LINEBURG


<< Пред. стр.

страница 37
(всего 46)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

В 1804 г. Гаусс опровергает попытки Ф. Бойяи доказать постулат
о параллельных. Письмо заканчивается так: «Однако я еще на-
деюсь на то, что некогда, и еще до моего конца, эти подводные
камни позволят перебраться через них». Похоже, что эти слова
означают надежду, что доказательство будет найдено.
Вот еще несколько свидетельств: «В теории параллельных мы
до сих пор не опередили Евклида. Это позорная часть математи-
ки, которая, рано или поздно, должна принять совершенно другой
вид» (1813 г.). «Мы не продвинулись дальше того места, где был
Евклид 2000 лет назад» (1816 г.). Однако в том же 1816 г. он гово-
рит о «пробеле, который нельзя заполнить», а в 1817 г. в письме
Ольберсу мы читаем: «Я все больше прихожу к убеждению, что
необходимость нашей геометрии не может быть доказана, по край-
Королевские будни 353


ней мере, человеческим умом и для человеческого ума. Может
быть, в другой жизни мы придем к другим взглядам на природу
пространства, которые нам теперь недоступны. До тех пор гео-
метрию следует ставить в ряд не с арифметикой, существующей
чисто априори, а скорее с механикой».
Примерно в то же время к мысли о невозможности доказать
пятый постулат пришел юрист из Кенигсберга Швейкарт. Он
предположил, что наряду с евклидовой геометрией существу-
ет «астральная геометрия», в которой постулат о параллельных
не имеет места. Работавший в Кенигсберге ученик Гаусса Гер-
линг написал учителю о мыслях Швейкарта и приложил заметку
последнего. В ответе Гаусс пишет: «Почти все списано с мо-
ей души». Деятельность Швейкарта продолжил его племянник
Тауринус, с которым Гаусс обменялся несколькими письмами,
начиная с 1824 г.
В письмах Гаусс подчеркивает, что его высказывания носят
сугубо частный характер и их ни в коем случае не следует преда-
вать гласности. Он не верит, что эти идеи могут быть восприняты,
и боится заинтересованности толпы дилетантов. Гаусс пережил
немало тяжелых лет и очень дорожит возможностью спокойно
работать. Он предупреждает Герлинга, который собирался лишь
упомянуть, что постулат о параллельных может оказаться неве-
рен: «Но осы, гнездо которых Вы разрушаете, поднимутся над
Вашей головой». Постепенно зреет решение записать результаты,
но не публиковать их: «Вероятно, я еще не скоро смогу обрабо-
тать свои пространные исследования по этому вопросу, чтобы их
можно было опубликовать. Возможно даже, я не решусь на это
во всю свою жизнь, потому что боюсь крика беотийцев1 , который
поднимется, если я выскажу свои воззрения целиком» (письмо
Бесселю 1829 г.). В мае 1831 г. Гаусс начинает систематические
записи: «Вот уже несколько недель, как я начал излагать пись-
менно некоторые результаты моих собственных размышлений об
этом предмете, частично имеющих уже 40-летнюю давность, но
никогда мною не записанных, вследствие чего я должен был 3
или 4 раза возобновлять весь труд в моей голове. Мне не хотелось

1
По преданию, жители Беотии славились в Древней Греции своей глу-
постью.
354 Карл Фридрих Гаусс (1777 – 1855)


бы, однако, чтобы это погибло вместе со мной» (письмо Шумахе-
ру).
Однако в 1832 г. он получил от Фаркаша Бойяи небольшое со-
чинение его сына Яноша «Аппендикс» (название связано с тем,
что оно было издано в виде приложения к большой книге от-
ца). «Мой сын ставит на твое суждение больше, чем на суждение
всей Европы». Содержание книги поразило Гаусса: в ней полно
и систематически строилась неевклидова геометрия. Это были не
отрывочные замечания и догадки Швейкарта-Тауринуса. Такое
изложение собирался получить сам Гаусс в ближайшее время. Он
пишет Герлингу: «. . . я нашел все мои собственные идеи и резуль-
таты, развитые с большим изяществом, хотя, вследствие сжатости
изложения, в форме, трудно доступной тому, кому чужда эта об-
ласть . . . ; я считаю, что этот юный геометр Бойяи — гений первой
величины». А вот что написано отцу: «. . . все содержание рабо-
ты, путь, по которому твой сын пошел, и результаты, которые он
получил, — почти сплошь совпадают с моими, которые я частич-
но получил уже 30 – 35 лет тому назад. Я действительно этим
крайне поражен. Я имел намерение о своей собственной работе,
кое-что из которой я теперь нанес на бумагу, при жизни ничего
не публиковать . . . я имел намерение . . . , чтобы эти мысли, по,
крайней мере, не погибли со мной. Я поэтому чрезвычайно пора-
жен случившимся — оно освобождает меня от этой необходимости;
и меня очень радует, что именно сын моего старого друга таким
удивительным образом меня предвосхитил». Никакой публичной
оценки или поддержки Янош Бойяи от Гаусса не получил. По-
видимому, одновременно Гаусс прервал систематические записи
по неевклидовой геометрии, хотя сохранились эпизодические за-
метки, относящиеся к 40-м годам.
В 1841 г. Гаусс познакомился с немецким изданием работы Ло-
бачевского (первые публикации Лобачевского относятся к 1829 г.).
Верный себе, Гаусс, интересуется другими публикациями авто-
ра, ограничиваясь высказываниями о нем в переписке с близкими
корреспондентами. Впрочем, по предложению Гаусса, в 1842 г. Ло-
бачевского «как одного из превосходнейших математиков русско-
го государства» избрали членом-корреспондентом Геттингенского
ученого королевского общества. Гаусс лично известил Лобачевско-
го об избрании. Однако ни в представлении Гаусса, ни в дипломе,
Королевские будни 355


выданном Лобачевскому, неевклидова геометрия не упоминалась.
О работах Гаусса по неевклидовой геометрии узнали лишь при
публикации посмертного архива. Так Гаусс обеспечил себе воз-
можность спокойно работать отказом обнародовать свое великое
открытие, вызвав не смолкающие по сей день споры о допустимо-
сти занятой им позиции,
Следует отметить, что Гаусса интересует не только чисто ло-
гический вопрос о доказуемости постулата о параллельных. Его
интересует место геометрии в естественных науках, вопрос об
истинной геометрии нашего физического мира (см. выше выска-
зывание от 1817 г.). Он обсуждает возможность астрономической
проверки, с интересом отзываясь о соображениях Лобачевского
по этому поводу. При занятиях геодезией Гаусс не удержался
от измерения суммы углов треугольника с вершинами Высокий
Гаген, Брокен, Инсельберг. Отклонение от ? не превысило 0,2? .

Электродинамика и земной магнетизм. К концу 20-х годов Гаусс,
перешедший 50-летний рубеж, начинает поиски новых для се-
бя областей научной деятельности. Об этом свидетельствуют две
публикации 1829 и 1830 гг. Первая из них несет печать размыш-
лений об общих принципах механики (здесь строится «принцип
наименьшего принуждения» Гаусса); другая посвящена изучению
капиллярных явлений. Гаусс решает заниматься физикой, но его
узкие интересы еще не определились. В 1831 г. он пытается зани-
маться кристаллографией. Это очень трудный год в жизни Гаусса:
умирает его вторая жена, у него начинается тяжелейшая бессон-
ница. В этом же году в Геттинген приезжает приглашенный по
инициативе Гаусса 27-летний физик Вильгельм Вебер. Гаусс по-
знакомился с ним в 1828 г. в доме Гумбольдта. О замкнутости
Гаусса ходили легенды, и все же в Вебере он нашел сотоварища
по занятиям наукой, какого он никогда не имел прежде.
«Внутреннее различие этих людей достаточно выражалось
также и в их внешнем облике. Гаусс — приземистый, крепко-
го телосложения, настоящий представитель Нижней Саксонии,
малоразговорчивый и замкнутый в себе. Своеобразной проти-
воположностью ему является небольшой, изящный, подвижный
Вебер, чрезвычайная любезность и разговорчивость которого сра-
зу же обнаруживали коренного саксонца; он был действительно
356 Карл Фридрих Гаусс (1777 – 1855)


родом из Виттенберга, этой страны саксонцев в квадрате“ . На

геттингенском памятнике Гауссу и Веберу эта противоположность
из художественных соображений смягчена, и даже по возрасту
они кажутся более близкими, чем это было в действительности»
(Ф. Клейн).
Интересы Гаусса и Вебера лежали в области электродинамики
и земного магнетизма. Их деятельность имела не только теорети-
ческие, но и практические результаты. В 1833 г. они изобрета-
ют электромагнитный телеграф (это событие запечатлено в их
общем памятнике). Первый телеграф связывал обсерваторию и
физический институт. По финан-
совым причинам внедрить теле-
граф в жизнь его создателям не
удалось.
В процессе занятий магнетиз-
мом Гаусс пришел к выводу, что
системы физических единиц надо
строить, вводя некоторое количе-
ство независимых величин и вы-
ражая остальные величины через
них. Изучение земного магнетиз-
ма опиралось как на наблюдения в
магнитной обсерватории, создан-
ной в Геттингене, так и на мате-
риалы, которые собирались в раз-
ных странах «Союзом для наблю-
Карл Фридрих Гаусс дения над земным магнетизмом»,
созданным Гумбольдтом после возвращения из Южной Амери-
ки. В это же время Гаусс создает одну из важнейших глав ма-
тематической физики — теорию потенциала. Совместные занятия
Гаусса и Вебера были прерваны в 1843 г., когда Вебера вместе с
шестью другими профессорами изгнали из Геттингена за подписа-
ние письма королю, в котором указывались нарушения последним
конституции (Гаусс не подписал письма). Возвратился в Геттинген
Вебер лишь в 1849 г., когда Гауссу было уже 72 года. Мы за-
кончим наш рассказ о Гауссе словами Клейна: «Гаусс напоминает
мне образ высочайшей вершины баварского горного хребта, какой
она предстает перед глазами наблюдателя, глядящего с севера.
Карл Фридрих Гаусс (1777 – 1855) 357


В этой горной цепи в направлении с востока на запад отдельные
вершины подымаются все выше и выше, достигая предельной вы-
соты в могучем, высящемся в центре великане; круто обрываясь,
этот горный исполин сменяется низменностью новой формации,
в которую на много десятков километров далеко проникают его
отроги, и стекающие с него потоки несут влагу и жизнь».

Добавление. Задачи на построение, приводящие к кубическим
уравнениям
В «Арифметических исследованиях» Гаусс сообщает без доказа-
тельства, что нельзя построить циркулем и линейкой правиль-
ные n-угольники для простых n, не являющихся простыми чис-
лами Ферма, в частности, правильный 7-угольник. Этот отрица-
тельный результат должен был удивить современников не мень-
ше, чем возможность построения правильного 17-угольника. Ведь
n = 7 — первое значение n, для которого, несмотря на многочис-
ленные попытки, построение правильного n-угольника не полу-
чалось. Несомненно, что греческие геометры подозревали, что с
этой задачей дело обстоит неблагополучно, и неспроста, скажем,
Архимед предложил способ построения правильного n-угольника,
использующий конические сечения. Однако вопрос о доказатель-
стве невозможности построения, по-видимому, даже не вставал.
Надо сказать, что доказательства отрицательных утвержде-
ний всегда играли в истории математики принципиальную роль.
Доказательство невозможности требует так или иначе обозреть
все мыслимые способы решения, построения или доказательства,
в то время как для положительного решения достаточно указать
один конкретный способ.
Доказательства невозможности в математике имели знамена-
тельное начало, когда пифагорейцы (VI век до н. э.), стремившие-
ся всю математику свести к целым числам, собственными руками
похоронили эту идею: оказалось, что не существует дроби, квад-
рат которой равен 2. Другая формулировка: диагональ и сторона
квадрата несоизмеримы. Итак, целых чисел и их отношений недо-
статочно для описания очень простой ситуации. Это открытие
удивило величайших мыслителей Древней Греции. Легенда утвер-
ждает, что боги покарали пифагорейца, сообщившего этот факт
358 Карл Фридрих Гаусс (1777 – 1855)


людям (он погиб при кораблекрушении). Платон (429 – 348 до н. э.)
рассказывает о том, как поразило его существование иррацио-
нальных величин. Однажды Платон столкнулся с «практической»
задачей, заставившей его переосмыслить возможности геометрии.
«Эратосфен рассказывает в своем сочинении Платоник“ , что

когда бог возвестил через оракула делийцам, что, дабы избавиться
от чумы, они должны построить жертвенник вдвое больше ста-
рого, строители стали в тупик перед задачей построить тело, в
два раза большее данного. Они обратились за советом к Плато-
ну, и тот сказал им, что бог дал им это предсказание не потому,
что ему нужен вдвое больший жертвенник, но что он возвестил
это в укор грекам, которые не думают о математике и не до-
рожат геометрией» (Теон Смирнский). Платону не откажешь в
умении использовать подходящий момент для пропаганды нау-
ки! По свидетельству Евтония, аналогичная задача (об удвоении
надгробного камня Главку) фигурировала уже в одном варианте
легенды о Миносе.
Итак, речь идет о нахождении стороны куба с удвоенным объ-
емом, т. е. о построении корня уравнения x3 = 2. Платон направил
делийцев к Евдоксу и Геликону. Разные решения предложили Ме-
нехм, Архит и Евдокс, но никто из них не нашел построения при
помощи циркуля и линейки. Позднее Эратосфен, построивший
механический прибор для решения задачи об удвоении куба, в сти-
хотворении, высеченном на мраморной доске в храме Птолемея в
Александрии, квалифицирует решения своих предшественников
как слишком сложные: «Нужды тебе уж не будет в премудром
цилиндре Архита, в конусе не для тебя высек триаду Менехм, и с
богоравным Евдоксом изогнутых линий не надо. . . ». Менехм за-
метил, что решаемая задача эквивалентна задаче о двух средних
пропорциональных (для заданных a, b): a : x = x : y = y : b. Его ре-
шение использовало конические сечения. Об «изогнутых линиях»
Евдокса мы ничего не знаем. Что касается механического реше-
ния, то Эратосфен не был первым. По свидетельству Плутарха,
«сам Платон порицал друзей Евдокса, Архита и Менехма, кото-
рые хотели свести удвоение куба к механическим построениям;
ибо они думали получить средние пропорциональные не из тео-
ретических соображений, но ведь таким образом уничтожается и
гибнет благо геометрии, и этим путем геометрия возвращается об-
Карл Фридрих Гаусс (1777 – 1855) 359


ратно к чувственному, вместо того чтобы подыматься выше этого
и твердо держаться вечных, нематериальных образов, пребываю-
щий в коих Бог есть вечный Бог». Впрочем, Евтоний приписывает
самому Платону (по-видимому, ошибочно) некое механическое ре-
шение делийской задачи, использующее плотничьи угольники с
пазами и подвижными рейками. Платону с его отвращением к
«материальным вещам, которые требуют длительной обработки
недостойным ремеслом» (Плутарх) нередко противопоставляют
Архимеда (287 – 212 до н. э.), прославившегося многочисленными
изобретениями, в частности, машинами, примененными при обо-
роне Сиракуз. Впрочем, тот же Плутарх утверждает, что Архимед
лишь поддался уговорам царя Гиерона «отвлечь свое искусство
от абстракций . . . , и осязательным образом заняться тем, чего
требует действительность», хотя и считал, что практика — «дело
низкое и неблагородное; сам же он стремился лишь к тому, что по
красоте своей и совершенству находится далеко от царства необ-
ходимости».
Наряду с делийской задачей греческая геометрия оставила еще
несколько задач, в которых построение не удавалось осуществить
циркулем и линейкой: трисекция угла (деление угла на три рав-
ные части), квадратура круга и задача о построении правильно-
го n-угольника, в частности, 7-угольника и 9-угольника. Связь
некоторых из этих задач с кубическими уравнениями сознавали
греческие и еще в большей степени арабские математики.
Задача о правильном 7-угольнике сводится к уравнению z 6 +
z 5 + z 4 + z 3 + z 2 + z + 1 = 0 (см. с. 314) или
1 1 1
z3 + + z2 + 2 + z + + 1 = 0.
z3 z z
1
Переходя к переменной x = z + , получаем уравнение
z
x3 + x2 ? 2x ? 1 = 0.
Мы покажем, что корни уравнений удвоения куба и семиуголь-
ника не могут быть квадратичными иррациональностями, откуда
и будет следовать невозможность построения циркулем и линей-
кой. Мы докажем результат, который обслуживает весьма общую
ситуацию:
360 Карл Фридрих Гаусс (1777 – 1855)


Теорема. Если кубическое уравнение a3 x3 + a2 x2 + a1 x + 0 = 0 с
целыми коэффициентами имеет корень, являющийся квадратич-
ной иррациональностью, то оно имеет и рациональный корень.
Доказательство. Пусть x1 — такой корень. Он получается из це-
лых чисел при помощи арифметических операций и извлечения
квадратного корня. Проанализируем эту конструкцию. Вначале
корень извлекается из некоторого количества рациональных чи-
v v v
сел: A1 , A2 ,. . . , Aa , затем из некоторых чисел, получающихся
при помощи арифметических операций из рациональных чисел
v v v v
и Ai ( B1 , B2 ,. . . , Bb ) и т. д.; на каждом шаге корень из-
влекается из каких-то чисел, арифметически выражающихся че-
рез полученные на всех предыдущих шагах. Возникают «этажи»
v
квадратичных иррациональностей. Пусть N — одно из чисел, по-
лученных на последнем шаге перед образованием x1 . Сконцентри-
v
руем внимание на том, как N входит в x1 . Оказывается, можно
v v
считать, что x1 = ? + ? N , где N не входит в квадратичные
иррациональности ? и ?. Достаточно заметить,v что арифмети-
ческие операции над выражениями вида ? + ? N приводят к
таким же выражениям: для сложения и вычитания это очевидно,
для умножения проверяется непосредственно, для деления надо
v
исключить N из знаменателя:
v v v
(? + ? N )(? ? ? N )
?+? N
v= .
? 2 ? ?2N
?+? N
v
Если теперь подставить x1 = ? + ? N в уравнение v выпол- и
нить действия, то получится соотношение вида P + Q N = 0, v
где P , Q — многочлены от ?, ?, ai . ЕслиvQ = 0, то N =
= ?P/Q, и подставляя выражение для N в x1 , можно по- v
лучить для x1 представление, уже не содержащее N . Если
v
же Q = 0, то проверяется, что x2 = ? ? ? N — также ко-
рень, а учитывая, что ?a2 /a3 = x1 + x2 + x3 — сумма корней
(теорема Виета), получаем: x3 = ?a2 /a3 ? 2?, т. е. опять-таки
имеется корень, являющийся квадратичной иррациональностью,
v v v
выражающейся через Ai , B i ,. . . , как и x1 , но без N . Про-
должая этот процесс дальше, мы избавимся в выражении для
корня уравнения ото всех радикалов поэтажно, начиная с по-
следнего этажа. После этого получится рациональный корень,
Карл Фридрих Гаусс (1777 – 1855) 361


и доказательство окончено.
Теперь остается проверить, что у интересующих нас уравне-
ний нет рациональных корней. Предположим, что у уравнения
старший коэффициент a3 = 1. Тогда всякий рациональный ко-
рень является целым. Достаточно подставить x = p/q (p и q
взаимно просты) в уравнение, умножить обе части на q 3 и убе-
диться, что p3 , а значит и p, делится на q, т. е. q = 1. Далее,
если ? — корень, то x3 + a2 x2 + a1 x + 0 = (x ? ?)(x2 + mx + n),
где a2 = ? + m, a1 = ??m + n, a0 = ??n, т. е. m = a2 + ?,
n = a1 + a2 ? + ?2 . Значит, если ai и ? — целые, то m и n — це-
лые, и ? должен быть делителем a0 . В результате для уравнений
с a3 = 1 поиски рациональных корней сводятся к перебору ко-
нечного числа возможностей — делителей свободного члена. Для
интересующих нас уравнений легко проверяется отсутствие це-
лочисленных корней, а значит, отсутствие корней, являющихся
квадратичными иррациональностями.
ФЕЛИКС КЛЕЙН

Славу великого математика Феликсу Клейну принесли работы,
выполненные на протяжении одного десятилетия. Клейн прекра-
тил активные занятия математикой в 33 года, но до конца дней
оставался в центре научно-организационной жизни, полностью
посвятив себя педагогической и литературной деятельности.
Рыцарские шпоры. Ф. Клейн родился в 1849 году в Дюссельдор-
фе. Здесь он окончил гимназию; в 1865 году поступил в Боннский
университет. Уже на следующий год профессор Юлиус Плюк-
кер (1801 — 1868) привлек семнадцатилетнего студента в качестве
ассистента по физике. Плюккер начинал свою научную деятель-
ность как геометр, но постепенно переключился на занятия экс-
периментальной физикой. Однако в последние годы жизни, после
двадцатилетнего перерыва, Плюккер возвратился к геометрии.
«Этот поворот сыграл решающую роль в моем собственном раз-
витии» — писал Клейн. Посмертное издание последнего мемуара
Плюккера (1869 г.) было подготовлено Клейном. Возможно, это
и послужило причиной тому, что его диссертация (1868 г.), кото-
рой, по словам самого Клейна, он «заслужил рыцарские шпоры»,
и его первая публикация (1869 г.) были геометрическими.
Лишившись учителя, Клейн становится «странствующим ры-
царем». Он посещает основные математические центры Германии
(Геттинген, Берлин), устанавливает личные контакты с Клеб-
шем, Вебером, Вейерштрассом. На подающего надежды молодого
ученого, который хочет и умеет учиться, сразу обращают вни-
мание. Не менее важны контакты Клейна со сверстниками.

<< Пред. стр.

страница 37
(всего 46)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

Copyright © Design by: Sunlight webdesign