LINEBURG


<< Пред. стр.

страница 38
(всего 46)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

Особенно счастливой была дружба Клейна с великим норвеж-
цем Софусом Ли (1842 – 1899); они познакомились в 1870 году
в Берлине. С. Ли был на семь лет старше Клейна, но в 1870 го-

362
Феликс Клейн (1849 – 1925) 363


ду делал лишь первые шаги в
геометрии. Вскоре Клейн и Ли
отправляются в Париж. Здесь
они знакомятся с приемами
французских геометров, кото-
рые умели с удивительной лег-
костью, «по воздуху» (С. Ли),
получать важные геометриче-
ские результаты. Особое зна-
чение для дальнейшей науч-
ной судьбы Клейна и Ли име-
ли встречи с Камиллом Жор-
даном (1838 – 1922). Как раз
в 1870 году Жордан выпу-
стил обширный труд по тео-
рии конечных групп, привлек-
ший широкое внимание к ра-
ботам Галуа (1811 – 1832). Воз-
можно, «пропуском» к Жор-
дану послужила для друзей
первая работа Клейна, посвя-
Феликс Клейн
щенная геометрическому ис-
следованию так называемой поверхности Куммера, алгебраи-
ческое исследование которой перед этим предпринял Жордан.
Покинуть Францию Клейна заставила франко-прусская вой-
на. В самом начале войны Клейн заболел тифом; оправившись от
болезни, он поселяется в Геттингене. Для Клейна наступает время
великих свершений. Н. Бурбаки пишет, что Клейн завершил «зо-
лотой век» геометрии. Но прежде чем рассказывать о блестящем
завершении этого века, вспомним о его начале.

«Золотой век» геометрии. Еще в XVII веке Дезаргу (1593 – 1662) и
Паскалю (1623 – 1662) удалось при помощи центрального проекти-
рования получить замечательные геометрические результаты. Об
этих результатах забыли почти на полтора века. На большие воз-
можности метода проектирования вновь обратил внимание Гаспар
Монж (1746 – 1818); он рассказывал об этом в курсе начерта-
тельной геометрии, который читал в Политехнической школе. От
364 Феликс Клейн (1849 – 1925)


«Описательной геометрии» Монжа (1795) и отсчитывает Н. Бур-
баки «золотой век» геометрии.
Среди слушателей Монжа был Виктор Понселе (1788 – 1867).
«Черта, которая возвышает его над всеми предшественниками, —
это новый вид геометрической интуиции, — проективное мышле-

ние“ » (Клейн). Проективную геометрию Понселе создал в течение
двух лет, проведенных им в плену в Саратове после войны 1812 го-
да. Свои результаты Понселе рассказывал товарищам по плену,
также слушавшим Монжа в Политехнической школе. Опублико-
ваны эти результаты были в 1822 году в «Трактате о проективных
свойствах фигур».
Как и его предшественники, Понселе каждую прямую пополняет
бесконечно удаленной точкой, считая, что все параллельные друг дру-
гу прямые имеют общую бесконечно удаленную точку («пересекаются»
в ней). Все бесконечно удаленные точки образуют бесконечно удален-
ную прямую. На пополненной плоскости параллельность становится
частным случаем пересечения и не требует специального рассмотре-
ния (например, утверждение, что через точку вне прямой проходит
единственная прямая, ей параллельная, превращается в утверждение,
что через две различные точки, одна из которых обычная, а другая —
бесконечно удаленная, проходит единственная прямая). При централь-
ном проектировании конечная точка может не иметь образа («уйти на
бесконечность»), но на пополненной бесконечно удаленными точками
плоскости это отображение уже взаимно однозначно.
Центральное проектирование переводит одну плоскость в другую;
выполнив же несколько проектирований подряд, мы можем вернуться
на исходную плоскость, получив преобразование этой плоскости. К та-
ким преобразованиям (их стали называть проективными) относятся пе-
ремещения, гомотетии, растяжения. Проективные преобразования вза-
имно однозначны (на пополненной плоскости) и переводят прямые в
прямые (позднее выяснилось, что всякое преобразование с этими свой-
ствами проективно). Проективные преобразования, переводящие в себя
бесконечно удаленную прямую, называются аффинными; аффинные
преобразования взаимно однозначны на обычной плоскости. Понселе
исследовал геометрические объекты, сохраняющиеся при проективных
преобразованиях. Оказывается, при проективных преобразованиях ко-
ническое сечение также переходит в коническое сечение (но, например,
гипербола может перейти в параболу, а всякое коническое сечение про-
ективным преобразованием можно перевести в окружность). Чрезвы-
чайно плодотворным оказалось следующее наблюдение. Пусть A, B, C,
AC · BD
D — точки, лежащие на одной прямой, {A, B, C, D} = — двой-
AD · BC
Феликс Клейн (1849 – 1925) 365


ное, или ангармоническое отношение четырех точек. Пусть при некото-
ром проективном преобразовании точки A, B, C, D перешли в точки
A , B , C , D (они обязательно будут лежать на одной прямой). Тогда
{A, B, C, D} = {A , B , C , D }, то есть при проективных преобразовани-
ях двойное отношение четырех точек сохраняется. Если одна из точек,
например, D — бесконечно удаленная точка, то {A, B, C, D} полагает-
AC
ся равным , и мы получаем, что при аффинных преобразованиях
BC
сохраняются отношения длин отрезков, лежащих на одной прямой (по-
чему?).
Далее Понселе пытается устранить исключительные случаи взаим-
ного расположения конических сечений. Почему, например, два эллипса
могут пересекаться в четырех точках, а пара окружностей — не более
чем в двух? На этот вопрос дается удивительный ответ. Кроме пары ве-
щественных точек пересечения, у окружностей имеется универсальная
(одна и та же для всех окружностей на плоскости!) пара общих точек,
не замеченных из-за того, что они являются. . . мнимыми и бесконечно
удаленными одновременно. Эти точки называются циклическими.
Теперь — несколько слов о четырех немецких математиках:
Фердинанде Мёбиусе (1790 – 1868), Якобе Штейнере (1796 – 1863),
Христиане фон Штаудте (1798 – 1867) и уже упоминавшемся
Плюккере. С их именами связана ожесточеннейшая борьба меж-
ду аналитическим и синтетическим направлениями в геометрии.
Здесь слова «анализ» и «синтез» употребляются в нестандартном
смысле: аналитическая геометрия использует метод координат, в ре-
зультате чего делается возможным применение алгебры и анализа в
геометрии; синтетическая геометрия оперирует с непосредственными
пространственными конструкциями.
Наиболее ожесточенным был поединок между аналитиком
Плюккером и синтетиком Штейнером; Мёбиус (аналитик) и Шта-
удт (синтетик) держались в стороне от борьбы. Клейну было
очень легко оказаться вовлеченным в борьбу на стороне аналити-
ков, но он сумел остаться над схваткой, возможно, руководствуясь
правилом его знакомого физиолога Людвига: «Нужно удалить-
ся на 600 километров от места споров и оттуда пересмотреть
отношения».
Деятельность аналитиков прежде всего требовала усовершен-
ствовать метод координат. В плане синтетическом важно было
дать бескоординатные определения объектов проективной геомет-
рии, например, кривых второго порядка. Это сделал Штейнер —
366 Феликс Клейн (1849 – 1925)


очень колоритная фигура в истории математики. Швейцарский
крестьянин, до 19 лет ходивший за плугом, он начал заниматься
математикой в зрелом возрасте. Штейнер был решительно на-
строен против мнимых величин в геометрии, называя их «призра-
ками» или «царством теней». Впрочем, фон Штаудт показал, что
с мнимыми объектами, возникающими в проективной геометрии,
можно связать эквивалентные им чисто вещественные конструк-
ции. Другое важное достижение Штаудта состояло в том, что он
сумел определить двойное отношение четырех точек непосред-
ственно, без использования расстояний (которые не сохраняются
при проективных преобразованиях).
И наконец, еще одно имя — английского математика Артура
Кэли (1821 – 1895), долгое время занимавшегося математикой
без отрыва от адвокатской практики. Мы остановимся на од-
ном сочинении Кэли — знаменитом «Шестом мемуаре о формах»
(1859 г.). Кэли заметил, что евклидовы перемещения выделя-
ются из всех проективных преобразований тем, что сохраняют
циклические точки. В результате, с использованием циклических
точек, все объекты евклидовой геометрии (расстояния, величи-
ны углов и т. д.) можно определить через проективные понятия
(сохраняющиеся при проективных преобразованиях). Кэли на-
зывает проективную геометрию дескриптивной, а евклидову —
метрической и пишет: «Метрическая геометрия есть, таким об-
разом, часть дескриптивной, а дескриптивная геометрия — вся
геометрия». Следует иметь в виду, что раньше положение ка-
залось прямо противоположным, а именно, что проективная
геометрия — сравнительно бедная часть евклидовой. Далее Кэ-
ли замечает, что исходя из проективной геометрии можно ввести
расстояния, отличные от евклидова (метрики или мероопределе-
ния Кэли): каждое такое расстояние на плоскости связывается
с некоторой кривой второго порядка (вещественной или мни-
мой), так что это расстояние не меняется при всех проектив-
ных преобразованиях, сохраняющих рассматриваемую кривую.

Модель Кэли–Клейна. В 1869 году Клейн познакомился с теорией
Кэли, а в конце того же года — довольно поверхностно — с гео-
метрией Лобачевского. Тотчас же у него возникла мысль, что
одна из метрик Кэли приводит к геометрии Лобачевского. Это
Феликс Клейн (1849 – 1925) 367


была догадка, почти лишенная аргументации. Теория Кэли и тео-
рия Лобачевского радикально отличались внешне (вычисления с
двойным отношением у Кэли и аксиоматическое изложение у Ло-
бачевского), а геометрии Кэли были еще недостаточно разрабо-
таны для того, чтобы можно было проверять аксиомы геометрии
Лобачевского. В феврале 1870 года Клейн, делая доклад по тео-
рии Кэли на семинаре Вейерштрасса, решился обнародовать свою
гипотезу. На этом семинаре было не принято обсуждать фантасти-
ческие проекты: «зарвавшемуся» молодому человеку объяснили,
что «это две далеко отстоящие друг от друга системы»; Клейн
же был столь мало подготовлен к защите своей гипотезы, что
«позволил переубедить себя». Позднее он жаловался на Вейер-
штрасса, что у того «не было склонности распознавать с отдале-
ния очертания еще не достигнутых высот». Но Клейн не перестал
верить в свою гипотезу. Летом 1871 года он с помощью своего
друга Штольца уже основательно изучил неевклидову геометрию
и убедился в справедливости своей догадки. Даже обладая дока-
зательством, Клейну было нелегко убедить окружающих в своей
правоте. Вероятно, наиболее досадно было Клейну то, что среди
несогласных с его утверждением до конца своей жизни оставал-
ся Кэли. «Состарившийся дух не в состоянии сделать выводы из
созданных им самим положений», — писал Клейн.
Несколько слов о самой модели Кэли–Клейна. «Точками» в
этой модели являются внутренние точки круга (круг можно заме-
нить областью, ограниченной любой кривой второго порядка), а
«прямыми» — хорды этого круга (без концов). Точки пересечения
«прямых» определяются естественным образом; ясно, что через
«точку» вне «прямой» проходит бесконечное число «прямых», не
пересекающих исходную, то есть налицо отрицание аксиомы па-
раллельных из евклидовой геометрии. Надо еще убедиться в том,
что все остальные евклидовы аксиомы для описанной модели вы-
полняются: это и будет означать, что модель Клейна — это модель
геометрии Лобачевского. Сравнительно просто проверяются акси-
омы, касающиеся взаимного положения точек и прямых. Но когда
дело доходит до проверки аксиом равенства, то прежде всего надо
договориться, какие отрезки считать равными; унаследовать соот-
ветствующие понятия евклидовой геометрии нельзя. Клейн, сле-
дуя Кэли, полагает длину отрезка AB равной | ln{A, B, ?, ?}|, где
368 Феликс Клейн (1849 – 1925)


? и ? — точки пересечения «прямой» AB с границей рассматрива-
емого круга (эту окружность называют абсолютом). Проективные
преобразования, сохраняющие абсолют, сохраняют так определен-
ное «расстояние», т. е. являются перемещениями в модели Кэли–
Клейна геометрии Лобачевского.
Итальянский математик Эудженио Бельтрами (1835 – 1900) наме-
тил другой путь к обоснованию геометрии Лобачевского еще в 1868 го-
ду. Он обнаружил поверхность — псевдосферу, — кратчайшие линии на
которой (геодезические) ведут себя так, как прямые в геометрии Лоба-
чевского. Затем Бельтрами отобразил некоторым образом псевдосферу
в круг и получил те же формулы, что позже и Клейн в своей теории.
Клейн исследовал другие неевклидовы геометрии, к которым
приводят метрики Кэли, обнаружив, в частности, модель геомет-
рии Римана (в геометрии Римана сумма углов треугольника боль-
ше ?, в геометрии Лобачевского она всегда меньше ?).
Обсудим теперь, что же дает модель Кэли – Клейна для геометрии
Лобачевского. Прежде всего — это отличный от аксиоматического спо-
соб изложения, более наглядный. Клейн предваряет свою публикацию
(1871 г.) словами, что его цель — «дать новое наглядное изложение ма-
тематических результатов работ, относящихся к теории параллельных,
и сделать их доступными ясному пониманию» (примерно так же фор-
мулирует свою цель и Бельтрами). Однако построение модели решает
далеко не только методическую проблему. Ныне модель Кэли – Клейна
рассматривается прежде всего как средство доказательства непротиво-
речивости геометрии Лобачевского. В модели Кэли – Клейна объекты
геометрии Лобачевского формируются на языке евклидовой геометрии,
так что после перевода на этот язык теоремы геометрии Лобачевско-
го превращаются в теоремы евклидовой геометрии, и, таким образом,
геометрия Лобачевского непротиворечива, если непротиворечива евкли-
дова геометрия.
Клейн видел основное значение построенной им модели в другом.
Он ставил во главу угла проективную геометрию, равноправными и
независимыми частями которой являются геометрии Евклида и Ло-
бачевского. В этом плане подчеркивалась независимость построенной
модели геометрии Лобачевского от евклидовой геометрии, для чего,
в свою очередь, была важна возможность строить проективную гео-
метрию, не пользуясь евклидовой (по Штаудту). Именно этот момент
вызывал у Кэли подозрения в существовании порочного круга. Клейн
писал: «Вместо того чтобы внутри нашей метрической геометрии стро-
ить образы неевклидовой геометрии, мы обосновываем свободную от
всяких метрическими представлений проективную геометрию, которая
Феликс Клейн (1849 – 1925) 369


содержит в себе как частные случаи, поддающиеся отчетливой класси-
фикации, все известные геометрические системы».

Эрлангенская программа. Веками слово «геометрия» употребля-
лось только в единственном числе. Но вот появилась геометрия
Лобачевского, затем геометрия Римана, и наконец, математики
поняли, что существует много различных геометрий. Возник есте-
ственный вопрос: что же такое геометрия? В 1872 году Клейн
высказал свою точку зрения в лекции, прочитанной им в связи со
вступлением в профессорскую должность в Эрлангене. Так появи-
лась «Эрлангенская программа», по-видимому, самое известное
сочинение Клейна. По существу в нем нет новых результатов, все
внимание сконцентрировано на поисках принципа, позволяющего
систематизировать очень аморфное образование, в которое пре-
вратилась к тому времени геометрия.
По Клейну, основным атрибутом всякой геометрии является
некоторый набор G взаимно однозначных преобразований неко-
торого множества M . Преобразований должно быть достаточно
много для того, чтобы каждую точку множества M можно бы-
ло перевести в другую некоторым преобразованием из G (в этом
случае говорят, что G действует на M транзитивно). Такая точка
зрения была навеяна, конечно, проективной геометрией, в кото-
рой с самого начала первичными были некоторые преобразования
(центральные проектирования), в то время как в евклидовой гео-
метрии (в традиционном изложении) первичны другие объекты:
прямые, отрезки, равные фигуры и т. д.
Следующее положение состоит в том, что набор преобразова-
ний G должен быть группой. Это означает, что любые два пре-
образования из G, выполненные подряд, можно заменить одним
преобразованием, также из G; кроме того, вместе с каждым пре-
образованием g ? G в G входит и обратное к нему: g ?1 (если
g переводит x в y, то g ?1 переводит y в x). Например, движе-
ния плоскости или ее проективные преобразования проективной
плоскости образуют группу.
Итак, с каждой группой преобразований G связывается неко-
торая геометрия. Что же составляет содержание такой геометрии?
Прежде всего — нахождение инвариантов группы G — свойств, ко-
торые сохраняются при действии преобразований из G (точнее,
370 Феликс Клейн (1849 – 1925)


если какой-то объект нашей геометрии обладает инвариантным
свойством, то каким бы преобразованием из G мы на него ни дей-
ствовали, получится объект, также обладающий этим свойством).
Для группы перемещений евклидовой геометрии инвариантами
являются все известные геометрические свойства, так как мы не
различаем положения фигур на плоскости. Однако и в тради-
ционном курсе геометрии имеются нетривиальные утверждения
об инвариантах преобразований, не являющихся перемещениями.
При гомотетиях сохраняются равенство углов, свойство кривой
быть окружностью, отношение длин отрезков, отношение площа-
дей. Имея некоторый запас инвариантных свойств, можно кон-
струировать новые. Относительно гомотетий инвариантными бу-
дут свойство прямой быть биссектрисой угла, свойство кривой
быть полуокружностью. Относительно осевых растяжений свой-
ство кривой быть окружностью уже не будет инвариантом, но
будет инвариантом свойство кривой быть эллипсом (а также ги-
перболой или параболой); сохраняется отношение длин отрезков,
лежащих на одной прямой (но не на разных), отношение площа-
дей. Следствием является инвариантность свойства точки делить
отрезок в данном отношении, свойства прямой быть медианой
треугольника. Можно показать, что всякое аффинное преобразо-
вание можно представить в виде композиции перемещений и осе-
вых растяжений, а потому все указанные свойства инвариантны
относительно аффинных преобразований (пример проективного
инварианта — двойное отношение — приведен на с. 365).
Выделение инвариантов — только первый слой геометрии. Ее
основное содержание составляют теоремы о соотношениях меж-
ду инвариантными свойствами (эти соотношения называют си-
зигиями). Например, теорема о том, что медианы треугольника
пересекаются в одной точке, которая делит их в отношении 1 : 2,
сконструирована из аффинных инвариантов: быть точкой пересе-
чения прямых, делить отрезок в данном отношении, быть меди-
аной треугольника. Именно поэтому, если она справедлива для
одного треугольника, она справедлива для его образа при аф-
финном преобразовании, и ее достаточно проверить для одного
треугольника, например, равностороннего (аффинным преобра-
зованием можно преобразовать любой треугольник в любой дру-
гой). В теоремах о пересечении биссектрис и высот выводится
Феликс Клейн (1849 – 1925) 371


зависимость между инвариантами гомотетий.
На возможность использования геометрических преобразований
для получения новых теорем обратил внимание в 1837 году Шаль:
«Теперь каждый в состоянии взять какую-нибудь известную истину
и применить к ней различные общие принципы преобразований; так
он получит другие истины. . . Гений больше не является необходимым
для того, чтобы вносить свою лепту в построение величественного
храма науки». Однако если понимать рецепт Шаля буквально: взять
любую теорему и применить к ней произвольное преобразование, — то
получится верное утверждение, но с такой корявой формулировкой,
что у него будет мало шансов остаться в «храме науки». Подумайте,
например, во что превратится теорема о пересечении биссектрис, если
сделать осевое растяжение. Как объяснить, в какую прямую перейдет
биссектриса? Клейн объясняет, что важно, напротив, понять, какие из
преобразований утверждения не меняют, подобрать преобразования,
максимально упрощающие картину, и доказать утверждение в полу-
ченной (более простой) форме. Вот традиционный пример. Аффинным
преобразованием любой треугольник можно превратить в равносто-
ронний, и поскольку в теореме о точке пересечения медиан речь идет
о соотношении между аффинными инвариантами, то эту теорему до-
статочно проверить для равностороннего треугольника (что уже очень
просто).
Эти соображения позволяют уточнить рецепт Шаля. Пусть подме-
чено некоторое соотношение между аффинными инвариантами в рав-
ностороннем треугольнике единичной площади: например, пусть ? —
площадь шестиугольника, образованного «тридианами» — прямыми, со-
единяющими вершины треугольника с точками, делящими противопо-
ложную сторону на три равные части. Тогда в любом треугольнике от-
ношение площади шестиугольника, образованного тридианами, к пло-
щади всего треугольника равно ?. Теперь вы легко можете придумать
другие теоремы такого рода.
Один из важнейших моментов в рассуждениях Клейна — это
выяснение взаимоотношения между геометриями, связанными с
группами G1 , и G2 , если G1 ? G2 . (Говорят, что G1 — подгруппа
группы G2 .) У большей группы G2 меньше инвариантов, чем у G1 ,
и все теоремы, связанные с группой G2 , верны и для геометрии,
связанной с меньшей группой G1 .
Поэтому в каждой конкретной геометрии важно найти такие
утверждения, которые останутся справедливыми и для геомет-
рий с более широкими группами преобразований. Иногда возмож-
ность «перенесения» утверждения в геометрию с более широкой
372 Феликс Клейн (1849 – 1925)


группой преобразований становится ясной лишь после переработ-
ки формулировки утверждения.
Идеология Кэли на языке эрлангенской программы состоит в том,
что можно двигаться обратным путем, рассматривая группу преобра-
зований, сохраняющих некоторый фиксированный объект. При этом
часто инварианты для подгруппы можно конструировать при помощи
инвариантов для группы (расстояния в евклидовой и неевклидовых гео-

<< Пред. стр.

страница 38
(всего 46)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

Copyright © Design by: Sunlight webdesign