LINEBURG


<< Пред. стр.

страница 6
(всего 46)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

меняющейся скорости нелегко ощутить, и оно медленно завоевы-
вало права гражданства. Трудно было удостовериться, что отказ
от скачкообразного изменения скорости не приводит к противо-
речиям, которыми были переполнены рассуждения о непрерыв-
ных процедурах. Нам сегодня трудно оценить смелость Галилея,
так решительно оперирующего с переменной скоростью. Ему не
поверили такие мастера аналитических рассуждений, как Кава-
льери, Мерсенн, Декарт. Последний категорически не принимал
движения с нулевой начальной скоростью, при котором тело «про-
ходит через все стадии медленности». Еще более сложен процесс
вычисления пути при переменной скорости, который требует ин-
тегрирования. Галилей владел им лишь в варианте, близком к
технике Архимеда или к «неделимым» Кавальери. В рассмат-
риваемом случае он применяет искусственный прием, делая не
вполне обоснованный переход к средней скорости, а затем поль-
зуется привычной формулой для равномерного движения. От от-
крытия закона свободного падения отсчитывает свою историю
не только новая механика, но и новый математический анализ.
Что касается ускорения, то, поскольку Галилей ограничился толь-
ко равноускоренным случаем, он не нуждался в общем понятии.
Ускорение свободного падения как универсальная константа у Га-
лилея еще не появляется.
Что касается роли силы в возникновении неравномерного дви-
жения, то здесь высказывания Галилея лишены полной ясности.
Он отвергает принцип Аристотеля, что скорость пропорциональ-
на действующей силе, утверждая, что при отсутствии сил со-
храняется равномерное прямолинейное движение. Закон инерции
(первый закон Ньютона) носит имя Галилея. Галилей постоянно
обращается к примеру со снарядом, который летел бы по прямой,
если бы не испытывал земного притяжения. Он пишет, что «сте-
пень скорости, обнаруживаемая телом, нерушимо лежит в самой
его природе, в то время как причины ускорения или замедления
являются внешними», «. . . движение по горизонтали является веч-
Открытие законов движения 53


ным, ибо если оно является равномерным, то оно ничем не осла-
бевается, не замедляется и не уничтожается». Галилей в «Посла-
нии к Инголи» поэтически описывает разнообразные явления на
борту равномерно прямолинейно движущегося корабля, которые
не позволяют обнаружить это движение: капли воды попадают
точно в горлышко подставленного сосуда, камень с мачты пада-
ет вертикально вниз, вверх поднимается дым, бабочки летают с
одинаковой скоростью во всех направлениях и т. д. Создается ощу-
щение, что Галилей уверенно придерживался принципа инерции
в «земной» механике, но не был столь последователен в небесной
(об этом речь впереди).
Ньютон приписывал Галилею не только первый закон механи-
ки, но и второй, хотя это и было преувеличением: четкой связи
между силой и ускорением (когда они отличны от нуля) у Галилея
не было. В том, что касается свободного падения, Галилей дал ис-
черпывающий ответ на вопрос «как», но не дал ответа на вопрос
«почему».



Движение по наклонной плоскости. Своим основным выводом Га-
лилей считал утверждение, что падающее тело проходит в по-
следовательные равные промежутки времени отрезки, пропорци-
ональные последовательным нечетным числам. Он хочет прове-
рить это. Но как это сделать? Нельзя же продолжать кидать
шары с Пизанской башни, да он и жил уже в Падуе. В лабора-
тории же падение происходит очень быстро. Но Галилей находит
остроумный выход: он заменяет свободное падение более медлен-
ным движением тел по наклонной плоскости. Он заметил, что
из предположения о равноускоренности свободного падения сле-
дует равноускоренность движения тяжелой точки по наклонной
плоскости. По существу, это привычное сегодня рассуждение с
разложением сил, показывающее, что тяжелая точка скатыва-
ется по наклонной плоскости с постоянным ускорением g sin ?,
где ? — угол наклона к горизонтали (g — ускорение свободного
падения). Рассуждения Галилея более громоздки: он не вводит
ускорение свободного падения, а манипулирует, как это было при-
нято тогда, с большим числом пропорций. Он выводит целый ряд
54 Галилео Галилей (1564 – 1642)


следствий из равноускоренно-
 
сти движения точки по наклон-
¤§ ной плоскости, которые уже

удобны для лабораторной про-
верки (если угол наклона мал,
¦?
то время скатывания велико).
??
Центральное место занимает
?§ утверждение, что если наклон-
ные плоскости имеют одинако-
¦§
вую высоту, то времена скаты-
¤? вания относятся как пройден-
??
? ные пути (почему?). Движение
по наклонной плоскости пред-
ставляет для Галилея самостоя-
Рис. 1.
тельный интерес. Он делает це-
лый ряд наблюдений. Например, если точки двигаются по хор-
дам окружности AEi , BFj , AB — вертикальный диаметр, то все
времена скатывания равны времени свободного падения по AB
(докажите!). Довольно сложное рассуждение приводит Галилей в
доказательство того, что если A, B, C — последовательные точки
на окружности, то точка по ломаной ABC скатывается быст-
рее, чем по хорде AC. С этим связана известная ошибка Гали-
лея: он считал, что быстрее всего точка скатывается по четверти
окружности, в то время как этим свойством обладает дуга цик-
лоиды.

Движение брошенных тел. Такое движение Галилей называл при-
нужденным (в отличие от свободного падения). Аристотель счи-
тал, что тело, брошенное под углом к горизонту, движется внача-
ле по наклонной прямой, затем по дуге окружности и, наконец,
по вертикальной прямой. Возможно, Тарталья был первым, кто
утверждал, что траектория брошенного тела «не имеет ни одной
части, которая была бы совершенно прямой».
Теорию «принужденного» движения Галилей построил сразу
же за теорией свободного падения. Путь, по которому он дви-
гался, был прежним: теория (модель явления) предшествовала
экспериментам. Догадка Галилея была гениально простой: дви-
жение тела, брошенного под углом к горизонту, складывается из
Открытие законов движения 55


равномерного прямолинейного движения, которое имело бы ме-
сто, не будь силы тяжести, и свободного падения. В результате
тело движется по параболе. Отметим, что в этом рассуждении
существенно используется закон инерции — закон Галилея.
В рассмотрении сложного движения у Галилея был гениаль-
ный предшественник, служивший для него образцом: «. . . я хочу
трактовать и рассматривать это явление в подражание Архимеду
в его Спиральных линиях“ , где, заявив, что под движением по

спирали он понимает движение, слагающееся из двух равномер-
ных, одного — прямолинейного, а другого — кругового, он непо-
средственно переходит к демонстрации выводов». Речь идет о так
называемой спирали Архимеда, которую описывает точка, дви-
жущаяся по радиусу вращающегося круга (муха к центру грам-
мофонной пластинки).
Пользуясь свойствами параболы, Галилей составил «таблицу
для стрельбы, имеющую важное практическое значение». Неда-
ром Падуя принадлежала Венецианской республике, и Галилей
поддерживал постоянные контакты с венецианским арсеналом.
Ряд утверждений Галилея, полученных теоретическим путем, до-
пускает экспериментальную проверку. Он доказал утверждение
Тартальи о том, что угол в 45? отвечает наибольшей дальности
полета, и показал, что для углов, дающих в сумме 90? , дальности
полета одинаковы (при фиксированной величине скорости).

Галилей и Кеплер. Открытия Галилея должны были поразить его
современников. Конические сечения (эллипсы, параболы, гипер-
болы) — вершина греческой геометрии — казались плодом матема-
тической фантазии, не имеющим отношения к действительности.
И вот Галилей доказал, что параболы неминуемо возникают в со-
вершенно «земной» ситуации. (Еще в XIX веке Лаплас приводил
применение конических сечений как самое неожиданное примене-
ние чистой математики.) Замечательно, что буквально в те же
самые годы конические сечения возникли совсем в другой за-
даче и не менее удивительным образом. В 1604–1605 гг. Иоганн
Кеплер (1571–1630) обнаружил, что Марс движется по эллипсу,
у которого в фокусе находится Солнце (через десять лет Кеплер
распространил это утверждение на все планеты). Это совпаде-
ние знаменательно, и для нас эти два открытия стоят рядом,
56 Галилео Галилей (1564 – 1642)


но до Ньютона, вероятно, никто серьезно не сопоставлял эти ре-
зультаты. Более того, Галилей не признавал закона Кеплера, а
о своем открытии Кеплеру не сообщал, несмотря на регулярную
переписку (оно было опубликовано уже после смерти Кеплера).
Галилей и Кеплер долгие годы переписывались. Кеплер был
для Галилея одним из самых близких по духу ученых. Прежде
всего было существенно, что Кеплер безоговорочно принимал си-
стему Коперника. Еще в 1597 г. Галилей (в связи с получением
книги «Тайна мироздания») делится с Кеплером сокровенным
желанием опубликовать свои аргументы в пользу системы Ко-
перника. Он пишет: «. . . я до сих пор не решился опубликовать их
из боязни столкнуться с той же судьбой, которая постигла нашего
Коперника, хотя и заслужившего бессмертную славу среди немно-
гих, но представлявшегося большинству заслуживающим осви-
стания и осмеяния, до того велико количество глупцов. Я бы все
же решился выступить с моими размышлениями, если бы было
больше таких людей, как Вы, поскольку же это не так, я избегаю
касаться указанной темы». Кеплер посылает в ответ страстный
призыв: «Оставь колебания, Галилей, и выступай вперед!» Он
предлагает объединиться: «Если я не ошибаюсь, среди видных
математиков Европы немного таких, кто захочет отделиться от
нас». А книгу не обязательно печатать в Италии, можно и в Гер-
мании. В далекой Праге проблема виделась не так, как в Италии,
где шестой год ждал в тюрьме своей участи Джордано Бруно.
Очень поучителен путь, которым шел Кеплер к своему откры-
тию. У Кеплера как ученого было два лица. С одной стороны, это
был великий фантазер, пытавшийся постичь величайшие тайны
мироздания. Он был уверен, что самая великая тайна, открывша-
яся ему, состояла в следующем. Существует шесть планет, потому
что существует пять правильных многогранников! «Мне никогда
не удастся найти слов, чтобы выразить свое восхищение этим от-
крытием». Кеплер располагает шесть сфер, перемежая их различ-
ными правильными многогранниками так, что в каждую сферу
один многогранник вписан, а другой — описан. Сферам он ставит
в соответствие последовательные планеты. В порядке многогран-
ников особый таинственный смысл (куб отвечает Сатурну, тетра-
эдр — Юпитеру — и т. д.). Отношения радиусов сфер Кеплер срав-
нивает с известными относительными размерами орбит и стран-
Открытие законов движения 57


ным образом получает не очень большое расхождение (кроме как
для Меркурия). Эти рассуждения, опубликованные в книге «Тай-
на мироздания», были многими благожелательно встречены, не
вызвали возражений у Галилея, а «король астрономов» Тихо Бра-
ге пригласил Кеплера сотрудничать с ним.
С этим приглашением связана другая сторона научной жиз-
ни Кеплера, так не похожая на первую. Он скрупулезно обраба-
тывает многочисленные наблюдения Тихо Браге, которые обла-
дали невиданной точностью для наблюдений, не использующих
телескопов (их точность оценивают в ±25 ). Он должен пере-
смотреть орбиты планет, пользуясь наблюдениями Тихо Браге.
По-видимому, Тихо Браге (Кеплер называл его «Фениксом аст-
рономии») рассчитывал получить подтверждение своей компро-
миссной теории, по которой Солнце движется вокруг Земли, а
остальные планеты — вокруг Солнца. Но Кеплер проводил вычис-
ления в рамках системы Коперника.
Поскольку Коперник, подобно Птолемею, собирал орбиты
планет из кругов, в его системе сохранились эпициклы. Кеплер
хочет упростить систему (его итоговый труд, вышедший в 1618–
1621 гг., назывался «Сокращение коперниковой астрономии»).
Удивительным образом орбита Земли почти не отличается от
окружности, однако Солнце несколько смещено относительно
центра. Все это знал Коперник, но Кеплер уточнил величину
смещения. Он внимательно изучил неравномерный характер дви-
жения Земли по орбите и долго искал закономерность в этом
движении. Он пробовал обратно пропорциональную зависимость
от расстояния до Солнца, ряд других возможностей, пока не
обнаружил закон площадей (2-й закон Кеплера). Затем Кеплер
вычисляет орбиту Марса и сравнивает ее с разными кривыми.
Он проявляет поразительную трезвость и доверие к результатам
наблюдений. Один раз он отверг гипотезу, обнаружив расхо-
ждение в 8 с данными Тихо Браге (такое расхождение почти
незаметно для невооруженного глаза). «Он ясно сознавал, что
теоретические, логико-математические построения, безразлич-
но насколько прозрачные, не могут сами по себе гарантировать
истину, что самые логические теории не имеют ни малейшего зна-
чения в естественных науках без сравнения с точнейшим опытом»
(Эйнштейн). Кеплер перебрал разнообразные овалы и, наконец,
58 Галилео Галилей (1564 – 1642)


обнаружил, что годится эллипс с Солнцем в фокусе. «Не пе-
реставая ощупывать все места окружающего мрака, я вышел,
наконец, на яркий свет истины». Не правда ли, путь Кеплера
мало напоминал путь Галилея. Галилей в большей степени шел
от общих принципов и качественных результатов. На склоне лет
Галилей вспоминал: «Я всегда ценил Кеплера за свободный (по-
жалуй, даже слишком) и острый ум, но мой метод мышления
решительно отличен от его, и это имеет место в наших работах
об общих предметах. Только в отношении движений небесных
тел мы иногда сближались в некоторых схожих, хотя и немно-
гих концепциях, отличающихся общностью оценки отдельных
явлений, но это нельзя обнаружить и в одном проценте моих
мыслей».
Галилей считал, что в мире царит равномерное круговое дви-
жение и не поверил ни в эллиптические орбиты, ни в неравномер-
ное движение планет по орбитам, не приняв к сведению данных
наблюдательной и вычислительной астрономии.
Кеплер был первым, кто рассматривал взаимное притяже-
ние тел, связывал его с движением: он даже высказал гипотезу
о характере убывания взаимодействия с расстоянием (как 1/r,
что неверно). Он принимал объяснение приливов лунным при-
тяжением. Все это было совершенно неприемлемо для Галилея,
отрицавшего дальнодействующие силы, в частности, попытки
объяснять земные явления влиянием небесных тел. Особенно
это относилось к приливам, которые Галилей ошибочно считал
важнейшим доказательством движения Земли. Объяснения ука-
занного типа Галилей отождествлял с астрологией, в которой
события в человеческой жизни объясняются влиянием планет.
«Среди великих людей, рассуждавших об этом поразительном
явлении природы, более других удивляет меня Кеплер, который,
обладая умом свободным и острым и будучи хорошо знаком с
движениями, приписываемыми Земле, допускал особую власть
Луны над водой, сокровенные свойства и тому подобные ребяче-
ства». Кеплер оказался прав, но реальные аргументы появились
позднее.
Следует иметь в виду, что рассуждения Кеплера о взаимном
притяжении содержат много путаницы. В одном отношении он
серьезно отставал от Галилея: он считал, следуя Аристотелю, что
Открытие законов движения 59


скорость пропорциональна силе.

Механика земная и механика небесная. К 1610 г. Галилей полу-
чил в механике результаты, к которым шел 20 лет. Он начинает
работать над всеобъемлющим трактатом, но неожиданные собы-
тия отвлекают его от этих занятий более чем на 20 лет! Галилей
построил телескоп и в начале 1610 г. открыл спутники Юпите-
ра. Весь этот год астрономические открытия следовали одно за
другим. Галилей полагает, что у него появились решающие до-
казательства в пользу системы Коперника. Следующие 23 года
жизни он целиком посвятил утверждению этой системы, пока в
1633 г. приговор инквизиции не прервал эту деятельность. Все
эти годы Галилей вспоминает о механике постольку, поскольку
этого требует разработка «Системы мира». Временами его но-
вая философия даже входит в противоречие с результатами о
«земных» движениях. Так, он не находит во Вселенной, «где все
части находятся в отличнейшем порядке», места для прямоли-
нейного движения, которое в этих условиях представляется ему
«излишним и неестественным». Причина в том, что движение
по прямой не может быть периодическим, и состояние Вселен-
ной должно все время меняться. Он оставляет место прямоли-
нейному движению лишь в неустойчивых ситуациях, а в природе
должно царить круговое движение. Открытый им закон инерции
для «местных движений» Галилей считает справедливым лишь
вблизи Земли.
Так же приближенным считает Галилей закон движения бро-
шенных тел по параболе. Он считает, что на самом деле траек-
тория должна быть такова, чтобы заканчиваться в центре Зем-
ли. Из-за этого уже после открытия параболичности траектории
он делал странные заявления о том, что движение брошенного
тела должно происходить по дуге окружности или винтовой ли-
нии. Это вызвало возражение Ферма, переданное через Каркави
(1637 г.). В ответ Галилей объявляет свое высказывание «поэти-
ческой фикцией», обещает опубликовать утверждение о парабо-
личности траектории, но в заключение пишет: «Никакого отступ-
ления от параболического движения не произойдет, пока мы про-
изводим опыты на Земле, на высотах и расстояниях, нам доступ-
ных; но эти отступления будут заметны, велики и огромны при
60 Галилео Галилей (1564 – 1642)


подходе и значительном приближении к центру». Приближенный
характер параболической траектории был прояснен Ньютоном, но
ожидания Галилея не оправдались1 .
Главный вопрос о движении, который интересовал Галилея
все эти годы, был связан со стандартным возражением противни-
ков движения Земли: почему предметы не улетают с движущейся
Земли? У Галилея нет сомнений, что за это ответственна сила
тяжести, но как дать мотивированное объяснение? Пусть тело
движется по сфере радиуса R со скоростью v. Так начинает Га-
лилей свои рассуждения. Зафиксируем начало отсчета. Если бы
не сила тяжести, тело продолжало бы прямолинейное движение
по касательной со скоростью v. Чтобы обеспечить движение по
сфере (удержать тело), надо добавить к этому движению дви-
жение по направлению к центру. Привычное для Галилея рас-
смотрение со сложением движений! Что оставалось сделать? За-
метить, что (по теореме Пифагора) для второго движения путь
v
s(t) = R2 + v 2 t2 ? R, а если время t мало, то это почти то же
v 2 t2 s?s ?
> 0 при t > 0 . Теперь уже нельзя
самое, что s(t) =
? 2
2R t
не узнать формулы Галилея для пути при равномерно ускорен-
ном движении с ускорением a = v 2 /2R. Ясно, что если g > , то
тело будет удерживаться на поверхности сферы. Однако второй
половины рассуждения Галилей не провел, перейдя вместо этого к
очень путаным мотивировкам. А формулу для центростремитель-
ного ускорения на пути, намеченном Галилеем, получил Гюйгенс
в 1659 г.
«Беседы». В 1633 г. находясь в ссылке в Сиене, уже через
несколько недель после приговора инквизиции и отречения, Га-
лилей вспомнил о своих давних результатах по механике и решил
немедленно записать их. Он продолжает работу в Арчетри и Фло-
ренции, несмотря на вынужденное одиночество, ухудшающееся
1
Поскольку Галилей надолго задержал публикацию, первое упоминание о
параболической траектории появилось в 1632 г. в «Зажигательном зеркале»
Кавальери, который очень ясно усвоил от Галилея идею сложения прямоли-
нейных движений, принцип инерции. Галилея обидело отсутствие необходи-
мых ссылок, он говорит об открытии параболичности траектории как главной
цели сорокалетних трудов. Извинения Кавальери быстро удовлетворили Га-
лилея.
Открытие законов движения 61


здоровье, прогрессирующую слепоту. «Я хотя и молчу, но прово-
жу жизнь не совсем праздно» — писал Галилей. Книга «Беседы и
математические доказательства, касающиеся двух новых отрас-
лей науки, относящихся к механике и местному движению» была
закончена в 1636 г., с большими предосторожностями переправле-
на за границу (не ясно было, как отнесется к книге инквизиция)
и вышла в Голландии в июле 1638 г. Как и предыдущая книга,
явившаяся причиной преследования, «Беседы» написаны в фор-
ме диалогов, которые в течение шести дней ведут те же самые
герои: Сальвиати (проводящий точку зрения автора), Сагредо
и Симпличио (сторонник Аристотеля; его имя переводится как
«простак») . В третий и четвертый дни они читают трактат ака-
демика (Галилея) «О местном движении» и подробно обсуждают
его. Кстати, в названии книги «механика» и «движение» разде-
лены, поскольку в те годы к механике было принято относить
лишь статику и сопротивление материалов. Выбранная автором
форма дискуссий позволяет многое узнать о том, как Галилей
шел к своим открытиям.
Престарелый Галилей стремился реализовать свои давно
оставленные замыслы. Но многое уже было ему не по силам,
он нуждался в помощниках. Он поручает сыну Винченцо постро-
ить часы на основе открытого в юности свойства маятника, но
ему не удалось увидеть свою идею осуществленной. Инквизиция

<< Пред. стр.

страница 6
(всего 46)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

Copyright © Design by: Sunlight webdesign