LINEBURG


<< Пред. стр.

страница 39
(всего 46)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

метриях — при помощи двойного отношения).
Инварианты для большей группы и соотношения между ними обыч-
но описывать проще. В частности, для проективной группы задачу на-
хождения инвариантов можно сделать полностью алгебраической и ре-
шить.
«Эрлангенская программа» завершила «золотой век» класси-
ческой геометрии. Число новых геометрий возрастает; постепенно
геометрический язык пронизывает значительную часть матема-
тики. «Классическая геометрия переросла себя и из живой са-
мостоятельной науки превратилась в универсальный язык совре-
менной математики, обладающий исключительной гибкостью и
удобством» (Н. Бурбаки).

Экстерн в школе Римана. После «Эрлангенской программы»
Клейн обращается к теории алгебраических функций — обла-
сти, в которой работали Гаусс, Лежандр, Абель, Якоби, Вей-
ерштрасс, Риман. Наиболее близкими Клейну оказались идеи
Римана (1826 – 1866), с которым он не был лично знаком. По сло-
вам Клейна, он был «экстерном в школе Римана, . . . а экстерны,
как известно, если берутся за какое-нибудь дело, то работают с
особенным рвением, ибо к работе их побуждает только глубокий
интерес». Позднее Клейн писал, что видел свою задачу в соче-
тании Римана с Галуа, — то есть в проникновении теории групп
в геометрическую теорию функций комплексного переменного.
По собственному мнению Клейна, это была главная область его
научной деятельности.
К сожалению, об этой деятельности Клейна рассказать мы не
сумеем, поскольку здесь уже нужно требовать от читателя специ-
альных знаний, далеко выходящих за рамки школьной програм-
мы. Но все же об одном обстоятельстве мы упомянем.
Клейн занимался так называемой проблемой униформизации.
Рассматривая важные частные случаи, он надеялся со временем
Феликс Клейн (1849 – 1925) 373


разобраться и с общей задачей. Но в 1881 году Клейн обнаружил
серию статей никому не известного французского математика Ан-
ри Пуанкаре (1854 – 1912), который по существу проблему уни-
формизации решил1 . Это драматическое событие Клейн встретил
достойно. Он начал переписку с Пуанкаре; они обменялись 26
письмами. Клейн, уже известный математик (хотя только на 5 лет
старший Пуанкаре), выступает в роли очень тактичного учителя.
Он знакомит Пуанкаре с теорией Римана, о которой тот не имел
представления, но мгновенно усвоил. Клейн решается на соревно-
вание с Пуанкаре: улучшает доказательство основного результата
и намечает его обобщение. Эта история окончилась для Клейна
печально: «Цена, которую мне пришлось заплатить за мои рабо-
ты, была во всяком случае очень велика, так как мое здоровье
оказалось совершенно расшатанным. . . Только к осени 1884 года
положение несколько улучшилось, но прежней степени творче-
ской активности я уже не достиг никогда. . . Моя собственная
творческая деятельность в области теоретической математики за-
кончилась в 1882 году».
Последние 40 лет. Начиная с 1886 года Клейн работает в Гет-
тингене. Благодаря Клейну этот город превратился в подлинную
столицу математики. По его инициативе в Геттинген приглаша-
ются талантливые молодые математики (среди них — Гильберт).
Клейн никогда не переставал интересоваться новыми идеями. Его
лекционные курсы, частично записанные и изданные, посвящены
самым разным областям математики, механики, физики. Много-
гранна организационная и общественная деятельность Клейна.
50 лет руководил он изданием одного из основных математиче-
ских журналов «Mathematische Annalen». Своеобразной лебеди-
ной песней Клейна были его «Лекции о развитии математики в
XIX столетии», читанные в 1914–1919 годах и изданные посмерт-
но его учениками Курантом и Нейгебауэром. Приведем выдержку
из их предисловия: «Эти лекции являются зрелым плодом бога-
той жизни, проведенной в центре научных событий, выражением
проникновенной мудрости и глубокого исторического понимания,
1
Общая проблема униформизации еще фигурировала в числе проблем
Гильберта (1900 г.) и была полностью решена в 1907 году независимо Пу-
анкаре и Кёбе.
374 Феликс Клейн (1849 – 1925)


высокой человеческой культуры и мастерского дара изложения».
Значительную часть времени и сил тратил Клейн на разработ-
ку проблем школьного преподавания математики и подготовку
учителей, чем, вероятно, до него не занимался ни один матема-
тик такого масштаба. «Вряд ли есть предмет, — писал Клейн, —
в преподавании которого царила бы такая рутина, как в препо-
давании математики. Курс элементарной математики вылился в
определенные рамки и точно замер раз навсегда в установивших-
ся пределах. Время от времени по тому или иному поводу одни
задачи заменяются другими, исключаются одни параграфы и вво-
дятся другие; но по существу на всем материале школьной мате-
матики это почти не отражается. Новые учебники алгебры носят
отпечаток алгебры Эйлера, как новые учебники геометрии отпе-
чаток геометрии Лежандра. Можно подумать, что математика —
мертвая наука, что в ней ничто не меняется, что в этой области
знания нет новых идей, по крайней мере таких, которые могли бы
сделаться достоянием неспециалистов, предметом общего образо-
вания».
Клейн стремится учесть в преподавании состояние современ-
ной науки, связь математики и физики. Он рекомендует система-
тически пользоваться преобразованиями в геометрии, отказаться
от традиционного разбиения школьной математики на предме-
ты. Школьный курс должен быть пронизан понятием функции;
тщательно продумываются пути воспитания у учеников «функци-
онального мышления». Изложение геометрии, по мнению Клейна,
должно начинаться в неаксиоматическом варианте, а аксиома-
тический метод должен появляться уже тогда, когда ученики в
состоянии его осознать.
С большим тактом поддерживал Клейн контакты с людьми,
занимающимися школьной математикой, четко ограничив круг
своей компетенции, никогда не вмешиваясь в вопросы, требовав-
шие опыта непосредственной работы в школе. Клейн читал лек-
ции для учителей, которые частично изданы. Наиболее известна
его «Элементарная математика с точки зрения высшей». Это не
лекции по методике математики и не расширенный курс школь-
ной математики. «Я хочу, чтобы настоящая книга оказалась по-
лезной тем, что побудит иного учителя нашей средней школы к
самостоятельному размышлению о новом, более целесообразном
Феликс Клейн (1849 – 1925) 375


изложении того учебного материала, который он преподает. Ис-
ключительно с такой точки зрения надо смотреть на мою книгу,
а не считать ее готовым учебным планом; разработку последнего
я всецело предоставляю тем, кто работает в школе. Если кто-
нибудь предполагает, что я иначе понимал свою деятельность, то
это недоразумение» (Клейн).
ВОЛШЕБНЫЙ МИР АНРИ ПУАНКАРЕ
Я описал воображаемый мир, обитатели которого неминуемо
должны были бы прийти к созданию геометрии Лобачевского.
А. Пуанкаре

Когда сегодня рассказывают историю геометрии Лобачев-
ского, может сложиться впечатление, что докажи создатели
неевклидовой геометрии ее непротиворечивость — и она была бы
благосклонно принята. Однако прежде всего критиков смущало
не отсутствие этого доказательства. Люди привыкли, что гео-
метрия имеет дело с нашим реальным пространством, и что это
пространство описывается евклидовой геометрией. Характерно,
что Гаусс выделял геометрию среди остальных разделов матема-
тики, считая ее, подобно механике, экспериментальной наукой.
Но при этом Гаусс, так же как Лобачевский и Бойяи, понимал,
что, во-первых, возможны логически стройные геометрические
построения, за которыми не стоит физическая реальность, — «во-
ображаемые» геометрии, и, во-вторых, не столь бесспорно, что
в астрономических масштабах в нашем мире царит геометрия
Евклида. Однако то, что понимали лишь немногие математи-
ки, было абсолютно недоступно непрофессионалам. Утверждения
геометрии Лобачевского они мерили на евклидов аршин своей
геометрической интуиции — и получали неисчерпаемый источник
для остроумия. Н. Г. Чернышевский писал сыновьям из ссылки,
что над Лобачевским смеялась вся Казань: «Что такое кривизна

луча“ или кривое пространство“ ? Что такое геометрия без ак-

сиомы параллельных линий?» Он сравнивает это с «возведением
сапог в квадраты» и «извлечением корней из голенищ», и гово-
рит, что это столь же нелепо, как «писать по-русски без глаголов»
(здесь достается Фету: «шепот, робкое дыханье, трели соловья»,
над которым, оказывается, тоже «хохотали до боли в боках»).

376
Волшебный мир Анри Пуанкаре 377


Новый этап в развитии неевклидовой геометрии наступил, ко-
гда появились первые ее модели. Сейчас мы воспринимаем эти
модели как средство для доказательства непротиворечивости гео-
метрии Лобачевского, но они были замечательны не только этим.
Даже при благожелательном взгляде геометрия Лобачевского ка-
залась чересчур изощренной, не связанной с остальной матема-
тикой, а модель Кэли–Клейна показала, что она естественным
образом возникает на столбовой дороге проективной геометрии,
очень популярной в то время! С другой стороны, рассмотрение
модели, основные понятия которой конструируются из образов
привычной нам евклидовой геометрии, давало возможность заме-
нить формальное аксиоматическое изложение неевклидовой гео-
метрии более наглядным.
Еще одну модель придумал Анри Пуанкаре, занимаясь чи-
сто аналитическими вопросами теории функций комплексного
переменного. Он неожиданно обнаружил, что появляющиеся у
него преобразования можно интерпретировать как перемеще-
ния в плоскости Лобачевского. Это открытие произвело на него
настолько сильное впечатление, что много лет спустя он вспо-
минал, как оно пришло ему в голову: «без всяких, казалось бы,
предшествовавших раздумий», когда он поднимался на подножку
омнибуса во время экскурсии в Кутанс. Через десять лет Пуан-
каре сделал замечательное дополнение к своей модели — подвел
под нее «физическое» основание. Рассказу о модели Пуанкаре и
посвящена эта глава.

Экскурс в физику. Наши геометрические представления имеют
физические предпосылки. Например, как прямые мы восприни-
маем световые лучи. Идущий к нам световой луч продолжает
казаться прямым, даже если он преломился по дороге (например,
войдя из воздуха в воду). Чтобы рассеять эту иллюзию, нуж-
но поставить эксперимент или посмотреть на происходящее со
стороны.
Пусть у нас есть оптически неоднородная среда на верхней
полуплоскости (y > 0), в которой величина скорости света меня-
ется по закону c(x, y) = y (независимо от направления луча). Из
принципа Ферма следует, что путь распространения света между
двумя точками есть такой путь, для прохождения которого све-
378 Волшебный мир Анри Пуанкаре


ту требуется наименьшее возможное время. В нашей среде (где
c(x, y) = y) свет между двумя точками будет распространяться
по таким кривым L (рис. 37), для которых

sin ?(y)
= k, (33)
y

где ?(y) — угол, который касательная, проведенная к L в точке с
ординатой y, образует с вертикалью; k — фиксированное для всех
точек кривой L число. Ясно, что условию (33) удовлетворяют все
окружности с центрами на оси Ox
?
(то есть перпендикулярные этой
? ??   оси); для каждой такой окруж-
1
ности k = , где r — ее ради-
r
ус. При k = 0 мы получаем вер-
§
? тикальные прямые. Можно по-
казать, что других кривых, удо-
¦
  ¤?
влетворяющих условию (33), нет;
этому есть и физическое объяс-
Рис. 37. нение (например, такое: свет рас-
пространяется из заданной точки в заданном направлении по
единственному пути).
Окружности, перпендикуляр-
?
ные к оси Ox, и вертикальные
?
прямые (вернее, их части, распо-
?
ложенные в верхней полуплоско-
¤
сти) и будут играть главную роль
¤
в нашем рассказе.
«Пуанкария» и ее геометрия.
?  
Мир Пуанкаре (назовем его в
честь создателя Пуанкарией)
Рис. 38. представляет собой верхнюю по-
луплоскость {(x, y), y > 0} без границы {y = 0} (это важно!)1 .
Существа, населяющие Пуанкарию (пуанкаряне), воспринимают
1
Можно было бы рассмотреть и «трехмерный» мир, но на плоскости
проще рисовать картинки, и ради этого мы будем иметь дело с плоскими
существами.
Волшебный мир Анри Пуанкаре 379


как «прямые» верхние полуокружности с центрами на оси Ox
(без концов!) и вертикальные лучи (рис. 38). Будем называть
эти прямые P -прямыми (читается «пэ-прямые»). P -прямые ка-
жутся пуанкарянам бесконечными (свет распространяется по
ним неограниченно долго), а концы P -прямых, — как и вся ось
Ox, — невидимыми. Итак, пуанкаряне считают, что их Пуанка-
рия неограниченна во все стороны. Назовем невидимые точки
P -прямой ее бесконечно удаленными точками; для луча одной
из его бесконечно удаленных точек будем считать точку ? (бес-
конечность). P -прямые однозначно определяются парой своих
бесконечно удаленных точек (почему?); так мы их и будем разли-
чать и обозначать через L(?, ?), где ?, ? — вещественные числа
(одно из них может быть ?) — координаты бесконечно удаленных
точек на оси Ox.
Попробуем вместе с пуанкарянами построить геометрию их
пространства. Как и нам, — при жизни в евклидовом простран-
стве, — некоторые утверждения кажутся пуанкарянам очевидны-
ми, они принимают их без доказательства (аксиомы) и выводят из
них более сложные утверждения (теоремы). Для нас, смотрящих
на Пуанкарию со стороны, все эти утверждения будут выглядеть
иначе, чем для пуанкарян (например, P -прямые для нас полу-
окружности или лучи!), поэтому мы будем «переводить» фор-
мулировки пуанкарян на свой «прозаический» евклидов язык и
доказывать по-своему.
Например, пуанкаряне знают, что через две различные точ-
ки проходит P -прямая и притом единственная. Для нас же это
означает, что через две различные точки полуплоскости проходит
единственная полуокружность, перпендикулярная к оси Ox, или
вертикальный луч (докажите!); см. рисунок 38. Заметим, что фи-
зическое объяснение этого утверждения, состоящее в том, что свет
между двумя точками распространяется по единственному пути —
одно и то же и для пуанкарян, и для нас (впрочем, для геометрии
это объяснение доказательной силы не имеет). Нетрудно убедить-
ся, что в Пуанкарии справедливы все аксиомы евклидовой гео-
метрии, касающиеся взаимного расположения точек и прямых и
порядка точек на прямой. (Чтобы привыкнуть к Пуанкарии, раз-
беритесь с P -отрезками, P -полуплоскостями, на которые P -пря-
мая делит Пуанкарию так, что P -отрезки, соединяющие точки в
380 Волшебный мир Анри Пуанкаре




?
 
?? ?
??
?
??  


Рис. 39.

одной P -полуплоскости, не пересекают граничную P -прямую, а
P -отрезки, соединяющие точки в разных P -полуплоскостях — ее
пересекают; нарисуйте P -треугольники, P -многоугольники; поду-
майте о P -выпуклости, если вы знаете об «обычной» выпуклости.
Вам поможет рис. 39.)
Отличие геометрии Пуанка-
? рии от евклидовой проявляется
при рассмотрении взаимного рас-
положения пары P -прямых. Мы
уже знаем, что две различные
P -прямые могут пересекаться не
более чем в одной точке. Если же
они не пересекаются, то они име-
ют общую бесконечно удаленную
  ? точку (невидимую!) или не име-
ют общих точек даже на неви-
Рис. 40. димой границе. В первом случае
мы будем называть такие P -прямые параллелями, а во вто-
ром — сверхпараллелями. Если имеется P -прямая L(?, ?), то через
точку вне ее проходят только две параллельные L(?, ?) P -пря-
мые (отвечающие бесконечно удаленным точкам ? и ? соот-
ветственно; рис. 40) и бесчисленное множество сверхпараллель-
ных, лежащих между параллелями. Таким образом, в Пуанка-
рии несправедлива аксиома параллельных (нас, наблюдателей,
впрочем, это не очень удивляет — ведь пуанкаряне не знают, что
их «прямые» — «не настоящие»!); это позволяет нам надеяться
на то, что геометрия Пуанкарии и окажется геометрией Лоба-
чевского.
Волшебный мир Анри Пуанкаре 381


Главное, что теперь нам нужно сделать, — определить в Пуан-
карии расстояния и перемещения.
Расстояния и перемещения. С точки зрения оптики естественнее
всего в качестве расстояния между двумя точками A и B взять в
Пуанкарии время, за которое свет доходит из точки A в точку B:
тогда P -прямые будут кратчайшими линиями между лежащими
на них точками. Из физических соображений следует, что опре-
деленное таким образом расстояние ?(A, B) обладает обычными
свойствами евклидова расстояния:

1) ?(A, B) = ?(B, A);
2) если A, B, C лежат на одной P -прямой и B ? [AC], то
?(A, B) + ?(B, C) = ?(A, C) (свет распространяется из A в C
по P -прямой и пройдет через точку B);
3) для любых точек A, B, C: ?(A, B) + ?(B, C) ?(A, C) —
неравенство треугольника, причем равенство имеет место
лишь тогда, когда B ? [AC] (если бы это неравенство не
выполнялось, то свету на путь по P -ломаной ABC понадо-
билось бы меньше времени, чем на путь по P -прямой AC —
наибыстрейшему пути, чего не может быть).

Для пуанкарян введенное расстояние ? первично (заметим, что
относительно этого расстояния свет распространяется с единич-
ной скоростью), и у них нет причин выражать ? через что-то еще;
нам же естественно выразить ? через наше евклидово расстояние.
Это не просто: приходится иметь дело с неравномерным движе-
нием света, и для вычисления времени, затраченного им, нужно
считать интегралы. Поэтому приведем лишь окончательный от-
вет:
r +r
?(A, B) = ln , (34)
r ?r
где r — евклидово расстояние между точками A и B, r — евкли-
дово расстояние между точкой A и точкой B , симметричной точ-
ке B относительно оси Ox; логарифм берется по основанию e (при
другом основании логарифма мы получим ? с точностью до по-
стоянного множителя). Евклидово расстояние замечательно тем,
что имеется много преобразований плоскости, его сохраняющих;
такие преобразования и называются перемещениями. Посмотрим,
382 Волшебный мир Анри Пуанкаре


как выглядят перемещения в Пуанкарии (P -перемещения) — пре-
образования, сохраняющие ?, а значит, переводящие P -прямые в
P -прямые.
Начнем с преобразований, не оставляющих ни одной точки на
месте. Это прежде всего — обычные параллельные переносы вдоль
оси Ox: Ta (x, y) = (x + a, y). Эти параллельные переносы сохраня-
ют и евклидово расстояние, и скорость света c(x, y) = y, а потому
и время, которое требуется свету на путь между двумя точками A
и B, то есть P -расстояние ?(A, B), и, конечно, P -прямые перево-
дят в P -прямые. С другой стороны, гомотетия Fb (x, y) = (bx, by),
b > 0, пропорционально изменяя и евклидово расстояние, и ве-
личину скорости света c(x, y), также не меняет времени, затра-
ченного светом, то есть P -расстояния ?(A, B). Итак, то, что нам
представляется гомотетией (с центром на оси Ox), пуанкарянам
кажется перемещением. С помощью указанных P -перемещений
можно любую точку перевести в любую. Например, точка (x0 , y0 )
x ? x0 y
переходит в точку (0, 1) при P -перемещении , . Отно-

<< Пред. стр.

страница 39
(всего 46)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

Copyright © Design by: Sunlight webdesign