LINEBURG


<< Пред. стр.

страница 5
(всего 46)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

старшего сына; и, наконец, многочисленные сновидения, которые
предшествовали истинным событиям. Очень красочны описания
снов, содержащие многочисленные подробности.
Далее перечисляются десять наук, которые постиг Кардано, и
описываются сорок избранных случаев из его медицинской прак-
тики. А затем идет глава: «Явления, по-видимому, естественные,
но поразительные». И вот первое из этих явлений: «. . . я родился
в век, когда был открыт весь земной шар, тогда как в древности
было известно лишь немного более одной трети». Кроме того, об-
рушился его дом, но уцелела спальня, дважды загоралась его по-
стель и т. д. Подробно анализируется дар предсказания, постоянно
проявлявшийся в его жизни, от медицины до карточной игры.
В заключительной части книги опять идет речь о сверхъесте-
ственных случаях, обсуждаются научные достижения, перечис-
42 Джероламо Кардано (1501 – 1576)


ляются его книги. Кардано вновь говорит о себе самом, о своем
духе-хранителе, перечисляет отзывы о себе, рассуждает «о делах
мира сего», несколько страниц занимают изречения, которыми
следует руководствоваться. Вот примеры: «Друзья в несчастии
подают помощь, льстецы — совет», «Знаменитому человеку сле-
дует жить там, где имеет пребывание его государь», «Когда ты
хочешь мыться, сначала приготовь полотенце, чтобы вытереться»,
«Зло должно лечить добром, а не злом». За изречениями следует
«Плач об умершем сыне». В конце речь снова идет о недостатках
автора, о переменах, связанных с возрастом, и об «особенностях
обхождения».
ДВА РАССКАЗА О ГАЛИЛЕЕ

1. Открытие законов движения
Первые основы динамики были заложены Галилеем. Действие
сил до него рассматривали исключительно в случае их равно-
весия; и хотя ускоренное движение свободно падающих тел и
криволинейное движение брошенных тел также приписывали
постоянно действующей силе тяжести, но никому не удалось
установить законов указанного обыденного явления, завися-
щего от столь простой причины. Галилей первый сделал этот
шаг и открыл новую и безграничную область для развития
механики. Это открытие . . . составляет теперь наиболее зна-
чительную и непререкаемую часть заслуг этого великого чело-
века. В самом деле, чтобы открыть спутники Юпитера, фазы
Венеры, солнечные пятна и т. д., требуется не только теле-
скоп и наблюдательность, но нужен исключительный гений,
чтобы установить законы природы на явлениях, которые все-
гда были у всех перед глазами и тем не менее ускользали от
внимания философов. Лагранж


Пролог. Винченцо Галилей, известный во Флоренции музыкант,
долго размышлял над тем, какое поприще выбрать для своего
старшего сына Галилео. Сын, безусловно, был способен к музыке,
но отец предпочитал что-нибудь более надежное. В 1581 г., когда
Галилео исполнилось семнадцать лет, чаша весов склонилась в
сторону медицины. Винченцо понимал, что расходы по обучению
будут велики, зато будущее сына будет обеспечено. Местом обуче-
ния был выбран Пизанский университет, быть может, несколько
провинциальный, но хорошо знакомый Винченцо. Он долго жил
в Пизе, там же родился Галилео.
Путь к профессии врача был нелегок. Перед тем как при-
ступить к изучению медицины, надо было выучить, а точнее —

43
44 Галилео Галилей (1564 – 1642)


вызубрить философию Аристо-
теля. В его учении говорится
буквально обо всем. По мнению
Галилея, «нет, кажется, ни од-
ного достойного внимания явле-
ния, мимо которого он (Аристо-
тель) прошел бы, не коснувшись
его». Философия Аристотеля в
то время преподавалась в чудо-
вищной форме: в виде набора
высказываний, считавшихся ис-
тинами в последней инстанции,
лишенных мотивировок и дока-
зательств. О несогласии с Ари-
стотелем не могло быть и речи.
Более всего интересует Гали-
лея то, что пишет Аристотель о
Галилео Галилей
физике окружающего мира, но
он не хочет слепо верить каждому слову великого философа; он
усвоил это, изучая его логику: «Сам Аристотель научил меня
удовлетворять свой разум только тем, в чем убеждают меня рас-
суждения, а не только авторитет учителя». Он читает и других
авторов, среди которых наибольшее впечатление на него произво-
дят Архимед и Евклид.

Тайны движения. Из всего, что происходит в окружающем ми-
ре, наибольший интерес Галилея вызывали разнообразные дви-
жения. Он по крупицам собирает все, что написано о движении
у древних, но с сожалением констатирует: «В природе нет ничего
древнее движения, но именно относительно него написано весьма
мало значительного». А вопросы возникают у пытливого юноши
на каждом шагу. . .
«В 1583 г., имея около двадцати лет от роду, Галилей находил-
ся в Пизе, где, следуя совету отца, изучал философию и медицину.
Однажды, находясь в соборе этого города, он, со свойственной ему
любознательностью и смекалкой, решил наблюдать за движением
люстры, подвешенной к самому верху, — не окажется ли продол-
жительность ее размахов, как вдоль больших дуг, так и вдоль
Открытие законов движения 45


средних и малых, одинаковой; ибо ему казалось, что продолжи-
тельность прохождения большой дуги может сократиться за счет
большей скорости, с которой, как он видел, движется люстра на
более высоких и наклонных участках. И пока люстра размеренно
двигалась, он сделал грубую прикидку — его обычное выраже-
ние — того, как происходит движение взад и вперед, с помощью
биения собственного пульса, а также темпа музыки, в которой
он тогда уже был искушен с немалою от того для себя поль-
зой. И ему на основании таких подсчетов показалось, что он не
заблуждается, подсчитав, что времена одинаковы, но не удовле-
творенный этим, вернувшись домой, он, чтобы надежнее в этом
удостовериться, решил сделать следующее. Он привязал два свин-
цовых шара на нитях совершенно одинаковой длины так, чтобы
они могли свободно раскачиваться. . . и, отклоняя их от вертика-
ли на разное число градусов, например один шар на 30, другой
на 10, он отпускал их в одно и то же мгновение. С помощью това-
рища он наблюдал, что, пока один маятник делал такое-то число
колебаний по большим дугам, другой делал в точности столько
же по малым.
Сверх того он сделал два сходных маятника, только достаточ-
но разной длины. Он наблюдал, что, пока малый маятник делал
какое-то число колебаний, например 300, по большим дугам, боль-
шой за то же время делал всегда одно и то же число колебаний,
скажем 40, как по своим большим дугам, так и по совсем малень-
ким, и повторив это несколько раз . . . , он заключил отсюда, что
вполне одинакова продолжительность размахов одного и того же
маятника, будут ли они весьма велики или весьма малы, и что
почти нет при этом заметных различий, каковые надо приписать
помехе со стороны воздуха, который больше противится быстрее
движущемуся тяжелому телу, чем медленнее движущемуся.
Он видел также, что ни различие в абсолютном весе, ни раз-
ный удельный вес шаров не вызывали заметного изменения —
все шары, лишь бы они были на нитях равной длины от их цен-
тров до точек подвеса, сохраняли достаточно постоянно равенство
(времени) прохождения по всяким дугам; лишь бы не был взят
легчайший материал, движению которого в воздухе легче пре-
пятствовать, так что оно быстрее сводится к покою».
Приведенный рассказ принадлежит ученику Галилея Винчен-
46 Галилео Галилей (1564 – 1642)


цо Вивиани (1622 – 1703), который в 1639 г. в семнадцатилетнем
возрасте прибыл на виллу Арчетри близ Флоренции, где находил-
ся Галилей после приговора инквизиции. Через два года там по-
явился Эванджелиста Торричелли (1608 – 1647). Оба они помогали
ослепшему ученому завершать его замыслы; ряд результатов они
получили под влиянием Галилея (знаменитые барометрические
опыты, исследование циклоиды). По-видимому, Вивиани был осо-
бенно близок Галилею, который охотно беседовал с ним на разные
темы, часто вспоминая о далеком прошлом. Потом Вивиани по
разным поводам пересказывал услышанное им в те дни. Эти рас-
сказы не считаются достаточно достоверными, причем не всегда
ясно, кто явился источником неточностей: рассказчик или слуша-
тель. Увековечение памяти учителя было главной целью жизни
Вивиани.
Вернемся к рассказу Вивиани. В нем речь идет об откры-
тии изохронного свойства маятника: при фиксированной длине
период колебаний маятника не зависит от их амплитуды. Поучи-
тельно, как Галилей следил за временем: при помощи музыки и
пульса (кажется, на этот способ первым указал Кардано). Нам,
людям XX века, привыкшим к ручным часам, не следует забывать
об этих трудностях. Достаточно точные часы были сконструиро-
ваны как раз на основе открытого Галилеем свойства маятника
(мы еще будем иметь возможность говорить о маятниковых ча-
сах). Кстати, в своих лабораторных экспериментах, о которых
пойдет речь ниже, Галилей пользовался для измерения време-
ни медленно вытекающей струей воды (вариантом водяных ча-
сов).
Галилей обнаруживает связь между длиной маятника и часто-
той его колебаний: квадраты периодов колебаний относятся как
их длины. Вивиани пишет, что Галилей получил этот результат,
«руководствуясь геометрией и своей новой наукой о движении»,
но никто не знает, каким мог быть такой теоретический вывод,
Быть может, все же Галилей подметил закономерность экспери-
ментально. Галилей, по-видимому, не знал, что колебания маят-
ника изохронны лишь для малых углов отклонения. При больших
углах период начинает зависеть от угла отклонения, и для 60? , на-
пример, период заметно отличается от периода для малых углов.
Галилей мог бы заметить это в серии опытов, описанных Вивиани.
Открытие законов движения 47


Неточность утверждения Галилея об изохронности математиче-
ского маятника обнаружил Гюйгенс.
Занятия медициной шли не очень успешно, хотя Галилео стре-
мился оправдать надежды и затраты отца. Все же в 1585 г. он
возвращается во Флоренцию, не получив диплома доктора. Во
Флоренции Галилей продолжает заниматься математикой и фи-
зикой, вначале втайне от отца, а потом при его согласии. У Га-
лилео появляются контакты с учеными, в том числе с маркизом
Гвидо Убальдо дель Монте. Благодаря поддержке последнего тос-
канский герцог Фердинандо Медичи в 1589 г. назначил Галилея
профессором математики Пизанского университета. В Пизе Гали-
лей находился до переезда в 1592 г. в Падую. Восемнадцать лет,
прожитых в Падуе, Галилей считал самым счастливым периодом
в своей жизни. С 1610 г. и до конца жизни он — «философ и пер-
вый математик светлейшего великого герцога тосканского». И в
Пизе, и в Падуе изучение движений — главное дело Галилея.

Свободное падение. Галилея интересует прежде всего свободное
падение — одно из самых распространенных естественных движе-
ний. Как и полагалось в то время, начать нужно с того, что по
этому поводу говорил Аристотель. «Тела, имеющие большую силу
тяжести или легкости, если в остальном они имеют одинаковую
фигуру, скорее проходят равное пространство в том пропорцио-
нальном отношении, в каком указанные величины относятся друг
к другу». Значит, по Аристотелю скорости падающих тел пропор-
циональны их весу. Второе утверждение состоит в том, что скоро-
сти обратно пропорциональны «густоте среды». С этим утвержде-
нием возникли сложности, поскольку в пустоте, «густота» кото-
рой равна нулю, скорость должна была бы быть бесконечной. На
это Аристотель заявил, что в природе пустоты не бывает («при-
рода боится пустоты»).
Первое утверждение Аристотеля оспаривалось иногда уже в
Средние века. Но особенно убедительной была критика Бенедет-
ти, ученика Тартальи и современника Галилея, с трактатом кото-
рого Галилей познакомился в 1585 г. Вот как выглядит основное
опровержение. Пусть имеются два тела — тяжелое и легкое: первое
должно падать быстрее. Теперь соединим их. Естественно предпо-
ложить, что легкое тело притормозит тяжелое и скорость падения
48 Галилео Галилей (1564 – 1642)


должна стать промежуточной между скоростями падения состав-
ляющих тел. Но по Аристотелю скорость должна стать больше,
чем скорость каждого тела! Бенедетти решает, что скорость па-
дения зависит от удельного веса и даже прикидывает, что для
свинца она в 11 раз больше, чем для дерева. В существование
зависимости скорости от удельного веса долго верил и Галилей.
Он приступил к изучению свободного падения еще в Пизе.
Вот что пишет Вивиани: «. . . Галилей целиком отдался размыш-
лениям, и к великому смущению всех философов им была пока-
зана, посредством опытов, солидных доказательств и рассужде-
ний, ложность множества заключений Аристотеля, касающихся
движения, считавшихся до этого совершенно очевидными и несо-
мненными. Сюда относится положение, что движущиеся тела, со-
стоящие из одного и того же вещества, но имеющие разный вес,
находясь в одной и той же среде, не обладают скоростями, пропор-
циональными их весу, как полагал Аристотель, но все движутся
с одинаковой скоростью. Это он доказывал неоднократными экс-
периментами, производившимися с высоты Пизанской башни, в
присутствии других лекторов и философов и всей ученой братии».
Галилея до сих пор часто рисуют кидающим шары с Пизанской
башни. Эта легенда обросла многими пикантными подробностя-
ми (например, о кабатчике, распускавшем слухи, что профессор
Галилей будет прыгать с башни). Заметьте, что пока речь идет
только о телах из одного и того же вещества.
Галилея занимает наблюдение Бенедетти, что скорость свобод-
ного падения увеличивается по мере движения тела. И Галилей
решает найти математически точное описание этого изменения
скорости. Здесь следует сказать, что первоначально Галилей ви-
дел свою задачу в том, чтобы математизировать физику Аристо-
теля: «Философия написана в величайшей книге, которая посто-
янно открыта нашим глазам (я говорю о Вселенной); но нельзя ее
понять, не научившись сперва понимать язык и различать знаки,
которыми она написана. Написана же она языком математиче-
ским, и знаки ее суть треугольники, круги и другие математи-
ческие фигуры». Однако скоро стало ясно, что математизация
требует систематического пересмотра всех фактов.
Как же найти закон изменения скорости свободного падения?
Эксперимент только начинал входить в практику научного иссле-
Открытие законов движения 49


дования. Для Аристотеля и его последователей он считался лиш-
ним и недостойным занятием как при установлении истины, так и
при ее проверке. Галилей мог бы попытаться проделать серию экс-
периментов со свободно падающими телами, провести тщатель-
ные измерения и искать закономерность, которая их объясняет.
Так современник Галилея Кеплер, обрабатывая многочисленные
наблюдения Тихо Браге, обнаружил, что планеты движутся по
эллипсам. Но Галилей выбирает другой путь. Он решает вначале
угадать закон из общих соображений, а уже затем проверить его
экспериментально. Раньше никто так не поступал, но постепенно
такой план исследований станет одним из ведущих при установ-
лении научных истин.
Теперь о том, как Галилей попытался угадать закон. Он реша-
ет, что природа «стремится применять во всех своих приспособ-
лениях самые простые и легкие средства», а значит, и закон на-
растания скорости должен происходить «в самой простой и ясной
для всякого форме». Но раз скорость растет с ростом пройден-
ного пути, то что может быть проще предположения о том, что
скорость пропорциональна пути: v = cs, c — постоянное число.
Это предположение испугало его поначалу: ведь получается, что
падение начинается с нулевой скоростью, а кажется, что скорость
с самого начала велика. Но вот какое рассуждение убедило его,
что противоречия нет: «Если груз, падающий на сваю с высоты
четырех локтей, вгоняет последнюю в землю приблизительно на
четыре дюйма, — при падении с высоты двух локтей он вгоняет
ее в землю меньше и, конечно, еще меньше при падении с высо-
ты одного локтя или одной пяди, и когда, наконец, груз падает с
высоты не более толщины пальца, то производит ли он на сваю
больше действия, чем если бы он был положен без всякого удара?
Еще меньшим и совершенно незаметным будет действие груза,
поднятого на толщину листа. Так как действие удара находится
в зависимости от скорости ударяющего тела, то кто может со-
мневаться в том, что движение чрезвычайно медленно и скорость
минимальна, если действие удара совершенно незаметно?»
Галилей долго исследовал различные следствия из сделанного
предположения и неожиданно обнаружил, что. . . по такому за-
кону движение вообще происходить не может! Давайте и мы
попытаемся понять, в чем дело. Коэффициент пропорциональ-
50 Галилео Галилей (1564 – 1642)


ности зависит от выбора единицы времени. Будем считать для
простоты, что c = 1, путь измеряется в метрах, а время в секун-
дах. Тогда во все моменты времени v = s.
Рассмотрим точку A, находящуюся на расстоянии 1 от на-
чала O. Прикинем, через какое время от начала движения тело
окажется в этой точке. В точке A скорость равна 1 /. Возьмем
точку 1 , лежащую посередине между началом и . На отрезке 1
мгновенная скорость будет меньше 1 /, и на отрезок длиной 1/2
потребуется больше 1/2 . Возьмем теперь точку A2 — посередине
между O и A1 . На отрезке A2 A1 мгновенная скорость будет мень-
ше 1/2 / (все точки находятся от O на расстоянии, меньшем 1/2 ),
и на отрезок A2 A1 длиной 1/4 уйдет опять более 1/2 . Вы уже, ко-
нечно, догадались, как мы будем рассуждать дальше: точка A3 —
середина отрезка OA2 , на отрезок A3 A2 длиной 1/8 при скоро-
сти, меньшей 1/4 /, опять-таки уйдет более 1/2 и т. д. Процесс
деления можно продолжать неограниченно, и мы можем набрать
любое число отрезков, на прохождение которых уходит больше
1/2 , так и не добравшись до O. Значит, тело из O попасть в A
вообще не может!
Мы предположили, что A находится на расстоянии 1 от O. Но
аналогично показывается, что вообще ни в какую точку тело из
O попасть не может. Вот с какого замечательного рассуждения
началась классическая механика!
Впрочем сам Галилей публикует по этому поводу неубедитель-
ное рассуждение. Он пытается прийти к противоречию, считая,
что раз скорость пропорциональна пути, то любые отрезки от на-
чала должны проходиться за одно и то же время, что неверно. То
ли Галилей еще не привык работать с мгновенной скоростью, то ли
первоначально у него было другое рассуждение, которое он уже не
смог восстановить, когда после долгого перерыва записывал эти
результаты в преклонном возрасте (мы увидим, почему это полу-
чилось). От него осталось немало утверждений, либо лишенных
мотивировок, либо снабженных сомнительными рассуждениями.
Ну что же, у Галилея были все основания обидеться на ковар-
ство природы, которая не выбрала самого простого пути. Однако
вера в разумность природы у Галилея не угасла. Он рассматрива-
ет не менее простое предположение, что нарастание скорости про-
исходит пропорционально времени: v = at. Такое движение он на-
Открытие законов движения 51


звал естественно ускоренным, но прижился термин «равномерно
ускоренное движение». Галилей рассматривает график скорости
на отрезке времени от 0 до t и замечает, что если взять моменты
времени t1 , t2 равноотстоящие от t/2, то насколько в t1 скорость
меньше at/2, настолько в t2 она больше. Отсюда он делает вы-
вод, что в среднем скорость равна at/2, а пройденный путь равен
at/2 · t = at2 /2 (не слишком строгое рассуждение!). Значит, если
рассмотреть равноотстоящие отрезки времени t = 1, 2, 3, 4, . . . ,
то отрезки пути, пройденные от начала, будут относиться как
квадраты натуральных чисел 1, 4, 9, 16 . . . , а отрезки, пройденные
между соседними моментами отсчета, — как нечетные числа
1, 3, 5, 7, . . .
Еще раз проследим за логикой Галилея. Прежде всего он раз-
деляет вопросы «как» и «почему». Для последователей Аристоте-
ля ответ на первый вопрос должен быть непосредственным след-
ствием ответа на второй. Галилей же, трезво оценив свои воз-
можности, не разбирается в природе возникновения ускоренного
движения при свободном падении, а пытается лишь описать за-
кон, по которому оно происходит. Принципиальное значение имеет
поиск простого общего принципа, из которого этот закон можно
вывести. Он ищет «принцип, совершенно несомненный, который
можно принять за аксиому». Высказывания Галилея из письма
Паоло Сарпи (осень 1604 г.) можно интерпретировать так, что
он уже знал закон изменения пути при свободном падении, но
не был удовлетворен тем, что не может вывести его из казавше-
гося несомненным принципа: «Тело, испытывающее естественное
движение, увеличивает свою скорость в той же пропорции, что и
расстояние до исходного пункта».
Здесь важно было выбрать основную независимую перемен-
ную, относительно изменений которой рассматриваются измене-
ния всех величин, характеризующих движение. Очень естествен-
но, что первоначально в качестве такой переменной выбирается
пройденный путь: ведь наблюдатель видит, как нарастает ско-
рость по мере увеличения пройденного расстояния. Сказывалось,
что измерение времени еще не играло значительной роли в жизни
людей, не было точных, доступных часов. Мы не всегда отдаем
себе отчет, насколько постепенно ощущение постоянно текущего
времени внедрялось в человеческую психологию. Галилей проявил
52 Галилео Галилей (1564 – 1642)


большую гибкость, сравнительно быстро переориентировавшись
с пути на время. В 1609 – 1610 гг. он открыл верный принцип
равноускоренности свободного падения (относительно времени!).
Не следует переоценивать окончательный характер понятий
скорости и ускорения у Галилея. Понятие мгновенной непрерывно

<< Пред. стр.

страница 5
(всего 46)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

Copyright © Design by: Sunlight webdesign