LINEBURG


<< Пред. стр.

страница 40
(всего 46)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

y0 y0
сительно введенных P -перемещений — назовем их P -сдвигами —
P -прямые распадаются на два класса: отдельно можно перевести
друг в друга полуокружности, а отдельно — лучи (почему?).
Поясним сейчас, как, используя P -сдвиги и свойства введенного
P -расстояния ?, можно просто получить формулу (34), выражающую
? через евклидовы расстояния, в том частном случае, когда обе точ-
ки A и B находятся на оси y-ов: A = (0, y1 ), B = (0, y2 ). Положим
?(A, B) = ?(y1 , y2 ), и найдем вид функции ?. Поскольку ? сохраняется
при евклидовых гомотетиях с центром в точке O, то

?(by1 , by2 ) = ?(y1 , y2 ). (35)

Кроме того, если C = (0, y3 ) — третья точка на оси y-ов, то в силу
сказанного выше

?(y1 , y2 ) + ?(y2 , y3 ) = ?(y1 , y3 ) (36)

Положим ?(z) = ?(z, 1). Согласно (35)

?(y1 , y2 ) = ?(y1 /y2 ) = ?(z1 ),
?(y2 , y3 ) = ?(y2 /y3 ) = ?(z2 ),
?(y1 , y3 ) = ?(y1 /y3 ) = ?(z3 ).
Волшебный мир Анри Пуанкаре 383


Учитывая соотношение (36) и последние три равенства, получим
?(z1 · z2 ) = ?(z1 ) + ?(z2 ),
откуда, в предположении, что ? — достаточно «хорошая» функция с
положительными значениями, получаем, что ?(z) = k · ln |z|, где k —
постоянный множитель, который вычисляется непосредственно.
Найденных P -перемещений еще недостаточно: у нас нет пре-
образований, с помощью которых мы могли бы P -прямые одно-
го типа (полуокружности) перевести в P -прямые другого типа
(лучи). Добавим для этого P -симметрии относительно P -пря-
мых. Для лучей — это обычная осевая симметрия, а для полу-
окружностей — инверсия. (Например, P -симметрия относитель-
но P -прямой L(?1, 1) — это инверсия относительно окружности
с центром O = (0, 0) радиуса 1; она переводит точку A, отлич-
ную от центра O, в точку A , лежащую на луче OA, такую, что
|OA| · |OA | = 1.) Мы знаем, что при инверсии окружности и пря-
мые переходят в окружности или прямые, причем величины углов
сохраняются. На языке Пуанкарии это значит, что, например, при
P -симметрии относительно P -прямой L(?1, 1) P -прямая L(?, ?)
11
переходит в P -прямую L , . В частности, P -прямые L(?, 0),
??
являющиеся при ? = ? полуокружностями, переходят в P -пря-
1
мые L , ? , являющиеся лучами. Итак, P -симметрии перево-
?
дят Пуанкарию в себя, причем P -прямые переходят в P -прямые.
Отдельно проверяется (мы эту проверку опускаем), что P -сим-
метрии не меняют P -расстояния ?. (Впрочем, в Пуанкарии всякое
преобразование, переводящее P -прямые в P -прямые, сохраняет ?
(здесь нет гомотетий); в этом — важнейшее отличие геометрии Ло-
бачевского от геометрии Евклида.)
P -перемещений, которые можно получить, комбинируя P -сим-
метрии с P -сдвигами, уже хватает для того, чтобы любую P -пря-
мую перевести в любую P -прямую; более того, при этом любую
заданную точку первой P -прямой можно совместить с заданной
точкой второй, и любой P -луч с другим P -лучом (докажите!).
Значит, этими P -перемещениями можно совместить любые P -от-
резки равной P -длины, и мы получаем, что такие отрезки P -рав-
ны. Можно показать, что все P -перемещения сводятся к описан-
ным.
384 Волшебный мир Анри Пуанкаре




  ¤ ? ?? ?
? ¤ ?? ? ¤ ¦ § ?


Рис. 41.

При P -перемещениях угол переходит в угол, равный ему в
евклидовом смысле (поскольку это так для параллельных перено-
сов, гомотетий, осевых симметрий и инверсий). Поэтому понятие
равенства углов в Пуанкарии не отличается от евклидова. С уче-
том этого обстоятельства пуанкаряне, точно так же как и мы,
докажут два признака равенства треугольников: по двум сторо-
нам и углу между ними и по стороне и двум прилежащим к ней
углам. Сложнее обстоит дело с доказательством третьего при-
знака равенства треугольников — по трем сторонам: ведь наше
доказательство этого признака использует тот факт, что окруж-
ности пересекаются не более чем в двух точках. К счастью, ока-
зывается, что P -окружности совпадают с евклидовыми (целиком
лежащими в верхней полуплоскости), только P -центр у них не
совпадает с обычным (это —
довольно непростой факт),
?
?
а потому и с признаком ра-
венства по трем сторонам
в Пуанкарии все в порядке.

 
Однако в Пуанкарии есть
?
еще один признак равенства
треугольников: равны тре-
  ? © ? ©  ? § ¦
угольники с попарно рав-
 ? © ? © ?? § ¦ ©  ¤ © ? ©  ? § ¦
ными углами! (Переведите
это утверждение на язык
евклидовой геометрии и по-
Рис. 42. пытайтесь доказать его; см.
Волшебный мир Анри Пуанкаре 385











Рис. 43. Рис. 44.
рис. 41 и задачу 4.) Значит, площадь треугольника в Пуанка-
рии (как и сам треугольник) определяется величинами его углов
?, ? и ?. В геометрии Лобачевского сумма углов треугольника
меньше ?. Величина ? ? (? + ? + ?) называется дефектом тре-
угольника. Можно заметить, что дефект треугольника ведет себя
так же, как площадь; точнее: если данный треугольник разрезать
прямой, проходящей через его вершину, то площадь его будет
равна сумме площадей получившихся треугольников; то же будет
справедливо и для дефекта всякого треугольника: он равен сум-
ме дефектов образовавшихся треугольничков (рис. 42). Отсюда
можно вывести, что величина площади треугольника в геометрии
Лобачевского пропорциональна дефекту ? ? ? ? ? ? ?.
Несколько задач. 1. а) Убедитесь, что все P -прямые, перпендикуляр-
ные к фиксированной P -прямой, сверхпараллельны (рис. 43).
б) Покажите, что для пары сверхпараллелей существует единствен-
ный общий P -перпендикуляр (рисунки 44, а и б ).
2. Проверьте, что P -биссектрисы P -треугольника пересекаются в
одной точке — центре вписанной P -окружности. Подумайте, что можно
сказать об описанной P -окружности — всегда ли она существует (см.
рисунок 45: на этом рисунке P -треугольники Ai BCi — равнобедренные,
с осью симметрии L(0, ?); i = 1, 2, 3; на рисунке отмечены перпенди-
куляры к P -серединам сторон этих треугольников)?
3. Убедитесь, что у тупоугольного (но не остроугольного) P -тре-
угольника высоты могут быть сверхпараллельны (на рис. 46). Что мож-
но сказать о медианах?
4. Покажите, что у равнобедренного P -треугольника углы при осно-
вании равны, а биссектриса угла при вершине является медианой и
высотой. Докажите для этого случая четвертый признак P -равенства
треугольников.
5. Пусть L(?, ?), L(?, ?1 ), L(?, ?2 ) — три параллельные P -прямые
386 Волшебный мир Анри Пуанкаре

 
?? ??
?? ??
¤? ¤?

¦

Рис. 45. Рис. 46.
  ??
¤? ©§
¦?
¦?¤
©? §


  ?? ?? ?

Рис. 47. Рис. 48.

(рис. 47). Докажите, что существует P -перемещение, переводящее
L(?, ?) в себя, а L(?, ?1 ) — в L(?, ?2 ).
Отсюда следует, что в геометрии Лобачевского нельзя определить
расстояние между параллелями.
6. Если P -прямая L1 , пересекает P -прямую L0 или сверхпараллель-
на ей, то она проектируется на L0 в виде конечного P -интервала; если
же L1 , параллельна L0 , то проекцией является P -луч.
7. Пусть P -прямая L0 , перпендикулярна к L1 , и пусть A — точка на
L0 , отстоящая от L1 на расстояние x (рис. 48). Проведем через точку A
P -прямую Mx , параллельную L1 , и обозначим через ?(x) величину угла,
который P -прямая Mx образует с L0 . Найдите ?(x) и покажите, что
?
?(x) > при x > 0 и ?(x) > 0 при x > ?.
2
Функция ?(x) называется функцией Лобачевского; эта функция свя-
зывает величины углов и длины, и поскольку для углов существует
абсолютная единица измерения — полный угол, то в геометрии Лоба-
чевского есть такая абсолютная единица измерения и для длин (она
с помощью функции ? переносится с углов). В геометрии Евклида
?
?(x) ? , а потому аналогичной абсолютной единицы измерения длины
2
Волшебный мир Анри Пуанкаре 387


нет.

Твердые тела в Пуанкарии Пока во всех наших геометрических
рассмотрениях мы руководствовались только оптическими пред-
посылками. Здесь нужно подчеркнуть, что геометрия Пуанкаре
получилась неевклидовой не из-за того, что в Пуанкарии иные
законы оптики, чем наши: мы строим (моделируем) Пуанкарию
в нашем собственном мире и законов физики не меняем! Оптиче-
ские же иллюзии пуанкарян объясняются оптической неоднород-
ностью их мира.
Хотя, безусловно, самой яркой реализацией прямой линии яв-
ляется световой луч, мы все же не измеряем длин при помощи вре-
мени распространения света — для этих целей у нас есть линейка.
Вероятно, стоит обзавестись линейкой и пуанкарянам. Конечно
же, пуанкаряне изготовят линейку «P -прямой»; но если пуанка-
рянин перенесет такую линейку из одного места в другое, то она
«прямой» (P -прямой) ему уже не покажется. С точки зрения пу-
анкарянина при движении твердого тела меняется его форма. Как
же пуанкарянин должен реагировать на это? Ясно, что нужно
как-то увязать понятие твердого тела с геометрией Пуанкарии,
иначе пуанкарянам придется поверить в существование сверхъ-
естественных сил. Анри Пуанкаре придумал остроумный выход
из этого, казалось бы, безнадежного положения: он воспользовал-
ся явлением теплового расширения тел. Пусть в Пуанкарии у
всех тел одинаковый коэффициент теплового расширения и нуле-
вая теплопроводность, а размеры тел пропорциональны абсолют-
ной температуре T . (Заметим, что в этих условиях при помощи
обычного термометра пуанкаряне не могут измерить температуру,
поскольку такое измерение предполагает сравнение расширения
тел с разными коэффициентами теплового расширения.) Твердое
тело характеризуется тем, что при движении в среде с постоян-
ной температурой расстояние r(A, B) (евклидово) между любыми
двумя его точками A и B сохраняется. Но если тело переместит-
ся из области с температурой T1 в область с температурой T2 ,
то расстояние между его точками умножится на T2 /T1 (другими
словами, останется прежним отношение r(A, B)/T ). А что будет,
если тело сразу окажется в области с разными температурами?
Какая величина будет сохраняться в этих условиях? Пусть,
388 Волшебный мир Анри Пуанкаре


например, достаточно большое твердое тело перемещается в сре-
де, где по одну сторону от некоторой прямой m температура T1 ,
а по другую — T2 , пусть A — точка тела, находящаяся в области
с температурой T1 , а B — точка тела, находящаяся в области с
температурой T2 . Возьмем ломаную с концами в точках A и B и
вершиной C на прямой m. Обозначим |AC| = r1 , |CB| = r2 и рас-
смотрим величину r1 /T1 + r2 /T2 . Оказывается, что при движении
в такой температурной среде сохраняется наименьшее значение
величины r1 /T1 + r2 /T2 , взятое по всем ломаным с вершинами на
прямой m и с концами в двух данных точках A и B! Далее можно
в точности повторить те же рассуждения, что и при применении
принципа Ферма, например, к выводу закона преломления Снел-
лиуса, и мы получим, что искомое наименьшее значение будет
sin ?1 sin ?2
= , где ?i — угол соот-
отвечать ломаной, для которой
T1 T2
ветствующего звена ломаной с нормалью к прямой m.
Пусть теперь в Пуанкарии в точке x, y постоянно поддержива-
ется абсолютная температура T (x, y) = y. Тогда за счет выбран-
ного температурного режима при движении твердых (в нашем
смысле!) тел будут сохраняться уже не евклидовы расстояния,
а P -расстояния, и с точки зрения пуанкарян (ведь они не чув-
ствуют разницы температур!) размер тела, движущегося в такой
среде, сохраняется, то есть оно — P -твердое. Осталось позаботить-
ся лишь о том, чтобы все предметы имели малые теплоемкости и
перемещались настолько медленно, чтобы находиться в тепловом
равновесии, и чтобы изменение температуры было для пуанкарян
незаметно. В результате пуанкаряне не только не увидят границы
мира, но и не смогут никогда добраться до нее: при приближении
к границе температура стремится к абсолютному нулю, а пото-
му будут стремиться к нулю и размеры предметов, без изменения
пропорций между предметами. Анри Пуанкаре старался исклю-
чить для пуанкарян все возможности узнать, что их неевклидов
мир всего лишь сконструирован в нашем евклидовом. Но все ли
он предусмотрел? Если вы обнаружите какие-либо неучтенные
возможности пуанкарян, напишите нам об этом.
ЗАГАДКА РАМАНУДЖАНА
Рамануджан любил говорить, что формулы ему
внушает во сне богиня Намаккаль. Интересно
отметить, что действительно он часто, вставая
по утрам с кровати, тут же записывал готовые
формулы. Сешу Айар и Рамачандра Рао

Письмо в Кембридж. В самом начале 1913 года профессор Кем-
бриджского университета Г. Г. Харди получил письмо из далекого
Мадраса. В свои 36 лет Харди был уже одним из крупнейших спе-
циалистов по анализу и теории чисел, автором ряда великолепных
математических работ. Отправитель же письма, Сриниваза Ра-
мануджан, работал клерком в бухгалтерии почтового ведомства
Мадраса с более чем скромным окладом в 20 фунтов в год. Он
сообщал о себе, что не имеет университетского образования и по-
сле окончания школы самостоятельно занимается математикой,
не следуя принятой системе, а «избрав свою дорогу». Матема-
тическое содержание письма выглядит достаточно неуклюже —
вполне можно принять автора за самоуверенного любителя.
Само по себе такое письмо не могло произвести на Харди
сильного впечатления. Но к письму было приложено некоторое
количество формул, которые предлагалось опубликовать, если
они интересны, чего сам автор не мог сделать из-за своей бедно-
сти. Просмотр формул насторожил Харди: он понял, что имеет
дело с незаурядным явлением. Он заинтересованно отвечает
Рамануджану, между ними завязывается интенсивная перепис-
ка. Постепенно у Харди собирается около 120 разнообразных
формул.
Формулы Рамануджана касались в основном соотношений
между бесконечными радикалами (вставка 2), бесконечными ря-
дами, произведениями и цепными дробями (вставки 1, 3, 4),

389
390 Сриниваза Рамануджан (1887 – 1920)


Вставка 1. Пример бесконечной суммы, вычисленной Рамануджа-
ном.
3 3 3
1·3 1·3·5
1 2
1?5 ? 13
+9 + ... =
2·4 2·4·6
2 ?
Эта удивительная формула — одна из приложенных Рамануджаном к
первому письму Харди. Каким образом сумма знакочередующегося ря-
да a0 + a1 + a2 + . . . с общим членом
3
1 · 3 · 5 · . . . · (2n ? 1)
n
an = (?1) (4n + 1)
2 · 4 · 6 · . . . · 2n

может вдруг оказаться равной 2/?, Харди долго не мог понять. В спра-
ведливости этой формулы как приближенного равенства читатель мо-
жет убедиться с помощью калькулятора. Доказательство точного ра-
венства неэлементарно.

тождеств между интегралами. Прежде всего было ясно, что они
далеко выходят за пределы элементарной математики. Далее
возникает цепь вопросов: известны ли они; если да, то самостоя-
тельно ли получены автором письма; если нет, то верны ли они?
Вскоре Харди понимает, что ситуация парадоксальна: он, несо-
мненно, выдающийся специалист по современному анализу, имеет
дело с россыпью неизвестных ему формул!
Большое впечатление на Харди произвели формулы с беско-
нечными рядами (см. вставку 1). После их изучения он приходит
к выводу: «. . . в распоряжении Рамануджана должны быть какие-
то очень общие теоремы, которые он от меня скрывает».
Но особо удивили Харди соотношения с бесконечными цеп-
ными дробями (одно из более поздних соотношений этого типа
показано на вставке 3): «. . . эти соотношения поставили меня пол-
ностью в тупик; я никогда не видел ничего подобного. Достаточно
бросить на них один взгляд, чтобы убедиться в том, что они могли
быть написаны только математиком самого высшего класса».
Чудо из Кумбаконама. Как же сложился математик, который так
удивил Харди? Сриниваза Рамануджан Айенгор родился 22 де-
кабря 1887 г. на юге Индии в селении Эрод. Его детство в основном
протекало в маленьком городке Кумбаконам (в 260 км от Мадра-
Сриниваза Рамануджан (1887 – 1920) 391


Вставка 2. Бесконечно повторяющиеся радикалы.

v
1+2 1+3 1 + 4 1 + . . . = 3.

Эту красивую формулу Рамануджан получил еще в школьные годы сле-
дующим образом: он написал последовательность очевидных равенств

n(n + 2) = n 1 + (n + 1)(n + 3) =

=n 1 + (n + 1) 1 + (n + 2)(n + 4) = . . . ,

а затем подставил n = 1. Вопрос о законности перехода к пределу Рама-
нуджана не интересовал. Действуя так же, читатель может попробовать
самостоятельно получить похожую формулу

v
6+2 7+3 8 + 4 9 + . . . = 4.



са), где его отец работал бухгалтером в небольшой текстильной
лавке. Рамануджан принадлежал к касте браминов, но богатство
уже давно не было уделом его родственников. Его родители, а
мать особенно, были глубоко религиозны. Рамануджан получил
воспитание в традициях касты. Детство, проведенное в городе,
где каждый камень связан с древней религией, в окружении лю-
дей, постоянно ощущающих свою принадлежность к высшей ка-
сте, сыграло большую роль в становлении Рамануджана.
С 5 лет Рамануджан в школе, к 10 годам он заканчивает на-
чальную школу. Он начинает проявлять незаурядные способно-
сти, получает стипендию, обеспечивающую обучение в средней
школе за половинную плату. В 14 лет студент из Мадраса дает
ему двухтомное руководство по тригонометрии Лони. Вскоре Ра-
мануджан изучил тригонометрию, и студент имел возможность
пользоваться его консультацией в решении задач. К этому пери-
оду относятся первые рассказы и легенды. Утверждается, что он
сам открыл «формулу Эйлера о синусе и косинусе» и был очень
расстроен, найдя эту формулу во втором томе Лони.
«Маленький брамин» полагает, что в математике, как и в дру-

<< Пред. стр.

страница 40
(всего 46)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

Copyright © Design by: Sunlight webdesign