LINEBURG


<< Пред. стр.

страница 43
(всего 46)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

v
если L1 , L2 , L3 умножить на ?1 , ?2 , ?3 , а M — на 3 ?1 ?2 ?3 . Поэто-
му независимых параметров равно 12 ? 3 = 9, а поскольку общее
уравнение третьей степени, как мы видели, содержит девять неза-
висимых параметров (на один меньше, чем число коэффициен-
тов), то Плюккер сделал вывод, что общее уравнение всегда мож-
но преобразовать в равенство (41). К этим рассуждениям нужно
412 О пользе координат и искусстве сцеплять гиперболоиды


еще добавить некоторые моменты, чтобы они стали строгим дока-
зательством. Вероятно, это был один из первых примеров, когда
подсчет числа параметров использовался как эвристический при-
ем и как средство доказательства.
Какая же геометрия стоит за представлением (41)? Пусть Aj —
точки пересечения прямых Lj = 0 и Mj = 0. Эти точки лежат на
кривой, причем Aj — трехкратная точка пересечения кривой (41)
и прямой Lj = 0. Это означает, что A1 , A2 , A3 — точки переги-
ба, a Lj = 0 — касательные в этих точках. Кроме того, M = 0 —
прямая, на которой лежат три точки перегиба A1 , A2 , A3 Такие
прямые называют прямыми перегиба. Если перейти к рассмот-
рению комплексных точек перегиба, то их, как отмечалось, для
неособой кривой девять. Оказывается, что прямая (комплексная),
проходящая через любые две точки перегиба, обязательно содер-
жит третью. Так что возникает двенадцать прямых перегиба. Эта
конфигурация из девяти точек и двенадцати прямых перегиба
очень интересна, и она специально изучалась в проективной гео-
метрии
Специальную структуру предложил Плюккер и для уравнения
четвертой степени
L1 L2 L3 L4 ? ?2 = 0, (42)
где {Li } — линейные формы, a ? — квадратный многочлен. Вспом-
ним, что в общее уравнение четвертой степени входит 14 незави-
симых параметров. В квадратном многочлене шесть коэффици-
ентов, так что в (42) участвует 3 · 4 + 6 = 18 коэффициентов. При
этом можно умножить {Li } на числа {?i } и одновременно ? — на
v
число 4 ?1 ?2 ?3 ?4 . В результате число независимых параметров
равно 18 ? 4 = 14. Плюккер делает вывод, что представление (42)
является общим.
Далее, точки пересечения каждой прямой Li = 0 с кониче-
ским сечением ? = 0 являются двукратными точками пересе-
чения с кривой (42). Таким образом, каждая прямая Li = 0
имеет две точки касания с кривой (вместо четырех точек пе-
ресечения для общих прямых). Такие касательные называют
двойными. Итак, в уравнении (42) участвуют четыре двойных
касательных, причем восемь их точек касания лежат на од-
ном коническом сечении. С этим открытием Плюккера связан
О пользе координат и искусстве сцеплять гиперболоиды 413


следующий курьез. У кривой четвертого порядка имеется, как
нетрудно подсчитать, 28 двойных касательных (считая комплекс-
ные). Плюккер ошибочно предположил, что точки касания любой
четверки из них лежат на коническом сечении. На самом деле
каждая пара двойных касательных входит лишь в пять четве-
рок, обладающих этим свойством. Ошибку Плюккера обнаружил
не кто иной, как Штейнер. Алгебраические кривые фактиче-
ски возникали и в синтетической геометрии, а приведенный
пример показывает, что представителям этой школы пока хва-
тало геометрической интуиции, чтобы на равных соревноваться с
аналитиками. Демонстративный отказ от использования аналити-
ческих средств лишь постепенно выявил слабые стороны школы
Штейнера.
Точки трехмерного проективного пространства P3 , соглас-
но Плюккеру, задаются четверками однородных координат =
= (x0 , x1 , x2 , x3 ) = (0, 0, 0, 0), x ? ?x, ? = 0. Плоскости в P3
составляют двойственное проективное пространство P3 , ? ? P3
? ?
отвечает плоскость ?, x = 0. В то же время многообразие пря-
мых G является совершенно новым геометрическим объектом.
Его изучение — одно из основных достижений Плюккера. Пря-
мые в P3 задаются четырьмя параметрами, например, можно
фиксировать две различные плоскости, и тогда почти все пря-
мые задаются точками пересечения с этими плоскостями. Таким
образом, многообразие G четырехмерно. На G естественно вво-
дятся координаты (Штифеля), которые можно воспринимать
как обобщение однородных координат. Зададим прямую парой
ее различных точек x, y. Расположим x, y в матрицу = x с y
двумя строками и четырьмя столбцами. Прямая состоит из точек
вида z = ?1 x + ?2 y, ? = (?1 , ?2 ) = (0, 0), то есть ? — однород-
ные координаты на ней. Матрица X определяется по прямой
с точностью до левых умножений на невырожденную матрицу
второго порядка: X > gX (соответствует переходу к другой
паре точек на прямой). Положим X = (X1 , X2 ), где X1 , X2 —
квадратные матрицы второго порядка. Тогда если det X1 = 0, то
координаты можно выбрать так, что X1 = E — единичная мат-
рица (берутся точки x с x0 = 1, x1 = 0 и y с y0 = 0, y1 = 1).
На G возникает аффинная координатная карта с координата-
414 О пользе координат и искусстве сцеплять гиперболоиды


ми X2 = (uij ), ее замыкание совпадает с G. Плюккер пере-
шел от матрицы X к ее минорам. Это знаменитые плюккеро-
вы координаты, которые очень удобны при построении геомет-
рии прямых. Рассмотрим две задачи, связанные с геометрией
прямых.
1. Представим пространство P3 в виде объединения попарно
непересекающихся прямых. Заметим, что если фиксировать аф-
финную структуру в P3 , то проективно пересекающиеся прямые
переходят либо в пересекающиеся, либо в параллельные (пере-
секаются «на бесконечности»). В то же время непересекающим-
ся прямым соответствуют скрещивающиеся прямые в аффинном
пространстве. Поэтому на аффинном языке речь идет о представ-
лении пространства в виде объединения попарно скрещивающих-
ся прямых.
Мы явно укажем разбиение, а именно, рассмотрим прямые,
x
соединяющие x с ?(x) = (?x1 , x0 , ?x3 , x2 ) то есть X = ?(x) .
Надо лишь проверить, что ?(x) = ?, и что если y — точка та-
кой прямой, то ?(y) также лежит на этой прямой. Это следует
из непосредственно проверяемого соотношения ?(?0 x + ?1 ?(x)) =
= ??1 x + ?0 ?(x). Указанное свойство означает, что прямые или
не пересекаются, или совпадают. В G возникает двумерное под-
многообразие прямых.
2. Исследуем в пространстве P3 поверхности с двумя семей-
ствами прямолинейных образующих. В аналитической геометрии
учат, что среди поверхностей второго порядка в R3 имеется два
типа поверхностей, обладающих этим свойством: однополостные
гиперболоиды (их уравнение приводится к виду x2 + y 2 ? z 2 =
= 1) и гиперболические параболоиды (их канонические уравне-
ния: z = x2 ? y 2 ). Покажем, что даже в классе всех поверхностей
(а не только второго порядка) других поверхностей с этим свой-
ством нет. Разумеется, есть большое число поверхностей с одной
системой образующих (развертывающиеся поверхности), однако
условие существования двух систем оказывается очень жестким
и оставляет лишь однополостный гиперболоид и гиперболический
параболоид. Заметим, что в проективном пространстве однопо-
лостные гиперболоиды и гиперболические параболоиды (проек-
тивно) эквивалентны: в подходящих однородных координатах их
О пользе координат и искусстве сцеплять гиперболоиды 415


уравнение имеет вид x2 + x2 ? x2 ? x2 = 0. Таким образом, с про-
0 1 2 3
ективной точки зрения можно говорить лишь об однополостных
гиперболоидах.
Уточним используемые термины. Будем говорить, что на по-
верхности S имеются два семейства прямолинейных образующих,
если через каждую ее точку проходят по крайней мере две раз-
личные прямые, целиком лежащие на S. Такая поверхность S
называется неприводимой, если не существует меньшей поверх-
ности S0 ? S, на которой также лежат два семейства прямоли-
нейных образующих. Мы хотим избежать в дальнейшем обсужде-
ния аналитических тонкостей, связанных с точным определением
понятия поверхности, и поэтому будем апеллировать лишь к ин-
туитивным представлениям о поверхностях. Эта часть наших рас-
суждений не будет строгой, но те, кто владеют соответствующей
техникой, без труда обнаружат, как превратить эти рассуждения
в строгие, скажем, для аналитических поверхностей.

Теорема. Всякая неплоская неприводимая (аналитическая) по-
верхность в P3 с двумя семействами прямолинейных образую-
щих является однополостным гиперболоидом.
Доказательство. 1. Если указанная поверхность имеет плоский
кусок, то она совпадает с плоскостью. Грубо говоря, образующие,
проходящие через точки плоского куска, порождают плоскость.
2. Фиксируем на поверхности образующую l. Тогда все обра-
зующие, пересекающие l, порождают поверхность. Очевидно, что
точки объединения зависят от двух параметров, а аналитические
уточнения мы договорились опускать.
3. Если имеются две непересекающиеся образующие l1 , l2 , то
образующие, пересекающие обе образующие l1 , l2 , также порож-
дают поверхность.
В самом деле, поскольку образующие, пересекающие l1 , по-
рождают поверхность, то через каждую точку l2 проходит обра-
зующая, пересекающая l1 . Объединение этих образующих также
должно совпадать с поверхностью.
4. Аналогично для любого числа попарно непересекающихся
образующих объединение образующих, их все пересекающих, сов-
падает с поверхностью.
5. Для пары пересекающихся образующих l1 , l2 почти все обра-
416 О пользе координат и искусстве сцеплять гиперболоиды


зующие, пересекающие одну из них, не пересекают другую. Дей-
ствительно, пусть m — отрезок на l2 . Через каждую точку m долж-
на проходить образующая, отличная от l2 . Если все они пересека-
ют l1 , то они порождают часть плоскости, проходящей через l1 ,
l2 .
Таким образом, на поверхности имеется бесконечное множе-
ство попарно непересекающихся образующих. Нам достаточно,
что есть три таких образующих.
6. Покажем, что поверхность, указанная в теореме, однозначно
определяется тройкой своих попарно непересекающихся образую-
щих. Она совпадает с объединением всех прямых в P3 , пересека-
ющих все три фиксированные прямые.
В правдоподобности этого утверждения можем убедиться,
пользуясь излюбленным приемом Плюккера с подсчетом числа
параметров. Множество всех прямых зависит от четырех пара-
метров. Пересечение с каждой прямой — это одно условие на
параметры (иначе, через каждую точку пространства проходит
двухпараметрическое семейство, поэтому через точки прямой
проходит трехпараметрическое семейство прямых). Требуя пе-
ресечения с тремя прямыми, мы накладываем три условия, так
что остается однопараметрическое семейство прямых, которое
порождает поверхность.
Для корректности нужно убедиться, что эти условия независи-
мы. Поэтому осуществим отбор прямых более эффективно. Пусть
l1 , l2 , l3 — попарно непересекающиеся прямые. Найдем прямые, их
все пересекающие. Пусть A ? l1 , тогда A ? l2 . Проведем плоскость
/
через A и l2 . Эта плоскость пересечет l3 в некоторой точке B.
Дело в том, что в проективном пространстве P3 прямая, не ле-
жащая в плоскости, пересекает ее, а прямая l3 не может лежать
в плоскости, поскольку l2 и l3 не пересекаются. Прямая AB бу-
дет единственной прямой, пересекающей все три прямые l1 , l2 , l3
и проходящей через A. Итак, множество прямых, пересекающих
тройку попарно непересекающихся прямых, можно параметризо-
вать точками пересечения с одной из них.
7. Докажем, что объединение этих прямых является однопо-
лостным гиперболоидом. Проведем доказательство аналитически.
Одновременно докажем, что через три попарно непересекающи-
еся прямые проходит в P3 однополостный гиперболоид, причем
О пользе координат и искусстве сцеплять гиперболоиды 417


единственный.
Пусть l1 , l2 , l3 — три попарно непересекающиеся прямые в P3 .
Будем задавать прямые как пересечения плоскостей, то есть си-
стемами двух линейных уравнений ?, y = 0 и ?, y = 0. Вы-
берем однородные координаты так, чтобы l1 задавалась систе-
мой y0 = 0, y1 = 0, а l2 — системой y2 = 0, y3 = 0. Это можно
сделать, поскольку они не пересекаются (и левые части задаю-
щих их уравнений можно принять за координаты). Пусть тогда l3
задается системой
?0 y0 + ?1 y1 + ?2 y2 + ?3 y3 = 0,
?0 y0 + ?1 y1 + ?2 y2 + ?3 y3 = 0
Векторы (?0 , ?1 ), (?0 , ?1 ) не могут оба быть нулевыми, посколь-
ку тогда бы l2 и l3 совпадали. Более того, эти векторы не могут
быть пропорциональны и, в частности, ни один из них не может
быть нулевым. Действительно, если (?0 , ?1 ) = (??0 , ??1 ), то точ-
ка (??1 , ?0 , 0, 0) будет общей для l2 и l3 . Аналогично показывается,
что (?2 , ?3 ) и (?2 , ?3 ) не могут быть пропорциональными. Поэтому
можно сделать следующую замену координат:
x0 = ?0 y0 + ?1 y1 , x1 = ?0 y0 + ?1 y1 ,
x2 = ?2 y2 + ?3 y3 , x3 = ?2 y2 + ?3 y3 .
В силу сказанного выше о пропорциональности векторов такая
замена допустима. В этих координатах l1 задается уравнения-
ми x0 = x1 = 0, l2 — уравнениями x2 = x3 = 0, и l3 — уравне-
ниями x0 + x2 = x1 + x3 = 0. Однако все эти прямые лежат на
однополостном гиперболоиде
x0 x3 ? x1 x2 = 0. (43)
Рассматриваемые три прямые входят в однопараметричecкoe
семейство образующих
?0 x0 + ?1 x1 = 0,
(44)
?0 x2 + ?1 x3 = 0, (?0 , ?1 ) = (0, 0).
Второе семейство образующих состоит из прямых
µ0 x0 + µ1 x2 = 0,
(45)
µ0 x1 + µ1 x3 = 0, (µ0 , µ1 ) = (0, 0).
418 О пользе координат и искусстве сцеплять гиперболоиды


Напомним, что образующие одного семейства попарно не пересе-
каются, а любые образующие из разных семейств пересекаются,
так что через каждую точку проходит по образующей каждого
семейства.
Прямые в каждом семействе параметризуются точками проек-
тивной прямой P1 , P1 (?, µ — однородные координаты). С каждым
µ
?
гиперболоидом связываются на многообразии прямых G две кри-
вые. Кривые, которые допускают взаимно однозначное отображе-
ние на проективную прямую, называются рациональными (допус-
кают рациональную параметризацию). Рациональными кривыми
являются не только прямые в проективном пространстве, но и
кривые второго порядка. Таким образом, с каждым однополост-
ным гиперболоидом в P3 связываются две замечательные рацио-
нальные кривые на G. В духе геометрического подхода Плюккера
один и тот же геометрический объект проявляется либо в виде од-
нополостных гиперболоидов в точечной геометрии P3 , либо в виде
простейших рациональных кривых на многообразии прямых G
(класс этих кривых можно описать непосредственно).
При переходе на аффинный язык могут встретиться две воз-
можности: либо никакая образующая не лежит в бесконечно уда-
ленной плоскости, и тогда мы получаем однополостный гипербо-
лоид в аффинном смысле, либо такая образующая есть, и тогда
мы получаем гиперболический параболоид. В последнем случае
в бесконечно удаленной плоскости лежит на самом деле пара пе-
ресекающихся образующих (по одной из каждого семейства). Это
связано с тем, что в любой плоскости, проходящей через образую-
щую, лежит одна образующая, пересекающая первую. Сказанное
можно перефразировать следующим образом: если в трехмером
аффинном пространстве R3 имеется тройка попарно непересека-
ющихся прямых, то на них можно натянуть однополостный гипер-
болоид, если не существует плоскости, параллельной всем трем,
или гиперболический параболоид, если такая плоскость существу-
ет. Бесконечно удаленная прямая этой плоскости принадлежит
второму семейству образующих. Иначе, для каждого семейства
образующих гиперболического параболоида имеется плоскость,
им всем параллельная.
Доказанное утверждение об однополостных гиперболоидах
можно интерпретировать как утверждение о «жесткости» по-
О пользе координат и искусстве сцеплять гиперболоиды 419


верхностей, образованных двумя семействами прямолинейных
образующих. Такую конструкцию нельзя «пошевелить», если
зафиксированы три прямые одного семейства. Это обстоятель-
ство используется в реальных конструкциях из прямолинейных
стержней в виде гиперболоида, например, в знаменитой шухов-
ской радиобашне в Москве.
Переходим к заключительной части, посвященной сцеплению
гиперболоидов. Центральный объект классической проективной
геометрии — различного рода конфигурации точек, прямых, плос-
костей. В ней коллекционируются случаи, когда одни геометриче-
ские соотношения (например, тройка прямых проходит через одну
точку, три точки лежат на одной прямой, шесть точек лежат на
одном коническом сечении и т. д.) влекут другие: конфигурации
Дезарга, Паскаля и т. п. Приведенный результат позволяет иссле-
довать конфигурации в многомерном проективном пространстве,
включающие двумерные однополостные гиперболоиды. Посколь-
ку будут рассматриваться лишь двумерные гиперболоиды (то есть
гиперболоиды в P3 ), то мы далее слово «двумерный» часто опус-
каем.
Точки n-мерного проективного пространства Pn будем зада-
вать однородными координатами (x0 , x1 , . . . , xn ). Зафиксируем
геометрические соотношения для прямых в Pn . Через любые две
непересекающиеся прямые в Pn можно провести единственную
трехмерную плоскость. Для тройки попарно непересекающихся
прямых возникает геометрическое соотношение: «лежать в одной
трехмерной плоскости». Для четверки попарно непересекающихся
прямых, лежащих в одной трехмерной плоскости, возникает соот-
ношение: «принадлежать одному (двумерному) однополостному
гиперболоиду». Напротив, три попарно непересекающиеся пря-
мые, лежащие в одной трехмерной плоскости, всегда порождают
однополостный гиперболоид.
Как уже говорилось в начале, два двумерных однополостных
гиперболоида в Pn называют сцепленными, если они имеют общую
образующую и не лежат в одной трехмерной плоскости. Несколь-
ко двумерных однополостных гиперболоидов в Pn называют сцеп-
ленными, если они попарно сцеплены и прямые сцепления на каж-
дом из них принадлежат одному семейству образующих, которое
называют отмеченным. Сцепление называется невырожденным,
420 О пользе координат и искусстве сцеплять гиперболоиды


если каждая прямая сцепления принадлежит лишь двум гипер-
болоидам.
Пусть в пятимерном проективном пространстве P5 имеется
четверка невырожденно сцепленных двумерных однополостных
гиперболоидов. Задание такой четверки равносильно заданию
четверки трехмерных плоскостей в P5 , находящихся в общем по-
ложении. Расшифруем, что это означает. Напомним, что, как
правило, k-мерная и l-мерная плоскости в Pn пересекаются по
(k + l ? n)-мерной плоскости (а в вырожденной ситуации по плос-
кости большей размерности). Тогда две трехмерные плоскости
в P5 обычно пересекаются по прямой (3 + 3 ? 5 = 1), а три —
вообще не пересекаются (1 + 3 < 5). Итак, тройка трехмерных
плоскостей в P5 в общем положении не имеет общих точек. Следо-
вательно, любые две из этих плоскостей пересекаются по прямой
(если бы две из них пересекались по двумерной плоскости, то она
в пересечении с третьей плоскостью дала бы точку: 2 + 3 ? 5 = 0).
Соответственно, четверка плоскостей находится в общем по-
ложении, если любые три из них не имеют общих точек, а следо-
вательно, любые две пересекаются по прямым. В каждой такой
трехмерной плоскости возникает тогда тройка прямых, по кото-
рым она пересекается с другими плоскостями. Эти прямые по-
парно не пересекаются, и на них можно натянуть (двумерный)
однополостный гиперболоид. Возникает четверка невырожденно
сцепленных гиперболоидов. С другой стороны, если имеется чет-
верка невырожденно сцепленных гиперболоидов, то порождаемые
ими трехмерные плоскости, очевидно, будут находиться в общем
положении. Теперь можем сформулировать основное утвержде-
ние, которое несколько сильнее, чем сформулированная в начале
статьи теорема о пяти гиперболоидах.

Теорема. Пусть имеется четверка невырожденно сцепленных
двумерных однополостных гиперболоидов в пятиимерном проек-
тивном пространстве P5 . Тогда всякая трехмерная плоскость,
пересекающая два из них по образующим из отмеченных се-
мейств, пересекает два остальных гиперболоида также по
образующим из отмеченных семейств. Четверка прямых пе-
ресечения с гиперболоидами на секущей плоскости лежит на
одном однополостном гиперболоиде.
О пользе координат и искусстве сцеплять гиперболоиды 421


Следствие (о пяти гиперболоидах). Если имеется четверка невы-
рожденно сцепленных однополостных двумерных гиперболоидов
в P5 , то всякий гиперболоид, сцепленный с тремя из них, сцеп-
лен с четвертым.
Следствие имеет место в силу того, что плоскость пятого
гиперболоида удовлетворяет условиям теоремы. Утверждение
теоремы является более сильным, чем следствие. Мы можем про-
извольно выбрать по одной образующей из отмеченных семейств
на двух гиперболоидах Они не будут пересекаться, и через них
проходит единственная трехмерная плоскость. Эта плоскость пе-
ресечется с плоскостями двух других гиперболоидов по прямым.
Утверждается, что эти прямые лежат на гиперболоидах. Это
очень сильное утверждение, поскольку на трехмерной плоскости
имеется четырехпараметрическое семейство прямых, а мы утвер-
ждаем, что прямая пересечения попадает на однопараметрическое
подсемейство образующих гиперболоида. К этому добавляем, что
четыре прямых пересечения лежат па одном гиперболоиде.
Имеем двухпараметрическое семейство плоскостей, удовлетво-
ряющих условию теоремы: их можно задавать, произвольно вы-
бирая по одной образующей из отмеченных семейств на двух ги-

<< Пред. стр.

страница 43
(всего 46)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

Copyright © Design by: Sunlight webdesign