LINEBURG


<< Пред. стр.

страница 36
(всего 46)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

ществу, теорией чисел больше не занимался. Он лишь продумы-
вал и доделывал то, что было задумано в те годы. Например, он
придумал еще шесть разных доказательств квадратичного закона
взаимности. «Арифметические исследования» сильно опередили
свое время. В процессе их создания Гаусс не имел серьезных мате-
матических контактов, а вышедшая книга долго не была доступна
никому из немецких математиков. Во Франции, где можно было
рассчитывать на интерес Лагранжа, Лежандра и др., книге не по-
везло: обанкротился книготорговец, который должен был распро-
странять книгу, и большая часть тиража пропала. В результате
ученикам Гаусса приходилось позднее переписывать отрывки из
книги от руки. Положение в Германии стало меняться лишь в 40-
х годах, когда Дирихле основательно изучил «Исследования» и
читал по ним лекции. А в Казань — к Бартельсу и его ученикам —
книга попала в 1807 г.
«Арифметические исследования» оказали огромное влияние
на дальнейшее развитие теории чисел и алгебры. Отталкиваясь от
работы Гаусса о делении круга, Галуа пришел к решению вопроса
о разрешимости уравнений в радикалах. Законы взаимности до
сих пор занимают одно из центральных мест в алгебраической
теории чисел.

Гельмштадтская диссертация. В Брауншвейге Гаусс не имел лите-
ратуры, необходимой для работы над «Арифметическими иссле-
дованиями». Поэтому он часто ездил в соседний Гельмштадт, где
была хорошая библиотека. Здесь в 1798 г. Гаусс подготовил дис-
сертацию, посвященную доказательству «основной теоремы ал-
гебры» — утверждения о том, что всякий многочлен с комплекс-
ными (в частности, с действительными) коэффициентами имеет
комплексный корень (если хотеть оставаться в области действи-
тельных чисел, то основную теорему алгебры можно сформули-
ровать так: всякий многочлен с действительными коэффициента-
ми раскладывается в произведение многочленов первой и второй
степени). Гаусс критически разбирает все предшествующие по-
пытки доказательства и с большой тщательностью проводит идею
Даламбера. Безупречного доказательства все же не получилось,
так как не хватало строгой теории непрерывности. В дальнейшем
Гаусс придумал еще три доказательства основной теоремы (по-
344 Карл Фридрих Гаусс (1777 – 1855)

?


?

 
¤? ??




следний раз — в 1848 г.).
Лемниската и арифметико-геометрическое среднее. Расскажем
еще об одной линии в работах Гаусса, начавшейся в детстве.
В 1791 г., когда Гауссу было 14 лет, его занимала следующая
игра. Он брал два числа a0 , b0 и строил для них среднее v ариф-
метическое a1 = (a0 + b0 )/2 и среднее геометрическое b1 = va0 b0 .
Затем он вычислял средние от a1 , b1 : a2 = (a1 + b1 )/2 , b2 = a1 b1 ,
и т. д. Гаусс вычислял обе последовательности с большим чис-
лом знаков. Очень скоро он уже не мог различить an и bn —
все вычисленные знаки совпадали. Другими словами, обе по-
следовательности быстро стремились к общему пределу M (a, b)
(называемому арифметико-геометрическим средним).
В те же годы Гаусс много возился с кривой, называемой лем-
нискатой (или лемнискатой Бернулли), — множеством точек, про-
изведение расстояний каждой из которых до двух фиксирован-
ных точек O1 , O2 (фокусов) постоянно и равно (O1 O2 /2)2 . К си-
стематическому изучению лемнискаты Гаусс перешел в 1797 г.
Он долго пытается найти длину лемнискаты, пока не догадыва-
2?
v O1 O2 . Мы не знаем, как Гаусс со-
ется, что она равна
M ( 2, 2)
образил это, но знаем, что было это 30 мая 1799 г. и что, не
имея вначале доказательства, он сосчитал обе величины с один-
надцатью (!) десятичными знаками. Гаусс придумал для лемнис-
каты функции, аналогичные тригонометрическим функциям для
окружности. Например, для лемнискаты, расстояние между фо-
v
кусами которой равно 2, лемнискатный синус sl t — это просто
длина хорды, соответствующей дуге длины t. Последние годы
Королевские будни 345


XVIII столетия у Гаусса уходят на построение теории лемнискат-
ных функций. Для них были получены теоремы сложения и при-
ведения, аналогичные теоремам для тригонометрических функ-
ций.
От лемнискатных функций Гаусс переходит к их обобщению —
эллиптическим функциям. Он понимает, что речь идет «о совер-
шенно новой области анализа». После 1800 г. Гаусс уже не смог
уделять эллиптическим функциям столько времени, сколько бы-
ло необходимо для доведения теории до состояния, удовлетво-
ряющего его своей полнотой и строгостью. С самого начала он
отказался от регулярных публикаций, надеясь опубликовать все
разом, как это было с его арифметическими работами. Однако
заботы так никогда и не доставили ему необходимого времени.
В 1808 г. он пишет своему другу и ученику Шумахеру:
«С круговыми и логарифмическими функциями мы умеем те-
перь обходиться как единожды один, но великолепный золотой
родник, хранящий сокровенное высших функций, остается пока
почти terra incognita1 . Я очень много работал над этим прежде
и со временем дам собственный большой труд об этом, на что я
намекал еще в моих Арифметических исследованиях“ . Прихо-

дишь в изумление от чрезвычайного богатства новых и в высшей
степени интересных истин и соотношений, доставляемых этими
функциями».
Гаусс считал, что может не торопиться с публикацией своих
результатов. Тридцать лет так и было. Но в 1827 г. сразу два
молодых математика — Абель и Якоби — опубликовали многое из
того, что было им получено.
«Результаты Якоби представляют часть моей собственной
большой работы, которую я собираюсь когда-нибудь издать. Она
будет представлять исчерпывающий труд на эту тему, если толь-
ко небесам будет угодно продлить мою жизнь и даровать мне
силы и душевный покой» (письмо Шумахеру).
«Господин Абель предвосхитил многие мои мысли и пример-
но на треть облегчил мою задачу, изложив результаты с большой
строгостью и изяществом. Абель шел тем же путем, что и я в
1798 г., поэтому нет ничего невероятного в том, что мы получи-

1
Неизведанная область (лат.).
346 Карл Фридрих Гаусс (1777 – 1855)


ли столь похожие результаты. К моему удивлению, это сходство
распространяется даже на форму, а местами и на обозначения,
поэтому многие его формулы кажутся списанными с моих. Но
чтобы никто не понял меня неправильно, я должен добавить, что
не помню ни одного случая, когда я говорил об этих исследова-
ниях с кем-нибудь из посторонних» (письмо Бесселю).
Наконец, в письме Креллю: «Поскольку Абель продемонстри-
ровал такую проницательность и такое изящество в вопросах из-
ложения, я чувствую, что могу совершенно отказаться от опубли-
кования полученных мной результатов» (май 1828 г.).
Следует отметить, что замечание Гаусса в «Арифметических
исследованиях» о том, что теорию деления круга можно перене-
сти на лемнискату, оказало большое влияние на Абеля.
С наступлением нового века научные интересы Гаусса реши-
тельно сместились в сторону от чистой математики. Он много
раз эпизодически будет обращаться к ней и каждый раз полу-
чать результаты, достойные гения. В 1812 г. он опубликовал ра-
боту о гипергеометрической функции. (Эта функция зависит от
трех параметров. Придавая им конкретные значения, можно по-
лучить большинство функций, встречающихся в математической
физике.) Широко известна заслуга Гаусса в геометрической ин-
терпретации комплексных чисел. О его геометрических работах
мы расскажем ниже. Однако никогда математика уже не будет
главным делом его жизни. Характерный внешний штрих: в 1801 г.
Гаусс прекращает регулярно вести дневник (хотя отдельные за-
писи появляются до 1814 г.). Мы редко отдаем себе отчет, как
короток был «математический век» Гаусса — менее 10 лет. При
этом б?льшую часть времени заняли работы, оставшиеся неиз-
о
вестными современникам (эллиптические функции).
Малые планеты. Расскажем теперь о новом увлечении Гаусса.
Биографы много спорили о причинах, по которым Гаусс начал
заниматься астрономией. Прежде всего надо иметь в виду, что,
начиная с работ Кеплера, Галилея и Ньютона, астрономия была
наиболее ярким местом приложения математики. Эта традиция
была продолжена в трудах Эйлера, Даламбера, Клеро, Лагранжа,
Лапласа. Предсказывая и объясняя небесные явления, математи-
ки чувствовали себя как бы допущенными к тайнам мироздания.
Гаусс, с его ранним интересом к конкретным вычислениям, не
Королевские будни 347


мог, конечно, не попробовать своих сил на этом традиционном
поприще.
Впрочем, были причины и прозаические. Гаусс занимал скром-
ное положение приват-доцента в Брауншвейге, получая 6 тале-
ров в месяц. Пенсия в 400 талеров от герцога-покровителя не
настолько улучшила его положение, чтобы он мог содержать се-
мью, а он подумывал о женитьбе. Получить где-нибудь кафед-
ру по математике было непросто, да Гаусс и не очень стремил-
ся к активной преподавательской деятельности. Расширяющаяся
сеть обсерваторий делала карьеру астронома более доступной.
Гаусс начал интересоваться астрономией еще в Геттиннгене.
Кое-какие наблюдения он проводил в Брауншвейге, причем часть
герцогской пенсии он израсходовал на покупку секстанта. Он
ищет достойную вычислительную задачу, решая пока мелкие
задачи. Так, он публикует простой способ вычисления времени
пасхи и других циклических праздников вместо чрезвычайно
путаных рецептов, которыми пользовались раньше. Мысль о
настоящей задаче появилась в 1801 г. при следующих обстоятель-
ствах.
1 января 1801 г. астроном Пиацци, составлявший звездный
каталог, обнаружил неизвестную звезду 8-й звездной величины.
Пронаблюдав за ней 40 дней, Пиацци обратился к крупнейшим
астрономам с просьбой продолжить наблюдения. По разным при-
чинам его просьба не была выполнена. В июне эти сведения
дошли до Цаха, издававшего единственный в то время астро-
номический журнал. Цах высказал гипотезу, что речь идет «о
давно подозреваемой между Марсом и Юпитером, а теперь, по-
видимому, открытой, новой большой планете». Гипотеза Цаха
показалась правдоподобной, и надо было срочно искать «потерян-
ную» планету. А для этого надо было вычислить ее траекторию.
Определить эллиптическую траекторию по дуге в 9? , которую
знал Пиацци, было за пределами вычислительных возможно-
стей астрономов. В сентябре 1801 г., оставив все свои дела,
вычислением орбиты занялся Гаусс. В ноябре вычисления бы-
ли закончены. В декабрьском номере журнала Цаха они были
опубликованы, а в ночь с 31 декабря на 1 января — ровно через
год после наблюдений Пиацци — известный немецкий астроном
Ольберс, основываясь на траектории, вычисленной Гауссом, на-
348 Карл Фридрих Гаусс (1777 – 1855)


шел планету (ее назвали Церерой). Это была подлинная сенсация!
25 марта 1802 г. Ольберс открывает еще одну планету — Пал-
ладу. Гаусс быстро вычисляет ее орбиту, показав, что и она рас-
полагается между Марсом и Юпитером. Действенность вычис-
лительных методов Гаусса стала для астрономов несомненной.
К Гауссу приходит признание. Одним из признаков этого было
избрание его членом-корреспондентом Петербургской академии
наук. Вскоре его пригласили занять место директора Петербург-
ской обсерватории. Гаусс пишет, что ему лестно получить пригла-
шение в город, где работал Эйлер, и серьезно думает о переезде.
В письмах Гаусс пишет, что в Петербурге часто плохая погода, а
потому он не будет слишком занят наблюдениями, и будет оста-
ваться время для занятий. Он пишет, что 1000 рублей, которые
будет получать, больше 400 талеров, которые он имеет сейчас, но
жизнь в Петербурге дороже.
В то же время Ольберс предпринимает усилия, чтобы сохра-
нить Гаусса для Германии. Еще в 1802 г. он предлагает куратору
Геттингенского университета пригласить Гаусса на пост директо-
ра вновь организованной обсерватории. Ольберс пишет при этом,
что Гаусс «к кафедре математики имеет положительное отвра-
щение». Согласие было дано, но переезд состоялся лишь в конце
1807 г. За это время Гаусс женился («жизнь представляется мне
весной со всегда новыми яркими цветами»). В 1806 г. умирает от
ран герцог, к которому Гаусс, по-видимому, был искренне привя-
зан. Теперь ничто не удерживает его в Брауншвейге.
Жизнь Гаусса в Геттингене складывалась несладко. В 1809 г.
после рождения сына умерла жена, а затем и сам ребенок. Вдо-
бавок Наполеон обложил Геттинген тяжелой контрибуцией. Сам
Гаусс должен был заплатить непосильный налог в 2000 фран-
ков. За него попытались внести деньги Ольберс и, прямо в Па-
риже, Лаплас. Оба раза Гаусс гордо отказался. Однако нашел-
ся еще один благодетель, на этот раз — аноним, и деньги воз-
вращать было некому (много позднее узнали, что это был кур-
фюрст Майнцский, друг Гете). «Смерть мне милее такой жиз-
ни», — пишет Гаусс между заметками по теории эллиптических
функций. Окружающие не ценили его работ, считали его, по мень-
шей мере, чудаком. Ольберс успокаивает Гаусса, говоря, что не
следует рассчитывать на понимание людей: «их нужно жалеть и
Королевские будни 349


им служить».
В 1809 г. выходит законченная в 1807 г. знаменитая «Тео-
рия движения небесных тел, обращающихся вокруг Солнца по
коническим сечениям». Задержка произошла отчасти из-за опа-
сений издателя, что книга на немецком языке не найдет спроса, а
Гаусс из патриотических соображений отказался печатать книгу
по-французски. Компромисс состоял в издании книги на латы-
ни. Это единственная книга Гаусса по астрономии (сверх этого он
напечатал несколько статей). Гаусс излагает свои методы вычис-
ления орбит. Чтобы убедиться в силе своего метода, он повторяет
вычисление орбиты кометы 1769 г., которую в свое время за три
дня напряженного счета вычислил Эйлер (по некоторым сведени-
ям, потерявший после этого зрение). Гауссу на это потребовался
час. В книге был изложен метод наименьших квадратов, оста-
ющийся по сей день одним из самых распространенных методов
обработки результатов наблюдений. Гаусс указывает, что он знает
этот метод с 1794 г., а с 1802 г. систематически им пользуется. (За
два года до выхода «Теории движения» Гаусса метод наименьших
квадратов был опубликован Лежандром.)
На 1810 г. пришлось большое число почестей: Гаусс получил
премию Парижской академии наук и Золотую медаль Лондонско-
го королевского общества, был избран в несколько академий.
В 1804 г. Парижская академия выбрала в качестве темы для
большой премии (золотая медаль весом 1 ) теорию возмущений
Паллады. Срок дважды переносился (до 1816 г.) в надежде, что
Гаусс представит работу. Гауссу помогал в вычислениях его уче-
ник Николаи («юноша, неутомимый в вычислениях»), и все же
вычисления не были доведены до конца. Гаусс прервал их, нахо-
дясь в тяжелой депрессии.
Регулярные занятия астрономией продолжались почти до са-
мой смерти. Знаменитую комету 1812 г. (которая «предвещала»
пожар Москвы!) всюду наблюдали, пользуясь вычислениями Гаус-
са. 28 августа 1851 г. Гаусс наблюдал солнечное затмение. У Гаусса
было много учеников-астрономов (Шумахер, Герлинг, Николаи,
Струве). Крупнейшие немецкие геометры Мёбиус и Штаудт учи-
лись у него не геометрии, а астрономии. Он состоял в активной
переписке со многими астрономами, регулярно читал статьи и
книги по астрономии, печатал рецензии. Из писем астрономам мы
350 Карл Фридрих Гаусс (1777 – 1855)


многое узнаем и о занятиях математикой. Как не похож облик
Гаусса-астронома на представление о недоступном отшельнике,
существовавшее у математиков!

Геодезия. К 1820 г. центр практических интересов Гаусса переме-
стился в геодезию. Еще в начале века он пытался воспользоваться
результатами измерений дуги меридиана, предпринятых фран-
цузскими геодезистами для установления эталона длины (метра),
чтобы найти истинное сжатие Земли. Но дуга оказалась слишком
мала. Гаусс мечтал провести измерение достаточно большой дуги
меридиана. К этой работе он смог приступить только в 1820 г.
Хотя измерения растянулись на два десятилетия, Гаусс не смог
осуществить свой замысел в полном объеме. Большое значение
имели полученные в связи с геодезией исследования по обработ-
ке результатов измерений (к этому времени относятся основные
публикации о методе наименьших квадратов) и различные гео-
метрические результаты, связанные с необходимостью проводить
измерения на поверхности эллипсоида.
В 20-е годы обсуждался вопрос о переезде Гаусса в Берлин,
где он должен был стать во главе института. Сюда должны были
быть приглашены наиболее перспективные молодые математики,
прежде всего Якоби и Абель. Переговоры затянулись на четыре
года; разногласия были по поводу того, должен ли Гаусс читать
лекции, и сколько ему должны платить в год — 1200 или 2000 тале-
ров. Переговоры окончились безрезультатно, Впрочем, не совсем:
в Геттингене Гауссу стали платить то жалование, на которое он
претендовал в Берлине.
Внутренняя геометрия поверхностей. Геодезии мы обязаны тем,
что на сравнительно короткое время математика вновь стала од-
ним из главных дел Гаусса. В 1816 г. он думает об обобщении
основной задачи картографии — задачи об отображении одной по-
верхности на другую «так, чтобы отображение было подобно отоб-
ражаемому в мельчайших деталях». Гаусс посоветовал Шумахеру
выбрать этот вопрос при объявлении конкурса на премию Копен-
гагенского научного общества. Конкурс был объявлен в 1822 г.
В том же году Гаусс представил свой мемуар, в котором вводят-
ся характеристики, позволяющие полностью решить проблему,
частные случаи которой изучались Эйлером и Лагранжем (отоб-
Королевские будни 351


ражение сферы или поверхности вращения на плоскость). Гаусс
подробно описывает выводы из его теории для многочисленных
конкретных случаев, часть из которых возникает из задач геоде-
зии.
В 1828 г. вышел в свет основной геометрический мемуар Гаусса
«Общие исследования о кривых поверхностях». Мемуар посвя-
щен внутренней геометрии поверхности, т. е. тому, что связано со
структурой самой этой поверхности, а не с ее положением в про-
странстве.
Образно говоря, внутренняя геометрия поверхности — это то,
что можно узнать о геометрии поверхности, «не покидая ее». На
поверхности можно измерять длины, натягивая нить так, что-
бы она целиком лежала на поверхности. Возникающая кривая
называется геодезической (аналог прямой на плоскости). Мож-
но измерять углы между геодезическими, изучать геодезические
треугольники и многоугольники. Если мы будем изгибать поверх-
ность (считая ее нерастяжимой и неразрываемой пленкой), то рас-
стояния между точками будут сохраняться, геодезические будут
оставаться геодезическими и т. д.
Оказывается, «не покидая поверхности», можно узнать, кри-
вая она или нет. «Настоящую» кривую поверхность ни при каком
изгибании нельзя развернуть на плоскость; Гаусс предложил чис-
ловую характеристику меры искривления поверхности.
Рассмотрим около точки A на поверхности окрестность пло-
щади ?. В каждой точке этой окрестности проведем нормаль
(перпендикуляр к поверхности) единичной длины. Для плоско-
сти все нормали будут параллельны, а для кривой поверхности
будут расходиться. Перенесем нормали так, чтобы их начала ока-
зались в одной точке. Тогда концы нормалей заполнят некоторую
фигуру на единичной сфере. Пусть ?(?) — площадь этой фигу-
?(?)
ры. Тогда k(A) = lim?>0 дает меру кривизны поверхности
?
в точке A.
Оказывается, ни при каком изгибании k(A) не меняется. Для
того, чтобы кусок поверхности можно было развернуть на плос-
кость, необходимо, чтобы во всех точках A этого куска было
k(A) = 0. Мера кривизны связана с суммой углов геодезического
треугольника.
352 Карл Фридрих Гаусс (1777 – 1855)


Гаусс интересуется поверхностями постоянной кривизны. Сфе-
ра является поверхностью постоянной положительной кривизны
(во всех ее точках k(A) = 1/R, где R — радиус). В записях Гаус-
са упоминается поверхность вращения постоянной отрицательной
кривизны. Потом ее назовут псевдосферой, и Бельтрами обнару-
жит, что ее внутренняя геометрия есть геометрия Лобачевского.

Неевклидова геометрия. По некоторым сведениям, Гаусс интере-
совался постулатом о параллельных еще в Брауншвейге в 1792 г.
В Геттингене он много обсуждал проблему параллельных со сту-
дентом из Венгрии Фаркашем Бойяи. Из письма 1799 г., адресо-
ванного Ф. Бойяи, мы узнаем, насколько ясно понимал Гаусс, что
имеются многочисленные утверждения, приняв которые, можно
доказать пятый постулат: «Я достиг многого, что для большин-
ства могло бы сойти за доказательство». И вместе с тем: «Однако
дорога, которую я выбрал, ведет скорее не к желательной цели, а
к тому, чтобы сделать сомнительной истинность геометрии». От-
сюда до понимания возможности неевклидовой геометрии один
шаг, но он все-таки еще не был сделан, хотя эта фраза часто оши-
бочно воспринимается как свидетельство того, что Гаусс пришел
к неевклидовой геометрии уже в 1799 г.
Заслуживают внимания слова Гаусса, что он не имеет воз-
можности уделить достаточно времени этим вопросам. Характер-
но, что о проблеме параллельных нет ничего в дневнике. По-
видимому, она никогда не находилась в центре внимания Гаусса.

<< Пред. стр.

страница 36
(всего 46)

ОГЛАВЛЕНИЕ

След. стр. >>

Copyright © Design by: Sunlight webdesign