЛЖЕН ЗНАТЬ КАЖДЫЙ МАТШКОЛЬНИК
Художник Н. Суворова.
Издательство Московского центра непрерывного математического образования.
119002, Москва, Большой Власьевский пер., 11.
Лицензия ИД № 01335 от 24.03.2000 г. Подписано к печати 26.02.2003 г. Формат
60 ? 88/16. Печать офсетная. Объем 3,5 печ. л. Тираж 3000 экз. Заказ № .
Отпечатано с готовых диапозитивов в ФГУП «Полиграфические ресурсы».



c Гордин Р. К., 2003.
c МЦНМО, 2003.
ISBN 5-94057-093-3
Предисловие
В первой части данного текста перечислены основные теоремы
школьного курса геометрии и некоторые ключевые факты, которые бу-
дут полезны тем школьникам, которые добросовестно учатся в школе
и хотели бы научиться решать более-менее содержательные геомет-
рические задачи. Все эти факты не выходят за пределы школьной
программы и содержатся практически в любом школьном учебнике
(иногда в виде задач). Первая часть может служить памяткой по гео-
метрии для поступающих вузы, где к абитуриентам не предъявляют
повышенных требований по математике. Таких вузов большинство.
Вторая часть состоит из задач повышенной трудности. Это
а) известные классические задачи и теоремы элементарной геомет-
рии, не вошедшие в школьные учебники;
б) красивые задачи математических олимпиад разных уровней;
в) задачи, содержащие ключевые идеи;
г) некоторые ставшие довольно популярными задачи, в разные годы
предлагавшиеся на вступительных экзаменах в вузы с повышенными
требованиями по математике (МГУ, МФТИ, МИФИ и т. д.);
д) просто интересные и красивые геометрические задачи, которые
традиционно предлагаются на занятиях различных математических
кружков.
Задачи второй части могут быть рекомендованы тем школьникам,
которые проявляют повышенный интерес к геометрии, любят решать
геометрические задачи.
При необходимости, подробные решения большинства задач школь-
ник может найти в известных книгах:
1) Адамар Ж. Элементарная геометрия. Часть I. Планиметрия. М.:
Учпедгиз, 1936.
2) Делоне Б., Житомирский О. Задачник по геометрии. М.-Л.:
ГИТТЛ, 1950.
3) Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. М.: Наука, 1991.
4) Прасолов В. В, Шарыгин И. Ф. Задачи по стереометрии. М.: Наука,
1989.
5) Шарыгин И. Ф. Задачи по геометрии. Планиметрия. М.: Наука,
1986.
6) Шклярский Д. О., Ченцов Н. Н., Яглом И. М. Избранные задачи
и теоремы элементарной математики. М.: ГИТТЛ, 1954. (Библиотека
математического кружка. Выпуск 2 и 3).
4 Предисловие

При подборе задач использована компьютерная информационно-по-
исковая система «Задачи», созданная Московским математическим цен-
тром под руководством И. Ф. Шарыгина, а также сотрудниками и уче-
никами московской школы № 57. Система также содержит решения
большинства из предложенных задач.
Часть 1. Основные сведения
из школьной геометрии

Планиметрия

1. Признаки равенства треугольников.
1) Если две стороны и угол между ними одного треугольника соот-
ветственно равны двум сторонам и углу между ними другого треуголь-
ника, то треугольники равны.
2) Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника
соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого
треугольника, то треугольники равны.
3) Если три стороны одного треугольника соответственно равны
трем сторонам другого треугольника, то треугольники равны.
2. Основные свойства и признаки равнобедренного треугольника.
1) Углы при основании равнобедренного треугольника равны.
2) Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основа-
нию, является биссектрисой и высотой.
3) Если два угла треугольника равны, то он равнобедренный.
4) Если медиана треугольника является его высотой, то треугольник
равнобедренный.
5) Если биссектриса треугольника является его высотой, то тре-
угольник равнобедренный.
6) Если медиана треугольника является его биссектрисой, то тре-
угольник равнобедренный.
3. Геометрическое место точек, равноудаленных от концов отрезка,
есть прямая, перпендикулярная этому отрезку и проходящая через его
середину (серединный перпендикуляр к отрезку).
4. Признаки и свойства параллельных прямых.
1) Аксиома параллельных. Через данную точку можно провести
не более одной прямой, параллельной данной.
2) Если при пересечении двух прямых третьей образуются равные
внутренние накрест лежащие углы, то прямые параллельны.
3) Если две прямые параллельны одной и той же прямой, то они
параллельны между собой.
6 Часть 1. Основные сведения из школьной геометрии

4) Две прямые, перпендикулярные одной и той же прямой, парал-
лельны.
5) Если две параллельные прямые пересечь третьей, то образован-
ные при этом внутренние накрест лежащие углы равны.
5. Теорема о сумме углов треугольника и следствия из нее.
1) Сумма внутренних углов треугольника равна 180? .
2) Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних не
смежных с ним углов.
3) Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника равна 180? (n?2).
4) Сумма внешних углов n-угольника равна 360? .
5) Углы со взаимно перпендикулярными сторонами равны, если они
оба острые или оба тупые.
6. Если биссектрисы углов B и C треугольника ABC пересекаются
в точке M , то ?BM C = 90? + ?A/2.
7. Угол между биссектрисами смежных углов равен 90? .
8. Биссектрисы внутренних односторонних углов при параллельных
прямых и секущей перпендикулярны.
9. Признаки равенства прямоугольных треугольников.
1) По двум катетам.
2) По катету и гипотенузе.
3) По гипотенузе и острому углу.
4) По катету и острому углу.
10. Геометрическое место внутренних точек угла, равноудаленных
от его сторон, есть биссектриса угла.
11. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в
?
30 , равен половине гипотенузы.
12. Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипо-
тенузы, то угол, противолежащий этому катету, равен 30? .
13. Неравенство треугольника. Сумма двух сторон треугольника
больше третьей стороны.
14. Следствие из неравенства треугольника. Сумма звеньев ломаной
больше отрезка, соединяющего начало первого звена с концом послед-
него.
15. Против большего угла треугольника лежит большая сторона.
16. Против большей стороны треугольника лежит больший угол.
17. Гипотенуза прямоугольного треугольника больше катета.
18. Если из одной точки проведены к прямой перпендикуляр и на-
клонные, то
1) перпендикуляр короче наклонных;
2) большей наклонной соответствует большая проекция и наоборот.
Планиметрия 7

19. Параллелограмм. Параллелограммом называется четырехуголь-
ник, противоположные стороны которого попарно параллельны.
Свойства и признаки параллелограмма.
1) Диагональ разбивает параллелограмм на два равных треуголь-
ника.
2) Противоположные стороны параллелограмма попарно равны.
3) Противоположные углы параллелограмма попарно равны.
4) Диагонали параллелограмма пересекаются и делятся точкой пе-
ресечения пополам.
5) Если противоположные стороны четырехугольника попарно рав-
ны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
6) Если две противоположные стороны четырехугольника равны
и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
7) Если диагонали четырехугольника делятся точкой пересечения
пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.
20. Прямоугольник. Прямоугольником называется параллелограмм
с прямым углом.
Свойства и признаки прямоугольника.
1) Диагонали прямоугольника равны.
2) Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллело-
грамм — прямоугольник.
21. Ромб. Ромбом называется четырехугольник, все стороны которо-
го равны.
Свойства и признаки ромба.
1) Диагонали ромба перпендикулярны.
2) Диагонали ромба делят его углы пополам.
3) Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то этот па-
раллелограмм — ромб.
4) Если диагонали параллелограмма делят его углы пополам, то
этот параллелограмм — ромб.
22. Квадрат. Квадратом называется прямоугольник, все стороны ко-
торого равны.
23. Геометрическое место точек, равноудаленных от данной пря-
мой — две параллельные прямые.
24. Теорема Фалеса. Если на одной стороне угла отложить равные
отрезки и через их концы провести параллельные прямые, пересекаю-
щие второю сторону угла, то на второй стороне угла отложатся также
равные отрезки.
25. Средняя линия треугольника. Отрезок, соединяющий середины
двух сторон треугольника называется средней линией треугольника.
8 Часть 1. Основные сведения из школьной геометрии

Теорема о средней линии треугольника. Средняя линия треугольни-
ка параллельна стороне треугольника и равна ее половине.
26. Свойство середин сторон четырехугольника. Середины сторон
любого четырехугольника являются вершинами параллелограмма.
27. Теорема о медианах треугольника. Медианы треугольника пере-
секаются в одной точке и делятся ею в отношении 2 : 1, считая от вер-
шины.
28. а) Если медиана треугольника равна половине стороны, к кото-
рой она проведена, то треугольник прямоугольный.
б) Медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины
прямого угла, равна половине гипотенузы.
29. Трапеция. Трапецией называется четырехугольник, у которого
только две противоположные стороны (основания) параллельны. Сред-
ней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины непа-
раллельных сторон (боковых сторон).
Теорема о средней линии трапеции. Средняя линия трапеции парал-
лельна основаниям и равна их полусумме.
30. Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен по-
луразности оснований.
31. Трапеция называется равнобедренной, если ее боковые стороны
равны.
Свойства и признаки равнобедренной трапеции.
1) Углы при основании равнобедренной трапеции равны.
2) Диагонали равнобедренной трапеции равны.
3) Если углы при основании трапеции равны, то она равнобедренная.
4) Если диагонали трапеции равны, то она равнобедренная.
5) Проекция боковой стороны равнобедренной трапеции на основа-
ние равна полуразности оснований, а проекция диагонали — полусумме
оснований.
32. Окружность. Окружностью называется геометрическое место то-
чек плоскости, удаленных от данной точки, называемой центром окруж-
ности, на одно и то же положительное расстояние.
Свойства окружности.
1) Диаметр, перпендикулярный хорде, делит ее пополам.
2) Диаметр, проходящий через середину хорды, не являющейся диа-
метром, перпендикулярен этой хорде.
3) Серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окруж-
ности.
4) Равные хорды удалены от центра окружности на равные рассто-
яния.
Планиметрия 9

5) Хорды окружности, удаленные от центра на равные расстояния,
равны.
6) Окружность симметрична относительно любого своего диаметра.
7) Дуги окружности, заключенные между параллельными хордами,
равны.
8) Из двух хорд больше та, которая менее удалена от центра.
9) Диаметр есть наибольшая хорда окружности.
33. Замечательное свойство окружности. Геометрическое место то-
чек M , из которых отрезок AB виден под прямым углом (?AM B =
= 90? ), есть окружность с диаметром AB без точек A и B.
34. Геометрическое место точек M , из которых отрезок AB виден
под острым углом (?AM B < 90? ) есть внешность круга с диаметром
AB без точек прямой AB.
35. Геометрическое место точек M , из которых отрезок AB виден
под тупым углом (?AM B > 90? ), есть внутренность круга с диаметром
AB без точек отрезка AB.
36. Свойство серединных перпендикуляров к сторонам треугольни-
ка. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекают-
ся в одной точке, которая является центром окружности, описанной
около треугольника.
37. Линия центров двух пересекающихся окружностей перпендику-
лярна их общей хорде.
38. Центр окружности, описанной около прямоугольного треуголь-
ника — середина гипотенузы.
39. Теорема о высотах треугольника. Прямые, содержащие высоты
треугольника, пересекаются в одной точке.
40. Касательная к окружности. Прямая, имеющая с окружностью
единственную общую точку, называется касательной к окружности.
1) Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку ка-
сания.
2) Если прямая l, проходящая через точку на окружности, перпенди-
кулярна радиусу, проведенному в эту точку, то прямая l — касательная
к окружности.
3) Если прямые, проходящие через точку M , касаются окружности
в точках A и B, то M A = M B.
4) Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе это-
го угла.
5) Теорема о биссектрисах треугольника. Биссектрисы треугольника
пересекаются в одной точке, которая является центром окружности,
вписанной в треугольник.
10 Часть 1. Основные сведения из школьной геометрии

41. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник
с катетами a, b и гипотенузой c, равен (a + b ? c)/2.
42. Если M — точка касания со стороной AC окружности, вписанной
в треугольник ABC, то AM = p ? BC, где p — полупериметр треуголь-
ника.
43. Окружность касается стороны BC треугольника ABC и продол-
жений сторон AB и AC. Тогда расстояние от вершины A до точки
касания окружности с прямой AB равно полупериметру треугольни-
ка ABC.
44. Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается сторон
AB, BC и AC соответственно в точках K, L и M . Если ?BAC = ?,
то ?KLM = 90? ? ?/2.
45. Даны окружности радиусов r и R (R > r). Расстояние между их
центрами равно a (a > R + r). Тогда отрезки общих внешних и общих
внутренних касательных, заключенные между точками касания, равны
соответственно a2 ? (R ? r)2 и a2 ? (R + r)2 .
46. Если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы
его противоположных сторон равны.
47. Касающиеся окружности. Говорят, что две окружности касают-
ся, если они имеют единственную общую точку (точка касания).
1) Точка касания двух окружностей лежит на их линии центров.
2) Окружности радиусов r и R с центрами O1 и O2 касаются внеш-
ним образом тогда и только тогда, когда R + r = O1 O2 .
3) Окружности радиусов r и R (r < R) с центрами O1 и O2 касаются
внутренним образом тогда и только тогда, когда R ? r = O1 O2 .
4) Окружности с центрами O1 и O2 касаются внешним образом
в точке K. Некоторая прямая касается этих окружностей в различных
точках A и B и пересекается с общей касательной, проходящей через
точку K, в точке C. Тогда ?AKB = 90? и ?O1 CO2 = 90? .
48. Углы, связанные с окружностью.
1) Угловая величина дуги окружности равна угловой величине цен-
трального угла.
2) Вписанный угол равен половине угловой величины дуги, на кото-
рую он опирается.
3) Угол между пересекающимися хордами равен полусумме проти-
воположных дуг, высекаемых хордами.
4) Угол между двумя секущими равен полуразности дуг, высекае-
мых секущими на окружности.
5) Угол между касательной и хордой равен половине угловой вели-
чины дуги, заключенной между ними.
49. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
Планиметрия 11

50. Геометрическое место точек, из которых данный отрезок виден
под данным углом, есть две дуги равных окружностей (без концов
этих дуг).
51. Если четырехугольник можно вписать в окружность, то сумма
его противоположных углов равна 180? .
52. Если сумма противоположных углов четырехугольника равна
180? , то около него можно описать окружность.
53. Если в трапецию можно вписать окружность, то боковая сторона
трапеции видна из центра окружности под прямым углом.
54. Если M — точка на отрезке AB, причем AM : BM = a : b, то
AM : AB = a : (a + b), BM : AB = b : (a + b).
55. Теорема о пропорциональных отрезках. Параллельные прямые,
пересекающие стороны угла, высекают на них пропорциональные от-
резки.
56. Подобие. Признаки подобия треугольников.
1) Если две стороны одного треугольника соответственно пропорци-
ональны двум сторонам другого, а углы, заключенные между этими
сторонами, равны, то треугольники подобны.
2) Если два угла одного треугольника соответственно равны двум
углам другого, то треугольники подобны.
3) Если три стороны одного треугольника соответственно пропорци-
ональны трем сторонам другого, то треугольники подобны.
57. Отношение соответствующих линейных элементов подобных фи-
гур равно коэффициенту подобия.
58. Замечательное свойство трапеции. Точка пересечения диагона-
лей трапеции, точка пересечения продолжений боковых сторон и сере-
дины оснований лежат на одной прямой.
59. Свойство биссектрисы треугольника. Биссектриса треугольника
делит его сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сто-
ронам.
60. Произведение основания на высоту для данного треугольника
постоянно.
61. Если BM и CN — высоты треугольника ABC (?A = 90? ), то тре-
угольник AM N подобен треугольнику ABC, причем коэффициент по-
добия равен | cos ?A|.
62. Произведения длин отрезков хорд AB и CD окружности, пере-
секающихся в точке E, равны, т. е |AE| · |EB| = |CE| · |ED|.
63. Теорема о касательной и секущей и следствие из нее.
1) Если из одной точки проведены к окружности касательная и се-
кущая, то произведение всей секущей на ее внешнюю часть равно квад-
рату касательной.
12 Часть 1. Основные сведения из школьной геометрии

2) Произведение всей секущей на ее внешнюю часть для данной точ-
ки и данной окружности постоянно.
64. Тригонометрические соотношения в прямоугольном треуголь-
нике.
1) Катет прямоугольного треугольника равен произведению гипоте-
нузы на синус противолежащего или на косинус прилежащего к этому
катету острого угла.

страница 1
(всего 6)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

Copyright © Design by: Sunlight webdesign