LINEBURG


<< Пред. стр.

страница 45
(всего 46)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

соотношению (49), можно найти x, x, удовлетворяющие усло-
?
вию (48).
С геометрической точки зрения уравнение (49) задает в P5
поверхность второго порядка. Если перейти к координатам

p01 = u0 ? u3 , p02 = u4 ? u1 ,
p23 = u0 + u3 ,
p03 = u2 ? u5 ,
p13 = u4 + u1 , p12 = u2 + u5 ,

то уравнение (49) запишется в виде

u2 + u2 + u2 ? u2 ? u2 ? u2 = 0. (50)
0 1 2 3 4 5

Таким образом, множество прямых в трехмерном проективном
пространстве P3 вкладывается как поверхность второго порядка
(«квадрика») (50) (или (49)), в пятимерное проективное простран-
ство P5 . Это открытие Плюккера сыграло принципиальную роль
в формировании современных математических идей; оно устанав-
ливало изоморфизм двух совершенно различных геометрических
структур: многообразия прямых в P3 и квадрики в P5 . После это-
го лучшие геометры Софус Ли (1842 – 1899), Феликс Клейн, Эли
Картан с любовью коллекционировали подобные изоморфизмы.
Но потом интересы сместились в сторону общего взгляда на мно-
гообразия, когда работают лишь с координатами, не интересуясь
геометрической природой точек.
Последователей Плюккера интересовал в первую очередь сле-
дующий вопрос: если рассматривать уравнение квадрики в P5 не
с тремя плюсами и тремя минусами (сигнатура (3.3)), как в (50), а
с сигнатурой (4.2) или (5.1), то будут ли допускать эти квадрики
аналогичную геометрическую интерпретацию? Софус Ли обнару-
жил, что во множестве сфер в трехмерном пространстве можно
432 Комплексный мир Роджера Пенроуза


таким естественным образом ввести однородные координаты, что
в P5 получится квадрика сигнатуры (4.2) (геометрия сфер Ли).
Феликс Клейн ввел в четырехмерном пространстве некоторые до-
вольно изысканные координаты, которые он нaзвaл «гексосфери-
ческими», и эти координаты заполнили в P5 квадрику сигнату-
ры (5.1).
Нас также будет интересовать эта задача, но мы рассмотрим
другой путь ее решения. Дело в том, что при переходе к комплекс-
ному пространству исчезает различие между квадриками с раз-
личными сигнатурами, так как, умножая на i, всегда можно пе-
2 2
рейти к координатам, в которых уравнение имеет вид z0 +. . .+z5 =
0 (все вещественные квадрики являются вещественными формами
одной комплексной). Привычная логика проективной геометрии
заключается в том что если мы хотим перейти от одной веще-
ственной формы к другой, то нужно «окомплексить» задачу и
осуществить переход в комплексном пространстве.
Комплексная картина. Пусть CP3 — комплексное проективное про-
странство, z = (z0 , z1 , z2 , z3 ) — комплексные однородные координа-
ты; через точки z, z проходит комплексная прямая, состоящая из
?
точек вида ?z + µ?. В множестве комплексных прямых вводят-
z
ся комплексные плюккеровы координаты pij , удовлетворяющие
уравнению (49), которое приводится к виду (50), где uj комплекс-
ны.
На комплексной квадрике Q ? CP5 , задаваемой уравнени-
ем (50), рассмотрим вещественные подповерхности. Если считать
все uj вещественными, то будем иметь случай, рассмотренный вы-
ше. Однако u0 , u1 , u2 , u5 можно считать вещественными, а u3 =
iv3 , u4 = iv4 — чисто мнимыми, или только u3 = iv3 чисто мни-
мым, а остальные координаты вещественными. Тогда получим
вещественные поверхности (u и v вещественны!):
u2 + u2 + u2 + v3 + v4 ? u2 = 0,
2 2
(S)
0 1 2 5
u2 + u2 + u2 + v3 ? u2 ? u2 = 0.
2
(H)
0 1 2 4 5

Это соответственно сфера и однополостный гиперболоид (в одно-
родных координатах). Поскольку эти вещественные поверхности
лежат на комплексной квадрике Q, а точкам Q соответствуют
комплексные прямые, то естественно попытаться выяснить, ка-
Комплексный мир Роджера Пенроуза 433


кие комплексные прямые соответствуют точкам поверхностей (S)
и (H).
Интерпретация вещественных квадрик на языке комплексных пря-
мых (случай сферы). В случае (S) имеем:
p01 = u0 ? iv3 , p02 = iv4 ? u1 ,
p23 = u0 + iv3 ,
p03 = u2 ? u5 ,
p13 = iv4 + u1 , p12 = u2 + u5 .
Таким образом, точкам (S) соответствуют плюккеровы координа-
ты, удовлетворяющие условиям:
p13 = ??02 ,
p23 = p01 ,
? p Im p03 = Im p12 = 0. (51)
Этими условиями точки (S) полностью характеризуются. То-
гда, если прямая с такими плюккеровыми координатами проходит
через z = (z0 , z1 , z2 , z3 ), то можно считать, что второй точкой бу-
дет z = (??3 , z2 , ??1 , z0 ). Итак, точкам вещественной квадрики (S)
? z? z?
соответствуют комплексные прямые в CP3 , проходящие через точ-
ки (z0 , z1 , z2 , z2 ) и (??3 , z2 , ??1 , z0 ).
z? z?
Чем примечательны эти прямые? Через каждую точку z ?
? CP3 проходит прямая такого вида, причем единственная. В ре-
зультате все пространство CP3 разбивается в объединение непере-
секающихся прямых. Это разбиение (расслоение) играет важную
роль в математике, и появилось оно не слишком давно, вне свя-
зи с рассмотрениями Плюккера. Если пересечь полученное рас-
слоение CP3 с вещественным проективным пространством P3 , то
получится расслоение P3 на прямые, соединяющие (x0 , x1 , x2 , x3 )
и (?x3 , x2 , ?x1 , x0 ). На простом языке мы получаем разбиение
обычного трехмерного пространства на попарно скрещивающие-
ся прямые (в таком виде задача была предложена на Московской
математической олимпиаде в 1979 г.). Реализация (S) в качестве
расслоения CP3 — это первая из основных конструкций теории
твисторов.
Реализация гиперболоида как семейства прямых. В случае (H) име-
ем:
p23 = p? , Im p13 = Im p02 = Im p03 = Im p12 = 0. (52)
01

Пусть сначала для простоты p03 = 0. Ввиду однородности коорди-
нат можно считать p03 = 1 и выбирать точки на соответствующей
434 Комплексный мир Роджера Пенроуза


прямой с координатами z0 = z3 = 1, z3 = z0 = 0. После этого они
? ?
находятся однозначно. Из условия (52) следует, что z = (1, a, c, 0),
z = (0, c, b, 1), где a и b вещественны. Чем же примечательны
?
прямые, проходящие через данные пары точек? Непосредственно
проверяется, что все точки, лежащие на этих прямых (т. е. точ-
ки вида w = ?z + µ?, ?, µ комплексные), должны удовлетворять
z
условию
Im(w1 w0 + w2 w3 ) = 0.
? ? (53)

Если снять ограничение p03 = 0, то окажется, что других прямых,
все точки которых удовлетворяют условию (53), нет. Следователь-
но, условие (53) задает в CP5 поверхность N вещественной раз-
мерности 5 так, что все комплексные прямые, лежащие на N , — это
прямые, плюккеровы координаты которых удовлетворяют усло-
вию (52), а, стало быть, это прямые, соответствующие точкам
вещественной поверхности (H). Заметим, что поверхность N пол-
ностью содержит вещественное проективное пространство P3 , и
что, вообще говоря, семейство комплексных прямых, зависящее
от четырех вещественных параметров, как следует из подсчета
размерностей, заполняет область в CP3 . Поэтому можно ожидать,
что поверхность N обладает уникальными свойствами Действи-
тельно, это единственная, с точностью до проективных преобразо-
ваний, поверхность, на которой умещается четырехпараметриче-
ское семейство комплексных прямых. Этот результат имеет веще-
ственный аналог. Имеется много линейчатых поверхностей в трех-
мерном пространстве, на которых лежит однопараметрическое се-
мейство прямых, но лишь на однополостном гиперболоиде лежат
два различных семейства (этим свойством из неплоских поверх-
2 2
ностей обладает еще гиперболический параболоид X3 = X1 ? X2 ,
но с проективной точки зрения он эквивалентен однополостному
гиперболоиду).
Подведем некоторые итоги. Мы начинали с квадрики веще-
ственных прямых в P3 , затем перешли к квадрике комплексных
прямых в CP3 . Среди вещественных поверхностей второго поряд-
ка, лежащих на этой комплексной поверхности, имеются как по-
верхность вещественных прямых, так и два других типа поверхно-
стей: одни поверхности соответствуют расслоениям комплексного
проективного пространства CP3 на комплексные прямые, а — дру-
Комплексный мир Роджера Пенроуза 435


гие пятимерным вещественным поверхностям в CP3 , на которых
имеется семейство комплексных прямых, зависящее от четырех
вещественных параметров. На этом примере отчетливо виден фе-
номен, который «выстрадали» геометры XIX века. Во-первых,
вещественные объекты часто допускают интерпретацию на ком-
плексном языке. Во-вторых, если мы делаем вещественную задачу
комплексной, а затем, обратно, смотрим, какие вещетвенные за-
дачи приводят к той же комплексной, то часто получаем новые
содержательные геометрические задачи.
Метрика в многообразии прямых. Плюккер и его последовате-
ли занимались также изучением геометрии многообразия пря-
мых Q ? CP5 . Они исследовали, как преломляются на языке Q
различные геометрические факты об исходном проективном про-
странстве CP3 . Точкам в CP3 соответствуют на Q двумерные
поверхности прямых, проходящих через эти точки, плоскостям —
двумерные поверхности прямых, лежащих в этих плоскостях (два
семейства плоских образующих квадрики Q). Результативным
был и обратный путь, когда в CP3 рассматривались семейства
прямых, плюккеровы координаты которых удовлетворяли одно-
му соотношению (комплексы) или двум (конгруэнции). В качестве
примера рассмотрим такой факт.
Прямые в трехмерном пространстве иногда пересекаются. Как
выражается это в плюккеровых координатах? Оказывается, что
если {pij } и {pij } — плюккеровы координаты двух прямых, то они
пересекаются тогда и только тогда, когда
p01 p23 ? p02 p13 + p03 p12 + p23 p01 ? p13 p02 + p12 p03 = 0. (54)
Мы выведем тождество (54) при упрощающем предположении
(которое уже однажды делалось), что p03 = 0, p03 = 0. Тогда
p03 = p03 = 1, и прямые проходят соответственно через точ-
ки (1, ?1 , ?2 , 0), (0, ?1 , ?2 , 1) и (1, ?1 , ?2 , 0), (0, ?1 , ?2 , 1) (по суще-
ству мы перешли от однородных координат к неоднородным).
В этом случае точки прямой p задаются уравнениями
z1 = ?1 z0 + ?1 z3 , z2 = ?2 z0 + ?2 z3 ,
и аналогично для p
z1 = ?1 z0 + ?1 z3 , z2 = ?2 z0 + ?2 z3 .
436 Комплексный мир Роджера Пенроуза


Прямые пересекаются, если имеется общее решение (z0 , z1 , z2 , z3 )
этой системы четырех уравнений или системы двух уравнений с
двумя неизвестными (z0 , z3 ):

z0 (?1 ? ?1 ) + z3 (?2 ? ?2 ) = 0,
(55)
z0 (?1 ? ?1 ) + z3 (?2 ? ?2 ) = 0.

Таким образом, прямые пересекаются тогда и только тогда, когда
равно нулю выражение

?(?, ?, ? , ? ) =
= (?1 ? ?1 )(?2 ? ?2 ) ? (?2 ? ?2 )(?1 ? ?1 ). (56)

Современный математик назвал бы выражение (56) «расстояни-
ем». Правда, это выражение может быть равно нулю при p = p ,
и вообще комплексно. Но это не смущало даже геометров ХIX ве-
ка. Клейн вспоминает, как любили они пользоваться прямыми,
расстояние вдоль которых равно нулю (изотропные прямые). Ли
называл эти прямые «сумасшедшими» и говорил, что француз-
ские геометры умеют с их помощью получать доказательства «по
воздуху». Назовем и мы величину ? расстоянием между прямыми
p = (?, ?) и p = (? , ? ).
Итак, расстояние ? равно нулю тогда и только тогда, когда
прямые пересекаются. Этим условием расстояние определяется
почти однозначно. Более строго расстояние определяется с точно-
стью до конформной замены (гомотетии). Это означает, что одно-
значно определяются углы и отношения расстояний в окрестности
любой фиксированной точки с точностью до величин, малых от-
носительно расстояний до этой точки.
Свяжем с каждой точкой p ? Q множество точек Vp ? Q,
находящихся от p на нулевом расстоянии (?(p, p ) = 0, прямые p, p
пересекаются). Множество Vp называется конусом изотропии; оно
совпадает с пересечением квадрики Q и касательной плоскости
к Q в точке p.
Расстояние на поверхностях (S), (H). Найдем след расстояния ?
на поверхности (S). Мы опять ограничимся точками, у которых
p03 = 1. Тогда из условия (51) следует, что ?1 = ?2 , ?2 = ??1 , и в
?
качестве координат на (S) можно брать только пару комплексных
Комплексный мир Роджера Пенроуза 437


чисел (?1 , ?2 ). Следовательно,

?(S) (?; ? ) = |?1 ? ?1 |2 + |?2 ? ?2 |2 . (57)

Это расстояние уже лишено всех недостатков расстояния ? в об-
щем случае: оно неотрицательно и обращается в нуль только при
? = ? . Полученный факт согласуется с тем, что прямые, которые
соответствуют точкам (S), не пересекаются. Мы получили обыч-
ное евклидово расстояние на четырехмерной вещественной сфере
в пятимерном евклидовом пространстве.
Теперь ограничим ? на гиперболоид (H) и вновь возьмем точ-
ки p03 = 1. Пусть M ? (H) — множество таких точек на (H). Тогда,
в силу условий (52), ?1 , ?2 вещественны, a ?1 = ?2 . Сделаем заме-
?
ну: ?1 = t?x1 , ?2 = t+x1 , ?1 = x2 +ix3 , где все (t, x) вещественны.
В результате выражение (56) примет вид

?(H) (t, x; t , x ) =
= (t ? t )2 ? (x1 ? x1 )2 ? (x2 ? x2 )2 ? (x3 ? x3 )2 . (58)

Это в точности метрика Минковского (она вещественна, но не
положительно определена). Если пересечь конус Vp при p ? M
с поверхностью M , то получится световой конус с вершиной p.
Итак, естественно возникающее из геометрии прямых расстояние
на квадрике Q индуцирует на сфере (S) евклидово расстояние, а
на гиперболоиде (H) расстояние Минковского.
Точкам M ? (H) соответствуют те прямые на поверхности N ,
которые не пересекают прямой z0 = z3 = 0. Многообразие (H)
играет важную роль в физических теориях — это конформное рас-
ширение пространства Минковского M . Оно получается из при-
клеиванием на «бесконечности» светового конуса (подобно тому,
как у евклидова пространства имеется расширение с помощью
одной бесконечно удаленной точки, а не целой бесконечно уда-
ленной плоскости, как в случае проективного расширения). Если
рассматривать проективные преобразования пространства CP3 ,
сохраняющие поверхность N , то они будут переводить прямые
на N в прямые на N , пересекающиеся прямые — в пересекающиеся
прямые. Тем самым на (H) будут индуцироваться преобразования,
переводящие друг в друга световые конусы Vp . Таким образом
438 Комплексный мир Роджера Пенроуза


получаются все конформные преобразования пространства Мин-
ковского (движения, гомотетии, инверсии), относительно которых
нередко инвариантны физические теории (безмассовые). Чтобы
получить группу собственно движений (группу Пуанкаре), на-
до ограничиться преобразованиями, которые сохраняют также и
прямую z0 = z3 = 0. Итак, геометрия пространства Минковского
в полной мере возникает в рамках геометрии Плюккера простран-
ства прямых.
Имеется ли естественный путь в обратном направлении? Как,
исследуя пространство Минковского, обнаружить то вспомога-
тельное трехмерное пространство (пространство твисторов по
Пенроузу), прямые в котором соответствуют точкам простран-
ства Минковского? Это можно сделать с помощью световых
конусов Vp . Напомним, что точкам Vp соответствуют прямые,
пересекающие прямую p. Все прямые, соответствующие точкам,
лежащим на одной образующей Vp (световой прямой), пересекают
прямую p в одной и той же точке. В результате возникает соот-
ветствие между точками поверхности N и световыми прямыми;
N можно рассматривать как множество световых прямых на (H).
Если перейти к комплексной картине, то точки CP3 отождеств-
ляются с комплексными «световыми» прямыми на Q (половиной
двумерных образующих конусов Vp ).

Замечание об аналитических приложениях. Поучительность из-
ложенной геометрической картины не вызывает сомнений. Но,
как уже отмечалось, в рамках теории Пенроуза она лишь повод
для новых аналитических построений. К сожалению, мы име-
ем возможность лишь очень поверхностно остановиться на них.
Идея Пенроуза заключается в том что аналитическим объек-
там на четырехмерном многообразии M (в евклидовой теории
на (S)) должны соответствовать в некотором смысле эквивалент-
ные объекты на N или CP3 . Эти объекты должны быть проще,
чем их двойники на и (S), и значительная часть уравнений ма-
тематической физики на и (S) является просто следствием того,
что объекты, первоначально заданные на трехмерном многообра-
зии, каким-то путем переносятся на четырехмерное многообразие.
Следует отметить, что многие дифференциальные уравнения воз-
никают как соотношения при переходе (интегральном преобразо-
Комплексный мир Роджера Пенроуза 439


вании) на многообразия большего числа измерений. Это важный
и пока недостаточно изученный источник получения и решения
уравнений. В простейшем примере, который принадлежит Фрицу
Йону, при интегрировании функции в трехмерном пространстве
(вещественном) по прямым получаем на четырехмерном про-
странстве прямых решения некоторого (ультрагиперболического)
дифференциального уравнения второго порядка. Пенроуз и его
последователи сталкиваются с аналогичными эффектами в более
сложной комплексной ситуации. Поэтому приходится иметь дело
не с функциями, а со значительно более сложным объектом —
когомологиями. Оказалось, что при переходе от и (S) к CP3 дей-
ствительно получаются более простые и классические уравнения:
какой-то вариант уравнений Коши – Римана из теории аналитиче-
ских функций. При этом удалось рассмотреть не только линейные
уравнения математической физики (Дирака – Вейля, Максвелла,
линеаризованное уравнение Эйнштейна), но и некоторые нели-
нейные (Янга – Миллса).
Автодуальные метрики. В заключение остановимся еще на одном
направлении в исследованих Пенроуза. Пока мы имели дело с
плоским пространством-временем Минковского. В общей теории
относительности интересуются искривленными четырехмерными
многообразиями, которые должны удовлетворять сильным нели-
нейным ограничениям (например, вакуумному уравнению Эйн-
штейна). Построение решений уравнений Эйнштейна — трудная
задача. Пенроуз, исходя из реализации пространства Минковско-
го как семейства прямых в CP3 , ищет многообразия, которые удо-
влетворяли бы уравнению Эйнштейна, как семейства кривых на
каких-то трехмерных многообразиях. Метрика при этом долж-
на получаться из условия пересечения кривых (пересекающиеся
кривые находятся на нулевом расстоянии). Он с самого начала
ограничивается комплексной ситуацией. Для этого в неплоском
случае имеются дополнительные причины: на многообразии кри-
вых не бывает неплоской метрики Эйнштейна сигнатуры (3.1),
как у метрики Минковского, но бывает риманова сигнатуры (4.0).
Переход к комплексным рассмотрениям замечательным обра-
зом упрощает ситуацию, делает ее более геометричной. Ряд инва-
риантов кривизны многообразия, которые в вещественном случае
вводятся аналитически, в комплексном случае приобретает яс-
440 Комплексный мир Роджера Пенроуза


ный геометрический смысл (тензоры Риччи и Вейля). Пенроуз
показывает, что некоторый класс комплексных решений уравне-
ния Эйнштейна (автодуальных) получается, если определенным
образом возмутить комплексную структуру в окрестности одной
прямой в CP3 и рассмотреть некоторое семейство кривых, «близ-
ких» к прямым. К сожалению, этот путь содержит чрезвычайно
неэффективный момент при нахождении семейства кривых. Од-
нако в некоторых случаях вычисления удалось довести до явного
выражения для метрики.
Позднее появились некоторые другие геометрические идеи,
как строить явные решения нелинейных уравнений, включая
уравнение Эйнштейна, пользуясь языком твисторов. Одна из них
состоит в том, что в восьмипараметрическом семействе кривых
второго порядка в CP3 описываются такие четырехпараметри-
ческие подсемейства, что условия пересечения индуцируют на
них метрики Эйнштейна. Таким образом получаются некоторые
известные решения, а также много новых. Эта идея — вполне в
русле идеологии Плюккера: условие пересечения прямых дает

<< Пред. стр.

страница 45
(всего 46)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

Copyright © Design by: Sunlight webdesign