LINEBURG


<< Пред. стр.

страница 42
(всего 46)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

Важной компонентой профессионализма у математика являет-
ся умение априори оценить трудность задачи. В некотором смысле
математики верят, что существует закон сохранения «нетривиаль-
ности», а потому у них заранее имеется предубеждение против
легко решенной задачи, которую эксперты оценивали как труд-
ную. Одно из проявлений этой традиции — уверенность, что люби-
телю не по силам решить давнюю проблему. История математики
показывает, что, хотя и можно привести противоречащие при-
меры, в среднем эти правила хорошо выполняются, по крайней
мере на отрезках времени, сравнимых с жизнью человека. Те же
случаи, когда происходит резкая переоценка трудности задач, от-
вечают революционным изменениям в математике. Когда они со-
зревают в течение заметного времени (как было с алгебраической
символикой или исчислением бесконечно малых), к ним успевают
привыкнуть. Иная ситуация возникает, когда новая возможность,
приводящая к решительной переоценке ценностей, открывается
неожиданно. Нередко даже возникает желание объявить новые
приемы незаконными. Выразительной иллюстрацией является ре-
акция Гордана на решение Гильбертом его проблемы конечности
числа инвариантов: «Это теология, а не математика». Дело в том,
что Гильберт вместо привычного тогда непосредственного постро-
ения инвариантов, что удавалось в отдельных случаях с большим
трудом, одним ударом доказал их существование в общем случае.
Однако, вероятно, ни одна революция в математике не про-
исходила так остро, как проникновение аналитических методов
в геометрию. Рушились представления о трудности геометриче-
ских задач, девальвировалась роль геометрической интуиции —
гордости математиков. То, что требовало изысканных рассужде-
ний, получалось в результате прямолинейных выкладок. В связи
с этим возникло консервативное течение, борющееся за истин-
ную геометрию, которую пытаются подменить скучной алгеброй.
Для сравнения заметим, что куда более безболезненным было
создание аналитической механики, когда Эйлер и Лагранж, от-
казываясь от геометрических методов Ньютона, превращали при
помощи метода координат механику в раздел математического
анализа. Ситуация в геометрии несколько напоминает переход к
О пользе координат и искусстве сцеплять гиперболоиды 403


машинному производству, когда искусство кустарей терялось в
однообразном потоке автоматической деятельности. Сегодня мы
ясно видим, что аналитические методы не убили геометрическую
интуицию, а напротив, позволяли «экономить» ее в сравнительно
простых ситуациях и создавать интуицию более высокого уровня.
Однако нельзя отрицать, что многое из того, что делалось в син-
тетической геометрии (так называют традиционную геометрию,
не использующую координат), безвозвратно утрачено.
Итак, в 30-х годах XVII века два крупнейших математика то-
го времени Ферма и Декарт открыли, что при помощи координат
уравнению с двумя неизвестными можно поставить в соответствие
кривую на плоскости. Это был неожиданный поворот воззрений, в
частности, потому, что считалось, что раз одно уравнение с двумя
неизвестными имеет бесконечное число решений, его нет смысла
рассматривать (так и сейчас иногда говорят в школе). Благодаря
же геометрическому подходу это бесконечное множество неожи-
данно приобрело право гражданства. Не менее плодотворна и об-
ратная возможность ставить в соответствие кривым задающие их
уравнения. С этого и начинается аналитическая геометрия.
Решающее открытие состояло в том, что уравнениям первой
степени в плоскости отвечают прямые, а уравнениям второй сте-
пени — конические сечения. Тем самым два основных объекта гре-
ческой геометрии оказались простейшими с аналитической точки
зрения. Мечта геометров того времени состояла в том, чтобы усво-
ить и превзойти теорию конических сечений Аполлония. Ферма
и Декарт убеждаются, что большинство утверждений на анали-
тическом языке получаются удивительно просто. Декарту удает-
ся аналитически решить несколько недоступных грекам задач на
геометрические места точек. Как показывают высказывания, взя-
тые в качестве эпиграфов, создатели аналитической геометрии
не видят пределов для ее возможностей (плоскими местами гре-
ки называли прямую и окружность, а телесными — конические
сечения). Еще многое не прояснено (не рассматриваются отрица-
тельные координаты, нет четкой теоремы о приведении уравнения
второго порядка к каноническому виду и т. д.), но все основания
для оптимизма есть.
Прежде всего перед геометрией открываются новые горизон-
ты, совершенно иной предстает ее структура. Не вызывает со-
404 О пользе координат и искусстве сцеплять гиперболоиды


мнений, что следующая еще не созданная глава геометрии — это
теория кривых третьего порядка. Некоторые кривые этого класса
рассмотрел Декарт, но естественно было попытаться построить
общую теорию столь же подробно, как в случае кривых второ-
го порядка. Прежде всего предстояло дать классификацию таких
кривых. Задача эта оказалась оченьне простой, и ее решил Нью-
тон в 60-е годы XVII века (рукопись была опубликована много
позже — в 1704 г.). О сложности задачи красноречиво говорит
ответ: имеется 72 различных вида кривых третьей степени. Впро-
чем, ответ достаточно обозрим благодаря тому, что все виды кри-
вых распределяются по четырем типам
2 2
+ = (), = (), = (), = (),

где — многочлен третьей степени от x.
Здесь автоматически возникает вопрос о том, что означает
классификация. Для кривой, заданной уравнением в какой-то си-
стеме координат, ищется система координат, в которой ее урав-
нение выглядит особенно просто. Часто такую систему удается
фиксировать почти однозначно, и тогда соответствующее урав-
нение естественно считать каноническим. Более общим образом,
геометрию кривой составляют такие свойства ее уравнений, кото-
рые не зависят от системы координат, — инварианты. Мы видим,
что на аналитическом языке очень рано начинает вырисовываться
определение предмета геометрии. На синтетическом языке, вме-
сто того чтобы менять систему координат, преобразуются сами
фигуры и, как стало ясно лишь к концу XIX века (эрланген-
ская программа Клейна), изучаются их свойства, не меняющиеся
при преобразованиях. Итак, в аналитической геометрии различ-
ные разделы отвечают различным классам систем координат, а в
синтетической — группам преобразований.
Ньютон, занимаясь кривыми третьей степени, выяснил много
общих вещей, необходимых для того, чтобы вычленять геомет-
рическую компоненту из алгебраических фактов об уравнениях.
1. Прежде всего нужно было выявить геометрический смысл
исходной аналитической характеристики кривой — порядка (сте-
пени задающего ее уравнения). Ньютон замечает, что порядок
совпадает с наибольшим числом точек, по которым прямая может
О пользе координат и искусстве сцеплять гиперболоиды 405


пересечь кривую (в случае кривой порядка n для их определе-
ния возникает уравнение n-й степени от одного переменного). Тут
появляются трудности с мнимыми точками пересечения, для рас-
смотрения которых еще нет средств.
2. Упомянем важнейшее обобщение этого утверждения: если
кривые порядков k и l пересекаются более чем в kl точках, то
они имеют бесконечное число точек пересечения. Иначе говоря,
в последнем случае они имеют общую компоненту (алгебраиче-
ская кривая может распадаться на несколько компонент, напри-
мер, кривая Q1 Q2 = 0 распадается на Q1 = 0 и Q2 = 0). Если
же в этом случае одна кривая в естественном смысле неприводи-
ма (не распадается на компоненты), то она целиком содержится
в другой. Эту теорему сформулировал Маклорен, младший со-
временник Ньютона, а доказал почти через сто лет Безу, именем
которого она и называется теперь. Более точная формулировка
включает комплексные точки пересечения и точки пересечения,
лежащие на бесконечности.
3. Ньютон имел много возможностей убедиться в эффектив-
ности метода координат. Он продемонстрировал это в процессе
переноса на алгебраические кривые высокой степени различных
фактов о конических сечениях. Вот, например, как обстоит дело с
теорией диаметров. Напомним, что если для конического сечения,
скажем для эллипса, провести хорды, параллельные некоторому
направлению, то их середины лежат на одной прямой, называемой
диаметром. Если для кривой порядка n провести пучок парал-
лельных прямых и в пересечении каждой прямой получится n то-
чек x1 , . . . , xn , то рассмотрим их центры тяжести (x1 + . . . + n )/n
(заметим, что они не зависят от выбора координаты на прямой;
как и Ньютон, мы не обсуждаем случай мнимых точек пересе-
чения). Теорема Ньютона утверждает, что все центры тяжести
лежат на одной прямой.
В самом деле, выберем систему координат так, что параллель-
ные прямые задаются уравнениями y = const. Пусть F (, y) = 0 —
уравнение кривой в этой системе,
F (, ) = axn + bxn?1 y + cxn?1 + . . . .
Тогда точки пересечения x1 , . . . , xn являются корнями уравне-
ния F (, ) = 0 по при фиксированном y. По теореме Виета (x1 +
406 О пользе координат и искусстве сцеплять гиперболоиды


. . . + n )/n = ?(by + )/an, т. е. все центры тяжести лежат на одной
прямой anx + by + c = 0 — диаметре Ньютона.
4. Почти одновременно с созданием аналитической геометрии
Дезарг, а вслед за ним Паскаль заложили основы проективной
геометрии. Исходное наблюдение состояло в том, что применение
центральной проекции позволяет упростить геометрические рас-
смотрения (например, все конические сечения получаются одно
из другого проектированием). Возникает конкурирующий с ана-
литической геометрией способ упростить и продвинуть теорию
Аполлония. Паскаль подготовил всеобъемлющий трактат, кото-
рый был утерян, и о работах по проективной геометрии забыли
на сто лет. Вероятно, не знал о них и Ньютон. Однако от него
не ускользнуло, что использование проектирования (рассмотрение
«тени от светящейся точки») очень упрощает теорию не только
конических сечений, но и общих алгебраических кривых. Важней-
шее наблюдение Ньютона состоит в том, что при проектировании
сохраняется порядок кривой. Применительно к кривым третьего
порядка он устанавливает, что любая кривая может быть приве-
дена проектированием к одной из кривых вида y 2 = (), где P —
кубический многочлен. Это доказал позднее Клеро.
5. Геометрия кривых третьего порядка существенно богаче
геометрии кривых второго порядка. Прежде всего, могут по-
явиться особые точки: двойные (точки самопересечения, как
(0, 0) у кривой y 2 = x2 (x + 1)) и точки возврата (как (0, 0) у
кривой y 2 = x3 ). Далее, касательная в точке касания в общем
случае имеет двукратную точку пересечения (соответствующий
многочлен от одного переменного имеет двойной корень), но мо-
жет иметь и трехкратную точку пересечения (для уравнений
большей степени она может иметь еще большую кратность). Та-
кие точки называются точками перегиба ((0, 0) у кривой y = x3 ).
У кривых третьей степени может быть до трех точек перегиба
(точки (0, 0), (1, 0), (2, 0) у кривой y 3 = x(x ? 1)(x ? 2)). Маклорен
заметил, что в этом случае все эти точки обязательно лежат на
одной прямой (в примере прямая y = 0). В XVIII веке алгеб-
раические кривые, прежде всего третьей и четвертой степеней,
были в центре внимания математиков. Эти вопросы излагались
в первых учебниках аналитической геометрии. Однако многое
оставалось невыясненным. Становилось ясно, что для построе-
О пользе координат и искусстве сцеплять гиперболоиды 407


ния гармоничной теории необходимо добавить точки, лежащие
на бесконечности, а также мнимые точки, поскольку все время
приходится решать алгебраические уравнения высоких степеней
(уже в 1717 г. Стирлинг упоминает кривую с двойной мнимой
точкой на бесконечности).
Учесть эти два обстоятельства можно в рамках комплексной
проективной геометрии, начало которой положил Понселе. Его
первое удивительное наблюдение состояло в том, что все окружно-
сти пересекаются в двух бесконечных удаленных мнимых точках.
Эти точки, названные циклическими, управляют всей конформ-
ной геометрией плоскости. Другое великое открытие Понселе (он
делит его с Жергонном) — это принцип двойственности, в силу
которого каждое планиметрическое утверждение имеет двойник,
где прямые заменяются на точки и обратно. В связи с этим есте-
ственно связывать с кривой не только множество ее точек, но и
множество ее касательных. Возникает инвариант, двойственный
порядку, — класс p. Это наибольшее число касательных, проходя-
щих через точку. Для неособой кривой третьей степени p = 6.
Общая формула для неособой кривой имеет следующий вид:

p = n(n ? 1). (37)

Удивительно, что замечательные открытия Понселе, знамено-
вавшие создание нового типа геометрической интуиции, были сде-
ланы на синтетическом языке, поскольку проективную геометрию
еще не удалось объединить с аналитической. Еще не придума-
ли координаты, которые обслуживали бы все точки проективной
плоскости, включая бесконечно удаленные.
Такие координаты появились в 1827 – 1828 гг. у Мёбиуса и
Плюккера. Особенно простой и удобной является конструкция
однородных координат Плюккера. Он ставит в соответствие
точке проективной плоскости тройку чисел = (x0 , x1 , x2 ) =
(0, 0, 0) с точностью до постоянного множителя: (x0 , x1 , x2 ) =
(?x0 , ?x1 , ?x2 ). Всякая прямая на проективной плоскости P2 за-
дается уравнением (?, x) := ?0 x0 + ?1 x1 + ?2 x2 = 0, где ? = (0, 0, 0);
? и ?? соответствуют одной и той же прямой. Поэтому прямые
на P2 естественно образуют другую проективную плоскость P2 ?
2 соответствуют
с однородными координатами ?. Прямым на P?
408 О пользе координат и искусстве сцеплять гиперболоиды


точки P2 = P2 . В результате совершенно нетривиальный на син-
x
тетическом языке принцип двойственности на аналитическом
становится почти очевидным.
Общее проективное преобразование координат имеет вид x = ?
= aji xi , где det(aji ) = 0. Они характеризуются тем, что взаимно
однозначны на P2 и переводят прямые в прямые.
Чтобы фиксировать аффинную структуру на P2 , нужно неко-
торую прямую, например 0 = 0 (но не обязательно ее), объявить
бесконечно удаленной. Вне 0 = 0 всегда можно выбирать коорди-
наты вида (1, x1 , x2 ). Тогда x1 = x1 /x0 , x2 = x2 /x0 будут декар-
?? ? ?
товыми. При аналитическом подходе с самого начала бесконечно
удаленная прямая ничем не выделена.
Отправляясь от предложенной Плюккером интерпретации
принципа двойственности, естественно наряду с кривой ? = ?x
на P2 рассмотреть двойственную кривую ?? на двойственной
x
плоскости P2 : точкам ?? отвечают касательные к ?x . Класс ?x
?
совпадает с порядком ?? . Плюккер разрешил загадку, которую
не смог разгадать Понселе (парадокс Понселе). Дело в том, что,
как легко видеть, формула (37) не является двойственной самой
себе. Плюккер обнаружил, что эта формула справедлива лишь
для кривых без особенностей. Например, если ? — неособая кри-
вая третьей степени, то двойственная кривая обязательно имеет
особенности. Плюккер нашел такую формулу для класса кривой
с особенностями:
p = n(n ? 1) ? 2d ? 3r, (38)
Здесь d — число двойных точек, а r — число точек возврата. Эта
формула уже является самодвойственной. Заметим, что двойные
точки двойственной кривой ?? (пусть ? — их число) соответству-
ют двойным касательным к исходной кривой, то есть прямым,
имеющим две точки касания с ?. Точки возврата ?? соответству-
ют касательным в точках перегиба ? (пусть ? — их число). Тогда
n = p(p ? 1) ? 2? ? 3?. Одновременно получается формула для
числа точек перегиба
? = 3n(n ? 2) ? 6d ? 8r. (39)
В случае, когда особых точек нет, ее нетрудно получить непо-
средственно, записывая условие того, что точка является точкой
О пользе координат и искусстве сцеплять гиперболоиды 409


перегиба в виде системы алгебраических уравнений, и применяя
теорему Безу. В частности, если ? — неособая кривая третьего по-
рядка, то p = 6, у нее нет двойных касательных и имеется девять
точек перегиба, некоторые из которых могут оказаться комплекс-
ными.
Строго говоря, формула (38) верна, если у кривой нет более слож-
ных особенностей, чем простейшие точки самопересечения и возвра-
та, а формула (39) — если все точки перегиба являются простейши-
ми (кратность касания равна трем) и никакая прямая не может кос-
нуться кривой более чем в двух точках; полные формулировки более
громоздки.
Плюккер глубоко продумал вопрос о комплексных особых точ-
ках вещественных кривых. Собственно, приведенные формулы яв-
ляются точными для комплексных особых точек и точек перегиба.
Вопрос же о том, какие из этих точек могут быть вещественны-
ми, весьма нетривиален. Совсем не обязательно, чтобы все точ-
ки перегиба, число которых задается формулой (39), были веще-
ственны. Например, среди девяти точек перегиба кривой третьего
порядка без особенностей не более трех могут быть вещественны-
ми. «Необходим новый взлет пространственной интуиции, чтобы
охватить то, что во всех случаях мнимо и остается мнимым», —
писал Плюккер.
С Плюккером связан один из самых замечательных периодов
в истории аналитической геометрии. Его ученик Клейн писал:
«Целью Плюккера в геометрии и его достижением является но-
вое построение аналитической геометрии. Он придерживался при
этом метода, возникшего из традиций Монжа: полного сращения
построения и аналитической формулы. . . В геометрии Плюккера
простое комбинирование формул переводится на язык геометри-
ческих соотношений, и наоборот, последними направляются ана-
литические операции. Вычисления у Плюккера по возможности
опускаются, но зато развивается и широко применяется доходя-
щая до виртуозности острота внутреннего восприятия, геометри-
ческого истолкования имеющихся аналитических уравнений».
Плюккер оказался объектом нападок со стороны Штейнера,
замечательного геометра, но агрессивного противника аналити-
ческих методов в геометрии: использования уравнений, работы
с мнимыми объектами. Атака Штейнера была столь энергична,
410 О пользе координат и искусстве сцеплять гиперболоиды


что Плюккер более чем на 20 лет прервал занятия геометрией и
вернулся к ним лишь незадолго до смерти.
Приведем несколько примеров геометрических конструкций
Плюккера. Однако прежде вспомним, что в уравнение n-й сте-
пени от двух переменных входит (n + 3)n/2 + 1 коэффициентов,
которые определены с точностью до постоянного множителя (это
нетрудно доказать по индукции). Поэтому кривая порядка n опре-
деляется заданием (n + 3)n/2 точек (для определения коэффици-
ентов уравнения возникает нужное число линейных уравнений).
В частности, для определения прямой нужно задать две точки,
конического сечения — пять, кривой третьего порядка — девять.
Однако эти точки должны быть общего положения, и с ростом n
это условие становится все более деликатным. Обратим внима-
ние, что по теореме Безу две кривые порядка n обычно пересе-
каются в n2 точках. Но n2 > n(n + 3)/2 при n > 3, а через эти
n2 точек проходит две (на самом деле бесконечное число) кривых
порядка n. Это обстоятельство, получившее название парадокса
Крамера, очень волновало геометров от Маклорена до Эйлера, и,
вероятно, лишь Плюккер в нем окончательно разобрался.
Посмотрим, как доказал Плюккер теорему Паскаля. Напом-
ним, что шесть точек A1 , A2 , . . . , A6 на коническом сечении Q =
= 0 последовательно соединяются в замкнутую ломаную — шести-
угольник Паскаля (эта ломаная может иметь самопересечения).
Пусть pi — это сторона Ai Ai+1 , Li = 0 — уравнение прямой, про-
ходящей через pi . Пусть B1 , B2 , B3 — точки пересечения противо-
положных сторон : (p1 , p4 ), (p2 , p5 ), (p3 , p6 ) соответственно. Утвер-
ждается, что B1 , B2 , B3 лежат на одной прямой. Паскаль свел
общий случай к случаю окружности, но и для окружности до-
казательство не слишком просто.
А вот как рассуждал Плюккер. Он провел через девять то-
чек {Ai , j } кривые третьего порядка. В общем положении через
девять точек проходит единственная кривая, но {Ai , j } не являет-
ся общим набором (см. выше о парадоксе Крамера). Через {Ai , j }
будут проходить все кривые из пучка кривых
L1 L3 L5 + µL2 L4 L6 = 0, (40)
зависящих от произвольного параметра µ. Заметим, что для каж-
дой из точек Ai , j в каждом из двух слагаемых есть множитель,
О пользе координат и искусстве сцеплять гиперболоиды 411


аннулирующийся на ней. Пусть C — какая-либо точка кривой Q =
0, отличная от Aj ; подберем µ так, чтобы координаты C удовле-
творяли (40). Мы фиксировали кривую третьего порядка, но при
ее пересечении с кривой второго порядка Q = 0 или должно воз-
никать не более 2 · 3 = 6 точек, или число точек пересечения
бесконечно. Поскольку мы имеем, по крайней мере, семь точек
пересечения 1 , . . . , A6 , C, то число точек пересечения бесконечно
и ввиду неприводимости кривой Q = 0 она должна целиком содер-
жаться в кривой (40), то есть левая часть (40) должна делиться
на Q. После деления на Q возникает линейное выражение M , и
на прямой M = 0 должны лежать точки 1 , 2 , B3 , поскольку они не
могут лежать на коническом сечении Q = 0 (иначе бы какая-то
из прямых Lj = 0 пересекала Q = 0 в трех точках).
Прием, в котором используются пучки кривых и выбор под-
ходящей кривой из пучка, которая в силу теоремы Безу должна
распадаться (в примере — на коническое сечение и прямую), очень
характерен для Плюккера. Неопределенный множитель µ посто-
янно присутствует в его рассмотрениях (его часто так и называ-
ли — «плюккерово µ»).
Плюккер по-новому ставит вопрос о приведении уравнения
кривой к каноническому виду, стремясь к тому, чтобы уравне-
ние выглядело попроще и его алгебраическая структура отра-
жала непосредственно какие-то геометрические свойства кривой
Например, Плюккер показывает, что уравнение третьей степени
всегда может быть записано в виде

L1 L2 L3 ? M 3 = 0, (41)

где {Li , } — линейные формы от координат. Для доказательства
возможности представления подсчитывается число независимых
параметров, которые входят в (41). В линейной форме три коэф-
фициента, в четырех формах {Li , } их 12, но (41) сохраняется,

<< Пред. стр.

страница 42
(всего 46)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

Copyright © Design by: Sunlight webdesign