LINEBURG


<< Пред. стр.

страница 41
(всего 46)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

392 Сриниваза Рамануджан (1887 – 1920)


Вставка 3. Числовое тождество с бесконечной суммой и цепной
дробью.

1 1 1 1
1+ + + + + ... +
1·3 1·3·5 1·3·5·7 1·3·5·7·9
1 ?e
+ = .
2
1
1+
2
1+
3
1+
4
1+
1 + ...
Это, возможно, самая красивая формула Рамануджана, истинное про-
изведение математического искусства. Она неожиданно связывает бес-
конечный ряд и бесконечную цепную дробь. Удивительно, что ни ряд,
ни цепная дробь не выражаются через известные постоянные ? и e, а
их сумма непостижимым образом оказывается равной ?e/2 !

гих науках, следует искать присущую ей «высшую истину», рас-
спрашивает учителей. Старшие дают маловразумительные ссыл-
ки на теорему Пифагора, а то и на вычисления с процентами.
«Синопсис элементарных результатов чистой и прикладной мате-
матики». Это двухтомное руководство английского математика
Карра, написанное в 1880 – 1886 гг., попало к Рамануджану в
1903 г. — ему было тогда 16 лет. Эта книга сыграла огромную роль
в формировании Рамануджана. В ней было собрано 6165 теорем и
формул, почти без доказательств, с минимальными пояснениями.
В основном книга посвящена алгебре, тригонометрии, анализу,
аналитической геометрии.
Книга Карра стимулировала мальчика к самостоятельному
выводу формул. Об этом говорят те, кто знал Рамануджана в
эти годы. Постепенно меняется область его основных интересов:
магические квадраты, потом квадратура круга (он находит ? с
точностью, позволяющей вычислить длину экватора с ошибкой,
не превышающей 1 – 2 м, гласит легенда) и, наконец, наступает
очередь бесконечных рядов. Это уже начало подлинной матема-
тической жизни!
Книга Карра оказалась достаточно удачной для того, чтобы
Сриниваза Рамануджан (1887 – 1920) 393


сформировать математический мир Рамануджана. Но ориента-
ция на эту книгу имела и другие последствия. Поскольку кни-
га не содержала доказательств, а в лучшем случае — наводящие
соображения, у Рамануджана складывается своеобразный метод
установления математической истины. К тому же он лишен в Ин-
дии подходящих руководств для того, чтобы проводить строгие
доказательства.
«Его понимание сущности математического доказательства
было более чем туманным; он пришел ко всем своим результатам,
как ранним, так и более поздним, как верным, так и неверным,
при помощи странной смеси интуитивных догадок, индуктивных
соображений и логических рассуждений. . . »
Математическая судьба Рамануджана фактически полностью
решилась в эти годы — направление научных поисков, способ ду-
мать он уже никогда не менял. Здесь можно выразить сожаление,
что Рамануджан формировался в тяжелых условиях. В нормаль-
ных условиях он, несомненно, стал бы математиком с лучшей про-
фессиональной подготовкой, но можно ли быть уверенным, что
он был бы столь же уникален? Смог бы Рамануджан увидеть так
много, если бы с детства был обучен правилам поведения в мате-
матике и доводил бы свои результаты до публикаций со строгими
доказательствами, строил бы свой математический мир на базе
всего достигнутого человечеством, а не на сравнительно неболь-
шом числе фактов?

От чисел к формулам. В формировании математического мира
Рамануджана было важно, что начальный запас математических
фактов (в основном почерпнутый из книги Карра) объединился у
него с огромным запасом наблюдений над конкретными числами.
Он коллекционировал такие факты с детства. Его школьный то-
варищ вспоминал, что Рамануджан знал огромное число знаков
в разложениях e, ? и других чисел в десятичные дроби. Он обла-
дал поразительными способностями подмечать арифметические
закономерности, терпеливо рассматривая огромный числовой ма-
териал — искусство, которым виртуозно владели Эйлер и Гаусс,
но которое было в значительной степени утрачено к XX веку.
Многое в числовой кладовой открывалось при случайных обстоя-
тельствах. Харди позднее вспоминал, как он навестил в больнице
394 Сриниваза Рамануджан (1887 – 1920)


Рамануджана и сказал, что он приехал на такси со «скучным»
номером 1729. Рамануджан разволновался и воскликнул: «Харди,
ну как же, Харди, это число — наименьшее натуральное число,
представимое в виде суммы кубов двумя различными способа-
ми!» (1729 = 13 + 123 = 93 + 103 ). В книге Харди о творчестве
Рамануджана метко сказано, что «каждое натуральное число бы-
ло личным другом Рамануджана».
Рамануджан стремительно пополняет запас фактов, почерп-
нутый у Карра. Он при этом с удивительной скоростью переот-
крывает результаты Эйлера, Гаусса, Якоби. Так некогда юный
Гаусс в Брауншвейге, лишенный литературы, реконструировал в
короткий срок то, на что у его великих предшественников ушли
десятилетия. Можно только удивляться, что реконструкции ма-
тематики с такими скоростями возможны.
Постепенно коллекция наблюдений над конкретными числами
уходит у Рамануджана на второй план перед миром формул. Фор-
мулы для него — не вспомогательное средство для доказательств
или вычислений, но представляют самостоятельную цель. Внут-
ренняя красота формулы имеет для Рамануджана бесконечную
ценность. Его формулы можно рассматривать как прекрасные
картины.

Выбор профессии. В 1904 г. Рамануджан поступает в Мадрасский
университет, делает первые успехи не только в математике, но
и в английском языке. Однако математика начинает занимать
его целиком, и это не замедлило сказаться. Он не кончает даже
первого курса, странствует с другом, делает попытку вернуться
в университет, а затем закончить его экстерном (1907 г.). Но все
безуспешно. В 1909 г. он женится; его жене девять лет, и она
доживет до наших дней, трогательно сохраняя память о великом
супруге. Рамануджан вынужден думать о средствах на жизнь, но
он не может найти подходящего занятия. В 1910 г. он показывает
свои математические результаты Рамасвари Айару, основате-
лю Индийского математического общества, затем Сешу Айару,
преподавателю Кумбаконамского колледжа, и Рамачандра Рао,
крупному чиновнику, получившему математическое образование;
позднее они стали биографами Рамануджана.
Рао помогает ему из своих средств, а затем устраивает клерком
Сриниваза Рамануджан (1887 – 1920) 395


в почтовое управление. В 1911 г. появляется в печати сообщение
Сешу Айара о результатах Рамануджана, а затем и его собствен-
ная статья. В судьбе Рамануджана начинают принимать участие
влиятельные английские чиновники; с 1 мая 1913 г. на два года он
обеспечен специальной стипендией в 75 рупий (5 фунтов) в месяц.
Этого хватает на скромную жизнь, и Рамануджан оставляет ка-
рьеру клерка. Он становится «профессиональным математиком».
Итак, Рамануджан встретил среди окружающих определенное
признание, но не понимание. Мы помним, что в начале 1913 г.
он пишет Харди. Чего он ожидал от Харди? Найти, наконец, че-
ловека, способного понять и оценить его результаты, помочь и
направить его дальнейшие исследования? Скорее повод был бо-
лее прозаическим: от внешнего мира ему требовались не слава и
признание, но обеспечение возможности существовать.
Надо сказать, что в научном плане адресат был выбран ис-
ключительно удачно: трудно было бы найти другого математика
в мире, который смог бы так быстро и эффективно сориентиро-
ваться в результатах Рамануджана. Очень скоро Харди понимает,
что от него требуется не оценка результатов безвестного любителя
или младшего коллеги, но спасение огромного дарования. Одно-
временно его не оставляет мысль, что Рамануджан сообщает лишь
немногое из того, что знает, что он обладает очень общими резуль-
татами, приводя лишь частные иллюстрации. Но главное — он не
может реконструировать метод Рамануджана, и ему не терпится
узнать, каким путем двигался его удивительный корреспондент.
Неожиданно Рамануджан твердо отказывается описывать свой
метод. В письме от 27 февраля 1913 г.: «. . . Вы просите меня
сообщить мои методы доказательств. . . Вот что я хочу Вам ска-
зать: проверьте мои результаты, и если они совпадают с Вашими,
то Вы должны, по крайней мере, согласиться с тем, что в моих
основных рассуждениях имеется какое-то зерно истины».
Харди подозревает, что Рамануджан боится, что его методами
могут воспользоваться, пытается рассеять опасения, но 17 апреля
получает ответ: «Ваше последнее письмо причинило мне боль. . .
Я нисколько не опасаюсь того, что мои методы будут использо-
ваны другими. Напротив, я работаю моими методами 8 лет и не
нашел никого, кто бы понимал или оценил их. Как я уже писал
в моем последнем письме, я нашел в Вас внимательного и пони-
396 Сриниваза Рамануджан (1887 – 1920)


Вставка 4. Тождество Роджерса — Рамануджана.
Это тождество

x4 x9
x
1+ + + + ... =
1 ? x (1 ? x)(1 ? x2 ) (1 ? x)(1 ? x2 )(1 ? x3 )
1
=
(1 ? x)(1 ? x6 )(1 ? x11 ) · . . . · (1 ? x4 )(1 ? x9 )(1 ? x14 ) . . .

Рамануджан нашел в 1911 году, но не сумел его доказать. Не сумел его
доказать и Харди. В 1917 году, просматривая журнальную литературу
(что он делал довольно редко), Рамануджан наткнулся на оставшуюся
незамеченной статью английского математика Роджерса 1894 года, где
эта формула была доказана. Оказалось, далее, что это тождество тесно
связано с числом p(n) разбиений на слагаемые (см. вставку 5). А совсем
недавно оно появилось в исследованиях. . . по статистической физике.


мающего друга и готов передать в Ваше полное распоряжение те
немногие результаты, которыми я располагаю. Только в силу но-
визны моих методов я не решаюсь даже сейчас сообщить Вам мой
путь вывода тех формул, которые я сообщил Вам в моих преды-
дущих письмах. . . ».
Для Харди не было сомнений: для Рамануджана необходи-
мы контакты с настоящими математиками. Обеспечить в Индии
это невозможно, и ему необходимо срочно перебраться в Ан-
глию. Удалось договориться о стипендии в Кембридже. Однако
предстояло убедить в необходимости поездки самого Рамануджа-
на, которого нынешнее положение вполне устраивало. К тому
же против поездки категорически возражала мать, согласие
которой было для сына обязательным. Друзья пытаются сформи-
ровать общественное мнение, активно действует кембриджский
математик Невил, в начале 1914 г. посетивший Мадрас. Он об-
ращается к ректору университета за поддержкой, но безуспешно.
То, что было не под силу ученым, легко осилила. . . богиня На-
маккаль (согласно легенде, из ее уст во сне Рамануджан узнавал
новые формулы). Мать увидела во сне сына, сидящего в большом
зале в окружении европейцев, и богиня повелела не противиться
отъезду. 17 марта 1914 г. Рамануджан отбыл в Англию. Он будет
два года получать стипендию по 250 фунтов стерлингов в год. Из
Сриниваза Рамануджан (1887 – 1920) 397


Вставка 5. Теорема Харди – Рамануджана.

Эта теорема дает оценку числа p(n) разбиений натурального числа n
на натуральные слагаемые. (Например, p(5) = 7, так как 5 = 4 + 1 =
3 + 2 = 3 + 1 + 1 = 2 + 2 + 1 = 2 + 1 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1.) Именно,

2 1
? n?
3 24
p(n) ? An e ,
? ?
1? ? 1
v ?v ?
где An = — функция от n. Напри-
?
1 1 3/2 ?
2? 2 6 n? 2 n?
24 24
мер, при n = 200 «приближенная» формула Харди – Рамануджана дает
p(200) = 3 972 999 029 388. Это — точный ответ! Наиболее загадочна в
формуле для p(n) маленькая «поправочка» (?1/24), придуманная Ра-
мануджаном. Никто — ни Харди, ни даже сам Рамануджан — не сумел
объяснить, откуда она взялась. Опять вмешательство богини Намак-
каль? Так или иначе, именно эта таинственная поправка обеспечила
точность оценки. Однако Харди и Рамануджан не ограничились при-
ближенной формулой: впоследствии они получили точное равенство
для вычисления p().

них 50 фунтов будет получать мать. По приезде вскоре стипендия
была еще увеличена на 60 фунтов.
В Кембридже. Рамануджану 27 лет. Лучшие годы для становле-
ния математика прожиты в Индии без контакта с серьезными
учеными, без доступа к математической литературе. В разных
странах, в разные времена человек ощущает себя сложившимся в
разном возрасте. Для Индии начала века, с очень низкой продол-
жительностью жизни, 27 лет — возраст зрелого человека. Вдова
Рамануджана вспоминала, что он любил составлять гороскопы, и
его собственный гороскоп предсказывал ему смерть до достиже-
ния 35-летнего возраста.
Харди предстояло принять очень ответственное решение: надо
ли прервать занятия Рамануджана с тем, чтобы он смог осво-
ить современную математику? Выбор Харди был, по-видимому,
единственно возможным: не менять стиля и направлений иссле-
дования Рамануджана, лишь по возможности корректируя их с
398 Сриниваза Рамануджан (1887 – 1920)


учетом современной математики и стараясь объяснять новые ве-
щи, обращая внимание на подходящую литературу. Харди писал:
«Его ум уже сложился, и он так и не стал ортодоксальным“

математиком. Однако он еще был способен учить новые вещи и
делал это весьма хорошо. Было невозможно обучать его система-
тически, но мало-помалу он воспринимал новые точки зрения.
В частности, он усвоил, что такое доказательство, и его позд-
ние статьи, при том, что в некоторых отношениях они оставались
необычными и индивидуальными, воспринимались как работы хо-
рошо информированного математика. Однако его методы остава-
лись по существу прежними».
Работает Рамануджан очень интенсивно и плодотворно. У него
много общих интересов с Харди. Фантастическая интуиция Ра-
мануджана, объединившись с рафинированной техникой Харди,
дает замечательные плоды. К Рамануджану приходит признание:
в 1918 г. он становится профессором университета в Кембридже;
его выбирают в Королевское общество (английскую академию на-
ук). Никогда прежде индус не удостаивался таких почестей.
Жилось Рамануджану непросто. Он строго следовал всем ре-
лигиозным ограничениям, как и обещал родителям. В частности,
он был вегетарианцем и был вынужден готовить себе сам. Он от-
казывался нарушать правила, даже когда тяжело заболел в 1917 г.
Вероятно, нерегулярность в питании ускорила болезнь (так счи-
тал и сам Рамануджан, как вспоминала вдова). Оставшиеся два
года в Англии Рамануджан провел в больницах и санаториях, вы-
нужденный ослабить интенсивность занятий математикой.
Непросто было вписаться Рамануджану в кембриджскую
жизнь, полную чуждых условностей и традиций. Природная
вежливость, стремление не быть источником для дискомфор-
та окружающим, так присущие индийской культуре, помогали
Рамануджану по крайней мере внешне приспособиться к универ-
ситетской жизни.
Харди очень много делал для Рамануджана: следил за его за-
нятиями, стремился восполнить пробелы в его образовании, забо-
тился о его положении в обществе и быте. Рамануджан до послед-
ней минуты был полон трогательной признательности и любви к
нему. . .
Сриниваза Рамануджан (1887 – 1920) 399


Возвращение и смерть. Заболев, Рамануджан начинает думать о
возвращении на родину. Лишь к началу 1919 г. его здоровье улуч-
шилось настолько, чтобы совершить далекую поездку по морю.
Ему было готово место в Мадрасском университете — слава его
достигла Индии. Рамануджан пишет ректору благодарственное
письмо, извиняется за то, что последнее время болезнь не давала
возможности работать достаточно интенсивно. Но он так и не смог
приступить к работе в университете. Жить на родине (и вообще
жить) ему оставалось менее года. После трех месяцев в Мадрасе
Рамануджан перебрался в Кумбаконам. В январе 1920 г. он посы-
лает последнее письмо Харди, где сообщает о работе над новым
классом тэта-функций. Ни врачи, ни родные не могут уговорить
смертельно больного ученого прервать работу. 26 апреля 1920 г.
Рамануджан умер. Ему еще не исполнилось 33 года.

Память. Весть о смерти Рамануджана потрясла его друзей и в
Индии, и в Англии. Они чувствовали свой долг разобраться в том
удивительном явлении, каким был Рамануджан. Харди пишет:
«Возможно, что великие дни формул окончились и Рамануджану
следовало бы родиться на 100 лет раньше; но он был величайшим
создателем формул своего времени».
Друзья и коллеги старались оценить место Рамануджана в со-
временной математике. Они не сомневались в его удивительных
способностях, фантастической красоте формул, но все сходились
на том, что сам выбор сюжетов, которых настойчиво держался
Рамануджан, не позволяет ему занять достойное место в истории
математики.
Прошло более полувека, и сегодня мы отчетливо видим то,
что не могли предвидеть Харди и его современники. Гений Ра-
мануджана оказался созвучен не только прошлому, но и будуще-
му математики. Арифметические формулы Рамануджана нередко
оказывались ключевыми на новых этапах алгебраической теории
чисел, и можно было только удивляться, как он смог увидеть их,
не зная того, без чего их увидеть нельзя. А потом пришло воз-
рождение интереса к конкретным явным формулам как внутри
математики, так и в сфере ее приложений. Современная мате-
матическая и теоретическая физика обращаются порой к весьма
абстрактным разделам математики, и при этом очень изысканные
400 Сриниваза Рамануджан (1887 – 1920)


явные формулы играют важную роль. Вот два недавних примера,
связанные с Рамануджаном.
Р. Бакстер, прославившийся построением точно решаемых мо-
делей статистической механики, при исследовании модели «жест-
кого гексагона» неожиданно обнаружил, что постоянно имеет де-
ло с тождествами Роджерса – Рамануджана (вставка 4 на с. 396)
и Рамануджана.
Нобелевский лауреат С. Вайнберг недавно вспоминал, как, за-
нимаясь в начале 70-х годов очень популярной сейчас теорией
струн, он столкнулся с задачей об оценке функции разбиений p(n)
для больших n. Выяснилось, что нужные формулы получили Хар-
ди и Рамануджан в 1918 г. (вставка 5 на с. 397)
Красота формул Рамануджана даровала им способность воз-
рождаться при самых необычных обстоятельствах.
О ПОЛЬЗЕ КООРДИНАТ И ИСКУССТВЕ
СЦЕПЛЯТЬ ГИПЕРБОЛОИДЫ
Таким образом мы коротко и ясно изложили все, что остави-
ли невыясненным древние относительно плоских и телесных
мест. П. Ферма
Я полагаю, что теперь ничего не пропустил из начал, необхо-
димых для познания кривых линий. Р. Декарт

Пионерские идеи великих математиков претерпевают много-
численные изменения, прежде чем попасть на страницы учебни-
ков. В рафинированном виде их проще усваивать, яснее сфера их
применимости, но что-то трудноуловимое при этом исчезает. Воз-
можно, это логика открытия, ощущение материала , да и просто
волнение перед открывающимися возможностями. Как разнятся
энтузиазм создателей аналитической геометрии и ощущения сту-
дента, изучающего ее сегодня! Мы вспомним здесь лишь несколь-
ко эпизодов из истории создания аналитической геометрии, не пы-
таясь сколько-нибудь полно воссоздать эту историю, а закончим
рассказ небольшим эпизодом в стиле аналитической проективной
геометрии прошлого века, но на сравнительно современном ма-
териале. Очень соблазнительно попробовать рассуждать так, как
это умели делать сто лет назад! Именно, мы докажем теорему о
пяти гиперболоидах в пятимерном пространстве. Два однополост-
ных двумерных гиперболоида называются сцепленными, если они
имеют общую образующую и не лежат в одной трехмерной плос-
кости. Несколько гиперболоидов называются сцепленными, если
они попарно сцеплены, причем образующие сцепления принад-
лежат одному семейству образующих. Если прямые сцепления
разных пар гиперболоидов различны, то сцепление называется
невырожденным.
Теорема. Если в пятимерном пространстве невырожденно сцеп-
лены четыре однополостных двумерных гиперболоида, то всякий

401
402 О пользе координат и искусстве сцеплять гиперболоиды


пятый гиперболоид, сцепленный с тремя из них, сцеплен и с
четвертым.

<< Пред. стр.

страница 41
(всего 46)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

Copyright © Design by: Sunlight webdesign