LINEBURG


<< Пред. стр.

страница 44
(всего 46)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

перболоидах. На каждой плоскости возникает по гиперболоиду.
Все эти гиперболоиды (двухпараметрическое семейство) попарно
сцеплены в силу теоремы.
Вернемся к доказательству теоремы. Мы проведем его анали-
тически, аналогично доказательству предыдущей теоремы.
Зададим трехмерные плоскости в P5 как пересечения гипер-
плоскостей, то есть системой двух линейных уравнений ?, y =
= ?, y = 0 в однородных координатах. Пусть имеем четыре
трехмерных плоскости l1 , l2 , l3 , l4 , из которых никакие три не
имеют общих точек. Выберем однородные координаты так, чтобы
l1 задавалась системой y0 = y1 = 0, l2 — системой y2 = y3 = 0, l3 —
системой y4 = y5 = 0. Это можно сделать, поскольку l1 , l2 , l3 не
имеют общих точек, а следовательно, левые части уравнений, за-
дающих их, независимы (одновременно обращаются в нуль лишь
на нулевом наборе). Пусть l4 задается в этой системе координат
422 О пользе координат и искусстве сцеплять гиперболоиды


уравнениями
5 5
?i yi = 0, ?i yi = 0.
i=0 i=0

Векторы (?0 , ?1 ), (?0 , ?1 ) не могут быть одновременно нулевыми,
поскольку это означало бы, что плоскости l2 , l3 , l4 имеют общую
прямую y2 = y3 = y4 = y5 = 0, по которой пересекаются l2
и l3 . Покажем, что они не могут быть также пропорциональны-
ми, в частности, ни один из них не может быть нулевым. Пусть
(?0 , ?1 ) = (c?0 , c?1 ). Тогда точка (??1 , ?0 , 0, 0, 0, 0) будет принадле-
жать трем плоскостям l2 , l3 , l4 , а мы предположили, что они не
имеют общих точек. Аналогично можно показать, что пары век-
торов (?2 , ?3 ), (?2 , ?3 ) и (?4 , ?5 ), (?4 , ?5 ) непропорциональны. В ре-
зультате сделаем замену координат

x0 = ?0 y0 + ?1 y1 , x1 = ?0 y0 + ?1 y1 , x2 = ?2 y2 + ?3 y3 ,
x3 = ?2 y2 + ?3 y3 , x4 = ?4 y4 + ?5 y5 , x5 = ?4 y4 + ?5 y5 .

В этих координатах плоскости l1 , l2 , l3 , l4 задаются соответственно
системами уравнений:

x0 = x1 = 0, x2 = x3 = 0, x4 = x5 = 0,
x0 + x2 + x4 = x1 + x3 + x5 = 0.

Все эти четыре плоскости включаются в семейство трехмер-
ных плоскостей

?0 x0 + ?1 x2 + ?2 x4 = 0, ?0 x1 + ?1 x3 + ?2 x5 = 0. (46)

Обозначим плоскость, задаваемую (46), через ?? . Параметры
естественно считать однородными координатами на двумерной
проективной плоскости P2 : (?0 , ?1 , ?2 ) = (0, 0, 0); ? и c? зада-
ют одну и ту же плоскость. Плоскости l1 , l2 , l3 , l4 соответствуют
параметрам (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), (1, 1, 1).
Исследуем попарные пересечения ?? ? ?µ , ? = cµ. Это прямая
5 , точки которой удовлетворяют системе четырех уравнений,
вP
полученных объединением (46) для ? и µ. При этом очевидно, что
?? ? ?µ зависит лишь от прямой {?, µ} на параметрической плос-
кости P2 , соединяющей точки ? и µ. Поэтому если фиксировать ?,
О пользе координат и искусстве сцеплять гиперболоиды 423


то прямым ?? ??µ на параметрической плоскости P2 соответству-
ют прямые, которые проходят через ?. На множестве прямых на
проективной плоскости P2 , которые проходят через фиксирован-
ную точку, естественно вводится структура проективной прямой.
Исследуем прямые ?? ??µ при фиксированном ? более конкретно.
Пусть для определенности ?0 = 0 (это фактически не ограничи-
вает общности,так как ?0 можно заменить другим ?j ). В качестве
однородных координат на ?? возьмем набор (2 , x3 , x4 , x5 ). В этих
координатах прямые ?? ? ?µ задаются системой:

x0 x2 + x1 x4 = 0, x0 x3 + x1 x5 = 0,
? ? ? ?
(47)
x0 = µ0 ?1 ? ?0 µ1 , x2 = µ0 ?2 ? ?0 µ2 .
? ?

Если ?, µ не пропорциональны, то x = (?0 , x1 ) = (0, 0). Таким об-
? x?
разом, ?? ? ?µ зависит лишь от прямой {?, µ}. Из системы (47)
видно, что прямые ?? ??µ при фиксированном ? являются семей-
ством образующих некоторого однополостного гиперболоида H?
в трехмерной плоскости ?? . Следовательно, мы получили семей-
ство сцепленных гиперболоидов H? , зависящих от двух парамет-
ров ? ? P2 . Это сцепление является вырожденным, поскольку
через образующую ?? ? ?µ проходят все гиперболоиды H? , где ?
принадлежит прямой {?, µ}.
Осталось доказать, что всякая трехмерная плоскость, пе-
ресекающая два различных гиперболоида H? , Hµ по образую-
щим из отмеченных семейств, является одной из плоскостей
семейства ?? . Дело в том, что все плоскости семейства пере-
секают все гиперболоиды H? по образующим из отмеченных
семейств, в том числе и четверку исходных. Пусть теперь трех-
мерная плоскость порождается различными прямыми ?? ? ??
и ?µ ? ?µ , и ? — точка на параметрической плоскости P2 , яв-
ляющаяся пересечением прямых {?, ? } и {µ, µ } (они не могут
совпадать). Тогда ?? содержит ?? ? ?? , ?µ ? ?µ , а потому
совпадает с рассмотренной плоскостью. (Фактически мы до-
казали разрешимость некоторой системы линейных уравнений
на ?, которую можно было бы рассмотреть непосредственно.)
Итак, доказательство теоремы о сцеплении гиперболоидов за-
вершено.
КОМПЛЕКСНЫЙ МИР РОДЖЕРА ПЕНРОУЗА
Нельзя придумать ничего столь странного и невероятного,
что не было бы уже высказано кем-либо из философов.
Р. Декарт

На математическом конгрессе, который проходил в Хельсинки
летом 1978 г., Роджер Пенроуз сделал пленарный доклад «Ком-
плексная геометрия реального мира». Основная идея Пенроуза
заключалась в том, что точки четырехмерного пространства-
времени Минковского или Евклида (в евклидовой теории по-
ля) естественно интерпретировать как комплексные прямые в
трехмерном комплексном пространстве. Эта идея разрабатыва-
лась Пенроузом в течение ряда лет в рамках его «твисторной
программы» (твисторами он называет точки вспомогательного
трехмерного комплексного пространства). Незадолго перед кон-
грессом появились первые результаты, которые уже нельзя было
рассматривать как чисто интерпретационные (инстантонные ре-
шения уравнения Янга–Миллса и комплексные автодуальные
решения уравнения Эйнштейна).
Что касается подхода Пенроуза, то он по существу не был
новым: комплексная реализация пространства Минковского со-
держалась в теории однородных многообразий, восходящей к Эли
Картану (1869 – 1951). Однако существенно не само по себе гео-
метрическое наблюдение, а идея сделать его систематическим
источником аналитических конструкций, а именно интеграль-
ных представлений для решений некоторых важных линейных и
нелинейных уравнений математической физики. По счастливой
случайности именно в это время в математике (алгебраической
геометрии и теории функций многих комплексных переменных)
появился весьма неэлементарный аппарат, необходимый для ре-
ализации этих планов (расслоения над проективным простран-

424
Комплексный мир Роджера Пенроуза 425


ством, когомологии Коши–Римана. . . ).
Возвращаясь к геометрической идее Пенроуза, вероятно, нель-
зя не удивиться тому, что при изучении совершенно веществен-
ного объекта — пространства-времени — появляются комплексные
образования. Впрочем, геометрам второй половины XIX века та-
кая возможность не показалась бы удивительной. Конструкция
Пенроуза связана с математическими идеями, которым более ста
лет и которые в последние десятилетия незаслуженно (быть мо-
жет, из-за большой конкретности) стали забывать. Речь идет
об идее Юлиуса Плюккера (1801 – 1868) рассматривать про-
странство, элементами (точками!) которого являются прямые
из обычного трехмерного пространства. Эта идея разрабаты-
валась Плюккером на протяжении многих лет и в окончатель-
ном виде содержалась в посмертно изданном в 1868 – 1869 гг.
Ф. Клейном и Р. Клебшем мемуаре «Новая геометрия простран-
ства, основанная на рассмотрении прямой линии в качестве
пространственного элемента». Размерность пространства пря-
мых равна четырем, и это, вероятно, первое четырехмерное
пространство, появившееся в науке. Кажется удивительным, что
в период появления четырехмерия в теории относительности и
всеобщего увлечения четырехмерными образованиями никто не
сопоставил четырехмерие Минковского с появившимся на 50 лет
раньше четырехмерием Плюккера. В некотором смысле это и
сделал Пенроуз (еще через 50 лет). Попытаемся и мы проследить
возможный путь от Юлиуса Плюккера к Герману Минковско-
му (1864 – 1909), но для этого припомним еще более ранние
события.

«Золотой век геометрии». Так Н. Бурбаки назвал XIX век — век
развития проективной геометрии с ее фантастическим полетом
геометрической интуиции и мощными аналитическими метода-
ми. Ведущее место проективной геометрии в геометрии XIX века
было бесспорным. Характерно, что признание неевклидовой гео-
метрии многими математиками было связано с реализацией ее
как части проективной геометрии (интерпретация Клейна). Но
зародилась проективная геометрия (ее называли еще новой гео-
метрией ) гораздо раньше. Лионский архитектор Жерар Дезарг
(1593 – 1662) опубликовал в 1639 г. брошюру «Первоначальный
426 Комплексный мир Роджера Пенроуза


набросок попытки разобраться в том, что получается при встрече
конуса с плоскостью». Дезарг строил теорию перспективы и изу-
чал центральную проекцию одной плоскости на другую. Заметив,
что при этом на первой плоскости есть точки, которые никуда не
проектируются, а на второй — точки, в которые не проектируются
никакие точки, он решил исправить это, введя идеальные беско-
нечно удаленные точки на плоскости. В модернизированном виде
его идея состоит в том, что все параллельные между собой пря-
мые «пересекаются» в одной общей бесконечно удаленной точке,
а все бесконечно удаленные точки на плоскости образуют одну
бесконечно удаленную прямую, которой следует дополнить плос-
кость. На расширенной (проективной) плоскости все утвержде-
ния о параллельности превращаются в частные случаи обычных
утверждений о пересечении прямых, которые к тому же не имеют
ограничений (любые две различные прямые пересекаются в един-
ственной точке, быть может, бесконечно удаленной). Идеи про-
ективной геометрии воспринимались с большим трудом, к тому
же и Дезарг не смог придать им удобную для понимания фор-
му. Среди участников кружка Марена Мерсенна (1588 – 1648) —
предвестника Парижской Академии наук — он нашел лишь одно-
го последователя. Это был 16-летний Блез Паскаль (1623 – 1662),
доказавший знаменитую теорему о шестиугольнике, вписанном в
коническое сечение. Техника проективной геометрии позволила
Паскалю свести общий случай к случаю окружности, так как по
определению любое коническое сечение получается из окружно-
сти в результате центрального проектирования. Вообще, основные
планы Дезарга и Паскаля состояли в том, чтобы с помощью про-
ективной геометрии пролить свет на теорию конических сечений
Аполлония — вершину греческой геометрии. Уже давно новая ев-
ропейская математика, имевшая огромные успехи в алгебре и ана-
лизе, стремилась сразиться с великими греками на их собственной
территории — геометрии. Казалось, что Дезарг и Паскаль достиг-
ли успеха, но сочинений Дезарга никто не мог понять, а Паскаль
так и не закончил своего всеобъемлющего сочинения по проек-
тивной геометрии, оставив потомкам лишь маленькую афишу со
своей теоремой о шестиугольнике. Об их работах забыли на 200
лет, а когда благодаря Мишелю Шалю (1793 – 1880) вспомнили,
большинство результатов было открыто заново.
Комплексный мир Роджера Пенроуза 427


Новая жизнь проективной геометрии началась в работах Гас-
пара Монжа (1746 – 1818) и его учеников, среди которых был Вик-
тор Понселе (1788 – 1867). В работах Понселе, по словам Фелик-
са Клейна (1849 – 1925), появляется новый вид геометрического
мышления — проективное мышление. Находясь в плену в Сара-
тове после похода Наполеона 1812 г., Понселе предавался буйной
геометрической фантазии, делясь своими открытиями с товари-
щами по Политехнической школе, учениками Монжа. Свои ре-
зультаты он собрал в «Трактат о проективных свойствах фигур»,
вышедший лишь через десять лет. К систематическим занятиям
геометрией он уже больше не вернулся: отвлекали государствен-
ные и военные дела, преподавание, занятия фортификацией, тео-
рией машин («водяное колесо Понселе»). К концу жизни он снова
занялся геометрией, но в основном огорчался, что не смог регу-
лярно уделять внимание математике, что другие разрабатывают
проективную геометрию не так, как по его мнению следовало бы,
и что Шаль некстати вспомнил о Дезарге.
Понселе исходит из того, что так как на проективной плоско-
сти не бывает исключений во взаимном положении прямых, то не
должно быть исключений и во взаимном положении кривых вто-
рого порядка. Но почему же тогда эллипсы обычно пересекаются
в четырех точках, а их частный случай — окружности — только в
двух? И Понселе находит ответ: все окружности проходят через
две фиксированные точки (их называют циклическими). Одна-
ко мы не замечаем этих точек, поскольку они, с одной стороны,
являются бесконечно удаленными, а с другой — мнимыми. Так в
вещественной геометрии впервые появились комплексные числа
(к которым и в алгебре только начинали привыкать!). Цикличе-
ские точки стали одним из основных объектов геометрии: с их
помощью можно объяснить все вещественные метрические соот-
ношения на плоскости.
Другое поразительное открытие Понселе, честь которого он
делит с Жозефом Жергонном (1771 – 1859), — это закон двой-
ственности — новый способ получения геометрических утвержде-
ний. Грубо говоря, он состоит в том, что в теореме о взаимном по-
ложении точек и прямых на проективной плоскости можно всюду
поменять местами слова «прямая» и «точка» и несколько отредак-
тировать текст (заменить «пересекается» на «проходит» и т. д.),
428 Комплексный мир Роджера Пенроуза


чтобы сделать его осмысленным, после чего получается новая
теорема. Например, утверждение «Две различные прямые име-
ют общую точку» (пересекаются) переходит в новое утверждение
«Через две различные точки проходит единственная прямая».
Отныне проективизм становится господствующим методом в
геометрии. Впрочем, долгое время проективные идеи воспринима-
лись как некоторое устройство («черный ящик») для получения
евклидовых теорем. Бесконечно удаленные элементы воспринима-
лись как идеальные чужеродные элементы, упрощающие рассмот-
рения (так сначала воспринимались и комплексные числа). Од-
нако последовательный проективизм требует рассматривать бес-
конечно удаленные точки как неотличимые от конечных и при
этом не интересуется, например, поведением кривых на беско-
нечности (асимптотами и т. д.). Дискуссии об идеях проективной
геометрии надолго заняли умы геометров. Это становится осо-
бенно заметным, если обратиться к немецкой геометрии середины
XIX века, когда творили такие замечательные геометры, как Фер-
динанд Мёбиус (1790 – 1868), Юлиус Плюккер, Якоб Штейнер
(1796 – 1863), Кристиан фон Штаудт (1798 – 1867). Их деятель-
ность проходила в обстановке ожесточенной борьбы между «ана-
литиками» и «синтетиками», разногласия между которыми могут
показаться сегодня не более аргументированными, чем противо-
речия между остроконечниками и тупоконечниками у Свифта.
Аналитики пользовались преимущественно координатным пред-
ставлением геометрических образов, открывавшим возможность
для использования методов алгебры и анализа. Синтетики счи-
тали, что эти методы лишают геометрию ее истинного духа, под-
линной геометрической интуиции.
Среди синтетиков наиболее активен был Штейнер, крестьян-
ский сын, который до 19 лет ходил за плугом, затем был учени-
ком и сподвижником знаменитого педагога Иоганна Песталоцци
(1746 – 1827), и лишь в зрелом возрасте обратился к математике.
Штейнер обладал удивительной геометрической интуицией, полет
его пространственного воображения нельзя было передать даже
чертежами, и он отказывался от них на лекциях, которые чита-
лись в затемненных аудиториях, чтобы помочь слушателям со-
средоточиться. Решительный протест вызывали у Штейнера ком-
плексные числа, эти «призраки», «царство теней в геометрии»,
Комплексный мир Роджера Пенроуза 429


которыми так много пользовались аналитики. По мнению Клей-
на, возможно, нетерпимость Штейнера была причиной того, что
Плюккер (типичный аналитик) прекратил надолго занятия гео-
метрией и возобновил их лишь после смерти Штейнера.
Проективные координаты. Аналитики ставили перед собой задачу
такого введения координат на проективной плоскости, при кото-
ром можно было охватить не только конечные, но и бесконечно
удаленные точки. Здесь решающая конструкция (однородные ко-
ординаты) принадлежит Юлиусу Плюккеру. Он предложил ха-
рактеризовать точки проективной плоскости не двумя, а тремя
числами (x0 , x1 , x2 ) = (0, 0, 0), но считать, что отличающиеся об-
щим множителем тройки (x0 , x1 , x2 ) и (?x0 , ?x1 , ?x2 ) соответству-
ют одной и той же точке плоскости. Тогда можно считать, напри-
мер, точки с x0 = 0 «конечными» и для них всегда брать тройки
с x0 = 1, т. е. (1, X1 , X2 ), где X1 = x1 /x0 , X2 = x2 /x0 — неод-
нородные (декартовы) координаты. Точки с x0 = 0 составляют
бесконечно удаленную прямую. Впрочем, эту прямую можно фик-
сировать произвольно. Проективные преобразования плоскости,
при которых прямые переходят в прямые, соответствуют линей-
ным преобразованиям однородных координат. Прямые на проек-
тивной плоскости задаются уравнениями ?0 x0 +?1 x1 +?2 x2 = 0, где
(?0 , ?1 , ?2 ) = (0, 0, 0) определяется с точностью до скаляряого мно-
жителя. Это навело Плюккера на мысль считать (?0 , ?1 , ?2 ) одно-
родными координатами прямых, и тогда получается, что прямые
образуют другой (двойственный) экземпляр проективной плоско-
сти. Такая интерпретация делает предельно прозрачным принцип
двойственности Понселе–Жергонна.
С помощью однородных координат легко понять и теорему
Понселе о пересечении окружностей, которая в синтетическом
варианте требует высокой геометрической интуиции. В неодно-
2
родных координатах уравнения окружностей имеют вид X1 +
+ 2 + aX1 + bX2 + c = 0, или в однородных координатах
2

x2 + x2 + ax1 x0 + bx2 x0 + cx2 = 0.
1 2 0

Ясно, что на всех этих кривых лежит пара точек (0, 1, i), (0, 1, ?i),
т. е. это в самом деле мнимые бесконечно удаленные точки ({x0 =
= 0} — бесконечно удаленная прямая).
430 Комплексный мир Роджера Пенроуза


В трехмерном проективном пространстве точки характеричу-
ются четырьмя числами (x0 , x1 , x2 , x3 ) = (0, 0, 0, 0), заданными с
точностью до пропорциональности. Можно считать, что {x0 =
0} — бесконечно удаленная плоскость. Плоскости задаются урав-
нениями x0 ?0 + . . . + x3 ?3 = 0, т. е. имеется двойственность между
проективным пространством точек и проективным пространством
плоскостей.
Многообразие прямых (плюккеровы координаты). Следующий
естественный вопрос, который заинтересовал Плюккера, — это
конструкция совокупности прямых в проективном простран-
стве P3 . Оказалось, что в отличие от ситуации с плоскостями (и с
прямыми на плоскости) мы приходим здесь к совершенно новому
геометрическому образованию. Множество прямых в P3 зависит
от четырех параметров. В декартовых координатах X1 , X2 , X3
почти все прямые можно записать в виде X1 = ?1 X3 + ?1 ,
X2 = ?2 X3 + ?2 . Этой параметризацией не охвачены прямые,
параллельны плоскости X1 OX2 , а есть еще и бесконечно удален-
ные прямые.
Плюккер предлагает ввести координаты на всей совокупно-
сти прямых. Он рассуждает следующим образом. Прямая опре-
деляется парой своих различных точек, т. е. x = (x0 , x1 , x2 , x3 ),
x = (?0 , x1 , x2 , x3 ) (однородные координаты в P3 ), где x и x не
? x??? ?
пропорциональны. Однако эти пары можно выбирать разными
способами. Чтобы избавиться от этой неопределенности, следует
рассмотреть выражения

pij = xi xj ? xj xi ,
? ? (48)

уже не зависящие (с точностью до пропорциональности) от вы-
бора точек. При этом pii = 0, pij = ?pji . Назовем набор шести
чисел p01 , p02 , p03 , p12 , p13 , p23 плюккеровыми координатами пря-
мой. Поскольку точки задавались однородными координатами,
наборы {pij } и {?pij } соответствуют одной и той же прямой. Если
все pij равны нулю, то x и x пропорциональны, что мы исклю-
?
чили. В результате естественно рассматривать ненулевой набор
из шести чиceл {pij } с точностью до пропорциональности в ка-
честве однородных координат точки в пятимерном проективном
пространстве P5 .
Комплексный мир Роджера Пенроуза 431


Итак, множество прямых оказалось естественно вложенным
в P5 . Поскольку оно зависит от четырех параметров, числа pij
должны удовлетворять еще одному соотношению. И действитель-
но, можно проверить, что всегда выполнено тождество

p01 p23 ? p02 p13 + p03 p12 = 0. (49)

Нетрудно также убедиться, что других соотношений нет, а имен-
но: по любому ненулевому набору чисел {pij }, удовлетворяющих

<< Пред. стр.

страница 44
(всего 46)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

Copyright © Design by: Sunlight webdesign